大學(xué)物理：19-3波函數(shù)、薛定諤方程_12

1、作業(yè)：作業(yè)：練習(xí)二十七練習(xí)二十七 量子力學(xué)量子力學(xué) 建立于建立于 1923 1927 年間，年間，兩個(gè)等價(jià)的理論兩個(gè)等價(jià)的理論 矩陣力學(xué)和波動(dòng)力學(xué)矩陣力學(xué)和波動(dòng)力學(xué) . 相對(duì)論量子力學(xué)相對(duì)論量子力學(xué)（1928 年，狄拉克）：年，狄拉克）：描述高速運(yùn)動(dòng)的粒子的波動(dòng)方程描述高速運(yùn)動(dòng)的粒子的波動(dòng)方程 . 薛定諤（薛定諤（Erwin Schrodinger，8871961）奧地利物理學(xué)家奧地利物理學(xué)家. 1926年建立了以薛定諤方程為基礎(chǔ)的波年建立了以薛定諤方程為基礎(chǔ)的波動(dòng)力學(xué)動(dòng)力學(xué),并建立了量子力學(xué)的近似方法并建立了量子力學(xué)的近似方法 .19-3 19-3 波函數(shù)波函數(shù) 薛定諤方程薛定諤方程1 1、

2、自由粒子的波函數(shù)、自由粒子的波函數(shù)設(shè)一自由粒子，不受外力作用，則粒子作勻速直線運(yùn)動(dòng)設(shè)一自由粒子，不受外力作用，則粒子作勻速直線運(yùn)動(dòng)（設(shè)沿（設(shè)沿X X軸），其動(dòng)量、能量保持恒定。軸），其動(dòng)量、能量保持恒定。constE hE constP ph 恒定！恒定！恒定！恒定！從波動(dòng)觀點(diǎn)看來：這種波只能是單色平面波從波動(dòng)觀點(diǎn)看來：這種波只能是單色平面波X一、波函數(shù)：描述具有波粒二象性粒子的運(yùn)動(dòng)函數(shù)。一、波函數(shù)：描述具有波粒二象性粒子的運(yùn)動(dòng)函數(shù)。hE ph 恒定！恒定！恒定！恒定！從不確定關(guān)系來研究：從不確定關(guān)系來研究：constP constE 0 P x 0 E t 沿整個(gè)沿整個(gè)X軸傳播軸傳播波列長(zhǎng)為

3、波列長(zhǎng)為 長(zhǎng)長(zhǎng)結(jié)論：自由粒子的結(jié)論：自由粒子的De BrDe Brglieglie波是單色平面波波是單色平面波其波函數(shù)為：其波函數(shù)為：)(20 xtCos 依德布羅依德布羅意關(guān)系式意關(guān)系式)/(20phxthECos 其波函其波函數(shù)為：數(shù)為：)(20 xtCos )/(20phxthECos )(20pxEthCos )(10pxEtCos )(10pxEtCos 常寫成常寫成復(fù)數(shù)：復(fù)數(shù)：)(0EtPxie r當(dāng)粒子沿著當(dāng)粒子沿著 方向傳播時(shí)：方向傳播時(shí)：rZXYkzjyixr kPjPiPPZyx 其中：其中：注意：波函數(shù)一般要用復(fù)數(shù)表示！注意：波函數(shù)一般要用復(fù)數(shù)表示！P)(0EtPxie

4、)(0EtrPie 三維自由粒子的波函數(shù)三維自由粒子的波函數(shù)二、波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)銓釋（波恩二、波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)銓釋（波恩Born） 代表什么？只有實(shí)踐才是檢驗(yàn)真代表什么？只有實(shí)踐才是檢驗(yàn)真理的標(biāo)準(zhǔn)，看電子的單縫衍射：理的標(biāo)準(zhǔn)，看電子的單縫衍射：1 1、大量電子的一次性行為：、大量電子的一次性行為：極大值極大值極小值極小值中間值中間值較多電子到達(dá)較多電子到達(dá)較少電子到達(dá)較少電子到達(dá)介于二者之間介于二者之間波強(qiáng)度大，波強(qiáng)度大，220 或大大220 或小小波強(qiáng)度小，波強(qiáng)度小，波強(qiáng)介于二者之間波強(qiáng)介于二者之間粒子的觀點(diǎn)粒子的觀點(diǎn)波動(dòng)的觀點(diǎn)波動(dòng)的觀點(diǎn) 統(tǒng)一地看：粒子出現(xiàn)的統(tǒng)一地看：粒子出現(xiàn)的概率概率正比于正比于

