概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)之正態(tài)分布學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(sh l tn j)之正態(tài)分之正態(tài)分布布第一頁(yè)，共41頁(yè)。2第1頁(yè)/共40頁(yè)第二頁(yè)，共41頁(yè)。正態(tài)分布正態(tài)分布22()21( )2xf xe221( )2xxe第2頁(yè)/共40頁(yè)第三頁(yè)，共41頁(yè)。正態(tài)分布，又稱高斯分布正態(tài)分布，又稱高斯分布第3頁(yè)/共40頁(yè)第四頁(yè)，共41頁(yè)。一、邂逅，正態(tài)曲線的首次(shu c)發(fā)現(xiàn)正態(tài)分布的前世正態(tài)分布的前世(qinsh)(qinsh)今生今生棣莫弗棣莫弗拉普拉斯中心拉普拉斯中心(zhngxn)(zhngxn)極限定理，極限定理，4.54.5節(jié)節(jié)二、尋找隨機(jī)誤差分布的規(guī)律（正態(tài)分布的確立）三、正態(tài)分布的各種推導(dǎo)四、正態(tài)分

2、布開(kāi)疆?dāng)U土五、正態(tài)魅影正態(tài)分布性質(zhì)，正態(tài)分布性質(zhì)，4.34.3節(jié)節(jié)第4頁(yè)/共40頁(yè)第五頁(yè)，共41頁(yè)。22()21( ),2xf xex 6定義定義(dngy)(dngy)：設(shè)隨機(jī)變量：設(shè)隨機(jī)變量 的概率密度的概率密度為為X則稱則稱 服從服從正態(tài)分布正態(tài)分布，記作，記作 ，其中，其中 及及 是參數(shù)是參數(shù)X2( ,)XN 0正態(tài)分布也稱為正態(tài)分布也稱為(chn wi)(chn wi)高斯分布高斯分布特別地，當(dāng)特別地，當(dāng) 時(shí)，得到正態(tài)分布時(shí)，得到正態(tài)分布 ，稱為，稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布， 0,1其概率密度為其概率密度為(0,1)N221( ),2xxex 第5頁(yè)/共40頁(yè)第六頁(yè)，共41頁(yè)。22

3、()21( ),2xf xex 72( ,)XN 特點(diǎn)特點(diǎn)(tdin)（性質(zhì)）：（性質(zhì)）：關(guān)于關(guān)于 對(duì)稱對(duì)稱第6頁(yè)/共40頁(yè)第七頁(yè)，共41頁(yè)。如圖以標(biāo)準(zhǔn)如圖以標(biāo)準(zhǔn)(biozhn)正態(tài)分布為例，分析正態(tài)分布為例，分析 的取值對(duì)圖像的影響的取值對(duì)圖像的影響8, 是對(duì)稱軸，只是左右平移，改變其左右位置，不改變其形狀是對(duì)稱軸，只是左右平移，改變其左右位置，不改變其形狀O改變其形狀改變其形狀（高矮胖瘦）（高矮胖瘦），不能改變其位置，不能改變其位置第7頁(yè)/共40頁(yè)第八頁(yè)，共41頁(yè)。22()21( ),2xf xex 92( ,)XN (0,1)XN221( ),2xxex 22()21( )2txF xe

4、dt221( )2txxedt第8頁(yè)/共40頁(yè)第九頁(yè)，共41頁(yè)。102( ,)XN (0,1)XN221( )2txxedt( )F x 分布函數(shù)分布函數(shù)分布分布(fnb)(fnb)函數(shù)函數(shù)22()212txedt的性質(zhì)：第二章中分布函數(shù)所有性質(zhì)( )F x第9頁(yè)/共40頁(yè)第十頁(yè)，共41頁(yè)。11( ) xO( )x0()x是曲線與是曲線與 軸之間，從軸之間，從 到到 點(diǎn)的面積點(diǎn)的面積x0 x0()x0 x第10頁(yè)/共40頁(yè)第十一頁(yè)，共41頁(yè)。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布(fnb)(fnb)的分布的分布(fnb)(fnb)函數(shù)值表函數(shù)值表見(jiàn)見(jiàn)281頁(yè)附錄頁(yè)附錄(fl)表表1。我們一起學(xué)查表。我們一起

