105-1二階常系數(shù)線性齊次微分方程ppt課件

1、課前練習(xí)：課前練習(xí)： 的通解的通解0)2(. 13 dyyxydxdxdyyxfetfxftyxt 22224224)2()(),0)(.2 在在 連續(xù)，且滿(mǎn)足連續(xù)，且滿(mǎn)足 求求f ( t ) 答案：答案：ycycyyx 32)(. 12.知識(shí)點(diǎn)：知識(shí)點(diǎn)：1二重積分極坐標(biāo)）；二重積分極坐標(biāo)）；2變上變上限求導(dǎo)；限求導(dǎo)；3一階線性方程求解；一階線性方程求解；4常數(shù)常數(shù)c的的確定。確定。)14()(242 xexfx 微分方程解題思路微分方程解題思路一階方程一階方程分離變量法分離變量法齊次方程齊次方程公式法公式法常數(shù)變易法常數(shù)變易法二、二階常系數(shù)線性非齊次方程10.510.5二階常系數(shù)線性微分方程

2、二階常系數(shù)線性微分方程標(biāo)準(zhǔn)形式標(biāo)準(zhǔn)形式0 qyypy齊次線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式齊次線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式)(xfqyypy 非齊次線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式非齊次線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式一、二階常系數(shù)線性齊次方程的通解一、二階常系數(shù)線性齊次方程的通解1.1.二階齊次方程解的結(jié)構(gòu)定理二階齊次方程解的結(jié)構(gòu)定理: :)1(0)()( yxQyxPy 21yy注意注意: : 常數(shù)，常數(shù)， 假設(shè)假設(shè) 常常數(shù)數(shù) 還還是是通通解解嗎嗎？2211yCyCy 21yy 21yy證明時(shí)，應(yīng)先證明證明時(shí)，應(yīng)先證明y是解，然后說(shuō)明是通解是解，然后說(shuō)明是通解定理也可描述為：定理也可描述為：齊次方程齊次方程1的通解是它的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)特的通解是

3、它的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)特解的線性組合。解的線性組合。2、特征方程、特征方程0)(2 rxeqprr, 0 rxe故有故有02 qprr特征方程特征方程是是其其解解設(shè)設(shè)rxey 將其代入上方程將其代入上方程考慮：哪一類(lèi)函數(shù)可能是方程考慮：哪一類(lèi)函數(shù)可能是方程1的解？的解？rxrxeryrey2, 練習(xí)：寫(xiě)出下列微分方程的特征方程練習(xí)：寫(xiě)出下列微分方程的特征方程34044040yyyyyyyy 22234044040rrrrr 得得0(1)ypyqy 滿(mǎn)足特征方程的滿(mǎn)足特征方程的r值，構(gòu)成的值，構(gòu)成的 就是方程就是方程1的解的解rxe02 qprr特征方程特征方程練習(xí)：寫(xiě)出下列微分方程的特征方程練習(xí)：寫(xiě)

4、出下列微分方程的特征方程34044040yyyyyyyy 22234044040rrrrr 特征方程二次方程的解稱(chēng)為特征根特征方程二次方程的解稱(chēng)為特征根12121,24,122rrrrri 0(1)ypyqy 特征根特征根,2422,1qppr 并求特征根并求特征根3、解的形式、解的形式1.1.） 有兩個(gè)不相等的實(shí)根有兩個(gè)不相等的實(shí)根)0( ,2421qppr ,2422qppr 方程方程(1)兩個(gè)特解兩個(gè)特解,11xrey ,22xrey 21yy常數(shù)，得齊次方程的通解為得齊次方程的通解為;2121xrxreCeCy 故兩個(gè)特解，線性無(wú)關(guān)故兩個(gè)特解，線性無(wú)關(guān)如微分方程如微分方程 的特征方程的

5、特征方程340yyy 2340rr 124,1rr 特征根特征根通解：通解：412xxyC eC e 2. 2. ）有兩個(gè)相等的實(shí)根）有兩個(gè)相等的實(shí)根,11xrey ,221prr )0( 一特解為一特解為得齊次方程的通解為得齊次方程的通解為;)(121xrexCCy ,)(xxu 可以求得,12xrxey 則則,)(12xrexuy 設(shè)設(shè)另另一一特特解解為為3.3.） 有一對(duì)共軛復(fù)根有一對(duì)共軛復(fù)根,1ir ,2ir ,)(1xiey ,)(2xiey )0( 利用歐拉公式得另一形式的兩個(gè)根利用歐拉公式得另一形式的兩個(gè)根1cos,xyex2sin,xyex得齊次方程的通解為得齊次方程的通解為)

