102第二類曲線積分ppt課件

1、二、對坐標的曲線積分的概念；三、對坐標的曲線積分的計算；一、問題的提出；第三節(jié) 對坐標的曲線積分oxyABL一、問題的提出1 nMiM1 iM2M1Mix iy 實例實例: : 變力沿曲線所作的功變力沿曲線所作的功,:BAL( , )( , )( , )F x yP x y iQ x y j常力所作的功常力所作的功分割分割.),(,),(,1111110BMyxMyxMMAnnnn 1()() .iiiiMMx iyj .WF AB求和求和. ),(),(1 niiiiiiiyQxP 取極限取極限. ),(),(lim10 niiiiiiiyQxPW 近似值近似值精確值精確值( ,)( ,)(

2、 ,) ,iiiiiiFPiQj 取1( ,)iiiiiWFMM .),(),(iiiiiiiyQxPW 即即 niiWW1oxyABL1 nMiM1 iM2M1M),(iiF ix iy 二、對坐標的曲線積分的概念11122211110111,( , ),( , ).( ,),(,),(,)(1,2, ;,).,( ,).nnniiniiiiiiiiiiLxoyABP x yQ x yLLMx yMxyMxyLnMMinMA MBxxxyyyMM 設(shè) 為面內(nèi)從點 到點 的一條有向光滑曲線弧 函數(shù)在上有界 用 上的點把 分成 個有向小弧段設(shè)點為上任意取定的點 如果當各小弧段0,長度的最大值時1

3、.定義定義.),(lim),(,(),(,),(101iiniiLniiiixPdxyxPxLyxPxP 記作記作或稱第二類曲線積分）或稱第二類曲線積分）積分積分的曲線的曲線上對坐標上對坐標在有向曲線弧在有向曲線弧數(shù)數(shù)則稱此極限為函則稱此極限為函的極限存在的極限存在類似地定義類似地定義.),(lim),(10iiniiLyQdyyxQ ,),(),(叫做被積函數(shù)叫做被積函數(shù)其中其中yxQyxP.叫積分弧段叫積分弧段L2.存在條件：存在條件：.,),(),(第二類曲線積分存在第二類曲線積分存在上連續(xù)時上連續(xù)時在光滑曲線弧在光滑曲線弧當當LyxQyxP3.組合形式組合形式 LLLdyyxQdxyx

4、PdyyxQdxyxP),(),(),(),(.LF ds,.FPiQjdsdxidyj其中4.4.推廣推廣 空間有向曲線弧空間有向曲線弧.),(lim),(10iiiniixPdxzyxP . RdzQdyPdx.),(lim),(10iiiniiyQdyzyxQ .),(lim),(10iiiniizRdzzyxR 5.5.性質(zhì)性質(zhì).,)1(2121 LLLQdyPdxQdyPdxQdyPdxLLL則則和和分成分成如果把如果把(2),LLL設(shè) 是有向曲線弧是與 方向相反的有向曲線弧 則即對坐標的曲線積分與曲線的方向有關(guān)即對坐標的曲線積分與曲線的方向有關(guān).( , )( , )( , )( ,

5、 )LLP x y dxQ x y dyP x y dxQ x y dy 對坐標的曲線積分必須注意積分弧段的方向 ! 定積分是第二類曲線積分的特例定積分是第二類曲線積分的特例.三、對坐標的曲線積分的計算 ( ),( ) ( ) ( ),( )( )PtttQtttdt22( , ),( , )( ),( ), ,( , ),( ),( ),( )( )0,( , )( , ),LP x y Q x yLxtLtytM x yLALBttttP x y dxQ x y dy設(shè)在曲線弧 上有定義且連續(xù)的參數(shù)方程為當參數(shù) 單調(diào)地由 變到時 點從 的起點 沿 運動到終點在以 及 為端點的閉區(qū)間上具有一

