2.1-.變化率與導(dǎo)數(shù)ppt課件

1、1.1. 變化率與導(dǎo)數(shù)教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo) 了解導(dǎo)數(shù)概念的實際背景，體會導(dǎo)數(shù)的思想及其內(nèi)涵;了解函數(shù)的平均變化率; 教學(xué)重點： 函數(shù)的平均變化率;導(dǎo)數(shù)概念的實際背景，導(dǎo)數(shù)的思想及其內(nèi)涵;一、變化率問題一、變化率問題研究某個變量相對于另一個變量變化導(dǎo)數(shù)研究的問題 的快慢程度變化率問題微積分主要與四類問題的處理相關(guān)微積分主要與四類問題的處理相關(guān): 一、已知物體運動的路程作為時間的函數(shù)一、已知物體運動的路程作為時間的函數(shù),求物體在任意時刻的速度與加速度等求物體在任意時刻的速度與加速度等; 二、求曲線的切線二、求曲線的切線; 三、求已知函數(shù)的最大值與最小值三、求已知函數(shù)的最大值與最小值; 四、求長度、面積

2、、體積和重心等。四、求長度、面積、體積和重心等。 導(dǎo)數(shù)是微積分的核心概念之一它是研究導(dǎo)數(shù)是微積分的核心概念之一它是研究函數(shù)增減、變化快慢、最大小值等問函數(shù)增減、變化快慢、最大小值等問題最一般、最有效的工具。題最一般、最有效的工具。變化率問題變化率問題 問題問題1 氣球膨脹率氣球膨脹率 我們都吹過氣球回憶一下吹我們都吹過氣球回憶一下吹氣球的過程氣球的過程,可以發(fā)現(xiàn)可以發(fā)現(xiàn),隨著氣球內(nèi)空隨著氣球內(nèi)空氣容量的增加氣容量的增加,氣球的半徑增加越來氣球的半徑增加越來越慢越慢.從數(shù)學(xué)角度從數(shù)學(xué)角度,如何描述這種現(xiàn)象如何描述這種現(xiàn)象呢呢? 氣球的體積氣球的體積V(單位單位:L)與半徑與半徑r (單位單位:d

3、m)之間的函數(shù)關(guān)系是之間的函數(shù)關(guān)系是34( )3V rr 如果將半徑如果將半徑r表示為體積表示為體積V的函數(shù)的函數(shù),那么那么33( )4Vr V我們來分我們來分析一下析一下: 當(dāng)V從0增加到1時,氣球半徑增加了 氣球的平均膨脹率為 當(dāng)V從1增加到2時,氣球半徑增加了 氣球的平均膨脹率為(1)(0)0.62()rrdm(1)(0)(/ )1 00.62rrdm L(2)(1)0.16()rrdm(2)(1)(/ )2 10.16rrdm L顯然顯然0.620.16 問題問題1 氣球膨脹率氣球膨脹率 我們都吹過氣球回憶一下吹氣我們都吹過氣球回憶一下吹氣球的過程球的過程,可以發(fā)現(xiàn)可以發(fā)現(xiàn),隨著氣球內(nèi)

4、空氣隨著氣球內(nèi)空氣容量的增加容量的增加,氣球的半徑增加越來越氣球的半徑增加越來越慢慢.從數(shù)學(xué)角度從數(shù)學(xué)角度,如何描述這種現(xiàn)象呢如何描述這種現(xiàn)象呢?33( )4Vr V考慮? 當(dāng)空氣容量從當(dāng)空氣容量從V1增加到增加到V2時時,氣球的平均膨脹率氣球的平均膨脹率是多少是多少?2121()()r Vr VVV問題問題2 高臺跳水高臺跳水 在高臺跳水運動中在高臺跳水運動中, ,運動員相對于水運動員相對于水面的高度面的高度h(h(單位：米單位：米) )與起跳后的時間與起跳后的時間t t單位：秒存在函數(shù)關(guān)系單位：秒存在函數(shù)關(guān)系 h(t)=-4.9t2+6.5t+10.h(t)=-4.9t2+6.5t+10.

