隨機變量及其概率分布1PPT課件

1、 在前面的學(xué)習(xí)中在前面的學(xué)習(xí)中, ,我們用字母我們用字母A A、B B、C.C.表表示事件，并視之為樣本空間示事件，并視之為樣本空間的子集；針對等的子集；針對等可能概型，主要研究了用排列組合手段計算事可能概型，主要研究了用排列組合手段計算事件的概率。件的概率。 本章，將用隨機變量表示隨機事件，以便本章，將用隨機變量表示隨機事件，以便采用高等數(shù)學(xué)的方法描述、研究隨機現(xiàn)象。采用高等數(shù)學(xué)的方法描述、研究隨機現(xiàn)象。隨機變量及其分布Random Variable and Distribution第1頁/共49頁隨機變量n基本思想將樣本空間數(shù)量化,即用數(shù)值來表示試驗的結(jié)果n 有些隨機試驗的結(jié)果可直接用數(shù)值

2、來表示.例如: 在擲骰子試驗中,結(jié)果可用1,2,3,4,5,6來表示 例如: 擲硬幣試驗,其結(jié)果是用漢字“正面”和“反面”來表示的可規(guī)定: 用 1表示 “正面朝上” 用 0 表示“反面朝上”Random Variablen 有些隨機試驗的結(jié)果不是用數(shù)量來表示， 但可數(shù)量化第2頁/共49頁 設(shè)箱中有1010個球，其中有2 2個紅球，8 8個白 球；從中任意抽取2 2個, ,觀察抽球結(jié)果。 特點：試驗結(jié)果數(shù)量化了，試驗結(jié)果與數(shù)建立了 對應(yīng)關(guān)系X表示取得的紅球數(shù)可記為 X=2 記為記為 試驗結(jié)果的數(shù)量化第3頁/共49頁隨機變量的定義隨機變量的定義 1) 它是一個變量 2) 它的取值隨試驗結(jié)果而改變

3、3）隨機變量在某一范圍內(nèi)取值，表示一個 隨機事件n隨機變量n隨機變量的兩個特征:設(shè)隨機試驗的樣本空間為，如果對于每一個樣本點 ，均有唯一的實數(shù) 與之對應(yīng)，稱 為樣本空間上的隨機變量。( )X( )XX第4頁/共49頁某個燈泡的使用壽命某個燈泡的使用壽命X X。 某電話總機在一分鐘內(nèi)收到的呼叫次數(shù)某電話總機在一分鐘內(nèi)收到的呼叫次數(shù)Y.Y.在在00，11區(qū)間上隨機取點，該點的坐標區(qū)間上隨機取點，該點的坐標X.X.X 的可能取值為 0,+)Y 的可能取值為 0，1，2，3，.,X 的可能取值為 0，1上的全體實數(shù)。隨機變量的實例隨機變量的實例第5頁/共49頁用隨機變量表示事件用隨機變量表示事件n若X

4、 X是隨機試驗E E的一個隨機變量，S SRR，那么 XS S可表示可表示E E中的事件中的事件 如在擲骰子試驗中，用X表示出現(xiàn)的點數(shù),則 “出現(xiàn)偶數(shù)點”可表示為：X=2 X=4 X=6 “出現(xiàn)的點數(shù)小于”可表示為：X 4或X3n E中的事件通常都可以用X的不同取值來表示.第6頁/共49頁隨機變量的類型隨機變量的類型n 離散型n 非離散型隨機變量的所有取值是有限個或可列個隨即變量的取值有無窮多個，且不可列其中連續(xù)型隨機變量是一種重要類型第7頁/共49頁離散隨機變量的概率分布離散隨機變量的概率分布 稱此式為X的分布律（列）或概率分布（Probability distribution)kkpxXP

