特征值和特征向量的物理意義

1、特征向量體現(xiàn)樣本之間的相關(guān)程度，特征值則反映了散射強(qiáng)度。特征向量的幾何意義.矩陣(既然討論特征向量的問(wèn)題.當(dāng)然是方陣.這里不討論廣義特征向量的概念)乘以一個(gè)向量的結(jié)果仍是同維數(shù)的一個(gè)向量.因此.矩陣乘法 對(duì)應(yīng)了一個(gè)變換.把一個(gè)向量變成同維數(shù)的另一個(gè)向量.那么變換的效果是什么呢?這當(dāng)然與方陣的構(gòu)造有密切關(guān)系.比如可以取適當(dāng)?shù)亩S方陣.使得這個(gè)變換的 效果就是將平面上的二維向量逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30度.這時(shí)我們可以問(wèn)一個(gè)問(wèn)題.有沒(méi)有向量在這個(gè)變換下不改變方向呢?可以想一下.除了零向量.沒(méi)有其他向量可以在平面上旋轉(zhuǎn)30度而不改變方向的.所以這個(gè)變換對(duì)應(yīng)的矩陣(或者說(shuō)這個(gè)變換自身)沒(méi)有特征向量(注意:特征向量

2、不能 是零向量).所以一個(gè)變換的特征向量是這樣一種向量.它經(jīng)過(guò)這種特定的變換后保持方向不變.只是進(jìn)行長(zhǎng)度上的伸縮而已(再想想特征向量的原始定義Ax= cx.你就恍然大悟了.看到了嗎?cx是方陣A對(duì)向量x進(jìn)行變換后的結(jié)果.但顯然cx和x的方向相同).而且x是特征向量的話.ax也是特征向量(a是標(biāo) 量且不為零).所以所謂的特征向量不是一個(gè)向量而是一個(gè)向量族. 另外.特征值只不過(guò)反映了特征向量在變換時(shí)的伸縮倍數(shù)而已.對(duì)一個(gè)變換而言.特征向量指明的方向才是很重要的.特征值不是那么重要.雖然我們求這兩個(gè)量時(shí) 先求出特征值.但特征向量才是更本質(zhì)的東西!比如平面上的一個(gè)變換.把一個(gè)向量關(guān)于橫軸做鏡像對(duì)稱變換

3、.即保持一個(gè)向量的橫坐標(biāo)不變.但縱坐標(biāo)取相反數(shù).把這個(gè)變換表示為矩陣就是1 0,0 -1.其中分號(hào)表示換行.顯然1 0,0 -1a b=a -b.其中上標(biāo)表示取轉(zhuǎn)置.這正是我們想要的效果.那么現(xiàn)在可以猜一下了.這個(gè)矩陣的特征向量是什么?想想什么向量在這個(gè)變換下保持方向不變.顯 然.橫軸上的向量在這個(gè)變換下保持方向不變(記住這個(gè)變換是鏡像對(duì)稱變換.那鏡子表面上(橫軸上)的向量當(dāng)然不會(huì)變化).所以可以直接猜測(cè)其特征向量是 a 0(a不為0).還有其他的嗎?有.那就是縱軸上的向量.這時(shí)經(jīng)過(guò)變換后.其方向反向.但仍在同一條軸上.所以也被認(rèn)為是方向沒(méi)有變化。綜上，特征值只不過(guò)反映了特征向量在變換時(shí)的伸縮

4、倍數(shù)而已，對(duì)一個(gè)變換而言，特征向量指明的方向才是很重要的，特征值似乎不是那么重要；但是，當(dāng)我們引用了Spectral theorem（譜定律）的時(shí)候，情況就不一樣了。Spectral theorem的核心內(nèi)容如下：一個(gè)線性變換（用矩陣乘法表示）可表示為它的所有的特征向量的一個(gè)線性組合，其中的線性系數(shù)就是每一個(gè)向量對(duì)應(yīng)的特征值，寫(xiě)成公式就是：T(V)=1(V1.V)V1+2(V2.V)V2+3(V3.V)V3+.從這里我們可以看出，一個(gè)變換（矩陣）可由它的所有特征向量完全表示，而每一個(gè)向量所對(duì)應(yīng)的特征值，就代表了矩陣在這一向量上的貢獻(xiàn)率說(shuō)的通俗一點(diǎn)就是能量（power），至此，特征值翻身做主人，

