計算物理lecture1108.

1、混沌學(xué)簡介混沌學(xué)簡介 什么是混沌什么是混沌一維蟲口模型一維蟲口模型邏輯斯蒂映射邏輯斯蒂映射 洛侖茲吸引子洛侖茲吸引子單擺的物理模型單擺的物理模型 單擺中的混沌現(xiàn)象單擺中的混沌現(xiàn)象 遠(yuǎn)古時代，人們對大自然的變幻無常有著神秘莫測的遠(yuǎn)古時代，人們對大自然的變幻無常有著神秘莫測的恐懼，幾千年的文明進(jìn)步使人類逐漸認(rèn)識到，大自然恐懼，幾千年的文明進(jìn)步使人類逐漸認(rèn)識到，大自然有規(guī)律可循。有規(guī)律可循。 物理學(xué)中有兩種人們普遍接受的認(rèn)識自然的觀點，一物理學(xué)中有兩種人們普遍接受的認(rèn)識自然的觀點，一個是由牛頓經(jīng)典力學(xué)建立起來的個是由牛頓經(jīng)典力學(xué)建立起來的因果決定論因果決定論觀點，觀點，另一個是由統(tǒng)計力學(xué)和量子力學(xué)發(fā)

2、展起來的另一個是由統(tǒng)計力學(xué)和量子力學(xué)發(fā)展起來的概率論概率論觀點，這兩種規(guī)律實驗于不同的對象。觀點，這兩種規(guī)律實驗于不同的對象。什么是混沌什么是混沌經(jīng)典力學(xué)的追隨者認(rèn)為，只要近似知道一個系統(tǒng)的初始經(jīng)典力學(xué)的追隨者認(rèn)為，只要近似知道一個系統(tǒng)的初始條件和理解自然定理，就可計算系統(tǒng)的近似行為。世間條件和理解自然定理，就可計算系統(tǒng)的近似行為。世間事物的行為方式具有一種收斂性，這樣的信念使經(jīng)典力事物的行為方式具有一種收斂性，這樣的信念使經(jīng)典力學(xué)在天文學(xué)上的預(yù)言獲得了輝煌的成就，如海王星的發(fā)學(xué)在天文學(xué)上的預(yù)言獲得了輝煌的成就，如海王星的發(fā)現(xiàn)。人們研究天王星時發(fā)現(xiàn)其軌道存在某些極小的不規(guī)現(xiàn)。人們研究天王星時發(fā)

3、現(xiàn)其軌道存在某些極小的不規(guī)則性，這使人們懷疑天王星外還有一顆未知行星。英國則性，這使人們懷疑天王星外還有一顆未知行星。英國亞當(dāng)斯根據(jù)開普勒定理算出了這顆新星何時出現(xiàn)在何方亞當(dāng)斯根據(jù)開普勒定理算出了這顆新星何時出現(xiàn)在何方位，德國科學(xué)家戈勒進(jìn)行探索，在與預(yù)計位置差位，德國科學(xué)家戈勒進(jìn)行探索，在與預(yù)計位置差 1的的地方發(fā)現(xiàn)了此星。于是海王星的發(fā)現(xiàn)成為經(jīng)典決定論最地方發(fā)現(xiàn)了此星。于是海王星的發(fā)現(xiàn)成為經(jīng)典決定論最成功的例證。經(jīng)典力學(xué)的成功無疑給人們巨大的信心，成功的例證。經(jīng)典力學(xué)的成功無疑給人們巨大的信心，以致把宇宙看成一架龐大時鐘的機(jī)械觀占據(jù)了統(tǒng)治地位。以致把宇宙看成一架龐大時鐘的機(jī)械觀占據(jù)了統(tǒng)治地位

4、。偉大的法國數(shù)學(xué)家偉大的法國數(shù)學(xué)家Laplace的一段名言把這種決定論的的一段名言把這種決定論的思想發(fā)展到了頂峰，他說：思想發(fā)展到了頂峰，他說：“設(shè)想某位智者在每一瞬時設(shè)想某位智者在每一瞬時得知激勵大自然的所有力及組成它的所有物體的相互位得知激勵大自然的所有力及組成它的所有物體的相互位置，如果這位智者博大精深能對這樣眾多的數(shù)據(jù)進(jìn)行分置，如果這位智者博大精深能對這樣眾多的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，把宇宙間最龐大的物體和最輕微的原子的運(yùn)動凝聚析，把宇宙間最龐大的物體和最輕微的原子的運(yùn)動凝聚在一個公式之中，對他來說，沒有什么事物是不確定的，在一個公式之中，對他來說，沒有什么事物是不確定的，將來就象過去一樣清晰展

