大學(xué)物理學(xué)第一到五章問題詳解

1、習(xí)題11.1選擇題(1) 一運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)在某瞬時(shí)位于矢徑r (x, y)的端點(diǎn)處，其速度大小為v 2m/s，瞬時(shí)加速度a2m/s2，則一秒鐘后質(zhì)點(diǎn)的速度(A)等于零(B)等于-2m/s(C)等于 2m/s(D)不能確定。答案：D(2) 質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)，某時(shí)刻的瞬時(shí)速度(A)drdr dtdt(B)d | r |dx 2dy(C)(D)()()dtdtdt答案：D(B)(D)c 2 RT(1) 一質(zhì)點(diǎn)，以m s1的勻速率作半徑為5m的圓周運(yùn)動(dòng)，則該質(zhì)點(diǎn)在5s，位移的大小(3) 一質(zhì)點(diǎn)沿半徑為 R的圓周作勻速率運(yùn)動(dòng)，每t秒轉(zhuǎn)一圈，在2t時(shí)間間隔中，其平均速度大小和平均速率大小分別為(A) 竺竺()t

2、t(C) 0,0答案：B1.2填空題是;經(jīng)過的路程是答案：1m; 5 n m(2) 一質(zhì)點(diǎn)沿x方向運(yùn)動(dòng)，其加速度隨時(shí)間的變化關(guān)系為a=3+2t (SI)，如果初始時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)-1的速度v為5m- s，則當(dāng)t為3s時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的速度 v=。答案：23m - s-1 (3)輪船在水上以相對(duì)于水的速度 V航行，水流速度為V2，人相對(duì)于甲板以速度 V3行走。如人相對(duì)于岸靜止，則 y、v2和v3的關(guān)系是。答案：V V2 V301.3 一個(gè)物體能否被看作質(zhì)點(diǎn)，你認(rèn)為主要由以下三個(gè)因素中哪個(gè)因素決定：（1）物體的大小和形狀；（2）物體的部結(jié)構(gòu)；（3）所研究問題的性質(zhì)。解：只有當(dāng)物體的尺寸遠(yuǎn)小于其運(yùn)動(dòng)圍時(shí)才可忽略其大

3、小的影響，因此主要由所研究 問題的性質(zhì)決定。1.4 下面幾個(gè)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，哪個(gè)是勻變速直線運(yùn)動(dòng)？3 2 2 2（1）x=4t-3 ；（2）x=-4t +3t +6；（ 3）x=-2t +8t+4 ；（ 4）x=2/t -4/t。給出這個(gè)勻變速直線運(yùn)動(dòng)在t=3s時(shí)的速度和加速度，并說明該時(shí)刻運(yùn)動(dòng)是加速的還是減速的。（x單位為m, t單位為s）解：勻變速直線運(yùn)動(dòng)即加速度為不等于零的常數(shù)時(shí)的運(yùn)動(dòng)。加速度又是位移對(duì)時(shí)間 的兩階導(dǎo)數(shù)。于是可得（3）為勻變速直線運(yùn)動(dòng)。其速度和加速度表達(dá)式分別為v dx4t 8dtd2xa 24dtt=3s時(shí)的速度和加速度分別為v=20m/s，a=4m/s2。因加速度為正

4、所以是加速的。1.5 在以下幾種運(yùn)動(dòng)中，質(zhì)點(diǎn)的切向加速度、法向加速度以及加速度哪些為零哪些不為零？（1）勻速直線運(yùn)動(dòng)；（2）勻速曲線運(yùn)動(dòng)；（3）變速直線運(yùn)動(dòng)；（4）變速曲線運(yùn)動(dòng)。 解：（1）質(zhì)點(diǎn)作勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，其切向加速度、法向加速度及加速度均為零；（2）質(zhì)點(diǎn)作勻速曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)，其切向加速度為零，法向加速度和加速度均不為零；（3）質(zhì)點(diǎn)作變速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，其法向加速度為零，切向加速度和加速度均不為零；dv和dvdtdtdrdt有無不同？有無不同？其不同在哪里（4）質(zhì)點(diǎn)作變速曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)，其切向加速度、法向加速度及加速度均不為零。dr1.6 |r有無不同？一dt試舉例說明.解：（1） r是位移的模,r

5、是位矢的模的增量，即（2）是速度的模，即drdtdsv 一dt只是速度在徑向上的分量dt有 rr?（式中?叫做單位矢）dtd? rdt式中就是速度在徑向上的分量,dtdr與竺不同如題1.6圖所示.dt dt巴表示加速度的模，即dtdv , dv是加速度a在切向上的分量dt dt有v v （表軌道節(jié)線方向單位矢），所以dvdvdv -dtdtdt式中dv就是加速度的切向分量.dtd? d ?（d?與不的運(yùn)算較復(fù)雜，超出教材規(guī)定，故不予討論）1.7設(shè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為x=x（t）, y = y（t），在計(jì)算質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度時(shí)，有人先求d r出r = x y ，然后根據(jù)v = 及a =dt卑而求得結(jié)

6、果；又有人先計(jì)算速度和加速度的dt2分量，再合成求得結(jié)果，即2dxdt2dydt正確？為什么？?jī)烧卟顒e何在?解：后一種方確.因?yàn)樗俣扰c加速度都是矢量,drvdtd2ra 2dt2故它們的模即為2 2vxvyd2x2d2y2dt2dt2在平面直角坐標(biāo)糸中，dxi敦jdtdt jd2x:d2y j2 1 dt2dt2 j2 2dy dtdt你認(rèn)為兩種方法哪一種有r xi yj ,而前一種方法的錯(cuò)誤可能有兩點(diǎn),.a； ayd2x 2d2y 2dt2其一是概念上的錯(cuò)誤，即誤把速度、加速度定義作其二，可能是將drvdtd2rd2空 與 馬 誤作速度與加速度的模。在dt dt21.6題中已說明 乞 不是速