5、徹底掌握了對(duì)特征向量的主動(dòng)：你所能夠代表這個(gè)矩陣的能量高低掌握在我手中，你還吊什么吊？我們知道，一個(gè)變換可由一個(gè)矩陣乘法表示，那么一個(gè)空間坐標(biāo)系也可視作一個(gè)矩陣，而這個(gè)坐標(biāo)系就可由這個(gè)矩陣的所有特征向量表示，用圖來(lái)表示的話，可以想象就是一個(gè)空間張開(kāi)的各個(gè)坐標(biāo)角度，這一組向量可以完全表示一個(gè)矩陣表示的空間的“特征”，而他們的特征值就表示了各個(gè)角度上的能量（可以想象成從各個(gè)角 度上伸出的長(zhǎng)短，越長(zhǎng)的軸就越可以代表這個(gè)空間，它的“特征”就越強(qiáng)，或者說(shuō)顯性，而短軸自然就成了隱性特征），因此，通過(guò)特征向量/值可以完全描述某一 幾何空間這一特點(diǎn)，使得特征向量與特征值在幾何（特別是空間幾何）及其應(yīng)用中得以發(fā)

6、揮。關(guān)于特征向量（特別是特征值）的應(yīng)用實(shí)在是太多太多，近的比如俺曾經(jīng)提到過(guò)的PCA方法，選取特征值最高的k個(gè)特征向量來(lái)表示一個(gè)矩陣，從而達(dá)到降維分 析+特征顯示的方法；近的比如Google公司的成名作PageRank，也是通過(guò)計(jì)算一個(gè)用矩陣表示的圖（這個(gè)圖代表了整個(gè)Web各個(gè)網(wǎng)頁(yè)“節(jié)點(diǎn)”之間的關(guān)聯(lián)）的特征向量來(lái)對(duì)每一個(gè)節(jié)點(diǎn)打“特征值”分；再比如很多人臉識(shí)別，數(shù)據(jù)流模式挖掘分析等方面，都有應(yīng)用，有興趣的兄弟可以參考IBM的Spiros 在VLDB 05，SIGMOD 06上的幾篇文章。特征向量不僅在數(shù)學(xué)上，在物理，材料，力學(xué)等方面（應(yīng)力、應(yīng)變張量）都能一展拳腳，有老美曾在一本線代書(shū)里這樣說(shuō)過(guò)“有

7、振動(dòng)的地方就有特征值和特征向量”，確實(shí)令人肅然起敬+毛骨悚然.特征值就是那個(gè)矩陣所對(duì)應(yīng)的一元多次方程組的根特征值表示一個(gè)矩陣的向量被拉伸或壓縮的程度,例如特征值為1111111111,則表示經(jīng)過(guò)變換以后,向量沒(méi)有被拉伸,在物理上表示做剛體運(yùn)動(dòng),相當(dāng)與整體框架做了變動(dòng),但內(nèi)部結(jié)構(gòu)沒(méi)有變化.量子力學(xué)中,矩陣代表力學(xué)量,矩陣的特征向量代表定態(tài)波函數(shù),矩陣的特征植代表力學(xué)量的某個(gè)可能的觀測(cè)值。一個(gè)向量（或函數(shù)）被矩陣相乘，表示對(duì)這個(gè)向量做了一個(gè)線性變換。如果變換后還是這個(gè)向量本身乘以一個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)就叫特征值。這是特征值的數(shù)學(xué)涵義；至于特征值的物理涵義，根據(jù)具體情況有不同的解釋。比如動(dòng)力學(xué)中的頻率，

8、穩(wěn)定分析中的極限荷載，甚至應(yīng)力分析中的主應(yīng)力矩陣的特征值要想說(shuō)清楚還要從線性變換入手，把一個(gè)矩陣當(dāng)作一個(gè)線性變換在某一組基下的矩陣，最簡(jiǎn)單的線性變換就是數(shù)乘變換，求特征值的目的就是看看一個(gè)線性變換對(duì)一些非零向量的作用是否能夠相當(dāng)于一個(gè)數(shù)乘變換，特征值就是這個(gè)數(shù)乘變換的變換比，這樣的一些非零向量就是特征向量，其實(shí)我們更關(guān)心的是特征向量，希望能把原先的線性空間分解成一些和特征向量相關(guān)的子空間的直和，這樣我們的研究就可以分別限定在這些子空間上來(lái)進(jìn)行，這和物理中在研究運(yùn)動(dòng)的時(shí)候?qū)⑦\(yùn)動(dòng)分解成水平方向和垂直方向的做法是一個(gè)道理！用matlab求矩陣最大特征值的特征向量用函數(shù)V,D=eig(A)矩陣D的對(duì)角