5、現(xiàn)在眼前將來就象過去一樣清晰展現(xiàn)在眼前”。牛頓力學(xué)在天文上處理最成功的是兩體問題，如地球和牛頓力學(xué)在天文上處理最成功的是兩體問題，如地球和太陽的問題，兩個天體在萬有引力作用下圍繞它們共同太陽的問題，兩個天體在萬有引力作用下圍繞它們共同質(zhì)心作嚴(yán)格的周期運(yùn)動。正因如此，我們地球上的人類質(zhì)心作嚴(yán)格的周期運(yùn)動。正因如此，我們地球上的人類才有安寧舒適的家園。才有安寧舒適的家園。 What is a Probability?什么是混沌呢？什么是混沌呢？混沌是決定性動力學(xué)系統(tǒng)中出現(xiàn)的一混沌是決定性動力學(xué)系統(tǒng)中出現(xiàn)的一種貌似隨機(jī)的運(yùn)動，其本質(zhì)是系統(tǒng)的長期行為對初始種貌似隨機(jī)的運(yùn)動，其本質(zhì)是系統(tǒng)的長期行為對初始

6、條件的敏感性。條件的敏感性。如我們常說如我們常說“差之毫厘，失之千里差之毫厘，失之千里”。西方控制論的創(chuàng)造者維納對這種情形作了生動的描述：西方控制論的創(chuàng)造者維納對這種情形作了生動的描述：釘子缺，蹄鐵卸；蹄鐵卸，戰(zhàn)馬蹶；戰(zhàn)馬蹶，騎士絕；釘子缺，蹄鐵卸；蹄鐵卸，戰(zhàn)馬蹶；戰(zhàn)馬蹶，騎士絕；騎士絕，戰(zhàn)事折；戰(zhàn)事折，國家滅。騎士絕，戰(zhàn)事折；戰(zhàn)事折，國家滅。釘子缺這樣一微不足道的小事，經(jīng)逐級放大竟導(dǎo)致了釘子缺這樣一微不足道的小事，經(jīng)逐級放大竟導(dǎo)致了國家的滅亡。系統(tǒng)對初值的敏感性又如美國氣象學(xué)家國家的滅亡。系統(tǒng)對初值的敏感性又如美國氣象學(xué)家洛侖茲蝴蝶效應(yīng)中所說：洛侖茲蝴蝶效應(yīng)中所說：“一只蝴蝶在巴西煽動翅膀，

7、一只蝴蝶在巴西煽動翅膀，可能會在德州引起一場龍卷風(fēng)可能會在德州引起一場龍卷風(fēng)”，這就是混沌。，這就是混沌。你可能會認(rèn)為混沌的系統(tǒng)一定很複雜，但其實一個你可能會認(rèn)為混沌的系統(tǒng)一定很複雜，但其實一個很簡單的數(shù)學(xué)例子便可以為你解釋混沌。很簡單的數(shù)學(xué)例子便可以為你解釋混沌。 xn+1 = 2xn2 -1x0 = 0.6x0 = 0.6001 ?nxnx0 = 0.6x0 = 0.6001xn+1 = 2xn2 -1nxn上述例子說明了經(jīng)典混沌系統(tǒng)兩個十分重要的特性上述例子說明了經(jīng)典混沌系統(tǒng)兩個十分重要的特性(1) 系統(tǒng)的變化驟看似是毫無規(guī)則，但實際上是由物理定律系統(tǒng)的變化驟看似是毫無規(guī)則，但實際上是由

8、物理定律所決定的。所決定的。(2) 系統(tǒng)的演化對初始條件的選取非常敏感，系統(tǒng)的演化對初始條件的選取非常敏感，初始條件極微小的分別初始條件極微小的分別 (就例如就例如 0.6 和和 0.6001 只相差六只相差六千分之一！千分之一！)，在一段時間的演化後也可帶來南轅北轍，在一段時間的演化後也可帶來南轅北轍的結(jié)果。眾所周知，要預(yù)測一個系統(tǒng)的未來，除了要知的結(jié)果。眾所周知，要預(yù)測一個系統(tǒng)的未來，除了要知道它背後的物理法則外，還要知道初始條件?？墒?，我道它背後的物理法則外，還要知道初始條件。可是，我們在量度一個系統(tǒng)的初始狀態(tài)時總會引入一些誤差。在們在量度一個系統(tǒng)的初始狀態(tài)時總會引入一些誤差。在混沌系統(tǒng)