5、 設(shè)離散型隨機變量 的所有可能取值是 ，而取值 的概率為X12,nx xxkxkp即第8頁/共49頁隨機變量隨機變量X X的概率分布的概率分布全面表達了全面表達了X X的所有可能取的所有可能取值以及取各個值的概率情況值以及取各個值的概率情況 p1 ， p2 ， p K P x1， x2， xk， X離散隨機變量分布律的表格表示法n 公式法kkpxXPn 表格法1)01,2,kpk12)1kkp性質(zhì) 第9頁/共49頁例 設(shè)X的分布律為求 P(0X2)P(0X2)=P（X=1）+P（X=2） =1/2+1/6=2/3分布律確定概率解 第10頁/共49頁=P(抽得的兩件全為次品)求分布律舉例求分布律

6、舉例 例例1 1 設(shè)有一批產(chǎn)品設(shè)有一批產(chǎn)品2020件，其中有件，其中有3 3件次品，件次品，從中任意抽取從中任意抽取2 2件，如果用件，如果用X X表示取得的次品數(shù)，求表示取得的次品數(shù)，求隨機變量隨機變量X X的分布律及事件的分布律及事件“至少抽得一件次品至少抽得一件次品”的概率。的概率。解X的可能取值為 0，1，2=P(抽得的兩件全為正品)190136220217 CCPX=1PX=21131722051190C CC 232203190CC =P(只有一件為次品)PX=0第11頁/共49頁故故 X X的分布律為的分布律為kp190136190511903而“至少抽得一件次品”=X1= X=

7、1X=2PX1= PX=1+PX=2注意：X=1與X=2是互不相容的！952719054190319051 實際上，這仍是古典概型的計算題，只是表達事件的方式變了故第12頁/共49頁 從一批次品率為從一批次品率為p p的產(chǎn)品中，有放回抽樣直的產(chǎn)品中，有放回抽樣直到抽到次品為止。求抽到次品時，已抽取的次數(shù)到抽到次品為止。求抽到次品時，已抽取的次數(shù)X X的分布律。的分布律。 解解 記記A Ai i= =“第第i i次次取到正品取到正品”,i=1,2,3,i=1,2,3, 則則 A Ai i , , i=1,2,3,i=1,2,3, 是相互獨立的！是相互獨立的！ 且且X的所有可能取值為 )(121k

8、kAAAAP( X=k )對應(yīng)著事件 kkAAAA121例第13頁/共49頁設(shè)隨機變量X的分布律為2( ) ,1,2,3,3kP Xkbk試確定常數(shù)b.解由分布律的性質(zhì),有11223()()2313kkkbP Xkb例232113bb1.2b 第14頁/共49頁幾種常見的離散型分布幾種常見的離散型分布 1p p P 0 1 X 則稱X服從參數(shù)為p 的二點分布或(0-1)分布,背景樣本空間只有兩個樣本點的情況 都可以用兩點分布來 描述。如：上拋一枚硬幣。 若隨機變量X的分布律為:第15頁/共49頁例設(shè)一個袋中裝有3個紅球和7個白球，現(xiàn)在從中隨機抽取一球，如果每個球抽取的機會相等，并且用數(shù)“1”代

9、表取得紅球，“0”代表取得白球，則隨機抽取一球所得的值是一個離散型隨機變量10X（取得紅球）（取得白球）其概率分布為3(1)10P X 7(0)10P X 即X服從兩點分布。第16頁/共49頁(1)0,1, 2.,;kknknP XknkCpp 其中0 p 0, 則稱X服從參數(shù)為的泊松分布XP()n定義第20頁/共49頁 服務(wù)臺在某時間段內(nèi)接待的服務(wù)次數(shù)服務(wù)臺在某時間段內(nèi)接待的服務(wù)次數(shù)X X； 交換臺在某時間段內(nèi)接到呼叫的次數(shù)交換臺在某時間段內(nèi)接到呼叫的次數(shù)Y;Y; 礦井在某段時間發(fā)生事故的次數(shù)礦井在某段時間發(fā)生事故的次數(shù); ; 顯微鏡下相同大小的方格內(nèi)微生物的數(shù)目；顯微鏡下相同大小的方格內(nèi)微