9、元存儲(chǔ)的是A的所有特征值，而且是從小到大排列的矩陣V的每一列存儲(chǔ)的是相應(yīng)的特征向量所以應(yīng)該是V的最后一個(gè)列就是最大特征值的特征向量 特征向量-定義 數(shù)學(xué)上，線性變換的特征向量（本征向量）是一個(gè)非退化的向量，其方向在該變換下不變。該向量在此變換下縮放的比例稱為其特征值（本征值）。圖1給出了一幅圖像的例子。一個(gè)變換通?？梢杂善涮卣髦岛吞卣飨蛄客耆枋觥Ｌ卣骺臻g是相同特征值的特征向量的集合。這些概念在純數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的很多領(lǐng)域發(fā)揮著巨大的作用在線性代數(shù)，泛函分析，甚至在一些非線性的情況中也有著顯著的重要性?！疤卣鳌币辉~來(lái)自德語(yǔ)的eigen。1904年希爾伯特首先在這個(gè)意義下使用了

10、這個(gè)詞，更早亥爾姆霍爾茲也在相關(guān)意義下使用過(guò)該詞。eigen一詞可翻譯為“自身的”，“特定于.的”，“有特征的”或者“個(gè)體的”這強(qiáng)調(diào)了特征值對(duì)于定義特定的變換有多重要?？臻g上的變換如平移(移動(dòng)原點(diǎn))，旋轉(zhuǎn)，反射，拉伸，壓縮，或者這些變換的組合；以及其它變換可以通過(guò)它們?cè)谙蛄可系淖饔脕?lái)顯示。向量可以用從一點(diǎn)指向另一點(diǎn)的箭頭來(lái)表示。矩陣特征向量-性質(zhì)（1） 變換的特征向量是指在變換下不變或者簡(jiǎn)單地乘以一個(gè)縮放因子的非零向量。特征向量的特征值是它所乘的那個(gè)縮放因子。特征空間就是由所有有著相同特征值的特征向量組成的空間，還包括零向量，但要注意零向量本身不是特征向量。變換的主特征向量是對(duì)應(yīng)特征

11、值最大的特征向量。特征值的幾何重次是相應(yīng)特征空間的維數(shù)。有限維向量空間上一個(gè)變換的譜是其所有特征值的集合。例如，三維空間旋轉(zhuǎn)的特征向量是沿著旋轉(zhuǎn)軸的一個(gè)向量，相應(yīng)的特征值是1，相應(yīng)的特征空間包含所有和該軸平行的向量。該特征空間是一個(gè)一維空間，因而特征值1的幾何重次是1。特征值1是旋轉(zhuǎn)的譜當(dāng)中唯一的實(shí)特征值。特征向量-參看：特征平面 例子隨著地球的自轉(zhuǎn)，每個(gè)從地心往外指的箭頭都在旋轉(zhuǎn)，除了在轉(zhuǎn)軸上的那些箭頭?？紤]地球在一小時(shí)自轉(zhuǎn)后的變換：地心指向地理南極的箭頭是這個(gè)變換的一個(gè)特征向量，但是從地心指向赤道任何一處的箭頭不會(huì)是一個(gè)特征向量。因?yàn)橹赶驑O點(diǎn)的箭頭沒(méi)有被地球的自轉(zhuǎn)拉伸，它的特征值