9、中，不管這些誤差開始時如何細(xì)小，在一段時混沌系統(tǒng)中，不管這些誤差開始時如何細(xì)小，在一段時間後，它也會不斷擴(kuò)大，使系統(tǒng)的真實狀況和我們的預(yù)間後，它也會不斷擴(kuò)大，使系統(tǒng)的真實狀況和我們的預(yù)測相距極遠(yuǎn)?；煦缦到y(tǒng)這種獨有的特性，使我們幾乎無測相距極遠(yuǎn)。混沌系統(tǒng)這種獨有的特性，使我們幾乎無法預(yù)測它的未來。法預(yù)測它的未來。 xn+1 = 2xn2 -1xn+1 = xn2/2 -1 2x2 x-1=0 x2 2x-2=0我們每天都收聽或收看天氣預(yù)報，盡可能準(zhǔn)確進(jìn)行長期我們每天都收聽或收看天氣預(yù)報，盡可能準(zhǔn)確進(jìn)行長期天氣預(yù)報是人類夢寐以求的愿望。計算機(jī)的發(fā)明和發(fā)展，天氣預(yù)報是人類夢寐以求的愿望。計算機(jī)的發(fā)明

10、和發(fā)展，為人類預(yù)報天氣提供了有力的工具。大氣實際上是無數(shù)為人類預(yù)報天氣提供了有力的工具。大氣實際上是無數(shù)沖來撞去的分子組成的，它們是不連續(xù)的，但在經(jīng)典力沖來撞去的分子組成的，它們是不連續(xù)的，但在經(jīng)典力學(xué)中，通常把大氣當(dāng)成連續(xù)、光滑的理想流體來代替。學(xué)中，通常把大氣當(dāng)成連續(xù)、光滑的理想流體來代替。幾百年前，歐拉和伯努利就寫出了描述這種流體的運(yùn)動幾百年前，歐拉和伯努利就寫出了描述這種流體的運(yùn)動方程。方程。 洛侖茲是一個氣象學(xué)家，在孩提時代就是個氣象迷，反洛侖茲是一個氣象學(xué)家，在孩提時代就是個氣象迷，反復(fù)記錄著他家房子外的小觀測站里溫度計的讀數(shù)。他同復(fù)記錄著他家房子外的小觀測站里溫度計的讀數(shù)。他同時

11、也熱愛數(shù)學(xué)，熱愛數(shù)學(xué)的純潔性。正是這兩種愛好，時也熱愛數(shù)學(xué)，熱愛數(shù)學(xué)的純潔性。正是這兩種愛好，使他在混沌研究這個領(lǐng)域做出了開創(chuàng)性的工作。使他在混沌研究這個領(lǐng)域做出了開創(chuàng)性的工作。洛侖茲吸引子洛侖茲吸引子洛侖茲在研究天氣的不可預(yù)測性時，從流體的洛侖茲在研究天氣的不可預(yù)測性時，從流體的運(yùn)動方程出發(fā)，通過簡化方程獲得了具有三個運(yùn)動方程出發(fā)，通過簡化方程獲得了具有三個自由度的系統(tǒng)，自由度的系統(tǒng)， 其中其中x、y、z為無量綱量，分別表征對流強(qiáng)度，對流為無量綱量，分別表征對流強(qiáng)度，對流中升流與降流間的溫差和豎直方向溫度分布的非線中升流與降流間的溫差和豎直方向溫度分布的非線性度。任意給定初值，系統(tǒng)最終都會回

12、到狀態(tài)空間性度。任意給定初值，系統(tǒng)最終都會回到狀態(tài)空間的特定區(qū)域內(nèi)，的特定區(qū)域內(nèi)， 洛侖茲那時正在用他的洛侖茲那時正在用他的皇家馬克比皇家馬克比計算機(jī)對大氣計算機(jī)對大氣系統(tǒng)進(jìn)行模擬，以便尋找進(jìn)行長期天氣預(yù)報的方法。系統(tǒng)進(jìn)行模擬，以便尋找進(jìn)行長期天氣預(yù)報的方法。有一次偶然的機(jī)會，洛侖茲沒有把一次運(yùn)算從頭算有一次偶然的機(jī)會，洛侖茲沒有把一次運(yùn)算從頭算起，他走了一條捷徑，從中途去啟動，把前面打印起，他走了一條捷徑，從中途去啟動，把前面打印出來的結(jié)果做為初始條件輸入。這新一輪的計算原出來的結(jié)果做為初始條件輸入。這新一輪的計算原本應(yīng)當(dāng)重復(fù)前一次的計算結(jié)果，因為程序并沒有變，本應(yīng)當(dāng)重復(fù)前一次的計算結(jié)果，因

