大學(xué)物理之第一部分粒子系統(tǒng)——第二章對(duì)稱性與守恒定律

1、第二章 對(duì)稱性與守恒定律2-1 系統(tǒng)的對(duì)稱性概述2-2 功、動(dòng)能和勢(shì)能2-3 哈密頓函數(shù)2-4 時(shí)間平移對(duì)稱性與能量守恒2-5 勢(shì)能曲線2-6 空間平移對(duì)稱性與動(dòng)量守恒2-7 空間旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性與角動(dòng)量守恒2-8 碰撞問(wèn)題的提出問(wèn)題的提出守恒定律是與宇宙中某些對(duì)稱性相聯(lián)系的。守恒定律是與宇宙中某些對(duì)稱性相聯(lián)系的。 對(duì)稱性是統(tǒng)治物理規(guī)律的規(guī)律。對(duì)稱性是統(tǒng)治物理規(guī)律的規(guī)律。守恒定律具有比力學(xué)理論更深厚的基礎(chǔ)嗎？守恒定律具有比力學(xué)理論更深厚的基礎(chǔ)嗎？經(jīng)典力學(xué)理論的局限性經(jīng)典力學(xué)理論的局限性守恒定律的普適性守恒定律的普適性宏觀宏觀低速低速宏觀、微觀、低速、高速宏觀、微觀、低速、高速2-1 系統(tǒng)的對(duì)稱性概述

2、一、系統(tǒng)一、系統(tǒng)孤立系統(tǒng)孤立系統(tǒng)封閉系統(tǒng)封閉系統(tǒng)開(kāi)放系統(tǒng)開(kāi)放系統(tǒng)系系 統(tǒng)統(tǒng)外外 界界物質(zhì)世界物質(zhì)世界2-1 系統(tǒng)的對(duì)稱性概述狀態(tài)量狀態(tài)量狀態(tài)量與系統(tǒng)經(jīng)歷的過(guò)程無(wú)關(guān)。狀態(tài)量與系統(tǒng)經(jīng)歷的過(guò)程無(wú)關(guān)。狀態(tài)量是系統(tǒng)自身所具有的物理量，與外界無(wú)關(guān)。狀態(tài)量是系統(tǒng)自身所具有的物理量，與外界無(wú)關(guān)。過(guò)程量過(guò)程量過(guò)程量與系統(tǒng)自身沒(méi)有必然的聯(lián)系，過(guò)程量是由過(guò)程量與系統(tǒng)自身沒(méi)有必然的聯(lián)系，過(guò)程量是由外界對(duì)系統(tǒng)過(guò)程產(chǎn)生作用的物理量。外界對(duì)系統(tǒng)過(guò)程產(chǎn)生作用的物理量。外力外力內(nèi)力內(nèi)力i i j jF Fi i f fi i j j f fj j i i niiFF1jiijff 動(dòng)量、角動(dòng)量、能量動(dòng)量、角動(dòng)量、能量沖量、功沖

3、量、功0 f作用在系統(tǒng)上的合力作用在系統(tǒng)上的合力FF 合2-1 系統(tǒng)的對(duì)稱性概述二、對(duì)稱性二、對(duì)稱性定義定義: :某一研究對(duì)象某一研究對(duì)象( (體系、體系、事物事物; ;物理規(guī)律物理規(guī)律) )對(duì)其狀態(tài)進(jìn)行對(duì)其狀態(tài)進(jìn)行某種操作某種操作, ,使其狀態(tài)由使其狀態(tài)由A到到B。若。若兩狀態(tài)兩狀態(tài)等價(jià)等價(jià)( (相同相同) )，就說(shuō)該研究對(duì)象，就說(shuō)該研究對(duì)象對(duì)該操作對(duì)該操作具有對(duì)稱性。具有對(duì)稱性。例例對(duì)中心對(duì)稱對(duì)中心對(duì)稱操作操作繞中心旋繞中心旋任意角任意角狀態(tài)狀態(tài)A A狀態(tài)狀態(tài)B B狀態(tài)狀態(tài)A A與狀態(tài)與狀態(tài)B B相同或等價(jià)相同或等價(jià) 對(duì)稱性破缺對(duì)稱性破缺2-1 系統(tǒng)的對(duì)稱性概述三、幾種對(duì)稱操作三、幾種對(duì)稱

4、操作1 1、空間對(duì)稱操作、空間對(duì)稱操作- - 空間變換空間變換 1)1)平移平移 2)2)旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn) 3)3)鏡象反射鏡象反射 4)4)空間反演空間反演2-1 系統(tǒng)的對(duì)稱性概述2 2、時(shí)間變換、時(shí)間變換 1)1)時(shí)間平移時(shí)間平移 2)2)時(shí)間反演時(shí)間反演3 3、時(shí)空聯(lián)合操作、時(shí)空聯(lián)合操作 伽利略變換伽利略變換- - 力學(xué)定律具有不變性力學(xué)定律具有不變性 洛侖茲變換洛侖茲變換-物理定律具有不變性物理定律具有不變性2-1 系統(tǒng)的對(duì)稱性概述物理矢量的鏡面反射物理矢量的鏡面反射 極矢量極矢量 軸矢量軸矢量MMr rrrr平行于鏡面的分平行于鏡面的分量方向相同，量方向相同，垂直于鏡面的分垂直于鏡面的分量方

5、向相反。量方向相反。 平行于鏡面的分平行于鏡面的分量方向相反，量方向相反，垂直于鏡面的分垂直于鏡面的分量方向相同。量方向相同。FavML2-1 系統(tǒng)的對(duì)稱性概述時(shí)間反演時(shí)間反演 ( (t t -t-t) ) 相當(dāng)于時(shí)間倒流相當(dāng)于時(shí)間倒流 物理上物理上: :運(yùn)動(dòng)方向反向運(yùn)動(dòng)方向反向即即: : 速度對(duì)時(shí)間反演變號(hào)速度對(duì)時(shí)間反演變號(hào)牛頓第二定律牛頓第二定律對(duì)保守系統(tǒng)對(duì)保守系統(tǒng)-時(shí)間反演不變時(shí)間反演不變?nèi)缛?無(wú)阻尼的單擺無(wú)阻尼的單擺2-1 系統(tǒng)的對(duì)稱性概述 武打片武打片 動(dòng)作的真實(shí)性動(dòng)作的真實(shí)性緊身衣緊身衣 大袍大袍非保守系統(tǒng)非保守系統(tǒng)不具有時(shí)間不具有時(shí)間反演不變性反演不變性不真實(shí)不真實(shí)真實(shí)真實(shí)陰陽(yáng)圖

6、陰陽(yáng)圖聯(lián)合操作聯(lián)合操作2-2 功、動(dòng)能和勢(shì)能一、功和功率一、功和功率功功力的空間積累力的空間積累外力作功是外界對(duì)系統(tǒng)過(guò)程的一個(gè)作用量外力作功是外界對(duì)系統(tǒng)過(guò)程的一個(gè)作用量riFiA AB B dzFdyFxdFrdFWzyBAxBAAB 21rrrdFdWW kFjFiFFzyx kdzjdyidxrd dsFrdFdW cos 微分形式微分形式直角坐標(biāo)系中直角坐標(biāo)系中2-2 功、動(dòng)能和勢(shì)能對(duì)于定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體對(duì)于定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體 21MdrdFWBAAB rdFdsFrdFdWll rFMl MddW ZFrPO d力矩的功是力做功的角量表述力矩的功是力做功的角量表述單位：焦耳單位：焦耳 J J