5、220 或2 2、一個(gè)粒子多次重復(fù)性行為、一個(gè)粒子多次重復(fù)性行為較長(zhǎng)時(shí)間以后較長(zhǎng)時(shí)間以后極大值極大值極小值極小值中間值中間值較多電子到達(dá)較多電子到達(dá)較少電子到達(dá)較少電子到達(dá)介于二者之間介于二者之間波強(qiáng)度大，波強(qiáng)度大，220 或大大220 或小小波強(qiáng)度小，波強(qiáng)度小，波強(qiáng)介于二者之間波強(qiáng)介于二者之間粒子的觀點(diǎn)粒子的觀點(diǎn)波動(dòng)的觀點(diǎn)波動(dòng)的觀點(diǎn)U統(tǒng)一地看：粒子出現(xiàn)的統(tǒng)一地看：粒子出現(xiàn)的概率概率正比于正比于220 或結(jié)論結(jié)論：1）某某 t 時(shí)刻在空間某點(diǎn)時(shí)刻在空間某點(diǎn)r處粒子出現(xiàn)的概率與該處粒子出現(xiàn)的概率與該時(shí)刻、該地點(diǎn)波函數(shù)模的平方成正比。時(shí)刻、該地點(diǎn)波函數(shù)模的平方成正比。202 （1 1）概率密度）概

6、率密度在在 t 時(shí)刻粒子在某時(shí)刻粒子在某 r 處單位體積內(nèi)出現(xiàn)的概率。處單位體積內(nèi)出現(xiàn)的概率。波函數(shù)波函數(shù) 是描述粒子在空間某處概率分布的是描述粒子在空間某處概率分布的“概率振幅概率振幅”簡(jiǎn)稱概率幅。簡(jiǎn)稱概率幅。概率幅模的平方概率幅模的平方dxdydzdVdW*2 （2 2）概率：）概率： 代表代表 t 時(shí)刻時(shí)刻 在在 處單位體積中發(fā)現(xiàn)一個(gè)粒子的概率處單位體積中發(fā)現(xiàn)一個(gè)粒子的概率 r t 時(shí)刻在時(shí)刻在 附近附近dV內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子的概率為：內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子的概率為：r結(jié)論：結(jié)論：2 2）波函數(shù)所描述的是處于相同條件下，大量）波函數(shù)所描述的是處于相同條件下，大量 粒子的一次性行為和一個(gè)粒子多次性重復(fù)粒子的一

7、次性行為和一個(gè)粒子多次性重復(fù) 性行為。性行為。微觀粒子遵循的是統(tǒng)計(jì)規(guī)律，而不是經(jīng)典的決定性規(guī)律。微觀粒子遵循的是統(tǒng)計(jì)規(guī)律，而不是經(jīng)典的決定性規(guī)律。牛頓說：牛頓說：只要給出了初始條件，下一時(shí)刻粒只要給出了初始條件，下一時(shí)刻粒 子的軌跡是已知的，決定性的。子的軌跡是已知的，決定性的。量子力學(xué)說：量子力學(xué)說：波函數(shù)不給出粒子在什么時(shí)刻波函數(shù)不給出粒子在什么時(shí)刻一定到達(dá)某點(diǎn)，只給出到達(dá)各點(diǎn)的統(tǒng)計(jì)分布；一定到達(dá)某點(diǎn)，只給出到達(dá)各點(diǎn)的統(tǒng)計(jì)分布；即只知道即只知道| | | |2 2大的地方粒子出現(xiàn)的可能性大，大的地方粒子出現(xiàn)的可能性大，| | | |2 2小的地方小的地方概率概率小。一個(gè)粒子下一時(shí)刻出小。一