6、階連續(xù)導數(shù) 且則曲線積分存在( , )( , )LP x y dxQ x y dy且對應參數(shù)設(shè)分點證明：根據(jù)定義ix,it),(ii點,i由于1iiixxx)()(1iitt( )iit LxyxPd),(tttPd )(),(niiiP10)(, )(lim( )iit )(tLxyxPd),(niiiixP10),(lim對應參數(shù)連續(xù)所以)(t因為L 為光滑弧 ,同理可證LyyxQd),( ( ),( ) dQttt)(t特殊情形特殊情形.)(:)1(baxxyyL，終終點點為為起起點點為為 .)()(,)(,dxxyxyxQxyxPQdyPdxbaL 則則.)(:)2(dcyyxxL，終

7、終點點為為起起點點為為 .),()(),(dyyyxQyxyyxPQdyPdxdcL 則則.,)()()(:)3( 終終點點起起點點推推廣廣ttztytx ( ),( ),( ) ( ) ( ),( ),( )( ) ( ),( ),( )( )PdxQdyRdzPttttQttttRttttdt(4) 兩類曲線積分之間的聯(lián)系：兩類曲線積分之間的聯(lián)系：,)()( tytxL ：設(shè)設(shè)有有向向平平面面曲曲線線弧弧為為( , ),Lx y 上點處的切線向量的方向角 為 LLdsQPQdyPdx)coscos(則則其中其中,)()()(cos22ttt ,)()()(cos22ttt （可以推廣到空間

8、曲線上（可以推廣到空間曲線上 ） ( , , ), ,x y z 上點處的切線向量的方向角 為 dsRQPRdzQdyPdx)coscoscos(則則F tdsF ds,tFds可用向量表示可用向量表示 ,FP Q R其中，cos , cos, cos ,t,dstdsdx dy dz有向曲線元；有向曲線元；.tFFt為向量在向量 上的投影處的單位切向量處的單位切向量上點上點),(zyx 例例1.)1 , 1()1, 1(,2的一段弧的一段弧到到上從上從為拋物線為拋物線其中其中計算計算BAxyLxydxL 解解的的定定積積分分，化化為為對對x)1(.xy OBAOLxydxxydxxydx 1

9、001)(dxxxdxxx 10232dxx.54 xy 2)1, 1( A)1 , 1(B的的定定積積分分，化化為為對對y)2(,2yx ABLxydxxydx 1122)(dyyyy1 1.y從到 1142dyy.54 xy 2)1, 1( A)1 , 1(B例例2. 設(shè)在力場設(shè)在力場作用下, 質(zhì)點由沿移動到),2,0,(kRB)0, 0,(RA.)2(AB解解: (1)zzyxxydddttkR2022d)(2) 的參數(shù)方程為kttzyRx20:,0,ABzzyxxydddktt20dBAzyx試求力場對質(zhì)點所作的功.;,sin,cos) 1(tkztRytRx)(222Rk 222k其

10、中為),(zxyFdWFsdWFs.)0 ,()0 ,()2(;)1(,2的直線段的直線段軸到點軸到點沿沿從點從點的上半圓周的上半圓周針方向繞行針方向繞行、圓心為原點、按逆時、圓心為原點、按逆時半徑為半徑為為為其中其中計算計算aBxaAaLdxyL 例例3解解,sincos:)1( ayaxL，變到變到從從 0)0 ,(aA)0 ,( aB 0原式原式 daa)sin(sin22 03a)(cos)cos1(2 d .343a )0 ,(aA)0 ,( aB , 0:)2( yL，變到變到從從aax aadx0原原式式. 0 問題：被積函數(shù)相同，起點和終點也相同，但問題：被積函數(shù)相同，起點和終