13、為程序并沒有變，然而當(dāng)他看到打印結(jié)果時，卻目瞪口呆，他計算出然而當(dāng)他看到打印結(jié)果時，卻目瞪口呆，他計算出來的氣候演變曲線與上一輪的計算相去甚遠(yuǎn)，根本來的氣候演變曲線與上一輪的計算相去甚遠(yuǎn)，根本不是一個類型的氣候，而是完全不同的兩類氣候，不是一個類型的氣候，而是完全不同的兩類氣候， 檢查問題出在他輸入的數(shù)據(jù)上，計算機(jī)內(nèi)存有檢查問題出在他輸入的數(shù)據(jù)上，計算機(jī)內(nèi)存有6位數(shù)，位數(shù)，如：如：0.506127，但打印時為了節(jié)省空間，只打出了，但打印時為了節(jié)省空間，只打出了三位數(shù)，即三位數(shù)，即0.506。他本能地認(rèn)為這千分之一的誤差，。他本能地認(rèn)為這千分之一的誤差，不會對結(jié)果有什么大的影響，這個小差別仿佛一

14、陣不會對結(jié)果有什么大的影響，這個小差別仿佛一陣微風(fēng)吹過，對大范圍的氣候不會有什么影響。事實微風(fēng)吹過，對大范圍的氣候不會有什么影響。事實卻完全相反，氣候的演變對初始條件極為敏感，可卻完全相反，氣候的演變對初始條件極為敏感，可謂謂“差之毫厘，失之千里差之毫厘，失之千里”，就好象，就好象巴西的一只蝴巴西的一只蝴蝶拍拍翅膀，會在德州引起一場暴風(fēng)雨一樣，因此，蝶拍拍翅膀，會在德州引起一場暴風(fēng)雨一樣，因此，洛侖茲稱它為蝴蝶效應(yīng)。洛侖茲稱它為蝴蝶效應(yīng)。蝴蝶效應(yīng)實際上是動力學(xué)蝴蝶效應(yīng)實際上是動力學(xué)系統(tǒng)行為對初值敏感依賴性的一種通俗說法。系統(tǒng)行為對初值敏感依賴性的一種通俗說法。 洛侖茲如果停留在蝴蝶效應(yīng)上，說明

15、氣候變化的不可預(yù)見洛侖茲如果停留在蝴蝶效應(yīng)上，說明氣候變化的不可預(yù)見性，或長期天氣預(yù)報是不可能的，那么他帶來的不過是個性，或長期天氣預(yù)報是不可能的，那么他帶來的不過是個壞消息，但是洛侖茲看到了幾何結(jié)構(gòu)。洛侖茲把他的方程壞消息，但是洛侖茲看到了幾何結(jié)構(gòu)。洛侖茲把他的方程送進(jìn)皇家馬克比計算機(jī)，它的迭代次數(shù)大約每秒送進(jìn)皇家馬克比計算機(jī)，它的迭代次數(shù)大約每秒1次。次。洛侖茲畫出以洛侖茲畫出以 x, y, z 為坐標(biāo)軸的相空間曲為坐標(biāo)軸的相空間曲線如圖線如圖15所示。由圖所示。由圖可見，相圖是三維的，可見，相圖是三維的，它由兩片組成，各片它由兩片組成，各片各自圍繞著一個不動各自圍繞著一個不動點。點。若狀

16、態(tài)軌跡經(jīng)過一段時間之后停在一個不動點上，那么若狀態(tài)軌跡經(jīng)過一段時間之后停在一個不動點上，那么意味著系統(tǒng)進(jìn)入了一個穩(wěn)定的狀態(tài)，這相軌跡將是一個意味著系統(tǒng)進(jìn)入了一個穩(wěn)定的狀態(tài)，這相軌跡將是一個平庸吸引子。然而，事實上，相軌跡在兩片上平庸吸引子。然而，事實上，相軌跡在兩片上“隨機(jī)隨機(jī)”地地 跳來跳去，說明系統(tǒng)的跳來跳去，說明系統(tǒng)的狀態(tài)演變著有某種規(guī)律狀態(tài)演變著有某種規(guī)律性，這種相圖不對應(yīng)任性，這種相圖不對應(yīng)任何一種定常狀態(tài)，因此，何一種定常狀態(tài)，因此，被稱為奇異吸引子，又被稱為奇異吸引子，又稱洛侖茲吸引子。稱洛侖茲吸引子。 奇異吸引子的奇異之處在于，相軌跡雖在兩片上跳來奇異吸引子的奇異之處在于，相軌