6、.sincos(21xCxCeyx 齊次方程齊次方程1的通解公式：的通解公式：例例1 1.044的通解的通解求方程求方程 yyy解解特征方程為特征方程為,0442 rr特征根特征根,221 rr故通解為故通解為.)(221xexCCy .052的的通通解解求求方方程程 yyy解解特征方程為特征方程為,0522 rr特征根特征根,2121ir ，故通解為故通解為).2sin2cos(21xCxCeyx 例例2 2例例3 3.043的的通通解解求求方方程程 yyy解解特征方程為特征方程為,0432 rr特征根特征根 1,421 rr故所求通解為故所求通解為xxeCeCy241 .0的的通通解解求求

7、方方程程 yy解解特征方程為特征方程為,012 r特征根特征根 ,21ir ，故所求通解為故所求通解為.sincosxBxAy 例例4：注意這種類(lèi)型，往往注意這種類(lèi)型，往往容易寫(xiě)成容易寫(xiě)成 錯(cuò)錯(cuò)了！了！,02 rr練習(xí)練習(xí) 5)0(,0)0(043yyyyy解解特征方程為特征方程為,0432 rr特征根特征根 1,421 rr通解為通解為xxeCeCy 241xxeCeCy 241xxeCeCy 2414將將 分別代入上兩式，得：分別代入上兩式，得：5)0(,0)0( yy 2121450CCCC 1121CC故原方程所求特解為故原方程所求特解為xxeey 4作業(yè)：作業(yè)：P405，31，2）

8、4(3)小結(jié)小結(jié)二階常系數(shù)齊次微分方程求通解的一般步驟二階常系數(shù)齊次微分方程求通解的一般步驟:（1寫(xiě)出相應(yīng)的特征方程寫(xiě)出相應(yīng)的特征方程;02 qprr0 qyypy（2求出特征根求出特征根;（3根據(jù)特征根的不同情況根據(jù)特征根的不同情況,得到相應(yīng)的通解得到相應(yīng)的通解. 二、二階常系數(shù)非齊次線性方程通解二、二階常系數(shù)非齊次線性方程通解1 1、解的結(jié)構(gòu)定理、解的結(jié)構(gòu)定理: :)1(0 qyypy)2()(xfqyypy 非齊次的兩個(gè)特解之差是齊次方程的解非齊次的兩個(gè)特解之差是齊次方程的解證明證明:(同學(xué)們?cè)囈辉囃瑢W(xué)們?cè)囈辉?非齊次通解齊次通解非齊次特解非齊次通解齊次通解非齊次特解怎樣求？怎樣求？定理

9、可簡(jiǎn)單描述為：定理可簡(jiǎn)單描述為：2、非齊次方程特解的求法、非齊次方程特解的求法試解函數(shù)檢驗(yàn)法試解函數(shù)檢驗(yàn)法根據(jù)非齊次項(xiàng)，假設(shè)其解函數(shù)，檢驗(yàn)后，求出根據(jù)非齊次項(xiàng)，假設(shè)其解函數(shù)，檢驗(yàn)后，求出待定系數(shù)，得其特解。待定系數(shù)，得其特解。試解函數(shù)試解函數(shù)Q (x)f(x)xcxcaxaxaeCnnnax sincos21110 xBxAbxbxbkeknnnax sincos110說(shuō)明說(shuō)明:1、不論、不論f(x)是幾項(xiàng)多項(xiàng)式是幾項(xiàng)多項(xiàng)式,Q (x)必須是必須是“同同 次完全多項(xiàng)式次完全多項(xiàng)式”。2、不論、不論f(x)是否只含正弦、余弦，是否只含正弦、余弦，Q (x )都要設(shè)為都要設(shè)為其線性組合。其線性組合。3、f (x)是兩類(lèi)函數(shù)乘積是兩類(lèi)函數(shù)乘積,Q (x)也是對(duì)應(yīng)兩類(lèi)函數(shù)乘也是對(duì)應(yīng)兩類(lèi)函數(shù)乘積積若有，則將試解函數(shù)乘以若有，則將試解函數(shù)