物理試驗的基本知識

1、第一局部物理實驗的根本理論教學目的：1. 了解科學實驗的重要性，明確物理實驗課程的地位、作用和任務。2. 了解測量的根本知識，掌握不確定度的計算。3. 理解實驗數(shù)據(jù)的根本處理方法，明確進行實驗的根本程序及要求。內(nèi)容提要：本局部主要討論進行物理實驗所需要具備的有關(guān) 知識，包括物理實驗的目的和任務，測量和誤差的根本概念，誤差的分類和計算， 有效數(shù)字及運算，測量結(jié)果的評價與表示，數(shù)據(jù)處理的根本方法，進行物理實驗 的程序及考前須知。其中，重點是直測量的不確定度確實定，難點是間測量的不 確定度的計算。第一節(jié)物理實驗課的目的和任務一、理論與實踐的關(guān)系科學的開展歷史已經(jīng)證明：科學的理論來源于科學的實踐，并指

2、導我們的實 踐，而且要受到實踐的檢驗，在實踐中不斷地修正、補充和完善。對于科學研究 來講，科學實驗是最重要、最根本的實踐活動。而且，隨著社會的開展和研究的 深入，科學實驗的這種重要性和根本性越來越突出?？茖W實驗是根據(jù)一定的研究目的，通過積極的構(gòu)思，利用科學儀器設(shè)備等物 質(zhì)手段，人為地控制和模擬自然現(xiàn)象，使自然過程或生產(chǎn)過程以比擬純粹的或典 型的形式表現(xiàn)出來，從血在冇刑條件匚探索3然規(guī)律的一種研丸方法?？茖W實驗的主要任務，是研究人類尚未認識或尚未充分認識的自然過程，發(fā) 現(xiàn)未知的自然規(guī)律，創(chuàng)立新學說，新理論，研制創(chuàng)造新材料、新方法、新工藝， 為生產(chǎn)實踐提供科學的理論依據(jù)，促進生產(chǎn)技術(shù)的進步和革命，

3、提高人們改造自 然的能力物理理論也是通過由物理實踐到物理理論，再由物理理論到實踐這樣的辯證 過程建立和開展起來的。通過對物理學歷史地、全面地考察可以發(fā)現(xiàn)，物理學本 質(zhì)上是一門實驗科學。首先，物理概念的建立、物理規(guī)律的發(fā)現(xiàn)依賴于物理實驗， 是以實驗為根底的；其次，已有的物理定律、物理假說、物理理論還必須接受實 驗的檢驗，如果正確就予以確定，如果不正確就予以否認，如果不完全正確就予 以修正。例如，普朗克在黑體輻射實驗的根底上提出了能量子概念，愛因斯坦通 過分析光電效應現(xiàn)象提出了光量子；伽利略用新創(chuàng)造的望遠鏡觀察的木星有四個 衛(wèi)星后，否認了地心說；楊氏雙縫干預實驗證實了光的波動假說的正確性。可以 說

4、，物岬.學的每一軟進步都離不殲真驗C二、物理實踐的根本類型在進行物理實踐的過程中，由于所涉及的研究對象、實踐的目的、采用的研 究方法、獲得的結(jié)論的層次等方面特征的不同，我們通常將物理學的實踐活動分 為觀察和實驗兩種根本類亟卜面就簡述其概念和rnL_觀察所謂觀察就是對自然界中發(fā)生的某種現(xiàn)象，在不改變其自然條件的情況下， 按照原來的樣子加以研究的過程。比方，我們對天空觀察后發(fā)現(xiàn)，睛朗無云的天 空是藍色的；通過對氣候的觀察發(fā)現(xiàn)，一年可以分為春、夏、秋、冬四季。觀察 的特征是：1現(xiàn)象是在自然狀態(tài)下發(fā)生的，通常沒有人為限制。因此，一般地講， 觀察這種實踐活動是簡便易行的，是一種可以經(jīng)常進行的實踐活動，也

5、是對現(xiàn)象 進行深入研究的根底。在科學實踐中，養(yǎng)成觀察的習慣，掌握觀察的方法，對一 個科學研究者來說是極其重要的素質(zhì)之一。2 一般來講，影響自然現(xiàn)象的因素是 多而復雜的，通過觀察只需對現(xiàn)象作定性研究，即了解影響現(xiàn)象的主要因素及大 致關(guān)系。其研究是不夠準確、深刻的。二實驗所謂實驗那么是在人工控制的條件下，抑制次要因素，突出主要因素，使現(xiàn)象 能夠向著更加直接、更加單純的方向進行，并能反復重演，從而借助儀器設(shè)備對 影響現(xiàn)象的因素進行測量的研究過程。實驗的特征是：1 可以按照研究的需要和目的人為地簡化和控制現(xiàn)象發(fā)生和進行的條件。其目的是為了突出主要因素，排除或減少次要因素的干擾和影響， 使過程的 進行更

6、直接、更純粹，以獲得明確的結(jié)果。可見，實驗也是物理學中一種重要的 研究方法，實驗對物理學的開展起著十分重要的作用，過去是這樣，現(xiàn)在是這樣，將來也一定是這樣。比方，伽利略用落體實驗駁倒了亞里士多德的“重的物體落 得快，輕的物體落得慢的說法；他在斜面實驗的根底上指出：力不是維持運動 的原因，物體的運動不需要力來維持。我們知道是伽利略開創(chuàng)了物理學的實驗方 法，也正是因為實驗方法的引入才使物理學真正成為一門科學。牛頓“最偉大的 宇宙定律的正確性，是因為它能計算出哈雷慧星的運行周期約76年，解釋了 潮汐現(xiàn)象，指出了當時太陽系中還應有所謂冥王星、海王星的存在。偉大的詹 姆斯克拉克麥克斯韋于1864年將電和

7、磁“合在了一起，把描述電學規(guī)律和 磁學規(guī)律的關(guān)系式總結(jié)為優(yōu)美的麥克斯韋方程組，他由此預言了電磁場和電磁波， 指出光是一種電磁波。而這一結(jié)論的正確性是在經(jīng)過了 24年一一也是麥克斯韋逝 世1879年9年之后的1888年，才由赫茲實驗向世界宣布的。我們現(xiàn)在的粒子物理學理論是以物質(zhì)的夸克模型為根底的，即是說，如果找不到這六種組成物質(zhì)的夸克上夸克，下夸克，奇異夸克，粲夸克，底夸克，頂夸克；或者說，即使找到了其中的五個，粒子物理學的現(xiàn)行理論也將重建。因 此，從1964年提出夸克模型后，許多著名的物理學家都開始致力于尋找夸克的工 作。到1976年就已經(jīng)找到了前五種夸克，而頂夸克卻不見蹤跡，但科學家們并不