17、跡雖在兩片上跳來跳去，但決不自身相交，即不構(gòu)成任何周期運(yùn)動，系跳去，但決不自身相交，即不構(gòu)成任何周期運(yùn)動，系統(tǒng)的狀態(tài)變化具有隨機(jī)的不可預(yù)測性，因此奇異吸引統(tǒng)的狀態(tài)變化具有隨機(jī)的不可預(yù)測性，因此奇異吸引子又稱為混沌吸引子。此外，系統(tǒng)狀態(tài)演變對初始條子又稱為混沌吸引子。此外，系統(tǒng)狀態(tài)演變對初始條件非常敏感，相圖中兩個初始時任意靠近的點，經(jīng)過件非常敏感，相圖中兩個初始時任意靠近的點，經(jīng)過足夠長的時間后，在吸引子上被宏觀地分離開來，對足夠長的時間后，在吸引子上被宏觀地分離開來，對應(yīng)完全不同的狀態(tài)。應(yīng)完全不同的狀態(tài)。 通向混沌的道路通向混沌的道路一維蟲口模型一維蟲口模型邏輯斯蒂映射邏輯斯蒂映射 馬爾薩斯

18、馬爾薩斯(T.R. Malthas)在其在其論人口原理論人口原理一一書中，在分析了書中，在分析了19世紀(jì)美洲和歐洲的一些地區(qū)世紀(jì)美洲和歐洲的一些地區(qū)的人口增長規(guī)律后得出結(jié)論：的人口增長規(guī)律后得出結(jié)論：“在不控制的條在不控制的條件下，人口每件下，人口每25年增加一倍，即按幾何級數(shù)增年增加一倍，即按幾何級數(shù)增長長”。不難把。不難把“馬爾薩斯人口論馬爾薩斯人口論”寫成數(shù)學(xué)形寫成數(shù)學(xué)形式。為此可把式。為此可把25年做為一代，把第年做為一代，把第n代的人口代的人口記為記為xn，馬爾薩斯的意思是：，馬爾薩斯的意思是： xn+1 = 2xn x0 是開始計算的那一代人口數(shù)。只要是開始計算的那一代人口數(shù)。只要

19、 g1，xn 很快就趨向無窮大，發(fā)生很快就趨向無窮大，發(fā)生“人口爆炸人口爆炸”。這樣。這樣的線性模型，不能完全反應(yīng)人口的變化規(guī)律，的線性模型，不能完全反應(yīng)人口的變化規(guī)律，但是稍加修正，就可以稱為描述某些沒有世代但是稍加修正，就可以稱為描述某些沒有世代交疊的昆蟲數(shù)目的蟲口方程。交疊的昆蟲數(shù)目的蟲口方程。 xn+1 = 2xn xn+1 = gxn xn = gnx0 xn+1 = gxn gxn2這項修正就是計入限制蟲口增長的負(fù)因素。蟲這項修正就是計入限制蟲口增長的負(fù)因素。蟲口數(shù)目太多時，由于爭奪有限的食物和生存空口數(shù)目太多時，由于爭奪有限的食物和生存空間發(fā)生咬斗，由于接觸傳染而導(dǎo)致疾病蔓延，間

20、發(fā)生咬斗，由于接觸傳染而導(dǎo)致疾病蔓延，爭斗使蟲口數(shù)目減少的事件，這些事件的數(shù)目爭斗使蟲口數(shù)目減少的事件，這些事件的數(shù)目比例于比例于xn2，于是方程可以修正為：，于是方程可以修正為： xn+1 = gxn gxn2xn+1 = gxn (1-xn)取最大蟲口數(shù)為取最大蟲口數(shù)為1，且蟲口數(shù)不能為負(fù)，則，且蟲口數(shù)不能為負(fù)，則當(dāng)當(dāng)xn=0.5時，方程有極大值時，方程有極大值而而 xn+1 又必須小于又必須小于1，因而，因而g4，則參量，則參量g的取值范圍的取值范圍為為0到到4，這就得到一個抽象的標(biāo)準(zhǔn)蟲口方程，這一迭代，這就得到一個抽象的標(biāo)準(zhǔn)蟲口方程，這一迭代關(guān)系通常稱為邏輯斯蒂映射（關(guān)系通常稱為邏輯斯