7、度的模,dt而只是速度在徑向上的分量，同樣,d2rdt2也不是加速度的模，它只是加速度在徑向分量中的一部分 a徑d2rdt22r 。或者概括性地說，前一種方法只考慮了位矢dtr在徑向（即量值）方面隨時(shí)間的變化率，而沒有考慮位矢r及速度v的方向隨時(shí)間的變化率對(duì)速度、加 速度的貢獻(xiàn)。1.8 一質(zhì)點(diǎn)在xOy平面上運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)方程為1 2 _ ,.x =3t +5, y = t +3t -4.2式中t以s計(jì)，x , y以m十.（1）以時(shí)間t為變量，寫出質(zhì)點(diǎn)位置矢量的表示式；（2）求出t =1s時(shí)刻和t = 2s時(shí)刻的位置矢量，計(jì)算這 1秒質(zhì)點(diǎn)的位移；（3）計(jì)算t = 0 s時(shí)刻到t = 4s時(shí)刻 的平均

8、速度；（4）求出質(zhì)點(diǎn)速度矢量表示式，計(jì)算 t = 4 s時(shí)質(zhì)點(diǎn)的速度；（5）計(jì)算t = 0s到t = 4s質(zhì)點(diǎn)的平均加速度；（6）求出質(zhì)點(diǎn)加速度矢量的表示式，計(jì)算t = 4s時(shí)質(zhì)點(diǎn)的加速度（請(qǐng)把位置矢量、位移、平均速度、瞬時(shí)速度、平均加速度、瞬時(shí)加速度都表示成直角坐標(biāo) 系中的矢量式）.1, tr (3t5)i(干3t4)j m2代入上式即有r18i 0.5 jv11iv4jv5ivr14j, r412iv v3i 4.5j mv v17i16j乜 3i 5jms14drdt3i(t3) j mv43i7jv0 3i3j,v43i7j這說明該點(diǎn)只有v v vv V4 Vo 4jt 44dv “.

9、 1Jdty方向的加速度，且為恒量。1.9質(zhì)點(diǎn)沿X軸運(yùn)動(dòng)，其加速度和位置的關(guān)系為ms22 2a = 2+6 x , a的單位為 ms , x的單位為m.質(zhì)點(diǎn)在x = 0處，速度為10 m s 1,試求質(zhì)點(diǎn)在任何坐標(biāo)處的速度值.解：/分離變量：兩邊積分得dvdv dxdvav -dtdx dtdx2vdv adx (2 6x )dx1 23v 2x 2x c2由題知，x 0時(shí)，v010, A c 502a = 4+31 m s ，開始運(yùn)動(dòng)時(shí)，x = 5 m, v =0 ,v 2、x3 x 25 m s求該質(zhì)點(diǎn)在t = 10s時(shí)的速度和位置.解：dva4 3tdt分離變量，得dv(43t)dt積分

10、，得v 4t -t2 c12由題知，t 0, v00，C1 0故v4t3t22又因?yàn)関dx4tdt2分離變量，dx(4t-t2)dt2積分得x2t2；1t3c22由題知t 0, x05 ,A c251.10已知一質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng),其加速度為故x 2t2-It352所以t 10s時(shí)v104 103,亠2一亠 110190m s2x102 10211035705m23=2+3t，式中 以弧度計(jì)，t以秒1.11一質(zhì)點(diǎn)沿半徑為1 m的圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)方程為計(jì)，求：t = 2 s時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的切向和法向加速度；（2）當(dāng)加速度的方向和半徑成 45角時(shí),其角位移是多少？解：d9t2,d18tdtdt(1) t 2s

11、 時(shí)，a R 118 236 m2 san R 21 (922)21296 m s 2（2）當(dāng)加速度方向與半徑成45 0角時(shí)，有tan 45a1 an即R 2R亦即(9t2)218t則解得t329于是角位移為32 3t 23 -2.67rad91 21.12質(zhì)點(diǎn)沿半徑為R的圓周按s = Votbt2的規(guī)律運(yùn)動(dòng)，式中s為質(zhì)點(diǎn)離圓周上某點(diǎn)的2弧長(zhǎng)，V。, b都是常量，求：（1） t時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的加速度；（2） t為何值時(shí)，加速度在數(shù)值上等于b.解: (1)vv0btdtdvabdtv2 (vo bt)2 anRR則加速度與半徑的夾角為(2) 由題意應(yīng)有22a aan(V。bt)4R2arctan旦 鑒

12、an(Vobt)b2b2(vobt)4R2(vo bt)4R2(vobt)40當(dāng)t 也時(shí)，a bb1.13飛輪半徑為0.4 m ,自靜止啟動(dòng)，其角加速度為O.2 rad2，求t = 2s時(shí)邊緣上各點(diǎn)的速度、法向加速度、切向加速度和合加速度.解：當(dāng)t 2s時(shí),t 0.2O.4 rad s則 v R 0.40.4O.16 manR0.4 (0.4)2O.O64O.4 O.2O.O8 m1.14 一船以速率w2 2ana、(0.064)2(O.O8)2O.1O2m30km - h1沿直線向東行駛，另一小艇在其前方以速率-1v2 = 40km h沿直線向北行駛，問在船上看小艇的速度為多少？在艇上看船的

