大學物理---湖南師范大學課件第6章 氣體動理論

1、氣體動理論和熱力學篇氣體動理論和熱力學篇宏觀法與微觀法相輔相成宏觀法與微觀法相輔相成. 熱學是研究物質的熱現(xiàn)象的性質和變化規(guī)律的學科熱學是研究物質的熱現(xiàn)象的性質和變化規(guī)律的學科. 熱學的研究方法熱學的研究方法1.宏觀法宏觀法. 最基本的實驗規(guī)律最基本的實驗規(guī)律邏輯推理邏輯推理 -稱為稱為熱力學熱力學 優(yōu)點：可靠、普遍優(yōu)點：可靠、普遍. 缺點：未揭示微觀本質缺點：未揭示微觀本質.2.微觀法微觀法. 物質的微觀結構物質的微觀結構 + 統(tǒng)計方法統(tǒng)計方法 -稱為稱為統(tǒng)計物理學統(tǒng)計物理學 其初級理論稱為氣體分子運動論其初級理論稱為氣體分子運動論(氣體動理論氣體動理論) 優(yōu)點：揭示了微觀本質。優(yōu)點：揭示了

2、微觀本質。 缺點：可靠性、普遍性差缺點：可靠性、普遍性差.熱現(xiàn)象是宏觀物體內(nèi)部大量分子或原子等微觀粒熱現(xiàn)象是宏觀物體內(nèi)部大量分子或原子等微觀粒子的永不停息的、無規(guī)則熱運動的平均效果子的永不停息的、無規(guī)則熱運動的平均效果.大量分子的無規(guī)則運動稱為熱運動大量分子的無規(guī)則運動稱為熱運動.第第6章章 氣體動理論基礎氣體動理論基礎6.1. 平衡態(tài)平衡態(tài) 溫度溫度 理想氣體狀態(tài)方程理想氣體狀態(tài)方程6.2 理想氣體的壓強公式理想氣體的壓強公式6.4 能量均分定理能量均分定理 理想氣體的內(nèi)能理想氣體的內(nèi)能6.3 溫度的統(tǒng)計解釋溫度的統(tǒng)計解釋 6.5 麥克斯韋分子速率分布定律麥克斯韋分子速率分布定律6.7 分子

3、平均碰撞次數(shù)和平均自由程分子平均碰撞次數(shù)和平均自由程 6.6 波爾茨曼分布定律波爾茨曼分布定律本章重點難點本章重點難點 基本要求基本要求 一、理解氣體分子熱運動的統(tǒng)計規(guī)律性，理解一、理解氣體分子熱運動的統(tǒng)計規(guī)律性，理解 麥克斯韋速率分布律，掌握分子平均速率、最麥克斯韋速率分布律，掌握分子平均速率、最 概然速率、方均根速率的計算。概然速率、方均根速率的計算。 二、理解宏觀量與微觀量之間的關系，掌握壓二、理解宏觀量與微觀量之間的關系，掌握壓強公式和溫度公式。強公式和溫度公式。三、理解自由度概念和能量按自由度均分定理，三、理解自由度概念和能量按自由度均分定理， 掌握理想氣體內(nèi)能公式。掌握理想氣體內(nèi)能

4、公式。 四、會計算分子平均碰撞頻率和平均自由程。四、會計算分子平均碰撞頻率和平均自由程。 主要內(nèi)容主要內(nèi)容 一、一、 麥克斯韋速率分布律麥克斯韋速率分布律二、二、 玻耳茲曼分布律玻耳茲曼分布律三、三、 理想氣體壓強公式理想氣體壓強公式四、四、 溫度的微觀本質溫度的微觀本質重點重點 * 理解氣體分子熱運動的統(tǒng)計規(guī)律性，掌理解氣體分子熱運動的統(tǒng)計規(guī)律性，掌 分子平均速率、最概然速率、方均根速率的計算。分子平均速率、最概然速率、方均根速率的計算。 * 理解宏觀量與微觀量之間的關系，掌握理解宏觀量與微觀量之間的關系，掌握 壓強公式和溫度公式。壓強公式和溫度公式。6.1 平衡態(tài)平衡態(tài) 溫度溫度 理想氣體