21、蒂映射（logistic map）。）。 xn+1 = gxn (1-xn)xn+1 = g/4當(dāng)當(dāng)0g1時，從任一初始值時，從任一初始值x0開始，代入方程開始，代入方程 0g4 0g1 1g3 3g4 xn+1 = gxn (1-xn)g=0.8x0=0.60g1nxn其意義可以認(rèn)為，由于環(huán)境惡劣，蟲口的繁殖能力有其意義可以認(rèn)為，由于環(huán)境惡劣，蟲口的繁殖能力有限限(g太小太小)，使得種群最終走向滅亡。實際上，使得種群最終走向滅亡。實際上，g代表代表了函數(shù)的非線性化的程度，了函數(shù)的非線性化的程度，g 越大，越大， gxn2 越大，非越大，非線性化程度越高線性化程度越高 。xn+1 = gxn

22、(1-xn)當(dāng)當(dāng)1g3時，迭代結(jié)果時，迭代結(jié)果?當(dāng)當(dāng)1g3時，迭代結(jié)果時，迭代結(jié)果?當(dāng)當(dāng)g =3.1時，經(jīng)過一定的步驟，迭代結(jié)果會穩(wěn)定在兩時，經(jīng)過一定的步驟，迭代結(jié)果會穩(wěn)定在兩個值個值x1n與與x2n x2n之間跳來跳去地振蕩，如圖所示之間跳來跳去地振蕩，如圖所示 g=3.1nxnx0=0.6周期周期2循環(huán)循環(huán)這個漂亮的振蕩稱為周期這個漂亮的振蕩稱為周期2循環(huán)，即若跟蹤種循環(huán)，即若跟蹤種群，會發(fā)現(xiàn)種群數(shù)目每隔一年，數(shù)目重復(fù)循環(huán)群，會發(fā)現(xiàn)種群數(shù)目每隔一年，數(shù)目重復(fù)循環(huán)一次，就象有些果樹有大年小年一樣，一次，就象有些果樹有大年小年一樣，x1n和和x2n也是定點吸引子。也是定點吸引子。 當(dāng)當(dāng)g=3.

23、53時，迭代結(jié)果將在時，迭代結(jié)果將在4個值之間振蕩，即振蕩周個值之間振蕩，即振蕩周期增加了一倍，稱為周期期增加了一倍，稱為周期4循環(huán)循環(huán) g=3.53x0=0.6nxn繼續(xù)增加繼續(xù)增加g值，還可得周期值，還可得周期8循環(huán)，周期循環(huán)，周期16循循環(huán)等等。每一次解的周期都增加一倍。當(dāng)環(huán)等等。每一次解的周期都增加一倍。當(dāng) g 達(dá)到某一臨界值時，繼續(xù)增加，迭代結(jié)果再達(dá)到某一臨界值時，繼續(xù)增加，迭代結(jié)果再也不循環(huán)了，而是瘋狂地振蕩，永遠(yuǎn)也不會也不循環(huán)了，而是瘋狂地振蕩，永遠(yuǎn)也不會穩(wěn)定下來，我們稱為混沌態(tài)穩(wěn)定下來，我們稱為混沌態(tài) 。g=3.75若以若以g 為橫坐標(biāo)，迭代結(jié)果為縱坐標(biāo)，可得如圖為橫坐標(biāo)，迭代

24、結(jié)果為縱坐標(biāo)，可得如圖18所示的分岔圖。從臨界值開始，邏輯斯蒂映射進(jìn)入所示的分岔圖。從臨界值開始，邏輯斯蒂映射進(jìn)入了混沌區(qū)，在這種情況下，種群的數(shù)目就完全不能了混沌區(qū)，在這種情況下，種群的數(shù)目就完全不能預(yù)測了。預(yù)測了。 圖圖 蟲口模型分岔圖蟲口模型分岔圖圖圖 蟲口模型分岔圖蟲口模型分岔圖圖圖 分岔圖的自相似精細(xì)結(jié)構(gòu)分岔圖的自相似精細(xì)結(jié)構(gòu)若追蹤種群，你會認(rèn)為種群的數(shù)目變化完全是隨機(jī)的。若追蹤種群，你會認(rèn)為種群的數(shù)目變化完全是隨機(jī)的。然而仔細(xì)觀察圖會發(fā)現(xiàn)，在復(fù)雜的混沌區(qū)，會發(fā)現(xiàn)一然而仔細(xì)觀察圖會發(fā)現(xiàn)，在復(fù)雜的混沌區(qū)，會發(fā)現(xiàn)一些具有周期解的窗口，如些具有周期解的窗口，如3，6，12，或或7，14，2