7、； 千瓦時(shí)千瓦時(shí) 2-2 功、動(dòng)能和勢(shì)能例例1 1 作用在質(zhì)點(diǎn)上的力為作用在質(zhì)點(diǎn)上的力為)(42Nji yF 在下列情況下求質(zhì)點(diǎn)從在下列情況下求質(zhì)點(diǎn)從)(21mx 處運(yùn)動(dòng)到處運(yùn)動(dòng)到)(32mx 處該力作的功：處該力作的功：1. 1. 質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌道為拋物線質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌道為拋物線yx42 2. 2. 質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌道為直線質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌道為直線64 xyXYO23125. 2yx42 64 xy2-2 功、動(dòng)能和勢(shì)能做做功功與與路路徑徑有有關(guān)關(guān))(42Nji yF dzFdyFxdFrdFWzyBAxBAAB J.dydxxdyydx)dyFdxF(Wyyxxy ,xy ,xyx8104242491

8、322121212211 XYO23125. 2yx42 64 xyJ.dydx)x(dyydx)dyFdxF(Wyyxxy ,xy ,xyx252146214249132221212211 2-2 功、動(dòng)能和勢(shì)能例例2 2、一隕石從距地面高為、一隕石從距地面高為h h處由靜止開(kāi)始落向地面，處由靜止開(kāi)始落向地面，忽略空氣阻力，求隕石下落過(guò)程中，萬(wàn)有引力的功忽略空氣阻力，求隕石下落過(guò)程中，萬(wàn)有引力的功是多少？是多少？解：取地心為原點(diǎn)，引力與矢徑方向相反解：取地心為原點(diǎn)，引力與矢徑方向相反a ab bh hR Ro o RhRrdFW)(hRRGMmh 2 RhRdrrMmG hRRGMmrdrG

9、MmRhR11 22-2 功、動(dòng)能和勢(shì)能例例3 3、質(zhì)量為、質(zhì)量為2kg2kg的質(zhì)點(diǎn)在力的質(zhì)點(diǎn)在力i tF12(SI)(SI)的作用下，從靜止出發(fā)，沿的作用下，從靜止出發(fā)，沿x x軸正向作直線運(yùn)動(dòng)。軸正向作直線運(yùn)動(dòng)。求前三秒內(nèi)該力所作的功。求前三秒內(nèi)該力所作的功。解：（一維運(yùn)動(dòng)可以用標(biāo)量）解：（一維運(yùn)動(dòng)可以用標(biāo)量） vdttrdFW122000032120tdttdtmFadtvvttt JtdttdtttW7299363124303302 2-2 功、動(dòng)能和勢(shì)能一對(duì)作用力和反作用力的功一對(duì)作用力和反作用力的功or1r2r21 m1m2dr1dr2f2f1m m1 1、m m2 2組成一個(gè)封閉

10、系統(tǒng)在組成一個(gè)封閉系統(tǒng)在dt dt 時(shí)間內(nèi)時(shí)間內(nèi)2211rdfrdfdW 1111rdfrm 2112rrr )rr(df)rdrd(fdW122122 21ff 212rdfdW 2222rdfrm 2-2 功、動(dòng)能和勢(shì)能功率功率 力在單位時(shí)間內(nèi)所作的功力在單位時(shí)間內(nèi)所作的功tWP平均功率：dtdWtWPt0lim瞬時(shí)功率：瞬時(shí)功率等與力與物體速度的標(biāo)積瞬時(shí)功率等與力與物體速度的標(biāo)積單位：瓦特單位：瓦特 W WrdFdW vFdtrdFP 2-2 功、動(dòng)能和勢(shì)能二、動(dòng)能 iiiikikvmEE221ni, 2 , 1 質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能動(dòng)能質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)的質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)的動(dòng)能動(dòng)能定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛

11、體22222221212121 JdmrdmrdmvEk221 JEk剛體的剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能221mvEk 2-2 功、動(dòng)能和勢(shì)能A AB BD rD ri if fi i 質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理 合外力對(duì)質(zhì)點(diǎn)所合外力對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功做的功等于質(zhì)點(diǎn)等于質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的增量動(dòng)能的增量。功功是質(zhì)點(diǎn)是質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能動(dòng)能變化的量度變化的量度過(guò)程量過(guò)程量狀態(tài)量狀態(tài)量KAKBvvBAABEEmvmvmvdrdfW 2122221212121)(物體受外力作用物體受外力作用運(yùn)動(dòng)狀態(tài)變化運(yùn)動(dòng)狀態(tài)變化動(dòng)能變化動(dòng)能變化末態(tài)動(dòng)能末態(tài)動(dòng)能初態(tài)動(dòng)能初態(tài)動(dòng)能動(dòng)能是動(dòng)能是相對(duì)量相對(duì)量2-2 功、動(dòng)能和勢(shì)能三、勢(shì)能三、勢(shì)能1

12、1、保守力、保守力某些力對(duì)質(zhì)點(diǎn)做功的大小只某些力對(duì)質(zhì)點(diǎn)做功的大小只與質(zhì)點(diǎn)的始末位置有關(guān)與質(zhì)點(diǎn)的始末位置有關(guān)，而而與路徑無(wú)關(guān)與路徑無(wú)關(guān)。這種力稱為保守力。這種力稱為保守力。典型的保守力：典型的保守力： 重力、萬(wàn)有引力、彈性力重力、萬(wàn)有引力、彈性力與保守力相對(duì)應(yīng)的是與保守力相對(duì)應(yīng)的是耗散力耗散力典型的耗散力：典型的耗散力： 摩擦力摩擦力0 rdFW2-2 功、動(dòng)能和勢(shì)能重力的功重力的功m m在重力作用下由在重力作用下由a a運(yùn)動(dòng)到運(yùn)動(dòng)到b b，取地面為坐標(biāo)原點(diǎn)，取地面為坐標(biāo)原點(diǎn). . baGrdgmW可見(jiàn)，可見(jiàn)，重力是保守力重力是保守力。XYZOab gmrd bazzmgdz ba)kdzjdy

13、idx(k)mg(bamgzmgz 初態(tài)量初態(tài)量末態(tài)量末態(tài)量2-2 功、動(dòng)能和勢(shì)能彈力的功彈力的功kxF可見(jiàn)，彈性力是保守力?？梢?jiàn)，彈性力是保守力。)2121(22abxxkxkxkxdxWba XOab 彈簧振子彈簧振子222121bakxkx 初態(tài)量初態(tài)量末態(tài)量末態(tài)量2-2 功、動(dòng)能和勢(shì)能引力的功引力的功 兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)之間在引力作用下相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)之間在引力作用下相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí) ，以，以M M所在處為原點(diǎn)所在處為原點(diǎn), ,M M指向指向m m的方向?yàn)槭笍降恼较颉５姆较驗(yàn)槭笍降恼较?。m m受的引力方向與矢徑方向相反。受的引力方向與矢徑方向相反。 barrbarrGMmdrrGMmrdfWba