8、氣餒。幸運的是，到1993年至1994年間科學家們終于找到了頂夸克的蹤跡，1995 年3月2日美國科學家正式向世界宣布了頂夸克已被捉到。 此外，值得一提的是： 世界科學界最崇高的獎勵一一諾貝爾獎，一般都授予與實驗有關(guān)的科學發(fā)現(xiàn)。2實驗中，一般都需要對現(xiàn)象進行定量研究。即對影響現(xiàn)象發(fā)生的因素進行測量，以獲得較為精確的結(jié)論或規(guī)律?，F(xiàn)在， 幾乎所有物理問題最終都要被定量化。正因為如此，物理學才成為一門定量的精 確的科學。物理學家們在長期的研究實踐中，不僅創(chuàng)造了巧妙而豐富的實踐方法， 而且在進行物理問題的定量化的過程中，還創(chuàng)造了許多物理學特有的研究方法。 所有這些，不僅對物理學，而且對自然科學的其他學

9、科，以及工程技術(shù)和社會科 學、社會生活的各方面都具有重要的作用和意義。物理實驗在探索和研究新科技領(lǐng)域，在推動其他自然科學和工程技術(shù)的開展 中，同樣起著重要的作用。自然科學迅速開展，新的科學分支層出不窮，但根底 學科就是數(shù)學和物理兩門，物理實驗是研究物理測量方法與實驗方法的科學，物 理實驗的實驗技術(shù)和測量方法具有特殊的根本性和普遍性：力、熱、電、光都有； 具有根本性一一它是其他一切實驗的根底；同時它還具有通用性一一實用于一切 領(lǐng)域，很多工程技術(shù)問題或研究課題，如果把它們分解開來，實質(zhì)上就是一些物 理問題。在工程技術(shù)領(lǐng)域中，研制、生產(chǎn)、加工、運輸?shù)榷计毡樯婕拔锢砹康臏y 量及物體運動狀態(tài)的控制，這正

10、是成熟的物理實驗的推廣和應用?，F(xiàn)代高科技發(fā) 展，設(shè)計思想，方法和技術(shù)也來源于物理實驗，因此，物理實驗是工程技術(shù)和高 科技開展的根底。綜上所述，對一個高等工科院校學生來講，不管專業(yè)如何，大學物理實驗都 是一門重要的根底課程。對于我們高等工科學校的學生來講，了解和掌握這些進 行實驗研究的方法和技巧，不僅對物理學理論的學習是重要的，而且對后續(xù)課程 的學習，尤其是對將來所從事的實際工作所需要具備的能力和素質(zhì)來講，也是十 分必要的。因此，物理實驗應該是工科學生的一門獨立的必修課程。二、物好實驗諜廉的任務大學物理實驗與大學物理理論課一起構(gòu)成了高等工科學生必修的根底物理學 的整體。理論課主要注重對物理概念、

11、物理規(guī)律的討論和學習，訓練學生的理論 思維方法；實驗課那么主要以實際動手實驗為教學手段，對學生進行全面而系統(tǒng)的 實驗方法和實驗技能訓練。它們具有同等重要的地位，具有深刻的內(nèi)在聯(lián)系。1987 年國家教委公布的?高等工業(yè)學校物理實驗課教學的根本要求?，1995年經(jīng)修訂后，重新公布了?高等學校工科本科物理實驗課程教學根本要求?，明確 了本課程的教學任務是：使學生在中學物理實驗的根底上，按照循序漸進的原那么， 學習物理實驗知識和方法，得到實驗技能的訓練，從而初步了解科學實驗的主要 過和和根本方法，為今后的學習和丄作奠定慮好的實驗根底具匚體任務建：1. 通過對實驗現(xiàn)象的觀察、分析和對物理量的測量，學習物

12、理實驗知識，加 深對物理學原理的理解。2. 培養(yǎng)和提高學生的科學實驗能力。包括：(1) 能夠通過閱讀實驗教材或資料，作好實驗前的準備；(4) 能夠正確記錄和處理實驗數(shù)據(jù)，繪制曲線，說明實驗結(jié)果，撰寫合格的實 驗報告;(5)3. 培養(yǎng)和提高學生科學實驗的作風和素養(yǎng)。主要是理論聯(lián)系實際、實事求是 的工作作風，一絲不茍、嚴肅認真的工作態(tài)度，積極主動的探索精神，遵守紀律、 團結(jié)協(xié)作、保護公共財物的優(yōu)良品德。比方，倫琴在研究陰極射線的時候，偶然 觀察到陰極射線管附近的熒光板發(fā)光，正是他實事求是、一絲不茍、嚴肅認真的 品格才使他認識到了 X射線的存在；開普勒(Kapler)在其老師弟谷大量的天文 觀測資料

13、(700多顆星體)的根底上，經(jīng)過近二十多年的不懈研究、分析計算才總 結(jié)出了行星三大定律。在近現(xiàn)代物理學研究中，如果一個物理學工作者沒有高度 的合作精神，他是很難取得成就的。第二節(jié)測量與誤差由物理實驗的特征可以看出，實驗離不開測量，測量是實驗的根本任務。下 面就討論一下測量與誤差的根本概念，以及誤差的類型。一、測量與誤差的根本概念1. 測量：是借助儀器，通過一定的方法，將待測量與一個選作標準單位的同 類量進行比擬的過程。其比值即是該被測量的測量值。記錄下來的測量結(jié)果應該 包含測量值的大小和單位，二者缺一不可。按測量的方式，測量可分為直接測量 和間接測量；按測量的條件分，測量可分為等精度測量和不等