5、 如何用運動員在某些時如何用運動員在某些時 間段內(nèi)的平均速度粗略間段內(nèi)的平均速度粗略 地描述其運動狀態(tài)地描述其運動狀態(tài)? ?請計算請計算00.52:ttv 和1時的平均速度hto請計算00.52:ttv 和1時的平均速度htoh(t)=-4.9t2+6.5t+10平均變化率定義平均變化率定義:若設(shè)若設(shè)x=x2-x1, f=f(x2)-f(x1) 則平均變化率為則平均變化率為121)()f xxx2f(xfx121)()f xxx2f(x這里這里x看作是對于看作是對于x1的一個的一個“增量可用增量可用x1+x代替代替x2同樣同樣f=y=f(x2)-f(x1)l上述問題中的變化率可用式子上述問題中

6、的變化率可用式子 表示表示稱為函數(shù)稱為函數(shù)f(x)從從x1到到x2的平均變化率的平均變化率 考慮考慮? 觀察函數(shù)觀察函數(shù)f(x)的圖象的圖象 平均變化率平均變化率 表示什么表示什么?121)( )f xyxxx2f(xOABxyY=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1=xf(x2)-f(x1)=y直線直線AB的斜率的斜率做兩個題吧做兩個題吧! 1 、已知函數(shù)、已知函數(shù)f(x)=-x2+x的圖象上的一點的圖象上的一點A(-1,-2)及臨近一點及臨近一點B(-1+x,-2+y),則則y/x=( ) A 3 B 3x-(x)2 C 3-(x)2 D 3-x D 2、求、求y=x2在在x=x

7、0附近的平均速度。附近的平均速度。 2x0+x 練習(xí)：練習(xí)：1.t2質(zhì)點運動規(guī)律s=t +3,則在時間(3,3+ t)中相應(yīng)的平均速度為( )9A. 6+ t B. 6+ t+C.3+ t D.9+ t 2.物體按照物體按照s(t)=3t2+t+4的規(guī)律作直的規(guī)律作直線運動線運動,求在求在4s附近的平均變化率附近的平均變化率.A253 t 小結(jié)：小結(jié)： 1.函數(shù)的平均變化率函數(shù)的平均變化率( )f xx121)()f xxx2f(x 2.求函數(shù)的平均變化率的步驟求函數(shù)的平均變化率的步驟: (1)求函數(shù)的增量求函數(shù)的增量f=y=f(x2)-f(x1); (2)計算平均變化率計算平均變化率fx12

8、1)()f xxx2f(x練習(xí)：練習(xí)： 過曲線過曲線y=f(x)=x3上兩點上兩點P1，1和和Q (1+x,1+y)作曲線的割線，求出當(dāng)作曲線的割線，求出當(dāng)x=0.1時割線的斜率時割線的斜率. 3322(1)13 3()3 3 0.1 0.13.31(1)xkxxxx 二、導(dǎo)數(shù)的概念二、導(dǎo)數(shù)的概念 問題問題2 高臺跳水高臺跳水 在高臺跳水運動中在高臺跳水運動中, ,運動員相對于水面的運動員相對于水面的高度高度h(h(單位：米單位：米) )與起跳后的時間與起跳后的時間t t單位：秒單位：秒存在函數(shù)關(guān)系存在函數(shù)關(guān)系 h(t)=-4.9t2+6.5t+10.h(t)=-4.9t2+6.5t+10.

9、如何用運動員在某些時如何用運動員在某些時 間段內(nèi)的平均速度粗略間段內(nèi)的平均速度粗略 地描述其運動狀態(tài)地描述其運動狀態(tài)? ?hto65()(0)1049hh0hvt 6549t 計算運動員在0這段時間里的平均速度，計算運動員在0這段時間里的平均速度，思思考考下下面面問問題題；1 1）運運動動員員在在這這段段時時間間里里是是靜靜止止的的嗎嗎？2 2）你你認(rèn)認(rèn)為為用用平平均均速速度度描描述述運運動動員員的的狀狀態(tài)態(tài)有有什什么么問問題題嗎嗎？瞬時速度瞬時速度. 在高臺跳水運動中在高臺跳水運動中,平均速度不能準(zhǔn)確反映平均速度不能準(zhǔn)確反映他在這段時間里運動狀態(tài)他在這段時間里運動狀態(tài).又如何求又如何求瞬時速