11、點也相同，但路徑不同積分結(jié)果不同路徑不同積分結(jié)果不同.是否有普遍性？是否有普遍性？例例4).1 , 1(),0 , 1()0 , 0(,)3(;)1 , 1()0 , 0()2(;)1 , 1()0 , 0()1(,2222依依次次是是點點，這這里里有有向向折折線線的的一一段段弧弧到到上上從從拋拋物物線線的的一一段段弧弧到到上上從從拋拋物物線線為為其其中中計計算算BAOOABBOyxBOxyLdyxxydxL 2xy )0 , 1(A)1 , 1(B解解.)1(的的積積分分化化為為對對 x, 10,:2變變到到從從xxyL 1022)22(dxxxxx原原式式 1034dxx. 1 ) 0 ,

12、 1 (A)1 ,1(B2yx .)2(的積分的積分化為對化為對 y,10,:2變到變到從從yyxL 1042)22(dyyyyy原原式式 1045dxy. 1 )0 , 1(A)1 , 1(B)3( ABOAdyxxydxdyxxydx2222原原式式,上上在在 OA,10, 0變變到到從從xy 1022)002(2dxxxdyxxydxOA. 0 ,上上在在 AB,10, 1變變到到從從yx 102)102(2dyydyxxydxAB. 1 10 原原式式. 1 ) 0 , 1 (A)1 ,1(B問題：被積函數(shù)相同，起點和終點也相同，但問題：被積函數(shù)相同，起點和終點也相同，但路徑不同而積分

13、結(jié)果相同路徑不同而積分結(jié)果相同.具有普遍性？具有普遍性？ozyx例例5. 求求,d)(d)(d)(zyxyzxxyzI其中,2122zyxyx從 z 軸正向看為順時針方向.解解: 取取 的參數(shù)方程的參數(shù)方程,sin,costytx)02:(sincos2tttz20Itttcos)sincos22(tttttd )sin)(cossin(costt d)cos41 (220)sin)(cos2(tt 2設(shè)二者夾角為 ( ,),(cos,cos)FP QtdLF ts22max,MPQ 設(shè) 曲線段 L 的長度為s, 證明),(, ),(yxQyxP續(xù),sMyQxPLdd證證:LyQxPddsQP

14、LdcoscossMsQPLdcoscos說明說明: 上述證法可推廣到三維的第二類曲線積分上述證法可推廣到三維的第二類曲線積分.在L上連 cosdLFs例例6:例例7.7.將積分yyxQxyxPLd),(d),(化為對弧長的積分,0222xyx).0 , 2()0 , 0(BO到從解：解：oyxB,22xxyxxxxyd21d2sdxyd12xxxd212sxddcos,22xx syddcosx1yyxQxyxPLd),(d),(syxQyxPLd),(),(22xx )1(x其中L 沿上半圓周1. 定義kkkknkyQxP),(),(limkk10LyyxQxyxPd),(d),(2. 性

15、質(zhì)(1) L可分成 k 條有向光滑曲線弧), 1(kiLiLyyxQxyxPd),(d),(iLkiyyxQxyxPd),(d),(1(2) L 表示 L 的反向弧LyyxQxyxPd),(d),(LyyxQxyxPd),(d),(對坐標的曲線積分必須注意積分弧段的方向!內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)3. 計算,)()(:tytxL: tLyyxQxyxPd),(d),(tttQttPd )(),( )(),()(t)(t 對有向光滑弧 對有向光滑弧baxxyL:, )(:xxxQxxPbad )(,)(,)(xLyyxQxyxPd),(d),(zzyxRyzyxQxzyxPd),(d),(d),(:,)()()(ttztytx)(, )(),(tttP)(t)(t)(t4. 兩類曲線積分的聯(lián)系LyQxPddsQPLdcoscoszRyQxPdddsRQPdcoscoscos)(, )(),(tttQ)(, )(),(tttRtd 對空間有向光滑弧 :練習練習. 設(shè)曲線設(shè)曲線C為曲面為曲面2222azyx與曲面axyx22,)0, 0(的交線az從 ox 軸正向看去為逆時針方向,(1) 寫出曲線 C 的參數(shù)方程 ;(2) 計算曲線積分.ddd222zxyzxyC解解: (1)22222)()(aayx222yxaztxaacos22tyasin22sintaz 20:t