5、狀態(tài)方程理想氣體狀態(tài)方程2.宏觀量與微觀量宏觀量與微觀量(1)宏觀量宏觀量 :從整體上描述系統(tǒng)的狀態(tài)量，一般可以直從整體上描述系統(tǒng)的狀態(tài)量，一般可以直接測量接測量. 如如 M、V、E 等等-可以累加，稱為廣延量可以累加，稱為廣延量. P、T 等等-不可累加，稱為強度量不可累加，稱為強度量.(2) 微觀量微觀量: 描述系統(tǒng)內(nèi)微觀粒子的物理量描述系統(tǒng)內(nèi)微觀粒子的物理量. 如分子的如分子的質量質量m、直徑直徑 d 、 速度速度 v、動量動量 p、能量能量 等等.6.1.1 平衡態(tài)平衡態(tài)1. . 熱力學系統(tǒng)與外界熱力學系統(tǒng)與外界熱力學研究的對象熱力學研究的對象-熱力學系統(tǒng)熱力學系統(tǒng).包含大量的分子包含

6、大量的分子,原子原子.以以 NA=61023計計與熱力學系統(tǒng)相互作用的環(huán)境稱為外界與熱力學系統(tǒng)相互作用的環(huán)境稱為外界.微觀量與宏觀量有一定的內(nèi)在聯(lián)系微觀量與宏觀量有一定的內(nèi)在聯(lián)系.在不受外界影響的條件下在不受外界影響的條件下,系統(tǒng)的宏觀性不隨時間改變系統(tǒng)的宏觀性不隨時間改變的狀態(tài)稱為平衡態(tài)的狀態(tài)稱為平衡態(tài). 平衡態(tài)是理想化模型，我們研究平衡態(tài)的熱學規(guī)律平衡態(tài)是理想化模型，我們研究平衡態(tài)的熱學規(guī)律.處于平衡態(tài)的氣體處于平衡態(tài)的氣體, 它的狀態(tài)它的狀態(tài)可用一組可用一組p、V、T 值來表示值來表示,在在pV圖上為一確定的點圖上為一確定的點. A(p1 , V1 , T1) B(p2 , V2 , T

7、2)OpV3.平衡態(tài)與平衡過程平衡態(tài)與平衡過程氣體從一個平衡態(tài)經(jīng)一系列中間狀態(tài)變化到另一個平氣體從一個平衡態(tài)經(jīng)一系列中間狀態(tài)變化到另一個平衡態(tài)的過程衡態(tài)的過程,如果中間狀態(tài)無限接近平衡態(tài)如果中間狀態(tài)無限接近平衡態(tài),為平衡過程為平衡過程平衡過程可用平衡過程可用P-V圖上的實線圖上的實線表示表示.6.1.2 氣體的狀態(tài)參量氣體的狀態(tài)參量 溫度溫度表示系統(tǒng)有關特性的物理量叫狀態(tài)參量表示系統(tǒng)有關特性的物理量叫狀態(tài)參量.描述氣體系統(tǒng)的狀態(tài)參量有描述氣體系統(tǒng)的狀態(tài)參量有:體積體積V,壓強壓強P,溫度溫度T或或t.1.體積體積V氣體分子無規(guī)則熱運動能達到的空間稱為氣體的體積氣體分子無規(guī)則熱運動能達到的空間稱