10、度呢瞬時速度呢?我們把物體在某一時刻的速度稱為瞬時速我們把物體在某一時刻的速度稱為瞬時速度度.如何求比如，如何求比如， t=2t=2時的瞬時速度？時的瞬時速度？通過列表看出平均速度的變化趨勢通過列表看出平均速度的變化趨勢 ：當(dāng)當(dāng)t趨近于趨近于0時時,平均平均速度有什么變化趨勢速度有什么變化趨勢?瞬時速度 我們用我們用 表示表示 “ “當(dāng)當(dāng)t=2, tt=2, t趨近于趨近于0 0時時, ,平均速度趨于平均速度趨于確定值確定值-13.1”.-13.1”.0limt(2)(2)13.1htht 那么那么, ,運動員在某一時刻運動員在某一時刻t0t0的瞬時速度的瞬時速度? ?0lim t00()(

11、)h tth tt 局部以勻速代替變速，以平均速度代替瞬時速度，然后通過局部以勻速代替變速，以平均速度代替瞬時速度，然后通過取極限，從瞬時速度的近似值過渡到瞬時速度的精確值。取極限，從瞬時速度的近似值過渡到瞬時速度的精確值。導(dǎo)數(shù)的定義導(dǎo)數(shù)的定義:從函數(shù)從函數(shù)y=f(x)在在x=x0處的瞬時變化率是處的瞬時變化率是:問題: 求函數(shù)求函數(shù)y=3x2在在x=1處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù). 分析：先求分析：先求f=y=f(x)-f() =6x+(x)2 再求再求 再求再求6fxx0lim6xyx應(yīng)用：應(yīng)用：例例1 物體作自由落體運動物體作自由落體運動,運動方程為：運動方程為： 其其中位中位 移單位是移單位是m,

12、時間單位是時間單位是s,g=10m/s2.求：求： (1) 物體在時間區(qū)間物體在時間區(qū)間2,2.1上的平均速度；上的平均速度； (2) 物體在時間區(qū)間物體在時間區(qū)間2,2.01上的平均速度；上的平均速度； (3) 物體在物體在t=2(s)時的瞬時速度時的瞬時速度. 221gts 分析分析:_00()( )12()2s tts tsvggttt 2001()( )2()2ss tts tg tgt 解解:)(212_tggtsv s ss(2+t)Os(2)(1)將將 t=0.1代入上式，得代入上式，得: ./5 .2005. 2_smgv (2)將將 t=0.01代入上式，得代入上式，得: .

13、/05.20005. 2_smgv 的的極極限限為為：從從而而平平均均速速度度當(dāng)當(dāng)_, 22 , 0)3(vtt ./202limlim0_0smgtsvvtt 應(yīng)用： 例例2 將原油精練為汽油、柴油、塑膠等各種不同將原油精練為汽油、柴油、塑膠等各種不同產(chǎn)品，需要對原油進(jìn)行冷卻和加熱。如果第產(chǎn)品，需要對原油進(jìn)行冷卻和加熱。如果第 x(h)時，原油的溫度單位：時，原油的溫度單位：0C為為 f(x)=x2-7x+15(0 x8).計算第計算第2h) 和第和第6h時，原時，原由溫度的瞬時變化率，并說明它們的意義。由溫度的瞬時變化率，并說明它們的意義。27fxxx關(guān)鍵是求出：關(guān)鍵是求出：它說明在第它說

14、明在第2h)附近，原油附近，原油溫度大約以溫度大約以3 0C/h的速度下降；的速度下降；在第在第6h)附近，原油溫度大附近，原油溫度大約以約以5 0C/H的速度上升。的速度上升。027limxfxx再求出應(yīng)用： 例例3 3質(zhì)量為質(zhì)量為kgkg的物體，按照的物體，按照s(t)=3t2+t+4s(t)=3t2+t+4的的規(guī)律做直線運動，規(guī)律做直線運動， （求運動開始后（求運動開始后s s時物體的瞬時速度；時物體的瞬時速度； （求運動開始后（求運動開始后s s時物體的動能。時物體的動能。21()2Emv200022253limlimlim(253)251110 253125( )22xxxsttvt