14、精度測量。2. 直接測量：是指待測物理量的大小可以從選定好的測量儀器或儀表上直接 讀出來的測量。相應的待測物理量稱為直接測量量。例如，用米尺測長度，用秒 表測時間，用電表測電壓、電流，用溫度計測溫度等。3間接測量：是指待測量需要根據(jù)其他物理量的直接測量值，通過一定的 函數(shù)關(guān)系，才能計算出來的測量。相應的待測量稱為間接測量量。例如，如果先測量出圓柱體的底面直徑D和高h，再利用V = 1二D2h計算其體積。在這一測量4中，對D和h是直接測量，對V那么是間接測量。在實驗中我們發(fā)現(xiàn)，直接測量是 間接測量的根底。然而，對一個給定的待測物理量，它屬于直測量，還是屬于間 測量，與待測量本身沒有直接聯(lián)系，而是

15、取決于實驗方法的采用和實驗儀器、儀 表的選用。比方，用伏安法測電阻時，電阻是間測量；而當使用歐姆表和電橋作 測量儀器時，電阻為直測量。4. 真值：被測物理量所具有的、客觀的、真實的數(shù)值。記為X。嚴格地講， 真值只是一個理想化定義，真值是不能獲得的。5. 測量值：被測物理量通過測量所獲得的數(shù)值。記為X。一般地，X總是不會等于真值的，只能接近真值。6. 平均值：在相同條件下，對某物理量進行的一組 n次測量的值X1、X2、 X3、之和再除以測量次數(shù)n。記為X。即1 nXX i。n i 4對這組測量來講，X是最接近真值的，故又稱為測量的最正確值或近真值。它與真 值的關(guān)系為lim X = X0。n 二因

16、此，常用X代替Xoj7. 誤差：測量值Xi與真值X0之差。記為*。即；j-X0。由于真值是不能獲得的，因此，嚴格的誤差也是不能求得的。8. 偏差(殘差)：測量值Xi與平均值X之差。記為j即 X 二 Xi-X。由于可用X近似代替X。，故通常也可用代替；i。即，一般情況下，我們 說的誤差都是指的偏差。三、誤差的分類研究測量誤差是物理實驗的重要內(nèi)容，在物理實驗中，由于測量對象、測量 儀器、實驗方法、測量環(huán)境、觀測者等因素的作用，測量結(jié)果與真值之間總存在 一定的差值。根據(jù)引起誤差的主要因素的不同，一般將誤差分為系統(tǒng)誤差、隨機 誤差和疏失誤差三大類。這種劃分及其相應的概念，雖然與現(xiàn)在廣泛采用的描述 測量

17、結(jié)果的不確定度概念之間不一定存在簡單的對應關(guān)系，甚至有些概念還是不 太嚴格的。但是作為思維和理解的根底，還是作一了解為好。1. 系統(tǒng)誤差定義：在相同的條件下，屢次測量同一物理量時，假設(shè)誤差的大小及符號都保 持不變或按一定規(guī)律變化，這種誤差稱為系統(tǒng)誤差。特征：系統(tǒng)誤差是具有系統(tǒng)性和方向性的。來源：(1)儀器。由于儀器本身的缺陷或沒有按照規(guī)定條件使用儀器而造成 的，如零點偏離、安裝錯誤、元件老化等。(2) 環(huán)境。實驗條件不能到達理論公式所規(guī)定的要求，如溫度、濕度、 氣壓、電源等條件對實驗條件的偏離。(3) 方法。測量所依據(jù)的理論公式本身的近似，或測量方法所帶來的等。(4) 觀測者。觀測者本身生理或

18、心理特點造成的，如動態(tài)滯后、讀數(shù)有偏大或偏小的痼癖等。規(guī)律：(1)定值。如零點不準。(2) 累積性的。如用受熱的鋼卷尺測長度。(3) 周期性的。如秒表轉(zhuǎn)軸不在表盤的幾何中心。系統(tǒng)誤差是測量誤差的重要組成局部，在任何一項實驗工作和具體測量中， 首先要想方法，最大限度地消除或減少一切可能存在的系統(tǒng)誤差。消除系統(tǒng)誤差，首先要找到引起系統(tǒng)誤差的原因，針對性地采取措施；或者對測量結(jié)果進行修正。 發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差需要改變實驗條件和測量方法，反復進行比照，系統(tǒng)誤差的減小或 消除是比擬復雜的問題。2. 隨機誤差定義：在相同條件下，屢次測量同一物理量時，假設(shè)誤差的大小和符號都不確 定，這種誤差稱為隨機誤差。特征：單

19、次測量的隨機誤差是無法預測的。來源：(1)環(huán)境。如溫度、氣壓等的波動。(2)觀測者。如讀數(shù)不穩(wěn)定。規(guī)律：對單次測量的隨機誤差雖然無法確定，對屢次測量來講，隨機誤差的 分布卻是服從一定的統(tǒng)計分布規(guī)律的。當測量次數(shù)很多時，可近似為統(tǒng)計分布中 的正態(tài)分布。其概率密度函數(shù)的特征如下圖。其中：；為隨機誤差；f ；為誤差分布的概率密度函數(shù)，它表示在誤差為；附近單位誤差間隔內(nèi)出現(xiàn)隨機誤差為；的測量的幾率。了解正態(tài)分布是很有意義的，這一方面是因為實際測量分布很多都可近似為 正態(tài)分布，或是以正態(tài)分布為極限的；另一方面正態(tài)分布是一種連續(xù)型分布，便 于處理，而且對它的研究是比擬全面的，再加之，許多實際分布的處理都是

20、以正 態(tài)分布為根底的。通過對正態(tài)分布情況下誤差的概率密度分布圖的分析可知，正態(tài)分布具有如下三大特點：(1) 單峰性。隨機誤差的絕對值小的測量比絕對值大的測量出現(xiàn)的幾率大。 這一特點說明實際的測量是有意義的。(2) 對稱性。隨機誤差絕對值相等的測量出現(xiàn)的幾率相同。 這一特點告訴我們， 在屢次測量中用測量列的平均值 X代替真值X。是可以的。(3) 有界性。在一定的測量條件下，隨機誤差的絕對值不超過一定限度，這 一特點為我們提供了去除粗大誤差的依據(jù)，以使測量結(jié)果更趨于有意義。分析研究測量的隨機誤差是處理實驗數(shù)據(jù)， 并從中尋找出具有的規(guī)律性的東 西，評定測量結(jié)果的重要內(nèi)容。因此，了解隨機誤差計算的意義