5、學(xué)查表?！纠恳阎纠恳阎?X N(0, 1)，查表解決，查表解決(jiju)以下問(wèn)題。以下問(wèn)題。 求概率求概率( 11)PX ( 22)0.9544PX (1)( 1) 2 (1) 10.6826 ()1( )xx 注注：第11頁(yè)/共40頁(yè)第十二頁(yè)，共41頁(yè)。13( )F x x轉(zhuǎn)換公式轉(zhuǎn)換公式第12頁(yè)/共40頁(yè)第十三頁(yè)，共41頁(yè)。141.( )()xF xP Xx 121212122.()()()()P xXxP xXxP xXxP xXx3.()()P XaP Xa2( ,)XN 2121()()xxF xF x 1( )1aF a 第13頁(yè)/共40頁(yè)第十四頁(yè)，共41頁(yè)。211221(

6、)()( )xxP xXxF xF x 標(biāo)準(zhǔn)化15定理定理(dngl)(dngl)：設(shè)：設(shè)，則，則 落在區(qū)間落在區(qū)間(q jin) (q jin) 內(nèi)內(nèi)的概率的概率X2( ,)XN 12( ,x x當(dāng)然也有：當(dāng)然也有：12121212()()()()P xXxP xXxP xXxP xXx21( )xxf x dx第14頁(yè)/共40頁(yè)第十五頁(yè)，共41頁(yè)。16證明證明(zhngmng)：例：設(shè)例：設(shè)，證明：對(duì)于任意的，證明：對(duì)于任意的 ，有，有()2 ( ) 1P Xhh (0,1)XN0h 第15頁(yè)/共40頁(yè)第十六頁(yè)，共41頁(yè)。2.(3.03)( 3.03)1(3.03)1 0.99950.00

7、05P X 17解：解：1.(2.35)(2.35)0.9906P X 例：設(shè)例：設(shè)，求：，求：1.(2.35);P X (0,1)XN2.(3.03);P X 3.(1.54);P X 3.(1.54)2 (1.54) 12 0.9382 10.8764P X 第16頁(yè)/共40頁(yè)第十七頁(yè)，共41頁(yè)。2.4 11.6 1( 1.62.4)22PX 18例：設(shè)例：設(shè)，求，求( 1.62.4)PX(1,4)XN解：解：0.71.30.711.3 0.7580(1 0.9032)0.6612查表第17頁(yè)/共40頁(yè)第十八頁(yè)，共41頁(yè)。3.5 1.51.5 1.52.(1.53.5)22PX19解：解：

8、3.5 1.51.(3.5)(1)0.84132P X例：設(shè)例：設(shè)，求：，求：1.(3.5);P X (1.5,4)XN2.(1.53.5);PX3.(3);P X 100.84130.50.3413 第18頁(yè)/共40頁(yè)第十九頁(yè)，共41頁(yè)。20解：解：例：設(shè)例：設(shè)，求：，求：1.(3.5);P X (1.5,4)XN2.(1.53.5);PX3.(3);P X 3 1.53 1.53.(3)1(3)122P XP X 10.752.25 10.7512.25 1 0.7734 1 0.98780.2388 第19頁(yè)/共40頁(yè)第二十頁(yè)，共41頁(yè)。21解：解：例：設(shè)例：設(shè)，求：，求： 落在區(qū)間落在

9、區(qū)間(q jin)(q jin),kk 2( ,)XN X1,2,3k其中其中(qzhng)(qzhng)的概率，的概率，正態(tài)分布中，盡管正態(tài)分布中，盡管 的取值范圍是的取值范圍是 ，但是它落在區(qū)間，但是它落在區(qū)間內(nèi)的概率幾乎可認(rèn)為是內(nèi)的概率幾乎可認(rèn)為是100%X(,) 3 ,3 稱為正態(tài)分布的稱為正態(tài)分布的“ ”規(guī)則規(guī)則3第20頁(yè)/共40頁(yè)第二十一頁(yè)，共41頁(yè)。4.2 正態(tài)分布的期望(qwng)和方差 數(shù)學(xué)期望：數(shù)學(xué)期望：()E X 方差：方差：2()D X【例例】正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)化：正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)化：已知已知 X N( , 2)，則有，則有(0,1)XYN()aXbP aXbPX N( ,

10、2)第21頁(yè)/共40頁(yè)第二十二頁(yè)，共41頁(yè)。4.3 正態(tài)分布的線性性質(zhì)(xngzh)22(, )YabXN abb設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 ，則有，則有2( ,)XN 其中其中(qzhng)a, b (b 0)為常為常數(shù)。數(shù)。【例】已知【例】已知 X N(1, 4)，試確定，試確定(qudng)Y = 1-2X的分布，并寫出的分布，并寫出Y 的的密度函數(shù)。密度函數(shù)。1 2( 1,16)YXN 2(1) 321( ), 4 2yYfyeyR第22頁(yè)/共40頁(yè)第二十三頁(yè)，共41頁(yè)。正態(tài)分布的可加性正態(tài)分布的可加性 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 ，并且，并且X與與Y獨(dú)立，則獨(dú)立，則22(, )xyxyXYN22