12、是1。另一個(gè)例子是，薄金屬板關(guān)于一個(gè)固定點(diǎn)均勻伸展，使得板上每一個(gè)點(diǎn)到該固定點(diǎn)的距離翻倍。這個(gè)伸展是一個(gè)有特征值2的變換。從該固定點(diǎn)到板上任何一點(diǎn)的向量是一個(gè)特征向量，而相應(yīng)的特征空間是所有這些向量的集合。但是，三維幾何空間不是唯一的向量空間。例如，考慮兩端固定的拉緊的繩子，就像弦樂(lè)器的振動(dòng)弦那樣（圖2.）。振動(dòng)弦的原子到它們?cè)谙异o止時(shí)的位置之間的帶符號(hào)那些距離視為一個(gè)空間中的一個(gè)向量的分量，那個(gè)空間的維數(shù)就是弦上原子的個(gè)數(shù)。如果考慮繩子隨著時(shí)間流逝發(fā)生的變換，它的特征向量，或者說(shuō)特征函數(shù)（如果將繩子假設(shè)為一個(gè)連續(xù)媒介），就是它的駐波也就是那些通過(guò)空氣的傳播讓人們聽(tīng)到弓弦和吉他的撥動(dòng)聲的振動(dòng)。

13、駐波對(duì)應(yīng)于弦的特定振動(dòng)，它們使得弦的形狀隨著時(shí)間變化而伸縮一個(gè)因子（特征值）。和弦相關(guān)的該向量的每個(gè)分量乘上了一個(gè)依賴于時(shí)間的因子。駐波的振幅（特征值）在考慮到阻尼的情況下逐漸減弱。因此可以將每個(gè)特征向量對(duì)應(yīng)于一個(gè)壽命，并將特征向量的概念和共振的概念聯(lián)系起來(lái)。特征向量-特征值方程 從數(shù)學(xué)上看，如果向量v與變換滿足則稱向量v是變換的一個(gè)特征向量，是相應(yīng)的特征值。其中是將變換作用于v得到的向量。這一等式被稱作“特征值方程”。假設(shè)是一個(gè)線性變換，那么v可以由其所在向量空間的一組基表示為：其中vi是向量在基向量上的投影（即坐標(biāo)），這里假設(shè)向量空間為n 維。由此，可以直接以坐標(biāo)向量表示。利用基

14、向量，線性變換也可以用一個(gè)簡(jiǎn)單的矩陣乘法表示。上述的特征值方程可以表示為：但是，有時(shí)候用矩陣形式寫(xiě)下特征值方程是不自然甚或不可能的。例如在向量空間是無(wú)窮維的時(shí)候，上述的弦的情況就是一例。取決于變換和它所作用的空間的性質(zhì)，有時(shí)將特征值方程表示為一組微分方程更好。若是一個(gè)微分算子，其特征向量通常稱為該微分算子的特征函數(shù)。例如，微分本身是一個(gè)線性變換因?yàn)椋ㄈ鬗和N是可微函數(shù)，而a和b是常數(shù)）考慮對(duì)于時(shí)間t的微分。其特征函數(shù)滿足如下特征值方程：,其中是該函數(shù)所對(duì)應(yīng)的特征值。這樣一個(gè)時(shí)間的函數(shù)，如果 = 0，它就不變，如果為正，它就按比例增長(zhǎng)，如果是負(fù)的，它就按比例衰減。例如，理想化的兔子的總數(shù)在兔子更

15、多的地方繁殖更快，從而滿足一個(gè)正的特征值方程。該特征值方程的一個(gè)解是N = exp(t)，也即指數(shù)函數(shù)；這樣，該函數(shù)是微分算子d/dt的特征值為的特征函數(shù)。若是負(fù)數(shù)，我們稱N的演變?yōu)橹笖?shù)衰減；若它是正數(shù)，則稱指數(shù)增長(zhǎng)。的值可以是一個(gè)任意復(fù)數(shù)。因此d/dt的譜是整個(gè)復(fù)平面。在這個(gè)例子中，算子d/dt作用的空間是單變量可微函數(shù)的空間。該空間有無(wú)窮維（因?yàn)椴皇敲恳粋€(gè)可微函數(shù)都可以用有限的基函數(shù)的線性組合來(lái)表達(dá)的）。但是，每個(gè)特征值所對(duì)應(yīng)的特征空間是一維的。它就是所有形為N = N0exp(t)的函數(shù)的集合。N0是任意常數(shù)，也就在t=0的初始數(shù)量。特征向量-譜定理 關(guān)于此話題更進(jìn)一步的細(xì)節(jié)，