21、，掌握其計算方 法是非常重要的。3. 疏失誤差定義：實驗中，由于實驗設(shè)計、方法的選擇、儀器使用、數(shù)據(jù)讀取和記錄等錯誤引起的測量結(jié)果的明顯歪曲，這種由錯誤引起的誤差叫疏失誤差。由定義可以看出，嚴格地講，疏失誤差應叫作錯誤，它是通過實驗者的主觀 努力能夠克服的。而系統(tǒng)誤差和隨機誤差是客觀的，不可防止的，只能通過實驗 條件的改善和實驗方法的改良予以減小，它們是由客觀環(huán)境和人的感官的局限決 定的。根據(jù)學生實驗的根本要求和主要目的，下面我們將主要討論隨機誤差(簡稱 誤差)的計算問題。第三節(jié)誤差的估算由于物理量的數(shù)值的獲得途徑有直接測量和間接測量兩種，無論直測量，還 是間測量都有誤差，誤差的計算也分兩種情

22、況。廣義地講，兩種情況的處理都屬 于誤差計算。然而，間測量是由直測量決定的，以直測量為根底的，間測量的誤 差是由直測量通過給定的函數(shù)關(guān)系確定的。因此，狹義地講，常把直測量的誤差 計算稱為誤差計算，而將間測量的誤差計算叫誤差傳遞。此外，由于嚴格意義上 的誤差是無法計算的，因而只能通過各種方法進行近似計算，故將誤差計算稱為 誤差的估算，而且可有多種方法進行估算。下面就介紹幾種常用的誤差估算方法。一、直測量的誤差估算1. 算術(shù)平均誤差在測量列中，各次測量的誤差的絕對值的算術(shù)平均值叫算術(shù)平均誤差。記為X。n按定義KX =送Xi -X。n i 二n或 X = Xin i=其中 X Xi - X。當n較大

23、時，可用下式估算為z Xi -XX = fJn(n T )此法比前法得到的偏差要大些。2. 絕對誤差誤差的絕對值叫絕對誤差。狹義的絕對誤差， 如上面的Xi， X。而廣義的 絕對誤差還有后面要討論的Sx，二x，二，Q等。3.絕對誤差與平均值的百分比叫相對誤差，又叫百分誤差。記為Er。其估算方法為Er100%。X廣義地講，后面要討論的Sx、二等都可叫相對誤差。X X3. 標準誤差實驗標準差二 x按定義，標準誤差是測量列中各次誤差的方均根，記為匚X。即.I I i需要注意的是，上式是在測量次數(shù)很多時，測量列按正態(tài)分布時所得到的結(jié)果。 實際上，由于真值無法獲得，而測量次數(shù)也只能是有限的。因此，標準誤差

24、 二x只能通過偏差進行估算。常用的估算方法有：最大偏差法、極差法、Bessel法等，它們的估算結(jié)果根本一致。應用上，一般使用Bessel方法。由統(tǒng)計理論可推導出，對有限次測量的Bessel標準偏差Sx的計算公式n2' Xi -X 。 n -1 i 呂Bessel公式為：1柩 x- E Xi I n -1 i£n lim丿即最后是用Sx代替匚x。通常所說的標準誤差，實際上是 Sx。4. 算術(shù)平均值的標準差算術(shù)平均值的標準差與實驗標準差的關(guān)系為1SxSxVn類似的關(guān)系還冇算術(shù)平均值的平均差與算術(shù)平均差的關(guān)系1XXV n而且 X : 0.80Sx。二、間測量的誤差計算誤差的傳遞上面

25、所討論的誤差計算方法是對直測量而言的，在此根底上我們可以進一步 討論間測量的誤差計算問題。我們知道，間測量是由直測量通過一定的函數(shù)關(guān)系 決定相應的間測量的誤差，它們之間的這種關(guān)系叫誤差的傳遞，相應的計算公式 叫誤差傳遞公式。下面我們首先討論誤差傳遞公式的一般形式，然后再將其運用 于一些具體情況。1. 誤差傳遞公式的一般形式設(shè)間接測量量f與彼此獨立的直接測量量x、y、z只取3個間的函數(shù)關(guān)系為f = fx,y,z測量結(jié)果用平均值和絕對誤差表示為x = x - x其中,f = f x, y,z。將f x,y,z在x, y, z點按泰勒級數(shù)展開有-z-:z_ _ _f-f_f x,y,z = f x,

26、y,z x-x y-y ；x；y+高階小量將此結(jié)果與前面假定關(guān)系式f二f 一廿比擬，忽略高階小量，并考慮到誤差傳遞 中通過組合可能產(chǎn)生的最大值，取間測量的絕對誤差為-y相對誤差為訐=ex :x-'z根據(jù)標準差的定義，由上述展開式，在考慮到x, y,z是彼此獨立的情況，可相對形式為其中蘭、蟲丄分別為蘭、血丄在x,y,z A處的*exexexex為了較好地使用標準誤差的傳遞公式，需要說明的是：1如果f由x, y, z按加減關(guān)系確定時，常用標準誤差傳遞的絕對形式計2如果f由x, y,z按乘除住系請定時，常廠i吳養(yǎng)傳遞.的相燉療式計車3如果x, y, z彼此不獨立，還需計算相關(guān)系數(shù)協(xié)方差。例如

27、：假設(shè)f =xy , 當x = y 僅數(shù)值相等時的誤差傳遞，與取x = y x與y完全相關(guān)后f =x2的 誤差傳遞是不一樣的。因為，當f = x *y時有再取x二y時，化為二、2壬而當fx=x2時x可見，前者在取X二y時，僅為數(shù)值上相等，而它們?nèi)允潜诵┆毩⒌膬蓚€變量；而 后者，那么為完全相關(guān)，即X與y為同一個變量了，故結(jié)果也不一樣了。2 誤差傳遞公式的具體形式為了實際計算方便，我們將一些常見函數(shù)關(guān)系確定的誤差傳遞公式列于下函數(shù)關(guān)系一般誤差傳遞公式標準差傳遞公式f = x ± yf = Ax + Ay0f =店；十砒f =x *yfAx 十 Ayfxyf =kxAf =k5 =kjf