8、個(gè)粒子下一時(shí)刻出現(xiàn)在什么地方，走什么路徑是不知道的（非現(xiàn)在什么地方，走什么路徑是不知道的（非決定性的）決定性的）結(jié)論：結(jié)論：3 3）波函數(shù)所代表的波是概率波。）波函數(shù)所代表的波是概率波。在在| | | |2 2大的地方大的地方微觀粒子出現(xiàn)多微觀粒子出現(xiàn)多，| | | |2 2小的地方粒子出小的地方粒子出現(xiàn)少；粒子按波的形式去分配粒子出現(xiàn)的概率?，F(xiàn)少；粒子按波的形式去分配粒子出現(xiàn)的概率。例）求一個(gè)能量為例）求一個(gè)能量為E E、動(dòng)量為、動(dòng)量為P P的自由粒子的的自由粒子的概率概率密度。密度。w)(*的共軛復(fù)數(shù)為 )(0rPEtie )(0rPEtie )(0rPEtie const 20 解：波函

9、數(shù)解：波函數(shù)且與位置無關(guān)。在全空間粒子出現(xiàn)的且與位置無關(guān)。在全空間粒子出現(xiàn)的概率概率一樣一樣).(tr 1 VdVW 3、波函數(shù)的性質(zhì)：、波函數(shù)的性質(zhì)：（1 1）波函數(shù)具有有限性）波函數(shù)具有有限性在空間是有限函數(shù)在空間是有限函數(shù)（2）波函數(shù)是連續(xù)的波函數(shù)是連續(xù)的只差一微量處概率密度與處的概率密度即在)()(rdrrdrrr （3）波函數(shù)是單值的波函數(shù)是單值的粒子在空間出現(xiàn)的粒子在空間出現(xiàn)的概率概率只可能是一個(gè)值只可能是一個(gè)值（4）滿足歸一化條件滿足歸一化條件（Narmulisation）1 dVW （歸一化條件）（歸一化條件）因?yàn)榱Ｗ釉谌臻g出現(xiàn)是必然事件因?yàn)榱Ｗ釉谌臻g出現(xiàn)是必然事件問題的提

10、出：?jiǎn)栴}的提出：物理討論會(huì)（物理討論會(huì)（19261926）薛定諤：你能不能給我們講一講薛定諤：你能不能給我們講一講De Broglie的那篇學(xué)位論文呢？的那篇學(xué)位論文呢？瑞士聯(lián)邦工業(yè)大學(xué)瑞士聯(lián)邦工業(yè)大學(xué)處理波要有一個(gè)波動(dòng)處理波要有一個(gè)波動(dòng)方方程程才行啦！才行啦！德德拜拜薛薛定定諤諤三、三、薛定諤方程：薛定諤方程：瑞士聯(lián)邦工業(yè)大學(xué)瑞士聯(lián)邦工業(yè)大學(xué)德德拜拜薛薛定定諤諤我的同行提出，要有一個(gè)波動(dòng)方程，今天我的同行提出，要有一個(gè)波動(dòng)方程，今天我找到了一個(gè)：我找到了一個(gè)： )(222xyztUmti 氫原子能量：氫原子能量：光譜波長(zhǎng)：光譜波長(zhǎng)：激發(fā)態(tài)壽命：激發(fā)態(tài)壽命：薛定諤，波函數(shù)，能解很多好薛定諤，波

11、函數(shù)，能解很多好東西。若問這是為什么？東西。若問這是為什么？誰也不知道！誰也不知道！散會(huì)后：散會(huì)后：薛定諤方程是利用經(jīng)典物理，或薛定諤方程是利用經(jīng)典物理，或者說開始只不過是一個(gè)假定，者說開始只不過是一個(gè)假定，后為實(shí)驗(yàn)證實(shí)。后為實(shí)驗(yàn)證實(shí)。物理討論會(huì)（物理討論會(huì)（19261926）1、自由粒子的、自由粒子的 Schrding 方程方程設(shè)有一作勻速直線運(yùn)動(dòng)的自由粒子沿設(shè)有一作勻速直線運(yùn)動(dòng)的自由粒子沿 X 軸運(yùn)動(dòng)。軸運(yùn)動(dòng)。（非相對(duì)論條件下討論，低速微粒）（非相對(duì)論條件下討論，低速微粒）適用條件適用條件 c，低速微觀粒子，低速微觀粒子1 1）一維自由粒子的）一維自由粒子的schrschrdingding

