測PPT學(xué)習(xí)課件學(xué)習(xí)課程

1、江西財經(jīng)大學(xué)信息管理學(xué)院制作人：楊壽淵1/46目錄1.1 勒貝格積分的基本思想1.2 測度的概念1.3 外測度1.4 勒貝格測度1.5 波雷爾集的可測性1.6 可測集的結(jié)構(gòu)第1頁/共47頁第一頁，編輯于星期三：八點 五十二分。江西財經(jīng)大學(xué)信息管理學(xué)院制作人：楊壽淵2/461.1 勒貝格積分的基本思想1.1.1 黎曼積分的基本思想0121,iinaxxxxxxb1,iiixxx1,iiixx10, ,( ),niiiS ffx1| |0( )lim, , max.biiiaf x dxS fxx 其中第2頁/共47頁第二頁，編輯于星期三：八點 五十二分。江西財經(jīng)大學(xué)信息管理學(xué)院制作人：楊壽淵3/

2、46(Lebesgue1.1.)2 勒貝格積分的基本思想01min( )max( ),a x bna x bf xyyyf x 1,iiiyyy1 , :( ),iiiExa byf xy()iiEE集合 的“長度”10,(),niiiS fyE 1 , | |0( )( )lim, max.iiia bLf x dxS fyy 其中4E第3頁/共47頁第三頁，編輯于星期三：八點 五十二分。江西財經(jīng)大學(xué)信息管理學(xué)院制作人：楊壽淵4/46黎曼積分和勒貝格積分本質(zhì)上是求和匯兩種不同的總方式。假設(shè)你有一堆亂七八糟的零錢需要匯總： 1 2 2 1 5 5 2 5 1 2 2 1 5Riemann: 1

3、+2+2+1+5+5+2+5+1+2+2+1+5=34Lebesgue: 1X4+2X5+5X4=34要定義勒貝格積分就涉及到一個關(guān)鍵問集題合：如的“何定義一個長度”？這就需要引出一個重要的概念：測度第4頁/共47頁第四頁，編輯于星期三：八點 五十二分。江西財經(jīng)大學(xué)信息管理學(xué)院制作人：楊壽淵5/46所謂，本質(zhì)上是長度、面積、體積等概念的推廣，即給一個集族中的每一個集合賦予一個唯一確定的實數(shù)，用以度量這個集合的“長度”、“面積”或測度“體積”。( , ).:Ha babH設(shè)表示實數(shù)集上所有開區(qū)間所構(gòu)成的集族，則我們我們可以在 上定義一例1 個測度：:0, ( , )( , ),Ha ba bba

4、 ,()+ = 這里我們需要約定：有限數(shù)有限數(shù)有限數(shù)，上面定義的測度本質(zhì)上就是區(qū)間的長度。1.2 測度的概念第5頁/共47頁第五頁，編輯于星期三：八點 五十二分。江西財經(jīng)大學(xué)信息管理學(xué)院制作人：楊壽淵6/46, ; ,1, ; , , ) , ).:,a b c da b c dQa bc dHQab cdH例2 設(shè)表示坐標(biāo)平面上的矩形區(qū)域，則我們我們可以在 上定義一個測度：1, ; , ; ,:0, ()() (),a b c da b c dA HQA Qbadc上面定義的測度本質(zhì)上就是矩形區(qū)域的面積。理想的測度應(yīng)該繼承長度、面積體積所具有的好的性質(zhì)，這些性質(zhì)包括：( )0,AAH (1)

5、非負性：；()=0空集的測度為零：(2)；第6頁/共47頁第六頁，編輯于星期三：八點 五十二分。江西財經(jīng)大學(xué)信息管理學(xué)院制作人：楊壽淵7/461211,() nnnnA AHAA(3)如果 兩兩不交，則完全可加性：HH當(dāng)然，要使得性質(zhì)(3)成立，對集族 也是有要求的，例如集族對集合的并、交、補運算必須封閉，為此我們先引進幾個概念。1.1 設(shè) 是一個集合， 是由 的某些子集所構(gòu)成的集族，如果 滿足下：定義列條件FF(1) ；F121,nnnA AAA(2) 如果 ，則 ；FF第7頁/共47頁第七頁，編輯于星期三：八點 五十二分。江西財經(jīng)大學(xué)信息管理學(xué)院制作人：楊壽淵8/46cAAA (3) 如果