14、1112可見(jiàn)萬(wàn)有引力是保守力?？梢?jiàn)萬(wàn)有引力是保守力。rabrdrFM Mmrdra ab b rdrrdrrdr cos2-2 功、動(dòng)能和勢(shì)能2 2、勢(shì)能、勢(shì)函數(shù)、勢(shì)能、勢(shì)函數(shù) 在受保守力的作用下，質(zhì)點(diǎn)在受保守力的作用下，質(zhì)點(diǎn)從從A-BA-B，所做的功與路徑無(wú)關(guān)，所做的功與路徑無(wú)關(guān)，而只與這兩點(diǎn)的位置有關(guān)?？梢慌c這兩點(diǎn)的位置有關(guān)。可引入一個(gè)入一個(gè)只只與位置有關(guān)的函數(shù)與位置有關(guān)的函數(shù)，A A點(diǎn)點(diǎn)的函數(shù)值減去的函數(shù)值減去B B點(diǎn)的函數(shù)值，定義點(diǎn)的函數(shù)值，定義為從為從A A - -B B保守力所做的功，該保守力所做的功，該函數(shù)就是勢(shì)能函數(shù)。函數(shù)就是勢(shì)能函數(shù)。A AB B定義了勢(shì)能差定義了勢(shì)能差選

15、參考點(diǎn)（勢(shì)能零點(diǎn)），設(shè)選參考點(diǎn)（勢(shì)能零點(diǎn)），設(shè)PBPAABEEW 0 PBEPAABEW 2-2 功、動(dòng)能和勢(shì)能)()(00bafrMmGrMmGW 222121baskxkxW baGmgzmgzW pppbaEEErdFWba 保保保守力保守力做正功做正功等于相應(yīng)勢(shì)能的等于相應(yīng)勢(shì)能的減少減少；保守力保守力做負(fù)功做負(fù)功等于相應(yīng)勢(shì)能的等于相應(yīng)勢(shì)能的增加增加。KKAKBEEEmvmvW 21222121外力外力做正功做正功等于相應(yīng)動(dòng)能的等于相應(yīng)動(dòng)能的增加增加；外力外力做負(fù)功做負(fù)功等于相應(yīng)動(dòng)能的等于相應(yīng)動(dòng)能的減少減少。比比較較2-2 功、動(dòng)能和勢(shì)能重力勢(shì)能重力勢(shì)能（以地面為零勢(shì)能點(diǎn)）（以地面為零勢(shì)

16、能點(diǎn)）mgyymgmgdyEyP )0(0引力勢(shì)能引力勢(shì)能（以無(wú)窮遠(yuǎn)為零勢(shì)能點(diǎn)）（以無(wú)窮遠(yuǎn)為零勢(shì)能點(diǎn)）rGMmdrrMmGErP12彈性勢(shì)能彈性勢(shì)能（以彈簧原長(zhǎng)為零勢(shì)能點(diǎn)）（以彈簧原長(zhǎng)為零勢(shì)能點(diǎn)）22021210kxkxdxkxExp )(勢(shì)勢(shì)能能只只具具有有相相對(duì)對(duì)意意義義系統(tǒng)的機(jī)械能系統(tǒng)的機(jī)械能pkEEE 質(zhì)點(diǎn)在某一點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn)在某一點(diǎn)的勢(shì)能大小等于在相應(yīng)的保守力的作用勢(shì)能大小等于在相應(yīng)的保守力的作用下，由所在點(diǎn)移動(dòng)到零勢(shì)能點(diǎn)時(shí)保守力所做的功下，由所在點(diǎn)移動(dòng)到零勢(shì)能點(diǎn)時(shí)保守力所做的功。2-2 功、動(dòng)能和勢(shì)能勢(shì)能和保守力的關(guān)系：勢(shì)能和保守力的關(guān)系：勢(shì)能是保守力對(duì)路徑的線積分勢(shì)能是保守力對(duì)路徑的線

17、積分baPldFE dldll lF Fl lF FB BA AdldEFPl保守力沿某一給定的保守力沿某一給定的l l方向的分量等于與此保守方向的分量等于與此保守力相應(yīng)的勢(shì)能函數(shù)沿力相應(yīng)的勢(shì)能函數(shù)沿l l方向的空間變化率。方向的空間變化率。dlFdlFldFdElPcos保守力所做元功保守力所做元功2-2 功、動(dòng)能和勢(shì)能勢(shì)能是位置的函數(shù)，用勢(shì)能是位置的函數(shù)，用U=U(x,y,z)=EU=U(x,y,z)=EP P ( ( x,y,z)x,y,z)表表示，稱為勢(shì)函數(shù)示，稱為勢(shì)函數(shù)dldEFPlzUFyUFxUFzyx ,)()()(kzUjyUixUkFjFiFFzyx Ukzjyix)( U

18、 質(zhì)點(diǎn)所受保守力等于質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)所受保守力等于質(zhì)點(diǎn)勢(shì)能梯度的負(fù)值勢(shì)能梯度的負(fù)值那勃勒算符那勃勒算符2-2 功、動(dòng)能和勢(shì)能注意：注意：1 1、只要有保守力，就可引入相應(yīng)的勢(shì)能。、只要有保守力，就可引入相應(yīng)的勢(shì)能。2 2、計(jì)算勢(shì)能必須規(guī)定零勢(shì)能參考點(diǎn)。質(zhì)點(diǎn)在某一、計(jì)算勢(shì)能必須規(guī)定零勢(shì)能參考點(diǎn)。質(zhì)點(diǎn)在某一點(diǎn)的勢(shì)能大小等于在相應(yīng)的保守力的作用下，由所點(diǎn)的勢(shì)能大小等于在相應(yīng)的保守力的作用下，由所在點(diǎn)移動(dòng)到零勢(shì)能點(diǎn)時(shí)保守力所做的功。在點(diǎn)移動(dòng)到零勢(shì)能點(diǎn)時(shí)保守力所做的功。3 3、勢(shì)能僅有相對(duì)意義，所以必須指出零勢(shì)能參考、勢(shì)能僅有相對(duì)意義，所以必須指出零勢(shì)能參考點(diǎn)。兩點(diǎn)間的勢(shì)能差是絕對(duì)的，即勢(shì)能是質(zhì)點(diǎn)間相點(diǎn)。兩點(diǎn)間

19、的勢(shì)能差是絕對(duì)的，即勢(shì)能是質(zhì)點(diǎn)間相對(duì)位置的單值函數(shù)。對(duì)位置的單值函數(shù)。4 4、勢(shì)能是屬于具有保守力相互作用的質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)的。、勢(shì)能是屬于具有保守力相互作用的質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)的。2-3 哈密頓函數(shù)描述系統(tǒng)的狀態(tài)函數(shù)描述系統(tǒng)的狀態(tài)函數(shù)一、動(dòng)量和角動(dòng)量一、動(dòng)量和角動(dòng)量能量、動(dòng)量角動(dòng)量是整個(gè)物理學(xué)中最重要的物理量能量、動(dòng)量角動(dòng)量是整個(gè)物理學(xué)中最重要的物理量大小大?。簃v mv 方向方向：速度的方向：速度的方向1 1、動(dòng)量、動(dòng)量 （描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，矢量）（描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，矢量）vmp 系統(tǒng)的動(dòng)量系統(tǒng)的動(dòng)量等于各質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的矢量和等于各質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的矢量和 iiivmpp2-3 哈密頓函數(shù)在量子理論中，微觀粒子的速度概