15、ttEmvJ 小結(jié)： 1 1、求物體運動的瞬時速度：、求物體運動的瞬時速度： （1 1求位移增量求位移增量s=s(t+t)-s(t)s=s(t+t)-s(t) （2 2求平均速度求平均速度 （3 3求極限求極限;svt00()( ).limlimxxss tts ttt 2、由導(dǎo)數(shù)的定義可得求導(dǎo)數(shù)的一般步驟： （1求函數(shù)的增量y=f(x0+t)-f(x0) (2)求平均變化率 （3求極限yx00()limxyfxx練習(xí)： (1)求函數(shù)求函數(shù)y= 在在x=1處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù). (2)求函數(shù)求函數(shù)y= 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù).x24x三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義回憶回憶平均變化率平均變化率fx121

16、)()f xxx2f(x函數(shù)函數(shù)y=f(x)y=f(x)的定義域為的定義域為D,x1.x2D,f(x)D,x1.x2D,f(x)從從x1x1到到x2x2平均變化率為平均變化率為: :割線的斜率割線的斜率OABxyY=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1=xf(x2)-f(x1)=yfkx121)()f xxx2f(x回憶回憶以平均速度代替瞬時速度，然后通過取極限，以平均速度代替瞬時速度，然后通過取極限，從瞬時速度的近似值過渡到瞬時速度的精確值。從瞬時速度的近似值過渡到瞬時速度的精確值。我們把物體在某一時刻的速度稱為瞬時速度我們把物體在某一時刻的速度稱為瞬時速度.從函數(shù)從函數(shù)y=f(x

17、)在在x=x0處的瞬時變化率處的瞬時變化率是是:0000()(),limlimxxfxffxxxx我們稱它為函數(shù)我們稱它為函數(shù)y=f(x)y=f(x)在在x=x0 x=x0處的導(dǎo)數(shù)，記作處的導(dǎo)數(shù)，記作f (x0)f (x0)或或y|xx0y|xx0即即00000()()(),limlimxxfxfffxxxxx 由導(dǎo)數(shù)的意義可知由導(dǎo)數(shù)的意義可知,求函數(shù)求函數(shù)y=f(x)在點在點x0處的處的導(dǎo)數(shù)的基本方法是導(dǎo)數(shù)的基本方法是:00(1)()();yf xxf x 求函數(shù)的增量00()()(2);f xxf xyxx求平均變化率00(3)()lim.xyfxx 取極限，得導(dǎo)數(shù)注意注意:這里的增量不是

18、一般意義上的增量這里的增量不是一般意義上的增量,它可正也可負(fù)它可正也可負(fù). 自變量的增量自變量的增量x的形式是多樣的的形式是多樣的,但不論但不論x選擇選擇 哪種形式哪種形式, y也必須選擇與之相對應(yīng)的形式也必須選擇與之相對應(yīng)的形式.回回憶憶應(yīng)用： 例例1 將原油精練為汽油、柴油、塑膠等各種不同將原油精練為汽油、柴油、塑膠等各種不同產(chǎn)品，需要對原油進(jìn)行冷卻和加熱。如果第產(chǎn)品，需要對原油進(jìn)行冷卻和加熱。如果第 x(h)時，原油的溫度單位：時，原油的溫度單位：0C為為 f(x)=x2-7x+15(0 x8).計算第計算第2h) 和第和第6h時，原時，原由溫度的瞬時變化率，并說明它們的意義。由溫度的瞬

19、時變化率，并說明它們的意義。27fxxx關(guān)鍵是求出：關(guān)鍵是求出：它說明在第它說明在第2h)附近，原油附近，原油溫度大約以溫度大約以3 0C/h的速度下降；的速度下降；在第在第6h)附近，原油溫度大附近，原油溫度大約以約以5 0C/H的速度上升。的速度上升。027limxfxx再求出PQoxyy=f(x)割割線線切線切線T導(dǎo)數(shù)的幾何意義: 我們發(fā)現(xiàn)我們發(fā)現(xiàn),當(dāng)點當(dāng)點Q沿著曲線無限接近點沿著曲線無限接近點P即即x0時時,割線割線PQ如果有一個極限位置如果有一個極限位置PT.則我則我們把直線們把直線PT稱為曲線在點稱為曲線在點P處的切線處的切線. 設(shè)切線的傾斜角為設(shè)切線的傾斜角為,那么那么當(dāng)當(dāng)x0時