6、 ，則 .FF.則稱 是 上的一個 或 ，并稱 ,- 代數(shù)- 是一 域個()間?？蓽y空FF. 設(shè) 1,2,3,4,5,6 ，則下列集族構(gòu)成 上的 -例3 代數(shù)：1 的所有子集F2 ，F(xiàn)312 3 4 5 6 ， ， ， ，F(xiàn)第8頁/共47頁第八頁，編輯于星期三：八點 五十二分。江西財經(jīng)大學(xué)信息管理學(xué)院制作人：楊壽淵9/46412, 1,22 3 4 5 6, 1,3,4,5,6, 3,4,5,6 ， ， ， , ，F(xiàn)(1,2,3,4)ii因此 , 都是可測空間。F1.2-( ). 設(shè) 是一個集合， 是由 的某些子集所構(gòu)成的集族(不一定是代數(shù))，定義由 生成如果 是的代數(shù)包含 的最小代數(shù)，則稱

7、是，記作EFEEFFE1. E設(shè) ， 是由下列左閉右開區(qū)間所構(gòu)：例4成的集族R R1 , ):Ea bab 1-E則稱由 所生成的 代數(shù)為實數(shù)集波雷爾(Borel上的)代數(shù)。第9頁/共47頁第九頁，編輯于星期三：八點 五十二分。江西財經(jīng)大學(xué)信息管理學(xué)院制作人：楊壽淵10/46-可以證明，由下列集族所生成的是波雷代數(shù)都爾代數(shù)：2( , :Ea bab 3( , ):Ea bab 4 , :Ea bab 5 ,):Eaa 6(, :Ebb 第10頁/共47頁第十頁，編輯于星期三：八點 五十二分。江西財經(jīng)大學(xué)信息管理學(xué)院制作人：楊壽淵11/467( ,):Eaa 8(, ):Ebb 有了可測空間的概

8、念就可以嚴格地定義測度的概念了。 , - .3 :0. ,設(shè)是一個可測空間，稱定義在代數(shù) 上映射為 上的測度，如果它滿足下定義 1列兩個條件：FFF()=0空集的測度為零：(1)；第11頁/共47頁第十一頁，編輯于星期三：八點 五十二分。江西財經(jīng)大學(xué)信息管理學(xué)院制作人：楊壽淵12/461211,() nnnnA AAA(2)如果 兩兩不交，則完全可加性：F F121,(4) ;(5) (),1,2,)-(nniC CCCi 有限測度此外如果還存在 的子集使得：=則稱 是 上的；如果，則稱 是上的有限測度。第12頁/共47頁第十二頁，編輯于星期三：八點 五十二分。江西財經(jīng)大學(xué)信息管理學(xué)院制作人：

9、楊壽淵13/461, . 設(shè) 1,2,3,4,5,6 ，的所有子集 則我們可以按如下方式定義概例5一個：率測度F1123456,6PPPPPP一旦上述集合的概率值確定，則 中其他集合的概率值也隨之確定。例如由完全可加性可得F11,2,31232PPPP不難發(fā)現(xiàn)按這種方式定義的概率測度與古典型概率完全一致。第13頁/共47頁第十三頁，編輯于星期三：八點 五十二分。江西財經(jīng)大學(xué)信息管理學(xué)院制作人：楊壽淵14/46我們也可以定義1116, 2536340PPPPPP，一旦上述集合的概率值確定，則 中其他集合的概率值也隨之確定。例如由完全可加性可得F51,5,61566PPPP不難發(fā)現(xiàn)按這種方式定義的