20、念失去了意義，在量子理論中，微觀粒子的速度概念失去了意義，但粒子的動(dòng)量概念仍然有效。但粒子的動(dòng)量概念仍然有效。國(guó)際單位制中動(dòng)量的單位是國(guó)際單位制中動(dòng)量的單位是1 smkg牛頓定律的牛頓定律的另一種形式另一種形式dtpddtvdmamF dtpdF 質(zhì)點(diǎn)所受的外力等于質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量質(zhì)點(diǎn)所受的外力等于質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量對(duì)時(shí)間的變化率對(duì)時(shí)間的變化率動(dòng)量具有相對(duì)性動(dòng)量具有相對(duì)性mpEk22 動(dòng)量和能量的關(guān)系動(dòng)量和能量的關(guān)系2-3 哈密頓函數(shù)2 2、角動(dòng)量、角動(dòng)量m mo o r rP PL L用叉積定義用叉積定義角動(dòng)量角動(dòng)量prL 軸矢量軸矢量sinmvrL v vr rm ma a角動(dòng)量方向角動(dòng)量方向角動(dòng)量大小

21、角動(dòng)量大小系統(tǒng)的總角動(dòng)量系統(tǒng)的總角動(dòng)量 )(iiiprLL2-3 哈密頓函數(shù)例例 一質(zhì)量為一質(zhì)量為m m的質(zhì)點(diǎn)沿著一條空間曲線運(yùn)動(dòng)，該曲的質(zhì)點(diǎn)沿著一條空間曲線運(yùn)動(dòng)，該曲線在直角坐標(biāo)下的矢徑為：線在直角坐標(biāo)下的矢徑為：j tbi tar sincos 其中其中a a、b b、 皆為常數(shù)，求該質(zhì)點(diǎn)對(duì)原點(diǎn)的角動(dòng)量。皆為常數(shù)，求該質(zhì)點(diǎn)對(duì)原點(diǎn)的角動(dòng)量。j tbi tadtrdv cossin vmrL 解：已知解：已知ktmabktmab 22sincos kmab j tbi tar sincos 2-3 哈密頓函數(shù)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體Zivirim 剛體上的一個(gè)質(zhì)元?jiǎng)傮w上的一個(gè)質(zhì)元, ,繞固

22、定軸做圓繞固定軸做圓周運(yùn)動(dòng)角動(dòng)量為：周運(yùn)動(dòng)角動(dòng)量為：所以剛體繞此軸的角動(dòng)量為：所以剛體繞此軸的角動(dòng)量為： JrmLLiiiii )(2 iiiiiimrvmrL2 剛體繞定軸的角動(dòng)量等于其對(duì)定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣剛體繞定軸的角動(dòng)量等于其對(duì)定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角速度之積。量與角速度之積。 JL 2-3 哈密頓函數(shù)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定律的另一種形式剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定律的另一種形式dtdJJM dtLddtJdM )( dtLdM 剛體所受的外力矩等于剛體剛體所受的外力矩等于剛體角動(dòng)量對(duì)時(shí)間的變化率。角動(dòng)量對(duì)時(shí)間的變化率。轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能與角動(dòng)量的關(guān)系轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能與角動(dòng)量的關(guān)系JLEk2 2 221 JEkmpEk2 2 221 mvEk 2

23、-3 哈密頓函數(shù)二、相空間二、相空間三維歐氏空間三維歐氏空間構(gòu)形空間構(gòu)形空間抽象空間抽象空間自由度自由度-確定系統(tǒng)位置所需的最少獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)。確定系統(tǒng)位置所需的最少獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)。三維歐氏空間中三維歐氏空間中一個(gè)質(zhì)點(diǎn)：用一個(gè)質(zhì)點(diǎn)：用x,y,zx,y,z確定質(zhì)點(diǎn)位置，自由度確定質(zhì)點(diǎn)位置，自由度s s=3=3兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)：自由度兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)：自由度s s=6=6，N N個(gè)質(zhì)點(diǎn)：自由度個(gè)質(zhì)點(diǎn)：自由度s s=3=3N N構(gòu)形空間內(nèi)的坐標(biāo)只能確定質(zhì)點(diǎn)位置構(gòu)形空間內(nèi)的坐標(biāo)只能確定質(zhì)點(diǎn)位置2-3 哈密頓函數(shù)相空間相空間-表示系統(tǒng)狀態(tài)的空間表示系統(tǒng)狀態(tài)的空間對(duì)一個(gè)對(duì)一個(gè)自由度數(shù)為自由度數(shù)為s s的系統(tǒng)，它所對(duì)應(yīng)的的系統(tǒng)，它

24、所對(duì)應(yīng)的相空間維數(shù)為相空間維數(shù)為2 2s s。若系統(tǒng)作一維運(yùn)動(dòng)，則其自由度數(shù)為若系統(tǒng)作一維運(yùn)動(dòng)，則其自由度數(shù)為1 1，相空間，相空間維數(shù)為維數(shù)為2 2。將一維坐標(biāo)和一維速度分別作軸構(gòu)成。將一維坐標(biāo)和一維速度分別作軸構(gòu)成直角坐標(biāo)系。該坐標(biāo)系平面稱為直角坐標(biāo)系。該坐標(biāo)系平面稱為相平面相平面。相平面上的圖像稱為相平面上的圖像稱為相圖相圖，其中各條曲線稱為其中各條曲線稱為相軌相軌。用質(zhì)點(diǎn)的用質(zhì)點(diǎn)的位置坐標(biāo)位置坐標(biāo)和和速度分量速度分量來(lái)構(gòu)造空間來(lái)構(gòu)造空間一個(gè)質(zhì)點(diǎn)：用一個(gè)質(zhì)點(diǎn)：用( (x,y,z)x,y,z)和和(v(vx x,v,vy y,v,vz z) )作為坐標(biāo)，維數(shù)為作為坐標(biāo)，維數(shù)為6 62-3

25、哈密頓函數(shù)例例 作出無(wú)阻尼彈簧振子運(yùn)動(dòng)的相圖作出無(wú)阻尼彈簧振子運(yùn)動(dòng)的相圖xvoEkxmv222121振子的自由度數(shù)為振子的自由度數(shù)為1 1，對(duì)應(yīng)的相空間維數(shù)為對(duì)應(yīng)的相空間維數(shù)為2 2。由上式可知在相空間中由上式可知在相空間中振子的運(yùn)動(dòng)軌跡為一橢圓振子的運(yùn)動(dòng)軌跡為一橢圓2-3 哈密頓函數(shù)構(gòu)造系統(tǒng)的相空間時(shí)，有四點(diǎn)需引起注意：構(gòu)造系統(tǒng)的相空間時(shí)，有四點(diǎn)需引起注意：1 1、相空間的維數(shù)一定等于系統(tǒng)自由度數(shù)的、相空間的維數(shù)一定等于系統(tǒng)自由度數(shù)的2 2倍。即倍。即2s2s。2 2、相空間的坐標(biāo)中，有、相空間的坐標(biāo)中，有s s個(gè)坐標(biāo)是取自構(gòu)型空間中表個(gè)坐標(biāo)是取自構(gòu)型空間中表示系統(tǒng)的位置坐標(biāo)，另外示系統(tǒng)的位