8、為氣體的體積.容器中的氣體的體積就是容積容器中的氣體的體積就是容積. 在在SI中中,單位是立方米單位是立方米.2.壓強壓強P大量氣體分子與器壁碰撞大量氣體分子與器壁碰撞,器壁單位面積所受的正壓力器壁單位面積所受的正壓力.在在SI中中,單位單位:帕斯卡帕斯卡(pa)1pa=1Nm-2常用大氣壓常用大氣壓(atm)1 atm = 1.013 105pa = 760mmHg3.溫度溫度表征氣體熱運動劇烈程度的物理量表征氣體熱運動劇烈程度的物理量.溫度的數(shù)值表示叫溫標溫度的數(shù)值表示叫溫標.常用溫標有熱力學溫標常用溫標有熱力學溫標T(K)攝氏溫標攝氏溫標t (單位單位:度度 C )t =T- 273.1

9、5 處于平衡態(tài)的一定量的氣體處于平衡態(tài)的一定量的氣體, 其物態(tài)可用其物態(tài)可用T、P、V三個物態(tài)參量來描述三個物態(tài)參量來描述. T = f (p, V)在任何情況下，都遵守玻意耳定律、蓋在任何情況下，都遵守玻意耳定律、蓋-呂薩克定律呂薩克定律、查理定律和阿伏伽德羅定律的氣體叫理想氣體、查理定律和阿伏伽德羅定律的氣體叫理想氣體.理想氣體物態(tài)方程為理想氣體物態(tài)方程為RTMMpVmol 式中式中R是氣體普適恒量是氣體普適恒量在在SI中中 R = 8.31 Jmol1K16.1.3理想氣體物態(tài)方程理想氣體物態(tài)方程在熱工在熱工中中 R=2calmol-1K-1有時用有時用R= 0.082atmLmol-1

10、K-1有時理想氣體狀有時理想氣體狀態(tài)方程寫為態(tài)方程寫為恒量恒量 TpV實際氣體在常溫和較低壓強下可近似看成理想氣體實際氣體在常溫和較低壓強下可近似看成理想氣體.推導壓強公式的基本思路：推導壓強公式的基本思路：先計算每個分子對容器壁的作用，然后將所有先計算每個分子對容器壁的作用，然后將所有分子對容器壁的作用進行統(tǒng)計平均，最后得出壓分子對容器壁的作用進行統(tǒng)計平均，最后得出壓強公式強公式熱力學系統(tǒng)是由大量分子、原子等無規(guī)則運動的熱力學系統(tǒng)是由大量分子、原子等無規(guī)則運動的微觀粒子組成，那么系統(tǒng)的宏觀狀態(tài)參量微觀粒子組成，那么系統(tǒng)的宏觀狀態(tài)參量（P,V,T）與與這些微觀粒子的運動有什么關系？這些微觀粒子

11、的運動有什么關系？從微觀上看，單個分子對容器壁的碰撞是間從微觀上看，單個分子對容器壁的碰撞是間斷的斷的、隨機的；而大量分子對器壁的碰撞是連隨機的；而大量分子對器壁的碰撞是連續(xù)的續(xù)的、恒定，也就是說氣體對容器壁的壓強應恒定，也就是說氣體對容器壁的壓強應該是大量分子對容器不斷碰撞的統(tǒng)計平均結果該是大量分子對容器不斷碰撞的統(tǒng)計平均結果.6.2 理想氣體壓強公式理想氣體壓強公式2.分子之間除碰撞的瞬間外分子之間除碰撞的瞬間外,無相互作用力無相互作用力.(忽略重力忽略重力) 6.2.1 分子模型分子模型1.分子當作質點，不占體積；分子當作質點，不占體積；3.分子與分子分子與分子,分子與器壁的碰撞為完全彈

12、性碰撞分子與器壁的碰撞為完全彈性碰撞.研究單個分子的運動服從牛頓力學研究單個分子的運動服從牛頓力學.分子數(shù)目太多分子數(shù)目太多,無法解這么多的聯(lián)立方程無法解這么多的聯(lián)立方程.即使能解也無即使能解也無用用.必須用統(tǒng)計的方法來研究必須用統(tǒng)計的方法來研究.(3)(3)氣體的性質與方向無關，即各個方向上的速率的氣體的性質與方向無關，即各個方向上的速率的各種平均值相等各種平均值相等; ;(2)不因碰撞而丟失具有某一速度的分子不因碰撞而丟失具有某一速度的分子;6.2.2 分子性質分子性質(1)平均而言，沿各個方向運動的分子數(shù)（概率）相同平均而言，沿各個方向運動的分子數(shù)（概率）相同;zyxvvv32222vv