10、概率測度與古典型概率不同。第14頁/共47頁第十四頁，編輯于星期三：八點 五十二分。江西財經(jīng)大學(xué)信息管理學(xué)院制作人：楊壽淵15/46 ( , )., Ba bb a 設(shè) ， 是實數(shù)集 上的波雷爾代數(shù)，定義然后利用測度定義的條件(1),(2)將它延拓到整個波雷爾代數(shù) 上去，就得到了一個測度，稱為實數(shù)集上的。雷例6波 爾測度R RR RR RBB -波雷爾測度不是有限測注：度，但是 有限測度。( , , )通常我們稱三元組為一個。測度空間F F第15頁/共47頁第十五頁，編輯于星期三：八點 五十二分。江西財經(jīng)大學(xué)信息管理學(xué)院制作人：楊壽淵16/46( , , )通常我們稱三元組為一個。測度空間F

11、F. 測度還具有如定理11下性質(zhì)：( )( )( );ABB ABA集合的差的測度：(1)設(shè)，則1111112()( )( )(),()()() ( 1)()nnkkijijkki j ni j k nknnA BABA BAAAAAAAAAA ( 容斥原理：2) 11=lim (),nnnnnnnAAAAA如果 滿足 ，則 測度的連續(xù)(性：3)F F第16頁/共47頁第十六頁，編輯于星期三：八點 五十二分。江西財經(jīng)大學(xué)信息管理學(xué)院制作人：楊壽淵17/46 111( )=lim ().nnnnnnnAAAEAA如果 滿足 ，且，則 F F性質(zhì)(3)第一個等式的證明：11,2,nnnAAAn設(shè)

12、滿證明：足 ，令F F11221332-1,nnnBABAABAABAA 11nnnnnABB則 ，且兩兩互斥，因此111nnnnnnABB第17頁/共47頁第十七頁，編輯于星期三：八點 五十二分。江西財經(jīng)大學(xué)信息管理學(xué)院制作人：楊壽淵18/46111nnnnnnABB112()nnnAAA112()nnnAAAlim().nnAlim()nnA 上面的等式包含 注：的情形。到目前為止，我們只是給出了測度的比較正式的定義，但是并未回答如何去構(gòu)造一個“好”的測度，使得它能夠繼承長度、面積、體積的直觀性質(zhì)。第18頁/共47頁第十八頁，編輯于星期三：八點 五十二分。江西財經(jīng)大學(xué)信息管理學(xué)院制作人：楊

13、壽淵19/461.3 外測度為了構(gòu)造一個“好”的測度，使得它能夠繼承長度、面積、體積的直觀性質(zhì)，我們外測度需要引進的概念。 2 :240,. . 設(shè)是一個集合， 是其冪集，稱映射為 上的外測度，如果它滿足下列三定義 1個條件：()=0(1) ；( )( )BCBC單調(diào)非(2) 若，則降性：；11 .iiniiBBB(3) 對于 的任何一列子集皆次可加性：有第19頁/共47頁第十九頁，編輯于星期三：八點 五十二分。江西財經(jīng)大學(xué)信息管理學(xué)院制作人：楊壽淵20/46. 設(shè) ，下面我們來定義實數(shù)集 上的度。例7一個外測R RR R).( , ) ( );iIa bIb a 分兩步走： 對于實數(shù)集上的任

14、意開區(qū)間，定義 1211( ) inf( ): , ,.).nnnnEII IEiiEI是開區(qū)間，且 對于實數(shù)集的一般子集 ，定義下面我們將證明 滿足外測度定義的條件。第20頁/共47頁第二十頁，編輯于星期三：八點 五十二分。江西財經(jīng)大學(xué)信息管理學(xué)院制作人：楊壽淵21/46 首先 滿足外測度定義中的(1),(2)兩條，這點可以證明：直接驗證。下面我們驗證 滿足外測度定義中的條件(3)。 ,0:1,2,nnknEIk對于實數(shù)集 的任，存在一列開區(qū)間意一列子集，由 的定義使，意的得對任R Rd dN11,()() 2,nnnknknkkEIIE,nnknnkEI由于，因此()()2(),nnnkn