28、=vxf1Ax fkxaf _1 J f 一 k * xxpyq f -：zfZAyAz=p +q 十 r fxyz何丫何丫 U2 ix丿丿iz丿f =sin xf = cosxpxf = C0SXCrxf = l n xAf =xj x第四節(jié)測量結(jié)果的評定在對物理量進行測量后，應對測量結(jié)果作出正確的、合理的評定與表述，在 給出最后結(jié)果時，不僅要給出被測物理量的最正確值，還要指出其具有一定置信水 平的測量值對真值的取值范圍，這是很重要的。至今為止，已建立的評定方法有兩種，可稱之為傳統(tǒng)方法和現(xiàn)代方法。傳統(tǒng) 方法討論的是已定系統(tǒng)誤差已被盡可能地消除了或減少了或修正了，主要是估算 隨機誤差，不考慮未

29、定系統(tǒng)誤差如由觀測對象引起的誤差；現(xiàn)代方法不 確定度，那么能全面地分析各種因素對誤差的影響，進而進行統(tǒng)一評定。下面首先討論上述兩種評定方法，其后再介紹測量結(jié)果的表述和相應的置 信水平。一、 傳統(tǒng)的評定方法評定測量結(jié)果的傳統(tǒng)方法，通常是用精密度、準確度和精確度三個概念來說 明。1 精密度：描述測量可重復性的程度， 是指重復測量所得結(jié)果相互接近的程 度。它反映了隨機誤差的大小，測量的精密度高，是指測量數(shù)據(jù)比擬集中，那么測 量的重復性好，各次測量結(jié)果誤差的分布密集，隨機誤差較小。因此，精密度反 映了隨機誤差對測量影響的大小?？捎蓽y量儀器的最小測量單位確定。2 準確度：是指測量值與真值之間符合的程度。

30、它反映了系統(tǒng)誤差的大小， 測量的準確度高，是指測量數(shù)據(jù)的平均值偏離真值較小，測量結(jié)果與真值接近的 程度好，測量結(jié)果的系統(tǒng)誤差較小。因此，準確度反映的是系統(tǒng)誤差對測量影響 的大小。由于可知的系統(tǒng)誤差可以修正，因此準確度一般表示儀器誤差的大小，測量 儀器和測量方法一經(jīng)選定，測量的準確度就確定了。用同一臺儀器對同一物理量 進行屢次測量，只能確定其重復性的好壞，而不能確定其準確度；一臺儀器的精 密度高不一定準確度高， 如果是一臺比擬粗糙的儀器， 也能做到測量的精密度高， 但儀器本身和測量方法限制了測量的準確度；使用準確度高的儀器，有時即使測 量的精密度較低，其測量結(jié)果也有可能是準確的。3精確度：是對測

31、量的隨機誤差與系統(tǒng)誤差的綜合評定，是綜合評定測量 結(jié)果的重復性與接近真值的程度的。測量的精確度高，是指測量數(shù)據(jù)比擬集中在 真值附近，即測量的系統(tǒng)誤差和隨機誤差都比擬小。 精密度高， 不一定準確度高 反之，準確度高，不一定精密度高。而精確度高就是精密度和準確度都高。以上 定義都與真值相連，但是，由于真值是一個理想化的概念，無法直接定義操作， 而且上述評價方式都為定性概念，在應用上準確度很難定量化。二、不確定度的評定方法關(guān)于測量的不確定度，國內(nèi)外早就有人使用，只是因為對其概念和計算沒有 形成統(tǒng)一規(guī)定，處于混亂狀態(tài)，無法進行交流。為了解決這一問題，一九八零年 國際計量局召集了一個國家標準實驗室的專家

32、進行合作研究，討論提出了?實 驗不確定度的規(guī)定建議書?，經(jīng)過進一步研究后，又于1993年提出了“測量不確 定度表示指南。現(xiàn)在，國際上已開始廣泛使用。(一) 不確定度的概念1. 不確定度：用于表示測量結(jié)果可能出現(xiàn)的具有一定置信水平的誤差范圍的 量。常記為二。由定義可見，此概念是一個更全面、更準確的概念。其實，我們后面將要討 論的X，衣，Sx等都局部地具有這樣的作用和含義。2. 說明：(1) 二的大小反映了測量結(jié)果的可信賴的程度。二小,說明測量更接近真值， 可信程度高。測量誤差在所確定的范圍內(nèi)出現(xiàn)的可能性是很大的，但不一定為100%(2) 不確定度的產(chǎn)生原因不僅涉及測量儀器、測量裝置、測量方法、環(huán)

33、境和 觀測者，還包括測量對象的影響。即涉及整個測量系統(tǒng)。(3) 不確定的數(shù)值一般包含幾個分量，按照它們的數(shù)值評定方式，可分為兩 類，常稱為A類和B類。即，A類 用統(tǒng)計方法確定的分量；B類一一用其他方法確定的分量?？梢?，要計算不確定度，首先要求出所有的A類和B類分量，然后再合成不 確定度二。3. 不確定度與誤差的關(guān)系不確定度是在誤差理論的根底上開展起來的。不確定度和誤差既是兩個不同 的概念，有時相互聯(lián)系的。誤差是一個理想化的概念。根據(jù)傳統(tǒng)的誤差定義，由于真值是未知的，那么誤 差也是未知的，是不可能準確求得的。因此，一般無法表示測量結(jié)果的誤差。不 確定度那么是表示由于誤差的存在而對被測量值不能確定

34、的程度，反映了可能存在 的誤差分布范圍，表征被測量的真值所處的量值范圍的評定，所以不確定度能夠 更準確的用于測量結(jié)果的表示。誤差和不確定度都是由測量過程的不完善引起的，不確定度概念和體系是在 現(xiàn)代誤差理論的根底上建立和開展起來的，在估算不確定度時，用到了描述誤差 分布的一些特征參量，因此兩者不是割裂的。不確定度的引入并不意味著誤差需放棄使用。實際上，誤差仍可用于定性的描述理論和概念的場合；不確定度那么用于給出具體數(shù)值或進行定量運算、分析的 場合。(二) 不確定度的計算1 A類分量的計算按照國際計量局發(fā)布的“實驗不確定度的規(guī)定建議書第2條規(guī)定，用標準差來表征A類分量的數(shù)值，相應的計算公式前面已討

35、論了。2. B類分量的計算按照“建議書第3條之規(guī)定，B類分量的數(shù)值用近似標準差Uj來表征。 規(guī)定為測量的極限誤差,.：Bj與的或假定的測量誤差的統(tǒng)計分布規(guī)律所對應的 分布因子KB.之商。即Uj'：Bj爲那么，*和Kb如何確定呢？jjKb確實定jKb.的意義為，對一組測量乂 并知道其分布規(guī)律，如果取誤差范圍為KB Sx，那么落在此誤差范圍的測量的幾率置信水平為P%可見，要確定KB， 應先知道測量的誤差分布規(guī)律，還要確定測量所要求的置信水平。對具體實驗， Kb.的一般確定方法為：Ja. 如果某組測量的次數(shù)很多，而誤差的數(shù)值相差不大，可將其分布視為正態(tài) 分布，那么當 KB=1 時，P=68.