13、速度又為多少？解：(1)大船看小艇，則有 v21v2v1，依題意作速度矢量圖如題1.14圖(a)由圖可知方向北偏西arcta n 旦arcta n 336.87 小艇看大船，則有 V12Vi v，依題意作出速度矢量圖如題1.14圖(b)，同上法，得1Vi250 km h方向南偏東36.87.習(xí)題22.1 選擇題(1) 一質(zhì)點(diǎn)作勻速率圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，(A) 它的動(dòng)量不變，對(duì)圓心的角動(dòng)量也不變。(B) 它的動(dòng)量不變，對(duì)圓心的角動(dòng)量不斷改變。(C) 它的動(dòng)量不斷改變，對(duì)圓心的角動(dòng)量不變。(D) 它的動(dòng)量不斷改變，對(duì)圓心的角動(dòng)量也不斷改變。答案：C(2) 質(zhì)點(diǎn)系的力可以改變(A)系統(tǒng)的總質(zhì)量。(B)系統(tǒng)的

14、總動(dòng)量。(C)系統(tǒng)的總動(dòng)能。(D)系統(tǒng)的總角動(dòng)量。答案：C(3) 對(duì)功的概念有以下幾種說法： 保守力作正功時(shí)，系統(tǒng)相應(yīng)的勢(shì)能增加。 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)經(jīng)一閉合路徑，保守力對(duì)質(zhì)點(diǎn)作的功為零。 作用力與反作用力大小相等、方向相反，所以兩者所作功的代數(shù)和必為零。 在上述說法中：(A) 、是正確的。(B) 、是正確的。(C) 只有是正確的。(D) 只有是正確的。答案：C2.2填空題（1）某質(zhì)點(diǎn)在力F （4 5x）i （SI）的作用下沿x軸作直線運(yùn)動(dòng)。在從 x=0移動(dòng)到x=10m的過程中，力F所做功為。答案：290J（2）質(zhì)量為m的物體在水平面上作直線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)速度為v時(shí)僅在摩擦力作用下開始作勻減速 運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過距離

15、s后速度減為零。則物體加速度的大小為 ，物體與水平面間的摩擦系數(shù)為。22gs2答案：;2s在光滑的水平面有兩個(gè)物體 A和B,已知m=2mB。（ a）物體A以一定的動(dòng)能 E與靜止的物體B發(fā)生完全彈性碰撞， 則碰撞后兩物體的總動(dòng)能為 ；（ b）物體A以一定的動(dòng)能 匕與靜止的物體B發(fā)生完全非彈性碰撞，則碰撞后兩物體的總動(dòng)能 為。2答案：Ek；3 Ekl2.3在下列情況下，說明質(zhì)點(diǎn)所受合力的特點(diǎn)：（1 ）質(zhì)點(diǎn)作勻速直線運(yùn)動(dòng)；（2）質(zhì)點(diǎn)作勻減速直線運(yùn)動(dòng)；（3 ）質(zhì)點(diǎn)作勻速圓周運(yùn)動(dòng)；（4）質(zhì)點(diǎn)作勻加速圓周運(yùn)動(dòng)。解：（1）所受合力為零；（2 ）所受合力為大小、方向均保持不變的力，其方向與運(yùn)動(dòng)方向相反；（3）

16、所受合力為大小保持不變、方向不斷改變總是指向圓心的力；（4）所受合力為大小和方向均不斷變化的力，其切向力的方向與運(yùn)動(dòng)方向相同，大小 恒定；法向力方向指向圓心。2.4舉例說明以下兩種說法是不正確的：（1）物體受到的摩擦力的方向總是與物體的運(yùn)動(dòng)方向相反；（2 ）摩擦力總是阻礙物體運(yùn)動(dòng)的。解：（1）人走路時(shí)，所受地面的摩擦力與人的運(yùn)動(dòng)方向相同；（2）車作加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，放在車上的物體受到車子對(duì)它的摩擦力，該摩擦力是引起物體 相對(duì)地面運(yùn)動(dòng)的原因。2.5質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量守恒的條件是什么？在什么情況下，即使外力不為零，也可用動(dòng)量守恒定律 近似求解？解：質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量守恒的條件是質(zhì)點(diǎn)系所受合外力為零。當(dāng)系統(tǒng)只受有限大小的

17、外力作用，且作用時(shí)間很短時(shí)，有限大小外力的沖量可忽略，故也可用動(dòng)量守恒定律近似求解。動(dòng)量、沖量、動(dòng)能、勢(shì)能、2.6在經(jīng)典力學(xué)中，下列哪些物理量與參考系的選取有關(guān)：質(zhì)量、功？解：在經(jīng)典力學(xué)中，動(dòng)量、動(dòng)能、勢(shì)能、功與參考系的選取有關(guān)。2.7 一細(xì)繩跨過一定滑輪，繩的一邊懸有一質(zhì)量為的物體，另一邊穿在質(zhì)量為 m2的圓柱體的豎直細(xì)孔中，圓柱可沿繩子滑動(dòng). 今看到繩子從圓柱細(xì)孔中加速上升，柱體相對(duì)于繩子以勻加速度a下滑，求mi, m2相對(duì)于地面的加速度、繩的力及柱體與繩子間的摩擦力（繩輕且不可伸長(zhǎng)，滑輪的質(zhì)量及輪與軸間的摩擦不計(jì)）.解：因繩不可伸長(zhǎng)，故滑輪兩邊繩子的加速度均為a1，其對(duì)于m2則為牽連加速