16、見(jiàn)譜定理。譜定理在有限維的情況，將所有可對(duì)角化的矩陣作了分類：它顯示一個(gè)矩陣是可對(duì)角化的，當(dāng)且僅當(dāng)它是一個(gè)正規(guī)矩陣。注意這包括自共軛（厄爾米特）的情況。這很有用，因?yàn)閷?duì)角化矩陣T的函數(shù)f(T)（譬如波萊爾函數(shù)f）的概念是清楚的。在采用更一般的矩陣的函數(shù)的時(shí)候譜定理的作用就更明顯了。例如，若f是解析的，則它的形式冪級(jí)數(shù)，若用T取代x，可以看作在矩陣的巴拿赫空間中絕對(duì)收斂。譜定理也允許方便地定義正算子的唯一的平方根。譜定理可以推廣到希爾伯特空間上的有界正規(guī)算子，或者無(wú)界自共軛算子的情況。特征向量-矩陣的特征值和特征向量   如上所述，譜定理表明正方形矩陣可以對(duì)角化當(dāng)且

17、僅當(dāng)它是正規(guī)的。對(duì)于更一般的未必正規(guī)的矩陣，我們有類似的結(jié)果。當(dāng)然在一般的情況，有些要求必須放松，例如酉等價(jià)性或者最終的矩陣的對(duì)角性。所有這些結(jié)果在一定程度上利用了特征值和特征向量。下面列出了一些這樣的結(jié)果：舒爾三角形式表明任何酉矩陣等價(jià)于一個(gè)上三角矩陣；奇異值分解定理， A = UV * 其中為對(duì)角陣，而U,V為酉矩陣。A = UV * 的對(duì)角線上的元素非負(fù)，而正的項(xiàng)稱為A的奇異值。這對(duì)非正方形矩陣也成立；若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型，其中A = UU ? 1 其中不是對(duì)角陣，但是分塊對(duì)角陣，而U是酉矩陣。若當(dāng)塊的大小和個(gè)數(shù)由特征值的幾何和代數(shù)重次決定。若當(dāng)分解是一個(gè)基本的結(jié)果。從它可以立即得到一個(gè)正方形矩陣

18、可以完全用它的特征值包括重次來(lái)表述，最多只會(huì)相差一個(gè)酉等價(jià)。這表示數(shù)學(xué)上特征值在矩陣的研究中有著極端重要的作用。作為若當(dāng)分解的直接結(jié)果，一個(gè)矩陣A可以“唯一”地寫(xiě)作A = S + N其中S可以對(duì)角化，N是冪零的（也即，對(duì)于某個(gè)q，Nq=0），而S和N可交換(SN=NS)。任何可逆矩陣A可以唯一地寫(xiě)作A = SJ，其中S可對(duì)角化而J是么冪矩陣 (也即，使得特征多項(xiàng)式是(-1)的冪，而S和J可交換)。特征向量-特征值的一些另外的屬性 譜在相似變換下不變: 矩陣A和P-1AP有相同的特征值，這對(duì)任何矩陣A和任何可逆矩陣 P都成立。譜在轉(zhuǎn)置之下也不變：矩陣A和AT有相同的特征值。因?yàn)橛邢蘧S空

19、間上的線性變換是雙射當(dāng)且僅當(dāng)它是單射，一個(gè)矩陣可逆當(dāng)且僅當(dāng)所有特征值都不是0。若當(dāng)分解的一些更多的結(jié)果如下：一個(gè)矩陣是對(duì)角陣當(dāng)且僅當(dāng)代數(shù)和幾何重次對(duì)于所有特征值都相等。特別的有，一個(gè)n×n矩陣如果有n不同特征值，則總是可以對(duì)角化的。矩陣作用的向量空間可以視為其廣義特征向量所撐成的不變子空間的直和。對(duì)角線上的每個(gè)塊對(duì)應(yīng)于該直和的一個(gè)子空間。若一個(gè)塊是對(duì)角化的，其不變子空間是一個(gè)特征空間。否則它是一個(gè)廣義特征空間，如上面所定義；因?yàn)檑E，也就是矩陣主對(duì)角線元素之和，在酉等價(jià)下不變，若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型說(shuō)明它等于所有特征值之和；類似的有，因?yàn)槿蔷仃嚨奶卣髦稻褪侵鲗?duì)角線上的項(xiàng)，其行列式等于等于特征值的