36、3;當 KB =2時，P=95.4;當 KB =3時，P=99.7。一 般取 Kb. =2或 Kb. =3。b. 如果測量在一定范圍內(nèi)各處出現(xiàn)的幾率差不多，可近似為均勻分布。例如,用數(shù)字式儀表、帶傳動齒輪的儀器測量時，其讀數(shù)在一定區(qū)間為一個定值，故其 誤差分布為均勻分布。只要取 KBj =、3，就可使P：TOO；c. 對于不能確切掌握的誤差分布如測量次數(shù)不多時，可近似為均勻分布。 如果取Kb.= 3，也可使置信水平到達較高程度。可見，均勻分布是物理實驗中 的一種重耍分彳仁2gj旳禎定亠.是指實驗中所涉及儀器引起的最大誤差，其具體計算通常是很復雜的。一股悄況可按如下方法確定ca. 可直接取儀器出

37、廠檢定書或儀器上注明的儀器的誤差。即二Bj =匚儀。b. 對量具儀表可取其最小刻度的一半。即亠=最小刻度/2。jC.對電子類儀表可由其準確度級別 K和量程確定為二 B.=量程 X K%j其中K的值標在儀器上，有 0.1、0.5、1.0、1.5、2.0、2.5等。3.合成不確定度T合成方法：不同類分量按方和根合成；同類獨立分量按方和根合成，否那么還 需計算協(xié)方差。下面討論簡單情況下的計算方法。設(shè)測量結(jié)果的不確定度的 A分量和B分量的表征值分別為S 1、S2、$、 ；U 1、U、4、；且彼此獨立，那么S2=e s2。u 2=e u2。 合成不確定度為c =s - u 2。(T = . s2 U 2

38、。當進行的測量只有一次時，取 s=o,那么c =U=二 Bj / K Bj?？梢宰C明，對均勻分布情況，此結(jié)果的 c與標準差相同，均為c = p (b _ a )。J12其中，b - a為儀器的最小分度值。4. 總不確定度(又叫展伸不確定度)總不確定度為合成不確定度c乘以一個分布因子K)。即Q=K p c。在特殊情況下，需要用總不確定度表示測量結(jié)果時，應指明&的值。K p的值由測量的誤差分布規(guī)律決定，一般界于正態(tài)分布與均勻分布之間，可 取 W3,這與要求的置信水平有關(guān)。例如，要求 P=95時，可取K=2。5. 不確定度的傳遞不確定度的A分量、B分量和合成不確定度c的傳遞滿足標準差的傳遞關(guān)

39、系 (如何計算？步驟怎樣?)6. 應用條件(1) 不考慮過失誤差。(2) 不考慮規(guī)律性變化的系統(tǒng)誤差。二、測賢結(jié)果的表述_設(shè)待測量為f，平均值為f，算術(shù)平均差為f，標準差為Sf，不確定度為 J，總不確定度為Qf，貝U測量結(jié)果表示為f =f 土 訐(57.5%)f = f ± Sf(68.3%)f = f 土二 ff = f ± Qf = f ± Sf。一般情況下，計算f和不確定度時，不確定度的數(shù)值只保存 1位，最多不超過兩 位。例1:用毫米刻度的米尺，測量物體長度十次，其測量值分別為l (cm)=53.27，53.25，53.23，53.29，53.24，53.2

40、8，53.26，53.20，53.24，53.21 試計算合成不確定度，并寫出測量結(jié)果。解:1 計算I的近真值1 101Ili (53.2753.25 53.23 巧3.21) = 53.24(cm)n 1102. 計算A類不確定度c j 1 * 2_=7'(53.27 53.24)2 +(53.25 53.24)2 + +(53.21 53.24)2si = ：2-i _ X )=十n -1 i 110 -1二 0.03(cm)3.4.5.計算B類不確定度BjBj最小刻度/230.05cm=0.03 cm合成不確定度J -；'Sl2= .0.032 0.032 =0.04(c

41、m)測量結(jié)果的標準式為I =53.24 ± 0.04(cm)第五節(jié)有效數(shù)字及其運算實驗離不開測量，測量是借助儀器讀取數(shù)據(jù)，測量的結(jié)果總有誤差。那么, 實驗中如何讀取數(shù)據(jù)，測得的數(shù)據(jù)如何進行運算，才能既方便，又具有合理的準 確度呢？這就是有效數(shù)字及其運算所要討論的問題。下面就作簡要介紹。一、冇敎數(shù)字的意義1.在實驗中，使用儀器讀取待測量的數(shù)值時，所讀取的數(shù)字的準確程度直接 受儀器本身的精密度一一最小刻度的限制。為了獲得較好的測量結(jié)果，在讀取數(shù) 字時，我們通常的作法是：首先讀出能夠從儀器上直接讀出的準確數(shù)字，對余下 局部再進行估計讀數(shù)。即將讀數(shù)過程分為直讀和估讀。例如，如圖2所示，用米尺

42、測量一物體的長度時，物體的長度在7.47.5厘米之間。那么首先直讀，可以 直接讀出的局部準確數(shù)字應為 7.4cm ;然后估讀，估計余下局部約為 0.5mm即0.05cm;物體的長度為7.45cm。貝匚其中7.4cm局部為可靠數(shù)字，0.05cm部 分為存疑數(shù)字。2. 效數(shù)字的定義我們把通過直讀獲得的準確數(shù)字叫做可靠數(shù)字；把通過估讀得到的那局部數(shù) 字叫做存疑數(shù)字。把測量結(jié)果中能夠反映被測量大小的帶有一位存疑數(shù)字的全部 數(shù)字叫有效數(shù)字。如上例中測得物體的長度7.45cm。數(shù)據(jù)記錄時，我們記錄的數(shù)據(jù)和實驗結(jié)果的表述中的數(shù)據(jù)便是有效數(shù)字。3. 說明(1) 實驗中的數(shù)字與數(shù)學上的數(shù)字是不一樣的。如8.35