11、(,), (,)xxyyXNYN 1. 1. 兩個(gè)兩個(gè)(lin )(lin )正態(tài)分布情形正態(tài)分布情形2. 2. 多個(gè)多個(gè)(du )(du )正態(tài)分布情形正態(tài)分布情形 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 相互獨(dú)立，且相互獨(dú)立，且 ，則則其中其中 為常數(shù)。為常數(shù)。22111, nnniiiiiiiiic XNcc12,nXXX2(,)iiiXN 12,nc cc第23頁(yè)/共40頁(yè)第二十四頁(yè)，共41頁(yè)?！纠恳阎纠恳阎?X N(-3, 1)，Y N(2, 1)，并且，并且X與與Y獨(dú)立，獨(dú)立，試確定試確定Z = X-2Y+7的分布的分布(fnb)，求，求E(Z),D(Z)，寫出，寫出Z 的密度的密度函數(shù)。函數(shù)

12、。27 (0,5)ZXYN2 101( ), 10zZfzezR( )()2 ( )70E ZE XE Y( )()4 ( )5D ZD XD Y第24頁(yè)/共40頁(yè)第二十五頁(yè)，共41頁(yè)。22(, ) (, ) xyxyX YNr26定義定義(dngy)(dngy)：,0,0, (1)xyxyr r 其中其中 是參數(shù)是參數(shù). .二維隨機(jī)變量二維隨機(jī)變量 服從服從二維正態(tài)分布二維正態(tài)分布，記作，記作(, )X Y第25頁(yè)/共40頁(yè)第二十六頁(yè)，共41頁(yè)。2722(, ) (, )xxxyX YNr 定理定理1 1：設(shè)二維連續(xù)隨機(jī)變量：設(shè)二維連續(xù)隨機(jī)變量 22(,),(,)xxyyXNYN 則則 與與

13、 的邊緣分布都是正態(tài)分布，且無(wú)論參數(shù)的邊緣分布都是正態(tài)分布，且無(wú)論參數(shù) 為何值，都有為何值，都有XY(1)r r 并且并且 分別是分別是 與與 的數(shù)學(xué)期望與方差，的數(shù)學(xué)期望與方差，22,yyyy 與與XY且且 是是 與與 的相關(guān)系數(shù)的相關(guān)系數(shù).rXY第26頁(yè)/共40頁(yè)第二十七頁(yè)，共41頁(yè)。22(, ) (, )xxxyX YNr 28定理定理(dngl)2(dngl)2：設(shè)二維連續(xù)隨機(jī)變量：設(shè)二維連續(xù)隨機(jī)變量 則則 與與 相互獨(dú)立的充要條件是相關(guān)系數(shù)相互獨(dú)立的充要條件是相關(guān)系數(shù) 0r XY第27頁(yè)/共40頁(yè)第二十八頁(yè)，共41頁(yè)。29客，考點(diǎn)客，考點(diǎn) 8. 8. 正態(tài)分布的性質(zhì)及概率正態(tài)分布的性

14、質(zhì)及概率(gil)(gil)計(jì)算計(jì)算第28頁(yè)/共40頁(yè)第二十九頁(yè)，共41頁(yè)。3015-163.covXY，一，與 相互獨(dú)立，且服從相同的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，則X與Y的協(xié)方差(X,Y)=_,P(X0)=_.15-162.-XNYNXYXY，二，（4,9），（2,1），與 相互獨(dú)立，則2 服從_分布.第29頁(yè)/共40頁(yè)第三十頁(yè)，共41頁(yè)。31第30頁(yè)/共40頁(yè)第三十一頁(yè)，共41頁(yè)。32 概率論中關(guān)于論證概率論中關(guān)于論證 “ “大量獨(dú)立隨機(jī)變量的和的極限分布是正態(tài)分布大量獨(dú)立隨機(jī)變量的和的極限分布是正態(tài)分布”的一系列定理的一系列定理(dngl)(dngl)統(tǒng)稱為中心極限定理統(tǒng)稱為中心極限定理(dngl)(

15、dngl)第31頁(yè)/共40頁(yè)第三十二頁(yè)，共41頁(yè)。( )x 33定理定理1 1：【林德伯格：【林德伯格萊維中心萊維中心(zhngxn)(zhngxn)極限定理】極限定理】設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 相互獨(dú)立，服從相同的分布，且相互獨(dú)立，服從相同的分布，且12,nXXX2121lim2ntixinXnPxedtn則對(duì)于任何實(shí)數(shù)則對(duì)于任何實(shí)數(shù) ，有，有x2(),()0,1,2, ,iiE XD Xin此定理通常稱為此定理通常稱為“獨(dú)立同分布獨(dú)立同分布(fnb)(fnb)的中心極限定理的中心極限定理”第32頁(yè)/共40頁(yè)第三十三頁(yè)，共41頁(yè)。34解：設(shè)隨機(jī)變量解：設(shè)隨機(jī)變量(su j bin lin) (s