12、方程方程pkEEE ,恒定與不變 PE其波函數(shù)為：其波函數(shù)為：)1()(0 xPEtixe （1）式對(duì)）式對(duì) t 求導(dǎo)：求導(dǎo)：)1()(0 xPEtixe )2( Eit （1）式對(duì)）式對(duì) x 求二階偏導(dǎo)數(shù)：求二階偏導(dǎo)數(shù)：)3(2222 xPx i 式)2()4( Eti 自由粒子非相對(duì)論條件下總能量：自由粒子非相對(duì)論條件下總能量：)5(222222 mPxmx )2/()3(2m 式mPEExk22 （4）、（）、（5）式比較：）式比較：)6(2222xmti 自由粒子一維含時(shí)薛定諤方程自由粒子一維含時(shí)薛定諤方程2）勢(shì)場(chǎng)中的薛定諤方程）勢(shì)場(chǎng)中的薛定諤方程若粒子處在勢(shì)場(chǎng)中，勢(shì)能為若粒子處在勢(shì)場(chǎng)

13、中，勢(shì)能為U（x，t），總能量：），總能量：)7(),(22txUmPEx )8(),(22txUEmPx 將（將（5）式看成一般情況下的特例：）式看成一般情況下的特例：)5(222222 mPxmx )4( Eti )9(),(2222 txUExm 由（由（4）式：）式：)10(),(2222 txUtixm )11(),(2222 txUxmti 勢(shì)場(chǎng)中的一維含時(shí)薛定諤方程勢(shì)場(chǎng)中的一維含時(shí)薛定諤方程若為三維粒子，薛定諤方程為：若為三維粒子，薛定諤方程為：)12(),()(22222222 tzyxUzyxmti 引入拉普拉斯算符引入拉普拉斯算符2222222zyx )13().(222

14、tzyxUmti 三維含時(shí)薛定諤方程：三維含時(shí)薛定諤方程：3 3）定態(tài)薛定諤方程（重點(diǎn)）定態(tài)薛定諤方程（重點(diǎn)）定態(tài)，勢(shì)函數(shù)不顯含時(shí)間，其概率分布也不隨時(shí)間變化定態(tài)，勢(shì)函數(shù)不顯含時(shí)間，其概率分布也不隨時(shí)間變化. ),()(22222222tzyxUzyxmti )14()().(tfzyx （14）式代入方程）式代入方程).()(2).(1)()(2222222zyxzyxmzyxttftfi )15().().(zyxtzyxU ).()(2).(1)()(2222222zyxzyxmzyxttftfi )15().().(zyxtzyxU 等式左邊是等式左邊是 t 的函數(shù)，右邊是坐標(biāo)的函數(shù)，

15、但兩邊又相的函數(shù)，右邊是坐標(biāo)的函數(shù)，但兩邊又相等，故等式左右兩邊均應(yīng)與等，故等式左右兩邊均應(yīng)與 x、y、z、t 無關(guān)，現(xiàn)記為無關(guān)，現(xiàn)記為E。則：則：E)16()()(Ettftfi 其解：其解：)17()(Etietf 指數(shù)應(yīng)是無量綱的數(shù)，指數(shù)應(yīng)是無量綱的數(shù)， 的單位是的單位是“焦?fàn)柮虢範(fàn)柮搿?，故，?E 的的單位只能是能量，實(shí)際上是粒子總能量單位只能是能量，實(shí)際上是粒子總能量 E。),()(2).(1)()(2222222zyxzyxmzyxttftfi )15(),(),(zyxtzyxU E),()(2),(12222222zyxzyxmzyx )18(),(),(EzyxtzyxU )

16、,(),(),()(22222222zyxtzyxUzyxzyxm )19(),(zyxE )20().().().(222zyxEzyxUzyxm )21(0)(222 UEm整整理理),(zyx ),(zyxUU 定態(tài)薛定諤方程定態(tài)薛定諤方程)21(0)(222 UEm),(zyx 若定態(tài)薛定諤方程已解出為：若定態(tài)薛定諤方程已解出為：Etiezyxtzyx),(),( 則粒子的波函數(shù)：則粒子的波函數(shù)：注意：注意：1 1）定態(tài)波函數(shù)為一空間坐標(biāo)函數(shù)）定態(tài)波函數(shù)為一空間坐標(biāo)函數(shù) 與一時(shí)間函數(shù)與一時(shí)間函數(shù) 的乘積。的乘積。)(r )(tf2）對(duì)于定態(tài)，除能量）對(duì)于定態(tài)，除能量 E 有確定值外，其