43、=8.350=8.3500 ,8.35 工 8.350 工 8.3500。(2) 有效數(shù)字的位數(shù)與被測量的大小和儀器的精密度有關(guān)。如前面長度為 7.45cm的物體，假設(shè)用千分尺來測，其有效數(shù)字的位數(shù)有五位。(3) 第一個非零數(shù)字前的零不是有效數(shù)字。(4) 第一個非零數(shù)字開始的所有數(shù)字(包括零)都是有效數(shù)字。(5) 單位的改變不影響有效數(shù)字的位數(shù)。因此，實驗中要求盡量使用科學計數(shù)法表示數(shù)據(jù)。女口 100.2m可記為0.1002km。但假設(shè)用cm和mm作單位時，為10020cm 和100200mm就改變了有效數(shù)字的位數(shù)。采用科學計數(shù)法就不會產(chǎn)生這個問題了。即1.002 102m=1.002 104

44、km=1.002 104 cm=l.002 105mm(6) 有效數(shù)字與不確定度的關(guān)系。有效數(shù)字的末位是估讀數(shù)字，存在不確定性。一般我們的不確定度的有效數(shù) 字只取一位時，任何測量結(jié)果，其數(shù)值的最后一位應與不確定度所在的那一位對 齊。由于有效數(shù)字的最后一位是不確定度所在位，因此有效數(shù)字在一定程度上 反映了測量值的不確定度(或誤差限值)。測量值的有效數(shù)字位數(shù)越多，測量的相 對不確定度越?。挥行?shù)字位數(shù)越少，相對不確定度就越大。一般來說，兩位有 效數(shù)字對應于10-110-2的相對不確定度，三位有效數(shù)字對應于10-210-3的相對不確定度，依次類推?？梢姡行?shù)字可以粗略反映測量結(jié)果的不確定度。二、運

45、算規(guī)那么一般來講，有效數(shù)字的運算過程中，有很多規(guī)那么。為了應用方便，我們本著實用的原那么，加以選擇后，將其歸納整理為如下兩類。1.(1) 可靠數(shù)字之間運算的結(jié)果為可靠數(shù)字。(2) 可靠數(shù)字與存疑數(shù)字，存疑數(shù)字與存疑數(shù)字之間運算的結(jié)果為存疑數(shù)字。(3) 測量數(shù)據(jù)一般只保存一位存疑數(shù)字。(4) 運算結(jié)果的有效數(shù)字位數(shù)不由數(shù)學或物理常數(shù)來確定，數(shù)學與物理常數(shù)的 有效數(shù)字位數(shù)可任意選取，一般選取的位數(shù)應比測量數(shù)據(jù)中位數(shù)最少者多取一位。1例如：可取二=3.14或3.142或3.1416；但在公式 E 1 mv2中計算結(jié)果 2不能由于“ 2的存在而只取一位存疑數(shù)字，而要根據(jù)m和v來決定。(5) 運算結(jié)果將

46、多余的存疑數(shù)字舍去時應按照“四舍六入五湊偶的法那么進行 處理。即小于四那么舍；大于六的入；等于五時， 根據(jù)其前一位按奇入偶舍處理(等 幾率原那么)。例如，3.62化為3.62，4.2理那么化為4.24。3. 具體規(guī)那么(1) 有效數(shù)字相加(減)的結(jié)果的末位數(shù)字所在的位置應按各量中存疑數(shù)字所 在數(shù)位最前的一個為準來決定。例如30.4 _26.65_+ 4.325 _- 3.905_34.725_22.745取 30.4+4.325=34.乙 26.65-305=22.74_：(2) 乘(除)運算后的有效數(shù)字的位數(shù)與參與運算的數(shù)字中有效數(shù)字位數(shù)最少 的相同。由此規(guī)那么(2)可推知：乘方、開方后的有

47、效數(shù)字位數(shù)與被乘方和被開方之數(shù) 的有效數(shù)字的位數(shù)相同。(3) 指數(shù)、對數(shù)、三角函數(shù)運算結(jié)果的有效數(shù)字位數(shù)由其改變量決定。 例如： 35.580中存疑數(shù)字為0.08，那么Sin35.58°= ?我們將35.58°的末位數(shù)改變1后比 較，找出Sin35.580發(fā)生改變的位置就能得知。因為， Sin35.580.58183911，而 Sin35.590 =0.58198105，那么 Sin35.580 =0.5818。(4) 有效數(shù)字位數(shù)要與不確定度位數(shù)綜合考慮。一般情況下，表示最后結(jié)果的不確定度的數(shù)值只保存1位，而最后結(jié)果的有效數(shù)字的最后一位與不確定度所在的位置對齊。如果實驗測

48、量中讀取的數(shù)字沒有 存疑數(shù)字，不確定度通常需要保存兩位。但要注意：具體規(guī)那么有一定適用范圍，在通常情況下，由于近似的原因，如 不嚴格要求可認為是正確的。第六節(jié)數(shù)據(jù)處理的根本方法 前面我們已經(jīng)討論了測量與誤差的根本概念，測量結(jié)果的最正確值、誤差和不 確定度的計算。然而，我們進行實驗的最終目的是為了通過數(shù)據(jù)的獲得和處理， 從中揭示出有關(guān)物理量的關(guān)系，或找出事物的內(nèi)在規(guī)律性，或驗證某種理論的正 確性，或為以后的實驗準備依據(jù)。因而，需要對所獲得數(shù)據(jù)進行正確的處理，數(shù) 據(jù)處理貫穿于從獲得原始數(shù)據(jù)到得出結(jié)論的整個過程。包括記錄、整理、計算、 作圖、分析等方面的處理方法。常用的方法有：列表法、圖示法、圖解法

49、、逐差 和最小二乘法線性擬合等，下面分別予以簡單討論。一、列表法列表法是將實驗所獲得的數(shù)據(jù)用表格的形式進行排列的處理方法。列表法的作用有兩種：一是記錄實驗數(shù)據(jù)，二是能顯示出物理量間的對應關(guān)系。 其優(yōu)點是, 能對大量的雜亂無章的數(shù)據(jù)進行歸納整理，使之既有條不紊，又簡明醒目；既有 助于表現(xiàn)物理量之間的關(guān)系，又便于及時地檢查和發(fā)現(xiàn)實驗數(shù)據(jù)是否合理，減少 或防止錯誤；同時，也為作圖法等處理數(shù)據(jù)奠定了根底。用列表的方法記錄和處理數(shù)據(jù)是一種良好的科學工作習慣，要設(shè)計出一個欄 目清楚、行列清楚的表格，也需要在實驗中不斷訓練，逐步掌握、熟練，并形成 習慣。一般來講，在用列表法處理數(shù)據(jù)時，應遵從如下原那么：(1