25、8，窗口內(nèi)的分岔現(xiàn)象與整體有著相似的結(jié)構(gòu)，即，窗口內(nèi)的分岔現(xiàn)象與整體有著相似的結(jié)構(gòu)，即這種迭代分岔圖有著無窮嵌套自相似的精細(xì)結(jié)構(gòu)。一這種迭代分岔圖有著無窮嵌套自相似的精細(xì)結(jié)構(gòu)。一系列的倍周期分岔意味著混沌狀態(tài)的到來。這是通過系列的倍周期分岔意味著混沌狀態(tài)的到來。這是通過倍周期分岔進(jìn)入混沌的典型模式。倍周期分岔進(jìn)入混沌的典型模式。 混沌系統(tǒng)的重要特征是：改變某一參量，分岔一個接混沌系統(tǒng)的重要特征是：改變某一參量，分岔一個接一個。終極形態(tài)由不動點向周期一個。終極形態(tài)由不動點向周期2 周期周期4周期周期8等轉(zhuǎn)化，等轉(zhuǎn)化，實現(xiàn)一系列周期倍化分岔，最終走向混沌實現(xiàn)一系列周期倍化分岔，最終走向混沌 。2.

26、1 湍流湍流(turbulent flow) 湍流是人類尋常慣見的現(xiàn)象。湍流現(xiàn)象普遍存在于行星湍流是人類尋常慣見的現(xiàn)象。湍流現(xiàn)象普遍存在于行星和地球大氣、海洋與江河、火箭尾流、乃至血液流動等和地球大氣、海洋與江河、火箭尾流、乃至血液流動等自然現(xiàn)象之中。自然現(xiàn)象之中。 1883年英國著名試驗流體力學(xué)家雷諾年英國著名試驗流體力學(xué)家雷諾(O.Reynolds)做做了一個實驗，演示了湍流的產(chǎn)生。將流體注入一容器，了一個實驗，演示了湍流的產(chǎn)生。將流體注入一容器，在容器內(nèi)另有一盛有色液體的細(xì)管，如圖在容器內(nèi)另有一盛有色液體的細(xì)管，如圖1所示，管內(nèi)所示，管內(nèi)的有色液體可由小口的有色液體可由小口A流出，大容器

27、下端流出，大容器下端B處裝一閥門，處裝一閥門，可用來控制水的流速。當(dāng)大容器內(nèi)的水流較緩時，從細(xì)可用來控制水的流速。當(dāng)大容器內(nèi)的水流較緩時，從細(xì)管中流出的有色液體呈一線狀，兩種流體互不混雜管中流出的有色液體呈一線狀，兩種流體互不混雜(圖圖a)，我們稱這種流動為層流。加大閥門讓水流速度增大，我們稱這種流動為層流。加大閥門讓水流速度增大，當(dāng)流速大到一定程度時，兩種液體開始相互混雜，液體當(dāng)流速大到一定程度時，兩種液體開始相互混雜，液體的流動開始呈現(xiàn)渦漩狀結(jié)構(gòu)，而且大渦漩套小渦漩，運(yùn)的流動開始呈現(xiàn)渦漩狀結(jié)構(gòu)，而且大渦漩套小渦漩，運(yùn)動狀態(tài)變得極端動狀態(tài)變得極端“紊亂紊亂”(圖圖b)，無法對運(yùn)動狀態(tài)做出，無

28、法對運(yùn)動狀態(tài)做出任何預(yù)測，我們稱這種流動為湍流。任何預(yù)測，我們稱這種流動為湍流。 湍流是一種典型的混沌現(xiàn)象，湍流的發(fā)生機(jī)制是物理學(xué)中湍流是一種典型的混沌現(xiàn)象，湍流的發(fā)生機(jī)制是物理學(xué)中一個歷史悠久的難題。我們都知道流體力學(xué)中有一套描述一個歷史悠久的難題。我們都知道流體力學(xué)中有一套描述流體運(yùn)動的基本方程，這些方程是基于光滑和連續(xù)概念的流體運(yùn)動的基本方程，這些方程是基于光滑和連續(xù)概念的決定性偏微分方程，它們無法描述如此復(fù)雜，沒有規(guī)則的決定性偏微分方程，它們無法描述如此復(fù)雜，沒有規(guī)則的湍流，即使撇開湍流的空間結(jié)構(gòu)不談，決定性的流體力學(xué)湍流，即使撇開湍流的空間結(jié)構(gòu)不談，決定性的流體力學(xué)方程怎么能允許貌似