26、置坐標(biāo)，另外s s個(gè)是系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)速度或動(dòng)量的個(gè)是系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)速度或動(dòng)量的坐標(biāo)。坐標(biāo)。3 3、構(gòu)型空間中坐標(biāo)表示系統(tǒng)位置的坐標(biāo)不必是笛卡爾、構(gòu)型空間中坐標(biāo)表示系統(tǒng)位置的坐標(biāo)不必是笛卡爾坐標(biāo)。它可以是坐標(biāo)。它可以是位矢、角度、相對(duì)距離位矢、角度、相對(duì)距離等，這樣的坐等，這樣的坐標(biāo)稱為標(biāo)稱為廣義坐標(biāo)廣義坐標(biāo)。2-3 哈密頓函數(shù)4 4、若采用廣義坐標(biāo)，也必須采用一組相對(duì)應(yīng)的廣義速、若采用廣義坐標(biāo)，也必須采用一組相對(duì)應(yīng)的廣義速度或度或廣義動(dòng)量廣義動(dòng)量。二、系統(tǒng)的哈密頓函數(shù)二、系統(tǒng)的哈密頓函數(shù)在相空間中研究系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)會(huì)帶來(lái)很多的方便在相空間中研究系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)會(huì)帶來(lái)很多的方便我們的問(wèn)題是如何在相空間中找到一個(gè)自然我們的

27、問(wèn)題是如何在相空間中找到一個(gè)自然表達(dá)系統(tǒng)狀態(tài)的函數(shù)。表達(dá)系統(tǒng)狀態(tài)的函數(shù)。系統(tǒng)的動(dòng)能是廣義動(dòng)量的函數(shù)系統(tǒng)的動(dòng)能是廣義動(dòng)量的函數(shù)系統(tǒng)的勢(shì)能是廣義坐標(biāo)的函數(shù)系統(tǒng)的勢(shì)能是廣義坐標(biāo)的函數(shù)mpEk2 2 JLEk2 2 221kxEp mghEp 2-3 哈密頓函數(shù)定義新函數(shù)定義新函數(shù)= =系統(tǒng)的動(dòng)能系統(tǒng)的動(dòng)能+ +勢(shì)能勢(shì)能是廣義動(dòng)量和廣義坐標(biāo)的函數(shù)是廣義動(dòng)量和廣義坐標(biāo)的函數(shù)可表示相空間中系統(tǒng)的狀態(tài)函數(shù)可表示相空間中系統(tǒng)的狀態(tài)函數(shù)相空間的廣義坐標(biāo)相空間的廣義坐標(biāo)q q ( ( =1,2,=1,2, ,s ,s) )相空間的廣義速度相空間的廣義速度 ( ( =1,2,=1,2, ,s ,s) ) q 相空間

28、的廣義動(dòng)量相空間的廣義動(dòng)量p p ( ( =1,2,=1,2, ,s ,s) )系統(tǒng)的總動(dòng)能系統(tǒng)的總動(dòng)能T=ET=Ek k (p(p1 1, ,p,ps s ,t,t) )系統(tǒng)的總勢(shì)能系統(tǒng)的總勢(shì)能U=EU=Ep p (q(q1 1, ,q,qs s ,t,t) )2-3 哈密頓函數(shù)哈密頓函數(shù)哈密頓函數(shù) 定義為保守系統(tǒng)動(dòng)能函數(shù)與勢(shì)能函數(shù)定義為保守系統(tǒng)動(dòng)能函數(shù)與勢(shì)能函數(shù)之和，之和， 即：即：),(tppqqHUTHss11 作機(jī)械運(yùn)動(dòng)的系統(tǒng)，哈密頓函數(shù)就是系統(tǒng)的機(jī)械能。作機(jī)械運(yùn)動(dòng)的系統(tǒng)，哈密頓函數(shù)就是系統(tǒng)的機(jī)械能。2-3 哈密頓函數(shù)例例 求彈簧振子系統(tǒng)的哈密頓函數(shù)求彈簧振子系統(tǒng)的哈密頓函數(shù)2221

29、2),(kxmptpxH221kxEUp mpmvETk22122 2-3 哈密頓函數(shù)引入哈密頓函數(shù)后可以方便地導(dǎo)出系統(tǒng)的引入哈密頓函數(shù)后可以方便地導(dǎo)出系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)微分方程微分方程，即，即哈密頓正則方程哈密頓正則方程。pdtdpdtmvddtdvmkxxH)(xvmppHpHqqHps,2, 122212),(kxmptpxH2-3 哈密頓函數(shù)單擺的哈密頓量為單擺的哈密頓量為)cos1(212 mglmlH試寫(xiě)出其正則方程試寫(xiě)出其正則方程解解)cos1(22 mglJLH sinmglHL 2mlL JLLH/ 2mlJ lm2-3 哈密頓函數(shù)例例 用哈密頓正則方程，求質(zhì)點(diǎn)在與距離平方反比用

30、哈密頓正則方程，求質(zhì)點(diǎn)在與距離平方反比的有心引力作用下的運(yùn)動(dòng)微分方程。的有心引力作用下的運(yùn)動(dòng)微分方程。解：采用極坐標(biāo)解：采用極坐標(biāo))(21222 rrmTk k為常量，為常量， r r、 為廣義坐標(biāo)為廣義坐標(biāo), , 對(duì)應(yīng)的廣義動(dòng)量對(duì)應(yīng)的廣義動(dòng)量rkmU edtdredtdrvr rMmGEp rmpr 2mrp)(22221rppmTr rkmrppmHr )(22221 2-3 哈密頓函數(shù)0 Hp rmpr rkmrppmHr )(22221 22232rkmmrrkmmrprHpr 常數(shù) 2mrpL22rkmmrrm 22rkmrrm )( 運(yùn)動(dòng)微分方程運(yùn)動(dòng)微分方程 2mrp2-3 哈密頓

31、函數(shù)三、諾特爾定理三、諾特爾定理 諾特爾諾特爾（E.Nother)E.Nother)對(duì)稱性可以分為兩類，對(duì)稱性可以分為兩類，一類是系統(tǒng)一類是系統(tǒng)自身的對(duì)稱性自身的對(duì)稱性，另一類是另一類是物理規(guī)律的對(duì)稱性物理規(guī)律的對(duì)稱性。19181918年建立的諾特爾定理，年建立的諾特爾定理，講的是物理規(guī)律的對(duì)稱性。講的是物理規(guī)律的對(duì)稱性。這個(gè)定理指出：這個(gè)定理指出：如果系統(tǒng)（的哈密如果系統(tǒng)（的哈密頓函數(shù)）存在某個(gè)不明顯依賴時(shí)間頓函數(shù)）存在某個(gè)不明顯依賴時(shí)間的對(duì)稱性，就必然存在一個(gè)與之對(duì)的對(duì)稱性，就必然存在一個(gè)與之對(duì)應(yīng)的守恒量和相應(yīng)的守恒定律。應(yīng)的守恒量和相應(yīng)的守恒定律。2-4 時(shí)間平移對(duì)稱性與能量守恒一、能量

32、守恒定律一、能量守恒定律時(shí)間平移的對(duì)稱性時(shí)間平移的對(duì)稱性意味著時(shí)間的均勻性，意味著時(shí)間的均勻性，這將導(dǎo)致這將導(dǎo)致能量守恒能量守恒。 ttptptqtqHtH),(),(),(),()(2121 對(duì)于小的時(shí)間平移，在對(duì)于小的時(shí)間平移，在t t 附近作泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)附近作泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)若時(shí)間平移具有對(duì)稱性若時(shí)間平移具有對(duì)稱性)()!1()()(!)()()(1111ttHdtdmttHdtdkttHttHmmmkkmkk 2-4 時(shí)間平移對(duì)稱性與能量守恒)()()(tHttHttH 011 )(!)(tHdtdktkkmkk 1,.,2, 1 mk恒恒量量 )()()(tUtTtH 0 tHdtdkk