20、乘積（按代數(shù)重次計(jì)算出現(xiàn)次數(shù)）。正規(guī)矩陣的一些子類的譜的位置是：一個(gè)厄爾米特矩陣(A = A*)的所有特征值是實(shí)數(shù)。進(jìn)一步的有，所有正定矩陣(v*Av > 0 for all vectors v)的所有特征值是正數(shù)；所有斜厄爾米特矩陣(A = ?A*)的特征值是純虛數(shù)；所有酉矩陣(A-1 = A*)的特征值絕對(duì)值為1;假設(shè)A是一個(gè)m×n矩陣，其中m n，而B(niǎo)是一個(gè)n×m矩陣。則BA有和AB相同的特征值加上n ? m個(gè)等于0的特征值。每個(gè)矩陣可以被賦予一個(gè)算子范數(shù)。算子范數(shù)是其特征值的模的上確界，因而也是它的譜半徑。該范數(shù)直接和計(jì)算最大模的特征值的冪法直接相關(guān)。當(dāng)一個(gè)矩

21、陣是正規(guī)的，其算子范數(shù)是其特征值的最大模，并且獨(dú)立于其定義域的范數(shù)。特征向量-共軛特征向量 一個(gè)共軛特征向量或者說(shuō)共特征向量是一個(gè)在變換下成為其共軛乘以一個(gè)標(biāo)量的向量，其中那個(gè)標(biāo)量稱為該線性變換的共軛特征值或者說(shuō)共特征值。共軛特征變量和共軛特征值代表了和常規(guī)特征向量和特征值相同的信息和含義，但是在交替坐標(biāo)系統(tǒng)被使用的時(shí)候出現(xiàn)。對(duì)應(yīng)的方程是：例如，在相干電磁散射理論中，線性變換A代表散射物體施行的作用，而特征向量表示電磁波的極化狀態(tài)。在光學(xué)中，坐標(biāo)系統(tǒng)按照波的觀點(diǎn)定義，稱為前向散射對(duì)齊 (FSA)，從而導(dǎo)致了常規(guī)的特征值方程，而在雷達(dá)中，坐標(biāo)系統(tǒng)按照雷達(dá)的觀點(diǎn)定義，稱為后向散射對(duì)齊 (

22、BSA)，從而給出了共軛特征值方程。特征向量-廣義特征值問(wèn)題 一個(gè)廣義特征值問(wèn)題(第二種意義)有如下形式其中A和B為矩陣。其廣義特征值(第二種意義) 可以通過(guò)求解如下方程得到形如A ? B的矩陣的集合，其中是一個(gè)復(fù)數(shù)，稱為一個(gè)“鉛筆”。 若B可逆，則最初的問(wèn)題可以寫(xiě)作如下形式也即標(biāo)準(zhǔn)的特征值問(wèn)題。但是，在很多情況下施行逆操作是不可取的，而廣義特征值問(wèn)題應(yīng)該如同其原始表述來(lái)求解。如果A和B是實(shí)系數(shù)的對(duì)稱矩陣，則特征值為實(shí)數(shù)。這在上面的第二種等價(jià)表述中并不明顯，因?yàn)榫仃嘊 ? 1A未必是對(duì)稱的。這里的一個(gè)例子是分子軌道應(yīng)用如下。特征向量-系數(shù)為環(huán)中元素 在方矩陣A，其系數(shù)屬于一

23、個(gè)環(huán)的情況，稱為一個(gè)右特征值如果存在一個(gè)列向量x使得Ax=x，或者稱為一個(gè)左特征值如果存在非零行向量y使得yA=y。若環(huán)是可交換的，左特征值和右特征值相等，并簡(jiǎn)稱為特征值。否則，例如當(dāng)環(huán)是四元數(shù)集合的時(shí)候，它們可能是不同的。若向量空間是無(wú)窮維的，特征值的概念可以推廣到譜的概念。譜是標(biāo)量的集合，對(duì)于這些標(biāo)量，沒(méi)有定義，也就是說(shuō)它們使得沒(méi)有有界逆。很明顯，如果是T的特征值，位于T的譜內(nèi)。一般來(lái)講，反過(guò)來(lái)并不成立。在希爾伯特空間或者巴拿赫空間上有一些算子完全沒(méi)有特征向量。這可以從下面的例子中看到。在希爾伯特空間(所有標(biāo)量級(jí)數(shù)的空間，每個(gè)級(jí)數(shù)使得收斂)上的雙向平移沒(méi)有特征向量卻有譜值。在無(wú)窮維空間，有