16、u j bin lin) 表示第表示第 頁(yè)的印刷錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)，則頁(yè)的印刷錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)，則4001(088)iiPX(0.2)iXPi例：一冊(cè)例：一冊(cè)400400頁(yè)的書中，每一頁(yè)的印刷錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)服從泊松分布頁(yè)的書中，每一頁(yè)的印刷錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)服從泊松分布(0.2)P各頁(yè)有多少個(gè)印刷錯(cuò)誤是相互獨(dú)立的，求這冊(cè)書的印刷錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)不各頁(yè)有多少個(gè)印刷錯(cuò)誤是相互獨(dú)立的，求這冊(cè)書的印刷錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)不多于多于8888個(gè)的概率個(gè)的概率. .iX則則12400,XXX因?yàn)橐驗(yàn)?是相互獨(dú)立是相互獨(dú)立 ，所以由，所以由“林德伯格林德伯格萊維萊維”中心極限定理中心極限定理()0.2,()0.2,1,2,400iiE XD Xi14

17、00 0.20400 0.288400 0.2400 0.2400 0.2400 0.2niiXP轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)化第33頁(yè)/共40頁(yè)第三十四頁(yè)，共41頁(yè)。35解：解：4001(088)iiPX例：一冊(cè)例：一冊(cè)400400頁(yè)的書中，每一頁(yè)的印刷錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)服從泊松分布頁(yè)的書中，每一頁(yè)的印刷錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)服從泊松分布(0.2)P各頁(yè)有多少個(gè)印刷錯(cuò)誤是相互獨(dú)立的，求這冊(cè)書的印刷錯(cuò)誤不多于各頁(yè)有多少個(gè)印刷錯(cuò)誤是相互獨(dú)立的，求這冊(cè)書的印刷錯(cuò)誤不多于8888個(gè)的概率個(gè)的概率1400 0.20400 0.288400 0.2400 0.2400 0.2400 0.2niiXP轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)化140

18、0 0.288880400 0.280niiXP(0.89)( 8.94)0.8133第34頁(yè)/共40頁(yè)第三十五頁(yè)，共41頁(yè)。( )x 36221lim(1)2txnnYnpPxedtnpp設(shè)在獨(dú)立試驗(yàn)序列中，事件設(shè)在獨(dú)立試驗(yàn)序列中，事件 的概率的概率 ，隨機(jī)變量，隨機(jī)變量定理定理2 2：【棣莫弗棣莫弗拉普拉斯中心極限定理拉普拉斯中心極限定理】nY表示事件表示事件 在在 次試驗(yàn)中發(fā)生的次數(shù)，則對(duì)于任何實(shí)數(shù)次試驗(yàn)中發(fā)生的次數(shù)，則對(duì)于任何實(shí)數(shù) ，有，有A( )P ApAnx第35頁(yè)/共40頁(yè)第三十六頁(yè)，共41頁(yè)。37(810010000)nPY例：某電站供應(yīng)例：某電站供應(yīng)1000010000戶居民

19、用電，設(shè)在高峰戶居民用電，設(shè)在高峰(gofng)(gofng)時(shí)每戶用電的概率為時(shí)每戶用電的概率為0.80.8各用戶各用戶(yngh)(yngh)用電多少是相互獨(dú)立的，求：用電多少是相互獨(dú)立的，求：(1)(1)同一時(shí)刻有同一時(shí)刻有81008100戶以上戶以上(yshng)(yshng)用電的概率；用電的概率；所以由所以由“棣莫弗棣莫弗拉普拉斯中心極限定理拉普拉斯中心極限定理” ，于是，于是解：解：(1)(1)設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 表示表示1000010000戶中在同一時(shí)刻用電的戶數(shù)，則戶中在同一時(shí)刻用電的戶數(shù)，則nY(10000,0.8)nYB8000,(1)40npnpp2.550(1)nYnpPnpp轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)化(2)(2)若每戶用電功率為若每戶用電功率為100W100W，則電站至少需要多少電功率才能保證以，則電站至少需要多少電功率才能保證以0.9750.975的概的概率供應(yīng)居民用電率供應(yīng)居民用電(50)(2.5)1 0.99380.0062第36頁(yè)/共40頁(yè)第三十七頁(yè)，共