15、nnknnnEIEE(3)由 的任意性， 得證。第21頁/共47頁第二十一頁，編輯于星期三：八點 五十二分。江西財經(jīng)大學(xué)信息管理學(xué)院制作人：楊壽淵22/46中定義的外測度 稱 勒貝格為例7外測度。(.( , ),a bb aa bb a 的勒貝格外測度，試證，其中皆為有限實數(shù)例8 ，且設(shè) 是實數(shù)集 上R Rs s 11,( , ,a ba ba bnnn對任意的自然數(shù) 皆：有證明于是由外測度的單調(diào)非降性得11,( , ,a ba ba bnn11 ( , ,baa bbann即第22頁/共47頁第二十二頁，編輯于星期三：八點 五十二分。江西財經(jīng)大學(xué)信息管理學(xué)院制作人：楊壽淵23/46 ( ,

16、.na bb a 由自然數(shù) 的任意性，得獨點集的勒貝格外測度是多少？有理數(shù)集的勒貝格外測度思考題：是多少？第23頁/共47頁第二十三頁，編輯于星期三：八點 五十二分。江西財經(jīng)大學(xué)信息管理學(xué)院制作人：楊壽淵24/461.4 勒貝格測度在上一節(jié)中我們定義了外測度的概念，它具有許多很好的性質(zhì)，特別地，實數(shù)集 上的勒貝格外測度 繼承了線段長度的直觀性。R Rs s但是外測度一般不具有可加性這一重要性質(zhì)，因此還不符合測度的嚴格定義，本節(jié)我們將由勒貝格外測度出發(fā)，引出一種測度勒貝格測度。 ( )()(), . .5 cEEAEAEAA設(shè) 是實數(shù)集上的外測度， 是的任一子集，稱 是，如勒貝格可測果集定義1第

17、24頁/共47頁第二十四頁，編輯于星期三：八點 五十二分。江西財經(jīng)大學(xué)信息管理學(xué)院制作人：楊壽淵25/46AcAAEcAE 體勒貝格可測集所構(gòu)成的集實數(shù)集上的全族記作.M M -.2是一。定個1數(shù)理代M M- - -(1),(3)(2)很容易驗證滿足代數(shù)定義中的條件，下面我們集中精力驗證 滿足條件 ，即對可列并運算封證閉。明：M M - -M M , A BA B首先若，則。M MM M()()()()()cccABEABEABEBABEBABE第25頁/共47頁第二十五頁，編輯于星期三：八點 五十二分。江西財經(jīng)大學(xué)信息管理學(xué)院制作人：楊壽淵26/46cccBEABEBEAcBEBE( ),E

18、AB因此，M M由歸納法，對于有限并運算也是封閉的。M M121,knkB BBB現(xiàn)設(shè) ，往證。MMMM第26頁/共47頁第二十六頁，編輯于星期三：八點 五十二分。江西財經(jīng)大學(xué)信息管理學(xué)院制作人：楊壽淵27/46112213312,ABAB BABBB令12311,:.iiiiA AAAAB則 兩兩不交，且 12,A A 對于兩個不相交的可測集 ，有M M12121121cEAAEAAAEAAA12,EAEA nE因此對于任意自然數(shù) 及 的任意子集 皆有 11( )cnniiiiEEAEA第27頁/共47頁第二十七頁，編輯于星期三：八點 五十二分。江西財經(jīng)大學(xué)信息管理學(xué)院制作人：楊壽淵28/4

19、611cnniiiiEAEA1,nciiEAEAn令 即得1( )ciiEEAEA1ciiEAEA,cEAEA第28頁/共47頁第二十八頁，編輯于星期三：八點 五十二分。江西財經(jīng)大學(xué)信息管理學(xué)院制作人：楊壽淵29/4611iiiiBAA 因此 ，即 對可列并運算封閉。M MM M 11- ().kkkkkAAA設(shè) 是實數(shù)集 上的勒貝格外測度， 是 上所有勒貝格可測集所構(gòu)成的 代數(shù)，則對于任意兩兩不交的可定理1.3測集列 皆有R RM MR RM M 11nnkkkkCACA記證明： =, =，則()()()cnnnnnCCACA1()()nnAC第29頁/共47頁第二十九頁，編輯于星期三：八點