10、生物的數(shù)目； 單位體積空氣中含有某種微粒的數(shù)目單位體積空氣中含有某種微粒的數(shù)目 體積相對小的物質(zhì)在較大的空間內(nèi)的稀疏分布，都可以看作泊松分布,其參數(shù) 可以由觀測值的平均值求出。n 實際問題中若干R.v.X是服從或近似服從 Poisson分布的第21頁/共49頁 已知某電話交換臺每分鐘接到的呼喚次數(shù)X服從4 的泊松分布，分別 求（1）每分鐘內(nèi)恰好接到3次呼喚的概率；（2）每分鐘不超過4次的概率(4)(0)(1)(2)(3)(4)P XP XP XP XP XP X4,3k()!kP Xkek344(3)3!P Xe例解0.195630.628838第22頁/共49頁實際應(yīng)用中當n較大,p較小，n

11、p適中時，即可用泊松公式近似替換二項概率公式ekppCkknkkn!)1 (二項分布的泊松近似The Poisson Approximation to the Binomial Distributionnp第23頁/共49頁 某人騎摩托車上街, ,出事故率為0.020.02，獨立重復(fù)上街400400次，求出事故至少兩次的概率. .(400,0.02)XBn 結(jié)果表明，隨著實驗次數(shù)的增多，小概率事件總會發(fā)生的！ 4004000.020.98kkkP xkC88!kek泊松定理 例 解第24頁/共49頁若某人做某事的成功率為1%，他重復(fù)努力400次，則至少成功一次的概率為400110 =1 0.9

12、90.9820P XP X 成功次數(shù)服從二項概率 (400,0.01)B有百分之一的希望，就要做百分之百的努力 第25頁/共49頁隨機變量的分布函數(shù)隨機變量的分布函數(shù) 設(shè)設(shè)X X為一隨機變量為一隨機變量, ,則對任意實數(shù)則對任意實數(shù)x x，(Xx)(Xx)是一個隨機事件，稱是一個隨機事件，稱為分布函數(shù)定義域為（，）；值域為 ，。F(x)是一個普通的函數(shù)！Distribution Functionn 分布函數(shù)的定義( )()F xP Xx第26頁/共49頁 分布函數(shù)表示事件的概率n P（Xb）=F(b)n P（aXb）=F(b) F(a)n P（Xb）=1 P（Xb）=1 - F(b)P（aXb

13、）=P(X b)-P(Xa)= F(b)- F(a)第27頁/共49頁已知 X 的分布律為XP10121111231212求X的分布函數(shù)，并畫出它的圖形。0 (1)1 2 ( 10)( )5 6 (01)11 12 (12)1 (2)xxF xP Xxxxx 第28頁/共49頁分布函數(shù)的性質(zhì)分布函數(shù)的性質(zhì)n F(x)是單調(diào)不減函數(shù)n 0 F(x) 1, 且 ()lim( )0,()lim( ) 1xxFF xFF x 12xx若12()()F xF x()FP X 不可能事件()FP X 必然事件n F(x)處處左連續(xù)(0)( )F xF x第29頁/共49頁分布函數(shù) F(x)的圖形nF(x)

14、是單調(diào)不減函數(shù)第30頁/共49頁21( )1F xx是不是某一隨機變量的分布函數(shù)？不是 因為 lim( )0 xF x函數(shù) 21 (0)( )1 1 (0)xG xxx可作為分布函數(shù)第31頁/共49頁( )baP axbf x dx概率密度函數(shù)n 定義 設(shè)X為一隨機變量，若存在非負實函數(shù) f (x) , 使對任意實數(shù) a b ，有 則稱X為連續(xù)型隨機變量， f (x) 稱為X 的概率密度函數(shù),簡稱概率密度或密度函數(shù).Probability density function p.d.f.( )( )xF xf t dt分布函數(shù) 第32頁/共49頁2112( )xxP xXxf x dx1x2xn