33、 0 tHdtd即即011 )(!)(tHdtdktkkmkk 2-4 時(shí)間平移對(duì)稱性與能量守恒 如果系統(tǒng)對(duì)于時(shí)間平移是對(duì)稱的，那么系統(tǒng)如果系統(tǒng)對(duì)于時(shí)間平移是對(duì)稱的，那么系統(tǒng)的能量一定守恒。的能量一定守恒。能量守恒定律能量守恒定律例例 一個(gè)質(zhì)量為一個(gè)質(zhì)量為m m的物體，從離地面距離為的物體，從離地面距離為h h的地方的地方A A豎直落下，討論以下兩種情況下系統(tǒng)的能量與時(shí)間豎直落下，討論以下兩種情況下系統(tǒng)的能量與時(shí)間對(duì)稱性的關(guān)系：對(duì)稱性的關(guān)系：1 1）自由落體運(yùn)動(dòng)；）自由落體運(yùn)動(dòng)；2 2）存在于運(yùn)動(dòng)）存在于運(yùn)動(dòng)速度成正比的空氣阻力作用。速度成正比的空氣阻力作用。2-4 時(shí)間平移對(duì)稱性與能量守恒1

34、 1）自由落體運(yùn)動(dòng)）自由落體運(yùn)動(dòng)gx gttx )(221)(gthtx mghgthmgtmgtmgxtxmtH )21(21)()(21)(2222 AOX2 2）存在空氣阻力）存在空氣阻力mgxmkxm )1(ktekgx 2-4 時(shí)間平移對(duì)稱性與能量守恒tkgekghxkt )1(20)1()1()(222222222 ktktktktekmgkmgekmgeekmgdttdHmghtkmgekmgekmgtkgekghmgekmgtHktktktkt 22222222222)1()1(21)1()1(21)(2-4 時(shí)間平移對(duì)稱性與能量守恒系統(tǒng)的能量不再守恒，表現(xiàn)在兩個(gè)方面：系統(tǒng)的能

35、量不再守恒，表現(xiàn)在兩個(gè)方面：1)1) 存在耗散力的作用存在耗散力的作用 2)2)存在外力作用存在外力作用對(duì)于機(jī)械系統(tǒng)，表現(xiàn)為：對(duì)于機(jī)械系統(tǒng)，表現(xiàn)為：系統(tǒng)內(nèi)部存在非保守力，系統(tǒng)內(nèi)部存在非保守力，外部有不為零的合外力對(duì)系統(tǒng)作功外部有不為零的合外力對(duì)系統(tǒng)作功00 非非保保內(nèi)內(nèi)外外如如果果WW恒恒量量則則 2211pkpkEEEE機(jī)械能守恒定律機(jī)械能守恒定律2-4 時(shí)間平移對(duì)稱性與能量守恒二、功能原理二、功能原理對(duì)于機(jī)械系統(tǒng)，當(dāng)外力、非保守內(nèi)力做功不為零時(shí)對(duì)于機(jī)械系統(tǒng)，當(dāng)外力、非保守內(nèi)力做功不為零時(shí)12EEWW 非非保保內(nèi)內(nèi)外外外力對(duì)系統(tǒng)和系統(tǒng)非保守內(nèi)力做功之和等于外力對(duì)系統(tǒng)和系統(tǒng)非保守內(nèi)力做功之和等

36、于系統(tǒng)機(jī)械能的增量。系統(tǒng)機(jī)械能的增量。2-4 時(shí)間平移對(duì)稱性與能量守恒例例 一個(gè)質(zhì)量為一個(gè)質(zhì)量為、半徑為、半徑為的定滑的定滑輪（當(dāng)作均勻圓盤(pán)）上面繞有細(xì)繩，輪（當(dāng)作均勻圓盤(pán)）上面繞有細(xì)繩，繩的一端固定在滑輪邊上，另一端掛繩的一端固定在滑輪邊上，另一端掛一質(zhì)量為一質(zhì)量為的物體而下垂。忽略軸處的物體而下垂。忽略軸處摩擦，求物體摩擦，求物體由靜止下落高度由靜止下落高度時(shí)時(shí)的速度和此時(shí)滑輪的角速度。的速度和此時(shí)滑輪的角速度。解：據(jù)機(jī)械能守恒定律：解：據(jù)機(jī)械能守恒定律：MmmghvRv 24可解出 222121mvJmgh 取滑輪、物體、地球?yàn)橄到y(tǒng)取滑輪、物體、地球?yàn)橄到y(tǒng)2-5 勢(shì)能曲線幾種典型的勢(shì)能曲

37、線幾種典型的勢(shì)能曲線x xE Ep pO O2p21)(kxxE r rE Ep pO OrmMGrE )(pr r0 0E Ep pOr r原子相互作用原子相互作用勢(shì)能曲線勢(shì)能曲線勢(shì)能曲線勢(shì)能曲線: :勢(shì)能隨位置變化的曲線。勢(shì)能隨位置變化的曲線。2-5 勢(shì)能曲線1 1、 平衡位置平衡位置00 fdxdU勢(shì)能曲線有極值，質(zhì)點(diǎn)處于平衡位置。勢(shì)能曲線有極值，質(zhì)點(diǎn)處于平衡位置。 2002000)(21)()(21)()()(xxUxUxxUxxUxUxU 200)(21)()(xxUxUxUX)(xUabc ABCdxdUf 2-5 勢(shì)能曲線xxUxUf )()(0 xxUxUf )()(0勢(shì)能曲線

38、取極小值的平衡點(diǎn)勢(shì)能曲線取極小值的平衡點(diǎn)0)(0 xU0000 fxxfxx力總是指向平衡位置力總是指向平衡位置穩(wěn)定平衡穩(wěn)定平衡ca,X)(xUabc ABC2-5 勢(shì)能曲線勢(shì)能曲線取極大值的平衡點(diǎn)勢(shì)能曲線取極大值的平衡點(diǎn)0)(0 xU0000 fxxfxx力總是背離平衡位置力總是背離平衡位置不穩(wěn)定平衡不穩(wěn)定平衡bX)(xUabc ABC2-5 勢(shì)能曲線X)(xUabc ABC圖中勢(shì)能曲線可分成圖中勢(shì)能曲線可分成勢(shì)阱勢(shì)阱A A、勢(shì)阱、勢(shì)阱C C和勢(shì)壘和勢(shì)壘B B三個(gè)區(qū)間。三個(gè)區(qū)間。設(shè)系統(tǒng)機(jī)械能守恒，由此設(shè)系統(tǒng)機(jī)械能守恒，由此勢(shì)能曲線可分析系統(tǒng)狀態(tài)勢(shì)能曲線可分析系統(tǒng)狀態(tài)的變化。的變化。1E2E3