20、 五十二分。江西財經(jīng)大學(xué)信息管理學(xué)院制作人：楊壽淵30/4611()()( ),nnAAA1()().nnkkCA即 ( )()()cnnCC CC C1()()()()nccnnknkCC CAC C1(), ,nkkAn N N11( ) lim()(),nkknkkCAA至于反向不等式，可由外測度的定義直接得到。第30頁/共47頁第三十頁，編輯于星期三：八點 五十二分。江西財經(jīng)大學(xué)信息管理學(xué)院制作人：楊壽淵31/46( )( ),.mm AAA 勒貝格測度聯(lián)合定理2與定理3，我們證明了( , , )是一個測度空間，通常稱 是實數(shù)集 上的，以 記之，即 R R M MR RM M接下來我們

21、給出幾個勒貝格可測集的例子。 00.0.9xm x勒貝格例獨點集是可測集，且 00011 ,xxxnn 0 x證明獨點集的外測先：首度為零。 事實上，第31頁/共47頁第三十一頁，編輯于星期三：八點 五十二分。江西財經(jīng)大學(xué)信息管理學(xué)院制作人：楊壽淵32/46000112( ),xxxnnn由外測度的單調(diào)非降性，得0 ( )=0.nx令 即可得0ExE其次，對于任意實數(shù)集 ，若 ，則00 ()( )( );cExExEE 0 xE若 ，則0000 ( )( )cExExxEx0 ( ),ExE第32頁/共47頁第三十二頁，編輯于星期三：八點 五十二分。江西財經(jīng)大學(xué)信息管理學(xué)院制作人：楊壽淵33/

22、46至于反向不等式，由外測度的次可加性，是顯然的。綜上所述，我們便證明了獨點集的可測性，而且其測度為零。 ( , ).Ia bm Ib a 開區(qū)間是勒貝格可測集，且例10 ( , )Jc dIJ設(shè)是任一開區(qū)間。若與 不相交，證明：則顯然有( )()(); (*) cJJIJIIJ若與 相交，則必有下列四種情形之一：(1).;cadb(2).;cabd(3).;acbd(4).acdb(*)無論那種情況， 都是成立的。第33頁/共47頁第三十三頁，編輯于星期三：八點 五十二分。江西財經(jīng)大學(xué)信息管理學(xué)院制作人：楊壽淵34/460:1,2,nEEJn現(xiàn)設(shè)是任一實數(shù)集，由勒貝格外測度的定義，對任意，必

23、存在 的開區(qū)間覆蓋使得,|( ),nnnnEJJE( )|cnnnnnEJJIJI 于是cnnnnJIJIcnnnnJIJI第34頁/共47頁第三十四頁，編輯于星期三：八點 五十二分。江西財經(jīng)大學(xué)信息管理學(xué)院制作人：楊壽淵35/46cE IE I0( ),cEE IE I由的任意性，得 ( , )( )( ).Ia bm IIb a 至于反向不等式，由外測度的次可加性，是顯然的。綜上所述，我們便證明了開區(qū)間的可測性，而且. 有限閉區(qū)間是否為勒貝格可測集？它的測度練習(xí)1是多少？Borel 是否所有集都是(即屬于Borel代數(shù)思考中的集合)勒：貝格可測集？B B121,.nnnA AAA 設(shè)是一練

24、習(xí)2列可測集，試問是否可測？第35頁/共47頁第三十五頁，編輯于星期三：八點 五十二分。江西財經(jīng)大學(xué)信息管理學(xué)院制作人：楊壽淵36/46思考：Cantor三分集是：三分集是：先考慮區(qū)間0，1，然后按如下的步驟操作： 1.以0，1的中點為中點挖去一個長為1/3的開區(qū)間（1/3，2/3），剩余部分記作F1; 2.分別以0，1/3、2/3，1的中點為中點挖去兩個長為1/9的開區(qū)間（1/9，2/9）、（7/9，8/9）,剩余部分記作F2; 3.仿上繼續(xù)挖去四個長為1/27的開區(qū)間（1/27，2/27）、（7/27，8/27）、（19/27，20/27）、（25/27、26/27）剩余部分記作F3;所有