17、幾率有確定值外，其幾率 分布也不隨時(shí)間變化。分布也不隨時(shí)間變化。222).().()(zyxezyxtrEti 2 2、薛定諤方程應(yīng)用舉例、薛定諤方程應(yīng)用舉例1 1）一維勢(shì)阱）一維勢(shì)阱對(duì)此我們提出一個(gè)理想模型，粒子限制在一個(gè)具有理想對(duì)此我們提出一個(gè)理想模型，粒子限制在一個(gè)具有理想反射壁的方匣中，方匣中粒子可自由運(yùn)動(dòng)但在匣壁處受反射壁的方匣中，方匣中粒子可自由運(yùn)動(dòng)但在匣壁處受到強(qiáng)烈的反射，越出需無限大能量到強(qiáng)烈的反射，越出需無限大能量許多情況，粒子束縛在一個(gè)很小空間（束縛態(tài)）。許多情況，粒子束縛在一個(gè)很小空間（束縛態(tài)）。+0aU , 0,)(xUaxaxx 0. 0此稱無限深勢(shì)阱此稱無限深勢(shì)阱若

18、是經(jīng)典粒子，粒子如何運(yùn)動(dòng)？若是經(jīng)典粒子，粒子如何運(yùn)動(dòng)？mEE 可取任意值，且各處出現(xiàn)的概率一樣可取任意值，且各處出現(xiàn)的概率一樣mE量子力學(xué)對(duì)粒子的分析：量子力學(xué)對(duì)粒子的分析：)21(0)(222 UEm粒子無法越過勢(shì)阱故只須考慮粒子無法越過勢(shì)阱故只須考慮0 x a區(qū)間的波函數(shù)：區(qū)間的波函數(shù)：粒子滿足一維定態(tài)薛定諤方程：粒子滿足一維定態(tài)薛定諤方程：粒子無法越過勢(shì)阱故只須考慮粒子無法越過勢(shì)阱故只須考慮0 x a區(qū)間的波函數(shù)：區(qū)間的波函數(shù)：)1(02)()(22)(2 xxxUEmx )2(02)(22)(2 xxEmx 0)( xU令：令：)3(222mEk )4(0)(22)(2 xxkdxd

19、)4(0)(22)(2 xxkdxd )3(222mEk 其解的形式：其解的形式：)5()(ikxikxxDeCe )5()cos()( kxAx0aUmE )5(cossin)(kxBkxAx 由邊界條件：由邊界條件：)6(0)(,)(,0)0(,)0(,0 aaUaxUx )7(0cos0sin0BA )8(cossin0kaBkaA 代入式（代入式（5 5）由（由（7）式）式:B=0 )5(cossin)(kxBkxAx 0aUmE) 3(222mEk 由（由（8 8）式）式: :0sin kaA0sin ka nka 3 . 2 . 1 n代入式（代入式（5）)10(sin)(xanA

20、x )11(sin)(EtixxeanA （a）波函數(shù)）波函數(shù): :)9(ank 3 . 2 . 1 nmE0aUX)11(sin)(EtixxeanA 由歸一化條件由歸一化條件: : aaxdxaxnAdxdx0202)(21)sin( 122 aA)12(2aA )3(222mEk 代入（代入（10）、（）、（11）式）式:)12(sin2)(xanaxn )13(sin2)(Etinxeanax （定態(tài)波函數(shù)）（定態(tài)波函數(shù)）3 . 2 . 1 n)15(sin2)(222axnaxn 粒子出現(xiàn)粒子出現(xiàn)的概率：的概率：（b）能量公式：）能量公式：由式（由式（3 3）、式（）、式（9 9）222)(2anmEk )14(2)(2222manEn 3 .2 .1 n)3(222mEk )9(ank )14(2)(2222manEn 3 .2 .1 n結(jié)論：結(jié)論：1）能量是量子化的，且無）能量是量子化的，且無 0 值。值。能量最小值：能量最小值：082222221 mahmaE aq ap2/ 0 E波粒二象性的必然結(jié)果！波粒二象性的必然結(jié)果！2 2）粒子在空間不同的地方出現(xiàn)的概率是不同的。）粒子在空間不同的