24、界算子的譜系總是非空的，這對(duì)無(wú)界自共軛算子也成立。通過(guò)檢驗(yàn)譜測(cè)度，任何有界或無(wú)界的自共軛算子的譜可以分解為絕對(duì)連續(xù)，離散，和孤立部分。指數(shù)增長(zhǎng)或者衰減是連續(xù)譜的例子，而振動(dòng)弦駐波是離散譜例子。氫原子是兩種譜都有出現(xiàn)的例子。氫原子的束縛態(tài)對(duì)應(yīng)于譜的離散部分，而離子化狀態(tài)用連續(xù)譜表示。圖3用氯原子的例子作了解釋。特征向量-應(yīng)用 薛定諤方程一個(gè)變換用微分算子代表的特征值方程的例子是量子力學(xué)中的時(shí)不變薛定諤方程HE = EE其中H是哈密爾頓算子，一個(gè)二階微分算子而E是波函數(shù)，對(duì)應(yīng)于特征值E的特征函數(shù)，該值可以解釋為它的能量。圖4. 一個(gè)氫原子中的一個(gè)電子的束縛態(tài)所對(duì)應(yīng)的波函數(shù)可以視為氫原子哈

25、密爾頓算子的一個(gè)特征向量，也是角動(dòng)量算子的一個(gè)特征向量。它們對(duì)應(yīng)于可以解釋為它們的能量(遞增：n=1,2,3,.)和角動(dòng)量(遞增：s, p, d,.)的特征值。這里畫(huà)出了波函數(shù)絕對(duì)值的平方。更亮區(qū)域?qū)?yīng)于位置測(cè)度的更高概率密度。每幅圖的中心都是原子核，一個(gè)質(zhì)子但是，在這個(gè)情況我們只尋找薛定鄂方程的束縛態(tài)解，就像在量子化學(xué)中常做的那樣，我們?cè)谄椒娇煞e的函數(shù)中尋找E。因?yàn)檫@個(gè)空間是一個(gè)希爾伯特空間，有一個(gè)定義良好的標(biāo)量積，我們可以引入一個(gè)基集合，在其中E和H可以表示為一個(gè)一維數(shù)組和一個(gè)矩陣。這使得我們能夠用矩陣形式表達(dá)薛定鄂方程。(圖4代表氫原子哈密爾頓算子的最低能級(jí)特征函數(shù)。）狄拉克記法經(jīng)常在這

26、個(gè)上下文中使用，以強(qiáng)調(diào)狀態(tài)的向量和它的表示，函數(shù)E之間的區(qū)別。在這個(gè)情況下，薛定鄂方程寫(xiě)作并稱是H的一個(gè)本征態(tài)(H有時(shí)候在入門(mén)級(jí)課本中寫(xiě)作)，H被看作是一個(gè)變換（參看觀測(cè)值）而不是一個(gè)它用微分算子術(shù)語(yǔ)進(jìn)行的特定表示。在上述方程中，理解為通過(guò)應(yīng)用H到得到的一個(gè)向量。特征向量-分子軌道  在量子力學(xué)中，特別是在原子物理和分子物理中，在Hartree-Fock理論下，原子軌道和分子軌道可以定義為Fock算子的特征向量。相應(yīng)的特征值通過(guò)Koopmans定理可以解釋為電離勢(shì)能。在這個(gè)情況下，特征向量一詞可以用于更廣泛的意義，因?yàn)镕ock算子顯式地依賴于軌道和它們地特征值。如果需要強(qiáng)調(diào)這個(gè)特點(diǎn)，可以稱它為隱特征值方程。這樣地方程通常采用迭代程序求解，在這個(gè)情況下稱為自洽場(chǎng)方法。在量子化學(xué)中，經(jīng)常會(huì)把Hartree-Fock方程通過(guò)非正交基集合來(lái)表達(dá)。這個(gè)特定地表達(dá)是一個(gè)廣義特征值問(wèn)題稱為Roothaan方程。特征向量-因子分析 在因素分析中，一個(gè)協(xié)變矩陣的特征向量對(duì)應(yīng)于因素，而特征值是因素負(fù)載。因素分析是一種統(tǒng)計(jì)學(xué)技術(shù)，用于社