18、度，又知m2對(duì)繩子的相對(duì)加速度為 a，故m2對(duì)地加速度，題2.7圖由圖（b）可知，為a2a1a又因繩的質(zhì)量不計(jì)，所以圓柱體受到的摩擦力f在數(shù)值上等于繩的力T ,由牛頓定律，有mig TmiaiTm2gm2a2聯(lián)立、式，得ai a2(m1 m)g m2ami m2(m1 m2)g m1ami m2gm2(2g a)mi m2討論（i）若a 0，則a1a2表示柱體與繩之間無相對(duì)滑動(dòng).若a 2g，則T落體運(yùn)動(dòng).0，表示柱體與繩之間無任何作用力，此時(shí)mi, m2均作自由2.8 一個(gè)質(zhì)量為P的質(zhì)點(diǎn)，在光滑的固定斜面（傾角為 ）上以初速度v0運(yùn)動(dòng)，v0的方向 與斜面底邊的水平線 AB平行，如圖所示，求這質(zhì)

19、點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌道.解：物體置于斜面上受到重力mg，斜面支持力 N.建立坐標(biāo)：取v0方向?yàn)閄軸，平行斜面與X軸垂直方向?yàn)閅軸.如題2.8圖.X方向:丫方向：Fy mg sin mayt 0 時(shí)y 0Vy 0y gsin t2由、式消去t,得1 . 2ygs in x2Vo2.9 質(zhì)量為16 kg的質(zhì)點(diǎn)在xOy平面運(yùn)動(dòng)，受一恒力作用，力的分量為fx = 6 N,f y = -7N,當(dāng) t = 0 時(shí)，xvx = -2 m s-1,vy=0求當(dāng)t = 2 s時(shí)質(zhì)點(diǎn)的(1)位矢；(2)速度.解:(1)vxVxvyvy于是質(zhì)點(diǎn)在2s時(shí)的速度ax 一 m16ay1620 axdt5.v i47167 .8j(

20、vxt12 v夢(mèng)t )i1 ayt22v13v17(224)i()4j2821613v 7 vi - jm482.io質(zhì)點(diǎn)在流體中作直線運(yùn)動(dòng)，受與速度成正比的阻力k、(一)t速度為vo，證明(1) t時(shí)刻的速度為v = voe m ;mv(-k)tx = ( o) : 1-e m ; (3)停止運(yùn)動(dòng)前經(jīng)過的距離為 k1至vo的，式中m為質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量.e分離變量，得akvmdv dtdvkdtvmv dvt kdtvo v0 mIn -ktln e扁Vo-tmvex vdt1(3)質(zhì)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)速度為零，即t is.故有上to voe m dtmvokv ( k為常數(shù))作用，t =0時(shí)質(zhì)點(diǎn)的由o到

21、t的時(shí)間經(jīng)過的距離為Vo(m) ; (4)當(dāng)t m k時(shí)速度減 k(4)當(dāng)t= m時(shí)，其速度為ivevoekk m m t ve即速度減至vo的1.e2.11 一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)以與地的仰角 =3o的初速v0從地面拋出，若忽略空氣阻力，求質(zhì)點(diǎn)落地時(shí)相對(duì)拋射時(shí)的動(dòng)量的增量. 解：依題意作出示意圖如題 2.11圖在忽略空氣阻力情況下，拋體落地瞬時(shí)的末速度大小與初速度大小相同，與軌道相切斜向下而拋物線具有對(duì) y軸對(duì)稱性，故末速度與 x軸夾角亦為30，則動(dòng)量的增量為由矢量圖知，動(dòng)量增量大小為p mv mv0mv0，方向豎直向下.2.12 質(zhì)量為m的小球從某一高度處水平拋出，落在水平桌面上發(fā)生彈性碰撞.并

22、在拋出1 s后，跳回到原高度，速度仍是水平方向，速度大小也與拋出時(shí)相等求小球與桌面碰 撞過程中，桌面給予小球的沖量的大小和方向.并回答在碰撞過程中， 小球的動(dòng)量是否守恒？解：由題知，小球落地時(shí)間為 0.5 s .因小球?yàn)槠綊佭\(yùn)動(dòng)，故小球落地的瞬時(shí)向下的速度大小為v1 gt 0.5g，小球上跳速度的大小亦為 v2 0.5g .設(shè)向上為y軸正向，則動(dòng)量的增量p mv2 mv1方向豎直向上，大小pmv2 ( mv1) mg碰撞過程中動(dòng)量不守恒.這是因?yàn)樵谂鲎策^程中，小球受到地面給予的沖力作用.另外，碰撞前初動(dòng)量方向斜向下，碰后末動(dòng)量方向斜向上，這也說明動(dòng)量不守恒.2.13作用在質(zhì)量為10 kg的物體

23、上的力為 F (10 2t)i N,式中t的單位是s, (1)求4s后,這物體的動(dòng)量和速度的變化，以及力給予物體的沖量.(2)為了使這力的沖量為200 N s,該力應(yīng)在這物體上作用多久，試就一原來靜止的物體和一個(gè)具有初速度6j m- s-1的物體,回答這兩個(gè)問題.解：(1)若物體原來靜止，則t41p1o Fdt o (10 2t)idt 56 kg msl,沿 x 軸正向，v1p15.6 m s 1im1h 556 kg m s i若物體原來具有6ms 1初速，則tmv0o Fdt于是t FPomvo, p m( vo0 dt)0 mt同理,P2P Po 0 FdtPiv2Vi , I 2 I

24、 1這說明，只要力函數(shù)不變，作用時(shí)間相同，則不管物體有無初動(dòng)量，也不管初動(dòng)量有多大,那么物體獲得的動(dòng)量的增量 （亦即沖量）就一定相同，這就是動(dòng)量定理. 同上理，兩種情況中的作用時(shí)間相同，即t 2I 。（10 2t）dt 10t t2亦即t2 10t 200 0解得t 10s, (t 20s舍去)2.14 一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)在xOy平面上運(yùn)動(dòng)，其位置矢量為r a cos ti bsin tj求質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量及t 到t廠時(shí)間質(zhì)點(diǎn)所受的合力的沖量和質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的改變量.解:質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量為p mv m ( asin ti bcos tj)將t 0和t分別代入上式，得2P1m bj , P2m ai ,則動(dòng)量的增量