15、密度函數(shù)在區(qū)間上的積分 = 隨機變量在區(qū)間上取值的概率第33頁/共49頁概率密度函數(shù)的性質(zhì)( )0,(,)f xx n 非負性( )1f x dxn 規(guī)范性( )f x1Px 第34頁/共49頁密度函數(shù)和分布函數(shù)的關(guān)系n 積分關(guān)系n 導(dǎo)數(shù)關(guān)系( )( )xF xf x dx( )F xP Xx( )xf x dx( )( )( )f xxF xf x若在 處連續(xù)，則第35頁/共49頁連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)在實數(shù)域內(nèi)處處連續(xù)P(X=a)=0P(a X b)= P(aXb)=P(a X b)=P(aXb)( )baf x dx X取值在某區(qū)間的概率等于密度函數(shù)在此區(qū)間上的定積分 連續(xù)型隨機變量的

16、分布函數(shù)的性質(zhì)因此，連續(xù)型隨機變量取任意指定實數(shù)值a的概率為0第36頁/共49頁cos( )20Xaxxf x隨機變量的概率密度為其它(0)4PX求解 Step1: 利用密度函數(shù)的性質(zhì)求出 a( )1f x dx22( )cos1f x dxaxdx12a 4012(0)cos424PXxdx例：已知密度函數(shù)求概率 Step2: 密度函數(shù)在區(qū)間的積分得到此區(qū)間的概率第37頁/共49頁例：已知分布函數(shù)求密度函數(shù)200( )0111XxF xxxx隨機變量的分布函數(shù)為(0.30.7)PX(1)求（2)X 的密度函數(shù)22(0.30.7)(0.7)(0.3)PXFF(1)201( )

17、( )0 xxf xF xotherwise（2）密度函數(shù)為解 第38頁/共49頁1(1, 5 )()40其 它fx 解 當 x 1 時( )( )xF xf x dx01 2 3 4 5yxx當1 5 時151551( )( )( )( )( )1100(5 1)144xxF xf x dxf x dxf x dxf x dxdx所以011( )(1) 15415xF xxxx0 1 51第40頁/共49頁已知連續(xù)型隨機變量X的概率密度為( )xf xAe( 11)PX (1)求（2） 求 X 的分布函數(shù)第41頁/共49頁(1)1021( )0121112xxXexF xxex隨機變量的分布

18、函數(shù)為( 12)PX (1)求（2)求X 的密度函數(shù)第42頁/共49頁均勻分布若連續(xù)型隨機變量X的概率密度為1()0axbfxba其 它則稱X在區(qū)間 （a，b）上服從均勻分布記為 X U (a, b) xbbxaabaxaxxF,1,0)(Uniform Distributionn定義n分布函數(shù)第43頁/共49頁 0 a bx X“等可能”地取區(qū)間（a,b）中的值，這里的“等可能”理解為：X落在區(qū)間（a,b)中任意等長度的子區(qū)間內(nèi)的可能性是相同的?；蛘哒f它落在子區(qū)間內(nèi)的概率只依賴于子區(qū)間的長度而與子區(qū)間的位置無關(guān)。 0 a bx（） c d ( )1dcdcP cXdf x dxdcdxbaban意義第44頁/共49頁 102電車每5分鐘發(fā)一班，在任一時刻 某一乘客到了車站。求乘客候車時間不超過2分鐘的概率。 設(shè)隨機變量X為候車時間，則X服從（0，5）上的均勻分布220012(2)(2)( )55P XFf x dxdx解例XU（0，5）幾何概型（一維） 第45頁/共49頁設(shè)在-1，5上服從均勻分布，求方程2210 xx 有實根的概率。解 方程有實數(shù)根 2440即 1而 的密度函數(shù)為 1 ( 15)( )60 xf x 其它所求概率為 1121(