39、EE=EE=E1 1 系統(tǒng)被限制在勢(shì)阱系統(tǒng)被限制在勢(shì)阱A A中運(yùn)動(dòng)中運(yùn)動(dòng)E=EE=E2 2 系統(tǒng)在勢(shì)阱系統(tǒng)在勢(shì)阱A A或或C C中運(yùn)動(dòng)，且二者只居其一。中運(yùn)動(dòng)，且二者只居其一。E=EE=E3 3 系統(tǒng)可在系統(tǒng)可在x xx xd d的區(qū)域自由運(yùn)動(dòng)。的區(qū)域自由運(yùn)動(dòng)。d 2-5 勢(shì)能曲線例例 一個(gè)質(zhì)量為一個(gè)質(zhì)量為m m的小球，的小球，由一根長(zhǎng)為由一根長(zhǎng)為 的細(xì)桿連接的細(xì)桿連接成擺?？稍谪Q直平面內(nèi)繞成擺?？稍谪Q直平面內(nèi)繞O O點(diǎn)自由擺動(dòng)或轉(zhuǎn)動(dòng)。點(diǎn)自由擺動(dòng)或轉(zhuǎn)動(dòng)。細(xì)桿質(zhì)量忽略不計(jì)。細(xì)桿質(zhì)量忽略不計(jì)。l lO mg給定機(jī)械能給定機(jī)械能E E的擺的運(yùn)動(dòng)的擺的運(yùn)動(dòng)1 1、作、作 pE曲線曲線2 2、對(duì)、對(duì)5

40、. 3 , 0 . 2 , 0 . 1 , 1 . 0 mglE分別作分別作 曲線曲線對(duì)給定的對(duì)給定的E E，討論系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)，討論系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)2-5 勢(shì)能曲線解解：1、擺的重力勢(shì)能為擺的重力勢(shì)能為)cos1 ( mglEp2、擺的機(jī)械能用擺的機(jī)械能用 表示為表示為恒量)cos1 (2122mglmlEEEPK代入代入mglE )cos1(2 lg0cos1 1cos lO mg給定機(jī)械能給定機(jī)械能E E的擺的運(yùn)動(dòng)的擺的運(yùn)動(dòng)2-5 勢(shì)能曲線 0 . 20 . 11 . 0 2 005 . 3 PE)cos1( mglEp)cos1(2 lg 1cos2-6 空間平移對(duì)稱性與動(dòng)量守恒一、動(dòng)量守恒定律

41、一、動(dòng)量守恒定律 空間平移對(duì)稱空間平移對(duì)稱性性意味著空間的均勻性，意味著空間的均勻性，這將導(dǎo)致這將導(dǎo)致動(dòng)量守恒動(dòng)量守恒。),(2121ppxxHUTH ),(),(),(212121xxHxxxxHxxxxH 021 xHxH021 pppHqqHp恒量 21pp恒量 21pp2-6 空間平移對(duì)稱性與動(dòng)量守恒 如果系統(tǒng)對(duì)于空間如果系統(tǒng)對(duì)于空間某一方向平移是對(duì)稱的某一方向平移是對(duì)稱的，那么系統(tǒng)那么系統(tǒng)在這個(gè)方向上的動(dòng)量守恒在這個(gè)方向上的動(dòng)量守恒。推廣推廣： 如果系統(tǒng)對(duì)于空間任意方向平移是對(duì)稱的，如果系統(tǒng)對(duì)于空間任意方向平移是對(duì)稱的，那么系統(tǒng)動(dòng)量守恒。那么系統(tǒng)動(dòng)量守恒。0iF恒矢量 niiivmp

42、dtpdF 所有速度是對(duì)同一個(gè)坐標(biāo)系而言的。所有速度是對(duì)同一個(gè)坐標(biāo)系而言的。由力和動(dòng)量的關(guān)系由力和動(dòng)量的關(guān)系2-6 空間平移對(duì)稱性與動(dòng)量守恒例例 用空間平移對(duì)稱性證明牛頓第三定律用空間平移對(duì)稱性證明牛頓第三定律 設(shè)質(zhì)點(diǎn)由兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)設(shè)質(zhì)點(diǎn)由兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)A A、B B組成，在沒(méi)有外力作用組成，在沒(méi)有外力作用的條件下，它們的相互作用勢(shì)能用的條件下，它們的相互作用勢(shì)能用U U表示。表示。ABA r ABB r rfUBA )(rfUAB UU ABBAff 2-6 空間平移對(duì)稱性與動(dòng)量守恒xvo l0vumM如圖，車(chē)在光滑水平面上運(yùn)動(dòng)。已知如圖，車(chē)在光滑水平面上運(yùn)動(dòng)。已知m m、M M、l0v人逆車(chē)運(yùn)動(dòng)方向

43、從車(chē)頭經(jīng)人逆車(chē)運(yùn)動(dòng)方向從車(chē)頭經(jīng)t t 到達(dá)車(chē)尾。到達(dá)車(chē)尾。求求：1 1、若人勻速運(yùn)動(dòng)，他到達(dá)車(chē)尾時(shí)車(chē)的速度；、若人勻速運(yùn)動(dòng)，他到達(dá)車(chē)尾時(shí)車(chē)的速度； 2 2、車(chē)的運(yùn)動(dòng)路程；、車(chē)的運(yùn)動(dòng)路程； 3 3、若人以變速率運(yùn)動(dòng)，、若人以變速率運(yùn)動(dòng)， 上述結(jié)論如何？上述結(jié)論如何？ 解解：以人和車(chē)為研究：以人和車(chē)為研究系統(tǒng)，取地面為參照系統(tǒng)，取地面為參照系。水平方向系統(tǒng)動(dòng)系。水平方向系統(tǒng)動(dòng)量守恒。量守恒。)()(0vumvMvmM )()(0vumMvvmM 2-6 空間平移對(duì)稱性與動(dòng)量守恒tlmMmvumMmvv 001 1、2 2、lmMmtvttlmMmvvts 00)(3 3、umMmvv 0lmMmt

44、vdtmMmuvvdtstt 0000)(xvo l0vumM2-6 空間平移對(duì)稱性與動(dòng)量守恒二、沖量、動(dòng)量定理二、沖量、動(dòng)量定理 當(dāng)系統(tǒng)受到外界作用時(shí)，其空間平移對(duì)稱性被當(dāng)系統(tǒng)受到外界作用時(shí)，其空間平移對(duì)稱性被破壞，即外界作用導(dǎo)致系統(tǒng)對(duì)稱破缺，這必然導(dǎo)致破壞，即外界作用導(dǎo)致系統(tǒng)對(duì)稱破缺，這必然導(dǎo)致動(dòng)量不守恒，系統(tǒng)與外界將發(fā)生動(dòng)量轉(zhuǎn)移。動(dòng)量不守恒，系統(tǒng)與外界將發(fā)生動(dòng)量轉(zhuǎn)移。1、沖量沖量 21ttdtFI力的元沖量力的元沖量dtFId 212121ttzzttyyttxxdtFIdtFIdtFIF0tt12tx+tFI 單位：牛頓秒單位：牛頓秒2-6 空間平移對(duì)稱性與動(dòng)量守恒2 2、動(dòng)量定理、動(dòng)

45、量定理 在一段時(shí)間內(nèi)系統(tǒng)總動(dòng)量的增量等于這段時(shí)間內(nèi)在一段時(shí)間內(nèi)系統(tǒng)總動(dòng)量的增量等于這段時(shí)間內(nèi)系統(tǒng)受到外力的沖量。系統(tǒng)受到外力的沖量。12122121vmvmpppddtFIpptt pppI 12ifififnjjjttppttttFF1)(平均沖力平均沖力2-6 空間平移對(duì)稱性與動(dòng)量守恒例例 質(zhì)量為質(zhì)量為2.5g2.5g的乒乓球以的乒乓球以10m/s10m/s的的速率飛來(lái)，被板推擋后，又以速率飛來(lái)，被板推擋后，又以20m/s20m/s的速率飛出。設(shè)兩速度在垂直于板的速率飛出。設(shè)兩速度在垂直于板面的同一平面內(nèi)，且它們與板面法面的同一平面內(nèi)，且它們與板面法線的夾角分別為線的夾角分別為4545o