50、)欄目條理清楚，簡單明了，便于顯示有關(guān)物理量的關(guān)系。(2) 在欄目中，應給出有關(guān)物理量的符號，并標明單位 (一般不重復寫在每個 數(shù)據(jù)的后面)。(3) 填入表中的數(shù)字應是有效數(shù)字。(4) 必要時要加以說明。例如，用螺旋測微計測量鋼球直徑的數(shù)據(jù)列表處理如下。用螺旋測微計測量鋼球直徑的數(shù)據(jù)記錄:二 0.004mm次數(shù)初讀數(shù)(mm)未讀數(shù)(mm)直徑(mm)偏差(mm)10.0046.0025.998+0.001320.0036.0005.997+0.000330.0046.0005.996-0.000740.0046.0015.997+0.000350.0056.0015.996-0.000760.

51、0046.0005.996-0.000770.0046.0015.997+0.000380.0036.0025.999+0.002390.0056.0005.995-0.0017100.0046.0005.996-0.0007從表中，可計算出D 二n二 5.9967 mm取 D 5.997mm, Di - D。不確度的A分量為運算中D保存兩位存疑數(shù)字SD ='n -1:0.0011 mmB分量為按均勻分布A-.3:0.0023 mm那么 <i=JsD+uD 肚 0.0026mm以 ：.=0.003 mm測量結(jié)果為 D =5.997 一 0.003 mm。二、圖示法圖示法就是用圖線

52、來表示物理規(guī)律的一種實驗數(shù)據(jù)處理方法。物理規(guī)律既可用解析函數(shù)關(guān)系表示，又可用圖線來表示，圖示法的優(yōu)點是直 觀、形象、便于比擬、易于顯示物理量的關(guān)系。一條圖線上可以有無數(shù)組數(shù)據(jù)， 可以方便地進行內(nèi)插和外推，特別是對那些尚未找到解析函數(shù)表達式的實驗結(jié)果, 可以從圖示法所畫出的圖線中尋找到相應的經(jīng)驗公式。因此，圖示法是處理實驗 數(shù)據(jù)的好方法。要怕制作一幅完幣血止確的圖線,必須遵循如卜原那么及步縣1. 選擇適宜的坐標紙。作圖一定要用坐標紙，常用的坐標紙有直角坐標紙、 雙對數(shù)坐標紙、單對數(shù)坐標紙、極坐標紙等。選用的原那么是盡量讓所作圖線呈直 線，有時還可采用變量代換的方法將圖線作成直線。2. 確定坐標的

53、分度和標記。一般用橫軸表示自變量，縱軸表示因變量，并標明各坐標軸所代表的物理量及其單位可用相應的符號表示。坐標軸的分度要根 據(jù)實驗數(shù)據(jù)的有效數(shù)字及對結(jié)果的要求來確定。原那么上，數(shù)據(jù)中的可靠數(shù)字在圖 中也應是可靠的。即不能因作圖而引進額外的誤差。在坐標軸上應每隔一定間距 均勻地標出分度值，標記所用有效數(shù)字的位數(shù)應與原始數(shù)據(jù)的有效數(shù)字的位數(shù)相 同，單位應與坐標軸單位一致。要恰中選取坐標軸比例和分度值，使圖線充分占 有圖紙空間，不要縮在一邊或一角。除特殊需要外，分度值起點可以不從零開始， 橫、縱坐標可采用不同比例。3. 描點。根據(jù)測量獲得的數(shù)據(jù)，用一定的符號在坐標紙上描出坐標點。一張圖紙上畫幾條實驗

54、曲線時，每條曲線應用不同的標記，以免混淆。常用的標記符 號有。、+、X、A、等。4. 連線。要繪制一條與標出的實驗點根本相符的圖線，圖線盡可能多的通過 實驗點，由于測量誤差，某些實驗點可能不在圖線上，應盡量使其均勻地分布在 圖線的兩側(cè)。圖線應是直線或光滑的曲線或折線。5. 注解和說明。應在圖紙上標出圖的名稱，有關(guān)符號的意義和特定實驗條件。 如，在繪制的熱敏電阻-溫度關(guān)系的坐標圖上應標明“電阻一溫度曲線 ；“ + 實驗值 ；“ X理論值；“實驗材料：碳膜電阻等。三、圖解法圖解法是在圖示法的根底上，利用已經(jīng)作好的圖線，定量地求出待測量或某 些參數(shù)或經(jīng)驗公式的方法。由于直線不僅繪制方便，而且所確定的

55、函數(shù)關(guān)系也簡單等特點，因此，對非 線性關(guān)系的情況，應在初步分析、把握其關(guān)系特征的根底上，通過變換變量的方 法將原來的非線性關(guān)系化為新變量的線性關(guān)系。即,將“曲線化直。然后再使用圖解法。下面僅就直線情況簡單介紹一以下圖解法的一般步驟：1. 選點。通常在圖線上選取兩個點，所選點一般不用實驗點，并用與實驗點 不同的符號標記，此兩點應盡量在直線的兩端。如記為Axi,yi和Bx2,y2，并用“ + 2. 求斜率。根據(jù)直線方程y=a+bx，將兩點坐標代入，可解出圖線的斜率 為b»yi。X2 _Xr3. 求與y軸的截距?？山獬?X2% -x2 a _X2 為X2% -細2。4. 求與X軸的截距。記為X。y2 - yi例如，用圖示法和圖解法處理熱敏電阻的電阻Rt隨溫度T變化的測量結(jié)果。(1) 曲線化直：根據(jù)理論，熱敏電阻的電阻一溫度關(guān)系為Rt ae T。為了方便地使用圖解法，應將其轉(zhuǎn)化為線性關(guān)系，取對數(shù)有丄bIn Rt = ln a 01令 y = I n Rt , a = n a , x ，有y =a bx。這樣