29、隨機(jī)運(yùn)動的紊亂的時間行為呢？方程怎么能允許貌似隨機(jī)運(yùn)動的紊亂的時間行為呢？ 在日常生活中我們?nèi)巳硕伎梢砸姷皆谌粘Ｉ钪形覀內(nèi)巳硕伎梢砸姷酵牧鳜F(xiàn)象。一支點燃的香煙，青煙湍流現(xiàn)象。一支點燃的香煙，青煙一縷裊裊騰空。開始煙柱是直立的，一縷裊裊騰空。開始煙柱是直立的，達(dá)到一定高度時，突然變得紊亂起達(dá)到一定高度時，突然變得紊亂起來。這是在熱氣流加速上升的過程來。這是在熱氣流加速上升的過程中，層流變湍流的絕妙演示。中，層流變湍流的絕妙演示。 A、B、C是光滑水平桌面上三個完全相同的臺球，是光滑水平桌面上三個完全相同的臺球，B、C兩球并列在一起，作為靜止的靶子，兩球并列在一起，作為靜止的靶子，A球沿它們中球

30、沿它們中心聯(lián)線的垂直平分線朝它們撞去。設(shè)碰撞是完全彈性心聯(lián)線的垂直平分線朝它們撞去。設(shè)碰撞是完全彈性的，碰撞后三球各自如何運(yùn)動的，碰撞后三球各自如何運(yùn)動?若設(shè)想因若設(shè)想因A球瞄得不球瞄得不夠準(zhǔn)而與夠準(zhǔn)而與B、C球的碰撞稍分先后，則我們就會得到球的碰撞稍分先后，則我們就會得到截然不同的結(jié)果。如果說截然不同的結(jié)果。如果說A與與B、C的碰撞是絕對同的碰撞是絕對同時發(fā)生的，后果如何？我們就會啞然不知所對。在這時發(fā)生的，后果如何？我們就會啞然不知所對。在這樣一個簡單的二維三體問題理，完全決定性的牛頓定樣一個簡單的二維三體問題理，完全決定性的牛頓定律竟然給不出確定的答案！律竟然給不出確定的答案！ 布尼莫維

31、奇臺球?qū)嶒灢寄崮S奇臺球?qū)嶒?(a) A射向B、C之間; (b) 先B后C; (c) 先C后B圖6 布尼莫維奇臺球?qū)嶒灢死髮W(xué)伯克利大學(xué)Walter教授發(fā)現(xiàn)健康受試者的教授發(fā)現(xiàn)健康受試者的心電圖具有混沌的圖象，而瀕臨死亡受試心電圖具有混沌的圖象，而瀕臨死亡受試者的心電圖則是非常規(guī)律的振動圖象。者的心電圖則是非常規(guī)律的振動圖象。 生理醫(yī)學(xué)生理醫(yī)學(xué) A simple pendulum.單擺是在懸掛的細(xì)線的單擺是在懸掛的細(xì)線的另一端連接著一個小球另一端連接著一個小球（如圖所示）。單擺又（如圖所示）。單擺又稱數(shù)學(xué)擺，是物理學(xué)中稱數(shù)學(xué)擺，是物理學(xué)中最簡單的模型之一。最簡單的模型之一。 單擺的物理模型單

32、擺的物理模型 可以認(rèn)為，細(xì)線的質(zhì)量可以認(rèn)為，細(xì)線的質(zhì)量可以忽略，且是剛性的?？梢院雎裕沂莿傂缘?。系統(tǒng)質(zhì)量集中在可視為系統(tǒng)質(zhì)量集中在可視為質(zhì)點的小球上。設(shè)擺長質(zhì)點的小球上。設(shè)擺長為為l，小球質(zhì)量為，小球質(zhì)量為m，相，相對于平衡的下垂位置的對于平衡的下垂位置的角度為角度為，重力加速度為，重力加速度為g。則其運(yùn)動方程為。則其運(yùn)動方程為無阻尼無驅(qū)動情形無阻尼無驅(qū)動情形with an angular velocity and acceleration given byFor small angles, we can use the approximationand rewrite the above differential equation as)cos(00tAThe above differential equation has the advantage that it can be solved analytically with solutions on the form)cos(000tA)sin(00tA圖稱為相圖（圖稱為相圖（“相相”的意思是運(yùn)動狀態(tài)的意思是運(yùn)動狀態(tài),即速度和位置，故即速度和位置，故 曲線稱相圖）。由式曲線稱相圖）。由式(6)知，相應(yīng)相知，相應(yīng)相圖中軌跡是半徑為圖中軌跡是半徑為a的圓的圓 近平衡條件下近平衡條件