25、亦即質(zhì)點(diǎn)所受外力的沖量為IPP2P1m (ai bj)2.15 一顆子彈由槍口射出時(shí)速率為 vm s 1，當(dāng)子彈在槍筒被加速時(shí)，它所受的合力為F=（a bt）N（ a, b為常數(shù)），其中t以秒為單位：（1）假設(shè)子彈運(yùn)行到槍口處合力剛好為零，試計(jì)算子彈走完槍筒全長(zhǎng)所需時(shí)間；（2）求子彈所受的沖量.（3）求子彈的質(zhì)量.解：（1）由題意，子彈到槍口時(shí)，有，口 aF （a bt） 0,得 t -b(2)子彈所受的沖量o(abt)dt將t a代入，得b2a2b(3) 由動(dòng)量定理可求得子彈的質(zhì)量IVo2a2bVo2.16 一炮彈質(zhì)量為 m，以速率v飛行，其部炸藥使此炮彈分裂為兩塊，爆炸后由于炸藥使 彈片增

26、加的動(dòng)能為T，且一塊的質(zhì)量為另一塊質(zhì)量的k倍，如兩者仍沿原方向飛行，試證其速率分別為2kTm證明：設(shè)一塊為mi，則另一塊為m2，mi于是得mi又設(shè)m1的速度為Vi, m2的速度為1 2mivi2mvkm2 及 mb m2 mkmm,m2k ik iv，則有i 2 m?v2i 2 mv22mivim2v2聯(lián)立、解得V2(ki)v kvi2T2將代入，并整理得于是有將其代入式，有又，題述爆炸后，兩彈片仍沿原方向飛行，故只能取3i 4j 16km時(shí)，求F所作證畢.的功.(2)如果質(zhì)點(diǎn)到r處時(shí)需0.6s，試求平均功率. 的變化.(3)如果質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為1kg，試求動(dòng)能解：(1)由題知，F(xiàn)合為恒力，A合F

27、 r(7i6j)(3i 4j 16k)212445 JA45P75wt0.6(3)由動(dòng)能定理，Ek A45 J2.17設(shè)F合7i 6jN . (1)當(dāng)一質(zhì)點(diǎn)從原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到r2.18以鐵錘將一鐵釘擊入木板，設(shè)木板對(duì)鐵釘?shù)淖枇εc鐵釘進(jìn)入木板的深度成正比，在鐵 錘擊第一次時(shí)，能將小釘擊入木板1 cm,問擊第二次時(shí)能擊入多深，假定鐵錘兩次打擊鐵釘時(shí)的速度相同.o題2.18圖解：以木板上界面為坐標(biāo)原點(diǎn)，向?yàn)閥坐標(biāo)正向，如題2.18圖，則鐵釘所受阻力為f ky第一錘外力的功為 Ai1 kA sf dy s fdy 0kydy式中f是鐵錘作用于釘上的力，f是木板作用于釘上的力，在 dt 0時(shí)，f設(shè)第二錘外力的

28、功為 A2，則同理，有A2, 11 , 2 kA21 kydy ky2由題意，有AAi2、k(2mv )2即1 2kkky2222所以，Y22于是釘子第二次能進(jìn)入的深度為y y2yi2i 0.4i4cm2.19 設(shè)已知一質(zhì)點(diǎn)(質(zhì)量為m)在其保守力場(chǎng)中位矢為 r點(diǎn)的勢(shì)能為EP(r) k/rn,試 求質(zhì)點(diǎn)所受保守力的大小和方向.解:F(r)dEp(r)nkdr方向與位矢r的方向相反，方向指向力心.2.20 一根勁度系數(shù)為k1的輕彈簧A的下端，掛一根勁度系數(shù)為k2的輕彈簧B , B的下端又掛一重物C , C的質(zhì)量為M，如題2.20圖.求這一系統(tǒng)靜止時(shí)兩彈簧的伸長(zhǎng)量之比和彈 性勢(shì)能之比.題2.20圖解

29、：彈簧A、B及重物C受力如題2.20圖所示平衡時(shí)，有Fa fb MgFaki XiFbk2X2所以靜止時(shí)兩彈簧伸長(zhǎng)量之比為kiXiX2彈性勢(shì)能之比為Epi 2kl X；上EP2頭 X22.21 (1)試計(jì)算月球和地球?qū)物體的引力相抵消的一點(diǎn)P，距月球表面的距離是多少 ？地球質(zhì)量5.98 X 1024 kg,地球中心到月球中心的距離3.84 X 108m,月球質(zhì)量7.35 X 1022kg ,月球半徑1.74 X 106m (2)如果一個(gè)1kg的物體在距月球和地球均為無限遠(yuǎn)處的勢(shì)能為零，那 么它在P點(diǎn)的勢(shì)能為多少？解：(1)設(shè)在距月球中心為r處F月引F地引，由萬有引力定律,mM月GprmM地G

30、 經(jīng)整理，得5.9838.32.7.35 102210247.3522103.48108106 m則P點(diǎn)處至月球表面的距離為(38.321.74)1063.66107 m 質(zhì)量為1 kg的物體在P點(diǎn)的引力勢(shì)能為EPGr6.671011227.35 103.8376.671071011245.98 1038.4 3.831071.28106 J2.22如題2.22圖所示,一物體質(zhì)量為2kg，以初速度v0 = 3m- s從斜面A點(diǎn)處下滑，它與斜面的摩擦力為8N,到達(dá)B點(diǎn)后壓縮彈簧20cm后停止，然后又被彈回，求彈簧的勁度系數(shù) 和物體最后能回到的高度.題2.22圖解：取木塊壓縮彈簧至最短處的位置為重