46、o和和3030o o，求：（，求：（1 1）乒乓球得到的沖量；（乒乓球得到的沖量；（2 2）若撞擊時(shí)）若撞擊時(shí)間為間為0.01s0.01s，求板施于球的平均沖力，求板施于球的平均沖力的大小和方向。的大小和方向。4545o o 30 30o o n nv v2 2v v1 12-6 空間平移對(duì)稱性與動(dòng)量守恒解：取擋板和球?yàn)檠芯繉?duì)象，由于作用時(shí)間很短，忽略解：取擋板和球?yàn)檠芯繉?duì)象，由于作用時(shí)間很短，忽略重力影響。設(shè)擋板對(duì)球的沖力為重力影響。設(shè)擋板對(duì)球的沖力為 則有：則有：F12vmvmdtFI 45o 30o nv2v1Oxy取坐標(biāo)系，將上式投影，有：取坐標(biāo)系，將上式投影，有：tFmvmvdtFI

47、xxx )45cos(30cos12tFmvmvdtFIyyy 45sin30sin122-6 空間平移對(duì)稱性與動(dòng)量守恒2.5g m/s20 m/s10 0.01s21 m vvt N14.6 N7 .0 N1 .622 yxyxFFFFFsNjijIiIIyx 007. 0061. 0 為平均沖力與為平均沖力與x方向的夾角方向的夾角。6.54 tan 1148.0 xyFF此題也可用此題也可用矢量法解矢量法解 Ns1014. 62 105cos2212222212vvmvmvmtFI 2-6 空間平移對(duì)稱性與動(dòng)量守恒 N14. 6 tIF 105sinsin2tFmv 51.86 0.786

48、6sin 86.64551.86 v2v1v1tFx 45o 30o nv2v1Oxy2-6 空間平移對(duì)稱性與動(dòng)量守恒例例 一質(zhì)量均勻分布的柔軟細(xì)繩鉛一質(zhì)量均勻分布的柔軟細(xì)繩鉛直地懸掛著，繩的下端剛好觸到水平桌直地懸掛著，繩的下端剛好觸到水平桌面上，如果把繩的上端放開(kāi)，繩將落在面上，如果把繩的上端放開(kāi)，繩將落在桌面上。桌面上。試證明試證明：在繩下落的過(guò)程中，：在繩下落的過(guò)程中，任意時(shí)刻作用于桌面的壓力，等于已落任意時(shí)刻作用于桌面的壓力，等于已落到桌面上的繩重量的三倍。到桌面上的繩重量的三倍。o ox x證明：證明： 取如圖坐標(biāo)，設(shè)取如圖坐標(biāo)，設(shè)t t時(shí)刻已有時(shí)刻已有x x長(zhǎng)的柔繩落至桌面，長(zhǎng)的

49、柔繩落至桌面，隨后的隨后的dtdt時(shí)間內(nèi)將有質(zhì)量為時(shí)間內(nèi)將有質(zhì)量為 dxdx（Mdx/L)Mdx/L)的柔繩以的柔繩以dx/dtdx/dt的速率碰到桌面而停止，它的動(dòng)量變化率為：的速率碰到桌面而停止，它的動(dòng)量變化率為：2-6 空間平移對(duì)稱性與動(dòng)量守恒dtdtdxdxdtdp 根據(jù)動(dòng)量定理，桌面對(duì)柔繩的沖力為：根據(jù)動(dòng)量定理，桌面對(duì)柔繩的沖力為：2vdtdtdxdxdtdpF 柔繩對(duì)桌面的沖力柔繩對(duì)桌面的沖力F FF F 即：即：LMgxFgxvvLMvF/2 2 222而2-6 空間平移對(duì)稱性與動(dòng)量守恒而已落到桌面上的柔繩的重量為而已落到桌面上的柔繩的重量為mg=Mgx/Lmg=Mgx/L所以所

50、以F F總總=F+mg=2Mgx/L+Mgx/L=3mg=F+mg=2Mgx/L+Mgx/L=3mg2-7 空間旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性與角動(dòng)量守恒 旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性意味著空間的各向同性，這將導(dǎo)致意味著空間的各向同性，這將導(dǎo)致角動(dòng)量守恒角動(dòng)量守恒。2 , 1),( rpprHUTH),(),(),(212121 HHH 021 HH021 pppHqqHp恒量 21LLdtLdM 1221LLdtMtt 2-7 空間旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性與角動(dòng)量守恒外力矩對(duì)系統(tǒng)的角沖量（沖量矩）等于角動(dòng)量的增量。外力矩對(duì)系統(tǒng)的角沖量（沖量矩）等于角動(dòng)量的增量。0 M 12LL 常矢量 J 角動(dòng)量守恒定律的兩種情況：角動(dòng)量守恒定律的

51、兩種情況：1 1、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量保持不變的單個(gè)剛體。、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量保持不變的單個(gè)剛體。2 2、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可變的物體。、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可變的物體。保持不變就增大，從而減小時(shí)，當(dāng)就減??；增大時(shí)，當(dāng) JJJ000 則時(shí)，當(dāng),JJM2-7 空間旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性與角動(dòng)量守恒渦旋星系渦旋星系2-7 空間旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性與角動(dòng)量守恒例例：證明關(guān)：證明關(guān)于行星運(yùn)動(dòng)于行星運(yùn)動(dòng)的開(kāi)普勒第的開(kāi)普勒第二定律：行二定律：行星對(duì)太陽(yáng)的星對(duì)太陽(yáng)的矢徑在相等矢徑在相等的時(shí)間內(nèi)掃的時(shí)間內(nèi)掃過(guò)相等的面過(guò)相等的面積。這個(gè)結(jié)積。這個(gè)結(jié)論也叫論也叫等面等面積原理積原理。2-7 空間旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性與角動(dòng)量守恒M 0-L 常矢量Lmvrmrtrmr rtmStsinsin

52、sin2122m Lvrr開(kāi)普勒第二定律開(kāi)普勒第二定律行星受力方向與矢徑在一條行星受力方向與矢徑在一條直線（中心力），故角動(dòng)量守恒。直線（中心力），故角動(dòng)量守恒。2-8 碰撞物體在短時(shí)間內(nèi)發(fā)生相互作用的過(guò)程。物體在短時(shí)間內(nèi)發(fā)生相互作用的過(guò)程。碰撞過(guò)程的特點(diǎn)碰撞過(guò)程的特點(diǎn)：1 1、各個(gè)物體的動(dòng)量明顯改變。、各個(gè)物體的動(dòng)量明顯改變。 2 2、系統(tǒng)的總動(dòng)量、系統(tǒng)的總動(dòng)量( (總角動(dòng)量總角動(dòng)量) )守恒。守恒。彈性碰撞彈性碰撞： E Ek k=0=0碰撞過(guò)程中兩球的機(jī)械能（動(dòng)能）完全沒(méi)有損失。碰撞過(guò)程中兩球的機(jī)械能（動(dòng)能）完全沒(méi)有損失。非彈性碰撞非彈性碰撞： E Ek k00碰撞過(guò)程中兩球的機(jī)械能（動(dòng)能）要損失一部分。碰撞過(guò)程中兩球的機(jī)械