20、時,割線割線PQ的斜率的斜率,稱為曲線在點稱為曲線在點P處的切線處的切線的斜率的斜率.即即:00000()( )( )limlimxxf xxf xykf xxx 切線這個概念這個概念: 提供了求曲線上某點切線的斜率的一種方法提供了求曲線上某點切線的斜率的一種方法; 切線斜率的本質(zhì)切線斜率的本質(zhì)函數(shù)在函數(shù)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù).要注意要注意,曲線在某點處的切線曲線在某點處的切線: 1) 與該點的位置有關(guān)與該點的位置有關(guān); 要根據(jù)割線是否有極限位置來判斷與求解要根據(jù)割線是否有極限位置來判斷與求解.如有極限如有極限,則在則在 此點有切線此點有切線,且切線是唯一的且切線是唯一的;如不存在如不存在

21、,則在此點處無切線則在此點處無切線;3) 曲線的切線曲線的切線,并不一定與曲線只有一個交點并不一定與曲線只有一個交點, 可以有多個可以有多個,甚至可以無窮多個甚至可以無窮多個.PQoxyy=f(x)割割線線切切線線T例例1:求曲線求曲線y=f(x)=x2+1在點在點P(1,2)處的切線方程處的切線方程.QPy=x2+1xy-111OjMyx. 2)(2lim) 11 (1)1 (lim)()(lim:2020000 xxxxxxxfxxfkxxx解解因而因而,切線方程為切線方程為y-2=2(x-1),即即y=2x.求曲線在某點處的切線方程求曲線在某點處的切線方程的基本步驟的基本步驟:求出求出P

22、點的坐標(biāo)點的坐標(biāo);利用切線斜率的定義求利用切線斜率的定義求 出切線的斜率出切線的斜率;利用點斜式求切線方程利用點斜式求切線方程.練習(xí)練習(xí):如圖已知曲線如圖已知曲線 ,求求:(1)點點P處的切線的斜率處的切線的斜率; (2)點點P處的切線方程處的切線方程.)38, 2(313Pxy上一點上一點 yx-2-112-2-11234OP313yx.)(33lim31)()(33lim3131)(31limlim,31)1(2220322033003xxxxxxxxxxxxxxxxyyxyxxxx 解解：. 42|22 xy即點即點P處的切線的斜率等于處的切線的斜率等于4. (2)在點在點P處的切線方程

23、是處的切線方程是y-8/3=4(x-2),即即12x-3y-16=0.00()( )( )limlimxxyf xxf xf xyxx 在不致發(fā)生混淆時，導(dǎo)函數(shù)也簡稱導(dǎo)數(shù)在不致發(fā)生混淆時，導(dǎo)函數(shù)也簡稱導(dǎo)數(shù)000( )()( )()( ).yf xxfxf xfxx 函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)的導(dǎo) 函 數(shù)在點處的函數(shù)值函數(shù)導(dǎo)函數(shù)函數(shù)導(dǎo)函數(shù)由函數(shù)由函數(shù)f(x)在在x=x0處求導(dǎo)數(shù)的過程可以看到處求導(dǎo)數(shù)的過程可以看到,當(dāng)當(dāng)時時,f(x0) 是一個確定的數(shù)是一個確定的數(shù).那么那么,當(dāng)當(dāng)x變化時變化時,便是便是x的一個函數(shù)的一個函數(shù),我們叫它為我們叫它為f(x)的導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).即即:如何求函數(shù)如何求函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)?(1)()( );yf xxf x 求函數(shù)的增量(2):()( );yf xxf xxx求函數(shù)的增量與自變量的增量的比值0(3)( )lim.xyyfxx 求極限，得導(dǎo)函數(shù).yxy例4.已知，求xyxxxxxx 解：1yxxxx 0011limlim.2xxyyxxxxx 看一個例子看一個例子:下面把前面知識小結(jié)下面把前面知識小結(jié):a.導(dǎo)數(shù)是從眾多實際問題中抽象出來的具有相同的數(shù)導(dǎo)數(shù)是從眾多實際問題中抽象出來的具有相同的數(shù) 學(xué)表達(dá)式的一個重要概念，要從它的幾何意義和物學(xué)表達(dá)式的一個重要概念，要從它