31、力勢(shì)能零點(diǎn)，彈簧原長(zhǎng)處為彈性勢(shì)能零點(diǎn)。則由 功能原理，有frs 1 kx2- mv02 mgssin 372 21 22mvomgss in 37式中s 4.80.25 m， x 0.2 m，再代入有關(guān)數(shù)據(jù)，解得k 1450 N m再次運(yùn)用功能原理，求木塊彈回的高度hfr s mgs sin37o - kx2代入有關(guān)數(shù)據(jù)，得s 1.45m,則木塊彈回高度h s sin 37o 0.87 m2.23質(zhì)量為M的大木塊具有半徑為 R的四分之一弧形槽，如題 2.23圖所示質(zhì)量為 m的 小立方體從曲面的頂端滑下， 大木塊放在光滑水平面上， 二者都作無摩擦的運(yùn)動(dòng)， 而且都從 靜止開始，求小木塊脫離大木塊時(shí)

32、的速度.解： m從M上下滑的過程中，機(jī)械能守恒，以 m, M，地球?yàn)橄到y(tǒng)，以最低點(diǎn)為重力勢(shì) 能零點(diǎn)，則有1 1mgR mv2MV22 2又下滑過程，動(dòng)量守恒，以 m、M為系統(tǒng)，則在 m脫離M瞬間，水平方向有mv MV 0聯(lián)立以上兩式，得v ：2MgR， m M試證碰后兩小球的運(yùn)動(dòng)方向2.24 一個(gè)小球與一質(zhì)量相等的靜止小球發(fā)生非對(duì)心彈性碰撞, 互相垂直.證：兩小球碰撞過程中，機(jī)械能守恒，有1 21 2 1 2 mv2 2 22 2 2VoViV2M題 2.24 圖(a)題 2.24 圖(b)2mvo又碰撞過程中，動(dòng)量守恒，即有亦即mvo mvi mv2voviv2由可作出矢量三角形如圖(b)，

33、又由式可知三矢量之間滿足勾股定理，且以v0為斜邊,故知w與v2是互相垂直的.習(xí)題33.1選擇題(1) 有一半徑為R的水平圓轉(zhuǎn)臺(tái)，可繞通過其中心的豎直固定光滑軸轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，開始時(shí)轉(zhuǎn)臺(tái)以勻角速度3 o轉(zhuǎn)動(dòng)，此時(shí)有一質(zhì)量為 m的人站在轉(zhuǎn)臺(tái)中心，隨后人沿半徑向外跑去，當(dāng)人到達(dá)轉(zhuǎn)臺(tái)邊緣時(shí)，轉(zhuǎn)臺(tái)的角速度為(A)J2J mR(C)JmR2 c答案:(B) (J m)R20(D) o(A)(2) 如題3.1 (2)圖所示，一光滑的表面半徑為 10cm的半球形碗，以勻角速 度3繞其對(duì)稱軸OC旋轉(zhuǎn)，已知放在碗表面上的一個(gè)小球P相對(duì)于碗靜止，其位置高于碗底4cm,則由此可推知碗旋轉(zhuǎn)的角速度約為(A) 13r

34、ad/s(B)17rad/s(C)10rad/s(D)18rad/s(a)(b)題3.1 (2)圖答案：(A)(3) 如3.1(3)圖所示，有一小塊物體，置于光滑的水平桌面上，有一繩其一端連結(jié)此物體，；另一端穿過桌面的小孔，該物體原以角速度在距孔為R的圓周上轉(zhuǎn)動(dòng)，今將繩從小孔緩慢往下拉，則物體(A) 動(dòng)能不變，動(dòng)量改變。(B) 動(dòng)量不變，動(dòng)能改變。(C) 角動(dòng)量不變，動(dòng)量不變。(D) 角動(dòng)量改變，動(dòng)量改變。(E) 角動(dòng)量不變，動(dòng)能、動(dòng)量都改變。答案：(E)3.2填空題(1)半徑為30cm的飛輪，從靜止開始以0.5rad s-2的勻角加速轉(zhuǎn)動(dòng)，則飛輪邊緣上一點(diǎn)在飛輪轉(zhuǎn)過240?時(shí)的切向加速度aT

35、 =，法向加速度答案：0.15;1.256(2)如題3.2 (2)圖所示，一勻質(zhì)木球固結(jié)在一細(xì)棒下端，且可繞水平光滑固定軸 O轉(zhuǎn)動(dòng)，今有一子彈沿著與水平面成一角度的方向擊中木球而嵌于其中，則在此擊中過程中，木球、子彈、細(xì)棒系統(tǒng)的守恒，原因是。木球被擊中后棒和球升高的過程中，對(duì)木球、子彈、細(xì)棒、地球系統(tǒng)的 守恒。圖答案：對(duì)0軸的角動(dòng)量守恒，因?yàn)樵谧訌棑糁心厩蜻^程中系統(tǒng)所受外力對(duì) 軸的合外力矩為零，機(jī)械能守恒 兩個(gè)質(zhì)量分布均勻的圓盤 A和B的密度分別為p A和p B （ p Ap B）,且兩圓盤的 總質(zhì)量和厚度均相同。設(shè)兩圓盤對(duì)通過盤心且垂直于盤面的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為Ja和Jb，則有JaJb。（填