25、這些集合的交集便是Cantor 三分集，即1iiCFCantor 三分集是不是三分集是不是Lebesgue可測集？其測度是多少？可測集？其測度是多少？第36頁/共47頁第三十六頁，編輯于星期三：八點 五十二分。江西財經(jīng)大學(xué)信息管理學(xué)院制作人：楊壽淵37/46Cantor三分集三分集第37頁/共47頁第三十七頁，編輯于星期三：八點 五十二分。江西財經(jīng)大學(xué)信息管理學(xué)院制作人：楊壽淵38/461.5 波雷爾集的可測性.- 在12節(jié)的例4中我們介紹了波雷爾(Borel)代數(shù) ，它是由下列開區(qū)間族所生成的 代數(shù)：B B3( , ):Ea bab 為了方便起見，以后我們把 中的元素稱為。波雷爾集B B現(xiàn)在

26、的問題是波雷爾集到底包含些什么樣的集合？例如我們所熟悉的開集、閉集是否包含于其中？00000 (, )(6,)(, ). GxGB x rxr xrB x rG開定義我們稱為，如果對任意的皆存在鄰域使得；開集的補集1集稱為閉集。第38頁/共47頁第三十八頁，編輯于星期三：八點 五十二分。江西財經(jīng)大學(xué)信息管理學(xué)院制作人：楊壽淵39/46開集和閉集都是定理1.4 波雷爾集。我們只需證明開集是證明：波雷爾集。 , (1,1).kkkIIkk首先 是波雷爾集，事實上其中 Z ZR RR R ( ,)inf |,ccccy GGGGx GxGd x Gx y其次，對于任意的開集，不是空集，對于任意，定義

27、 到 的距離為 = =( ,)cd x G根據(jù)開集的定義，總是一個大于零的有限數(shù)。第39頁/共47頁第三十九頁，編輯于星期三：八點 五十二分。江西財經(jīng)大學(xué)信息管理學(xué)院制作人：楊壽淵40/46 1(,), ( ,),2GGGcqqqqQGGQq QBq r q rrd q G現(xiàn)以 表示 中的所有有理數(shù)所構(gòu)成的集合，則是一個可數(shù)集。對于每一個，作一個鄰域 ( , )( ,) cqqcBGx Bd q xd q GxGG則。事實上，對任意的 皆有 ，因此 必不屬于 ，從而屬于 。Gqq QGB接下來我們將證明，從而完成定理的證明。Gqqq QBGBG首先由于每一個 皆包含于 ，因此必有；第40頁/共

28、47頁第四十頁，編輯于星期三：八點 五十二分。江西財經(jīng)大學(xué)信息管理學(xué)院制作人：楊壽淵41/461( , ) |( ,)6cGx Gqd x qx qd x Gq Q 其次，由于有理數(shù)在實數(shù)集中是稠密的，因此對于任意的，總可以找到有理數(shù) 使得（從而），( , ) | | | |15 ( ,)( ,)( ,),66ccccy Gd y qy qy x x qy xx qd x Gd x Gd x G 對任意的 皆有5( ,)inf ( , )( ,),6cccy Gd q Gd y qd x G因此 15( ,)( ,)( , ),212ccqrd q Gd x Gd x q從而 ,qx B.GGqqq Qq Qx GGBGB由的任意性得，再結(jié)合前面的結(jié)果即可得到第41頁/共47頁第四十一頁，編輯于星期三：八點 五十二分。江西財經(jīng)大學(xué)信息管理學(xué)院制作人：楊壽淵42/46GF當(dāng)然，波雷爾集不限于開集開集和閉集，例如，它還包括可數(shù)個開集的交()，可數(shù)個閉集型集型的并集()，-根據(jù)定理1.3，所有勒貝格可測集構(gòu)成一個 代數(shù)，因此可測集的補集、可數(shù)個可測集的并集都是可測集，由此我們得到下列定理：所有波雷爾集都是勒貝定理格1.5 可測集。第42頁/共47頁