36、 、或=）答案：3.3剛體平動(dòng)的特點(diǎn)是什么？平動(dòng)時(shí)剛體上的質(zhì)元是否可以作曲線運(yùn)動(dòng)？ 解：剛體平動(dòng)的特點(diǎn)是：在運(yùn)動(dòng)過程中，部任意兩質(zhì)元間的連線在各個(gè)時(shí)刻的位置 都和初始時(shí)刻的位置保持平行。平動(dòng)時(shí)剛體上的質(zhì)元可以作曲線運(yùn)動(dòng)。3.4岡U體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的特點(diǎn)是什么？剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)各質(zhì)元的角速度、線速度、向心 加速度、切向加速度是否相同？解：剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的特點(diǎn)是：軸上所有各點(diǎn)都保持不動(dòng)，軸外所有各點(diǎn)都在作圓周 運(yùn)動(dòng)，且在同一時(shí)間間隔轉(zhuǎn)過的角度都一樣；剛體上各質(zhì)元的角量相同，而各質(zhì)元 的線量大小與質(zhì)元到轉(zhuǎn)軸的距離成正比。因此各質(zhì)元的角速度相同，而線速度、向 心加速度、切向加速度不一定相同。3.5剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

37、與哪些因素有關(guān)？請(qǐng)舉例說明。解：剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與剛體的質(zhì)量、質(zhì)量的分布、轉(zhuǎn)軸的位置等有關(guān)。如對(duì)過圓心 且與盤面垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量而言，形狀大小完全相同的木質(zhì)圓盤和鐵質(zhì)圓盤中鐵 質(zhì)的要大一些，質(zhì)量相同的木質(zhì)圓盤和木質(zhì)圓環(huán)則是木質(zhì)圓環(huán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量要大。3.6剛體所受的合外力為零，其合力矩是否一定為零？相反，剛體受到的合力矩為 零，其合外力是否一定為零？解：剛體所受的合外力為零，其合力矩不一定為零；剛體受到的合力矩為零，其合 外力不一定為零。3.7 一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)位于（xyj處，速度為v vxivy j,質(zhì)點(diǎn)受到一個(gè)沿 x負(fù)方向的力f的作用，求相對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)的角動(dòng)量以及作用于質(zhì)點(diǎn)上的力的力矩.解：由

38、題知，質(zhì)點(diǎn)的位矢為作用在質(zhì)點(diǎn)上的力為r xiiyi jfi所以，質(zhì)點(diǎn)對(duì)原點(diǎn)的角動(dòng)量為L(zhǎng)or mvv v (xiiyij)V V m(Vxi Vyj)(xi mvy %mVx)k作用在質(zhì)點(diǎn)上的力的力矩為Mo r(xii yi j)fi ) yi fk3.8哈雷彗星繞太陽運(yùn)動(dòng)的軌道是一個(gè)橢圓它離太陽最近距離為ri = 8.75 x i0i0m 時(shí)的速率是w = 5.46 x 104 m- s-1 ,它離太陽最遠(yuǎn)時(shí)的速率是v2 = 9.08 x 10務(wù)s-1這時(shí)它離太陽的距離D是多少?（太陽位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)。）解：哈雷彗星繞太陽運(yùn)動(dòng)時(shí)受到太陽的引力一一即有心力的作用,哈雷彗星在近日點(diǎn)及遠(yuǎn)日點(diǎn)時(shí)的速

39、度都與軌道半徑垂直，故有所以角動(dòng)量守恒；又由于r1mv1 r2mv2riViV28.75 1O10 5.46 1049.08 1025.26 1012 m3.9物體質(zhì)量為3kg, t =0時(shí)位于r 4i m ,v i 6j m s1，如一恒力5j N作用在物體上，求3秒后,（1）物體動(dòng)量的變化；30 5jdt 15j kgfdt相對(duì)z軸角動(dòng)量的變化.X。V0xtV0yt丄at22313 3225ri7i25.5jVxV0xVyVoyat6|3 11Vi6j,V211 jL1 r1mv14i 3( i6j)72kr2 mv2(7i25.5j)3(i11 j) 154.5kL2L182.5kkgp

40、l 解(二)T M 一dtdtt0(rF)dt30(4t)i(6t5-t32)j5jdt305(4t)kdt 82.5k kg m23.10平板中央開一小孔，質(zhì)量為m的小球用細(xì)線系住，細(xì)線穿過小孔后掛一質(zhì)量為M1的和半徑r為多少？題3.10圖重物小球作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，當(dāng)半徑為r0時(shí)重物達(dá)到平衡.今在M1的下方再掛一質(zhì)量為 M2的物體，如題3.10圖試問這時(shí)小球作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的角速度解：在只掛重物時(shí) M1，小球作圓周運(yùn)動(dòng)的向心力為Mp，即M1gmr掛上M2后，則有(M1 M 2)g mr重力對(duì)圓心的力矩為零，故小球?qū)A心的角動(dòng)量守恒.r0mv0 r mv22r0 r聯(lián)立、得2 m2)31M1M2)

41、3M1ro3.11飛輪的質(zhì)量m = 60kg，半徑R = 0.25m，繞其水平中心軸 O轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)速為900rev min-1.現(xiàn)利用一制動(dòng)的閘桿，在閘桿的一端加一豎直方向的制動(dòng)力F，可使飛輪減速.已知閘桿的尺寸如題 3.11圖所示，閘瓦與飛輪之間的摩擦系數(shù)=0.4，飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可按勻質(zhì)圓盤計(jì)算.試求：(1) 設(shè)F = 100 N，問可使飛輪在多長(zhǎng)時(shí)間停止轉(zhuǎn)動(dòng)？在這段時(shí)間里飛輪轉(zhuǎn)了幾轉(zhuǎn)？(2) 如果在2s飛輪轉(zhuǎn)速減少一半，需加多大的力F ?解：(1)先作閘桿和飛輪的受力分析圖(如圖(b).圖中N、N是正壓力，F(xiàn)r、Fr是摩擦力，F(xiàn)x和Fy是桿在A點(diǎn)轉(zhuǎn)軸處所受支承力，R是輪的重力，P是輪在O軸處

42、所受支承力.A題 3.11 圖(a)桿處于靜止?fàn)顟B(tài)，所以對(duì)題 3.11 圖(b)A點(diǎn)的合力矩應(yīng)為零，設(shè)閘瓦厚度不計(jì)，則有F(l1 l2) N l10 N 匕l(fā)1對(duì)飛輪，按轉(zhuǎn)動(dòng)定律有FrR/l，式中負(fù)號(hào)表示與角速度方向相反.FrNN N又以F 100 N等代入上式，得FrNl1 l2I - mR2,2FrR2 (I- I2) FImRI12 .40(.50 .75) 100 蘭 rad360 0.25 0.50由此可算出自施加制動(dòng)閘開始到飛輪停止轉(zhuǎn)動(dòng)的時(shí)間為0900 2360 407.06 s這段時(shí)間飛輪的角位移為0tt2900 260)253.1rad可知在這段時(shí)間里，飛輪轉(zhuǎn)了2 10900

43、rad s6053.1 轉(zhuǎn).，要求飛輪轉(zhuǎn)速在2s減少一半，可知號(hào)rad設(shè)大小圓柱體m1和m2相連，m = 4 kg, M02t用上面式(1)所示的關(guān)系，可求出所需的制動(dòng)力為FmR12 (h I2)60 0.25 0.50 152 0.40 (0.50 0.75) 2177N3.12固定在一起的兩個(gè)同軸均勻圓柱體可繞其光滑的水平對(duì)稱軸00轉(zhuǎn)動(dòng).的半徑分別為 R和r,質(zhì)量分別為 M和m.繞在兩柱體上的細(xì)繩分別與物體m1和m2則掛在圓柱體的兩側(cè)，如題3.12圖所示.設(shè)R = 0.20m, r = 0.10m,=10 kg , m1 = m2 = 2 kg，且開始時(shí) m1, m2離地均為h = 2m求

44、：(1) 柱體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的角加速度；兩側(cè)細(xì)繩的力.解：設(shè)ai, a2和B分別為mi,和柱體的加速度及角加速度，方向如圖(如圖b).題 3.12(a)圖題 3.12(b)圖(1) mm?和柱體的運(yùn)動(dòng)方程如下：T2m2gm： a：ggT1”|冋T1 RT2I式中T1T1,T2T2,a2r ,a1 R而I1 丄MR22 1 2mr 2由上式求得Rm. rm222 gI m1 Rm2r0.220.1 :29.81 2 -10 0.20 26.13 rad s 21420.10222 20.20 2 0.10(2)由式T2m2rm?g20.10 6.13 2 9.820.8 N由式T1mpm1 R29.8

45、2 0.2. 6.1317.1 N3.13計(jì)算題3.13圖所示系統(tǒng)中物體的加速度設(shè)滑輪為質(zhì)量均勻分布的圓柱體，其質(zhì)量為M，半徑為r，在繩與輪緣的摩擦力作用下旋轉(zhuǎn)，忽略桌面與物體間的摩擦，設(shè)m1 = 50kg, m2 = 200 kg,M = 15 kg, r = 0.1 m解：分別以mi, m2滑輪為研究對(duì)象，受力圖如圖(b)所示.對(duì)mi, m2運(yùn)用牛頓定律，有m2gT2m2 am2gMm1m22200 9.85 2007.6ms2題 3.13(b)圖題 3.13(a)圖3.14如題3.14圖所示，一勻質(zhì)細(xì)桿質(zhì)量為m，長(zhǎng)為I，可繞過一端 0的水平軸自由轉(zhuǎn)動(dòng),T1m1a對(duì)滑輪運(yùn)用轉(zhuǎn)動(dòng)定律，有1

46、2T2r T1r Mr2)又，a r聯(lián)立以上4個(gè)方程，得桿于水平位置由靜止開始擺下求:(1) 初始時(shí)刻的角加速度；(2) 桿轉(zhuǎn)過角時(shí)的角速度題3.14圖解：(1)由轉(zhuǎn)動(dòng)定律，有mgl (fml2)3g2l(2)由機(jī)械能守恒定律，有mg i sin；(；ml2) 22 33gsin.丨3.15如題3.15圖所示，質(zhì)量為 M，長(zhǎng)為I的均勻直棒，可繞垂直于棒一端的水平軸0無摩擦地轉(zhuǎn)動(dòng)，它原來靜止在平衡位置上現(xiàn)有一質(zhì)量為m的彈性小球飛來，正好在棒的下端與棒垂直地相撞.相撞后，使棒從平衡位置處擺動(dòng)到最大角度30處.(1) 設(shè)這碰撞為彈性碰撞，試計(jì)算小球初速Vo的值；(2) 相撞時(shí)小球受到多大的沖量？0K1M -O鬲-題3.15圖解：(1)設(shè)小球的初速度為v0，棒經(jīng)小球碰撞后得到的初角速度為，而小球的速度變?yōu)関 ,按題意，小球和棒作彈性碰撞，所以碰撞時(shí)遵從角動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律，可 列式：mvolImvl1212 1 22mvoI2mv21 2上兩式中13MI，碰撞過程極為短暫，可認(rèn)為棒沒有顯著的角位移；碰撞后，棒從