13、vvzyx 6.2.3 理想氣體壓強公式的推導理想氣體壓強公式的推導xyzxyz設邊長為設邊長為x,y,z的長方體容器中的長方體容器中有有N個同類氣體分子個同類氣體分子(質量質量m)A1A2研究研究A1受的壓強：受的壓強：1.設某個分子以設某個分子以 v1撞擊撞擊A1v1v 1vx對分子對分子mxxxmvmvvm2 則則A1受到的沖量受到的沖量: 2mvx2. 1秒鐘秒鐘A1受到受到1個分子的總沖量個分子的總沖量1個個分子在分子在A1,A2之間往返一次所需時間為之間往返一次所需時間為xvxt2 則則1秒內(nèi)與秒內(nèi)與A1碰撞次數(shù)碰撞次數(shù)xvtx21 A1受受1個分子的總沖量為個分子的總沖量為xvm

14、vxx22 xmvx2 3. N個分子在個分子在1秒內(nèi)對秒內(nèi)對A1的碰撞的碰撞A1在在1秒內(nèi)受到的沖量秒內(nèi)受到的沖量平均作用力平均作用力F Fxvmvxx2211 xvmvxx2222 xvmvNxNx22 )(22221Nxxxvvvxm Niixvxm124. A1受到的平均作用力受到的平均作用力壓強壓強yzFSFp Niixvxyzm12)(22221NvvvVmNNxxx 2xvVmN 32222vvvvzyx 由由222zyxvvv 2222zyxvvvv 有有有有 n = N/V2xvVmNp 231vnm 則則引入引入分子的平均平動動能分子的平均平動動能212wmv 則則23pn

15、w 注意注意: P是一個統(tǒng)計量是一個統(tǒng)計量, 對個別分子談壓強無意義對個別分子談壓強無意義一容積為一容積為 V=1.0m3 的容器內(nèi)裝有的容器內(nèi)裝有 N1=1.01024 個個 氧分子氧分子N2=3.01024 個氮分子的混合氣體，個氮分子的混合氣體， 混合氣體的壓強混合氣體的壓強 p =2.58104 Pa 。 (1) 由壓強公式由壓強公式 , 有有np23 例例求求 (1) 分子的平均平動動能；分子的平均平動動能； (2) 混合氣體的溫度混合氣體的溫度解解VNNp)(2321J1068. 921(2) 由理想氣體的狀態(tài)方程得由理想氣體的狀態(tài)方程得kVNNpnkpT21K467= n kT只

16、與溫度有關只與溫度有關2.溫度是統(tǒng)計概念，只能用于大量分子，溫度是統(tǒng)計概念，只能用于大量分子，對個別分子無溫度可言對個別分子無溫度可言6.3 溫度的統(tǒng)計解釋溫度的統(tǒng)計解釋由狀態(tài)方程由狀態(tài)方程RTMMpVmol 而而 M = mN, Mmol = mNARTNNVpA1 TNRVNA 1231038. 1 KJNRkA為玻耳茲曼常量為玻耳茲曼常量p = n kT23pnw 由由有有32wkT 說明說明:1.平衡態(tài)下分子平均平動動能正比于氣體的溫度平衡態(tài)下分子平均平動動能正比于氣體的溫度.3. 溫度標志物體內(nèi)部分子無規(guī)運動的劇烈程度溫度標志物體內(nèi)部分子無規(guī)運動的劇烈程度.4.溫度是標志氣體處于熱平

17、衡狀態(tài)的物理量溫度是標志氣體處于熱平衡狀態(tài)的物理量.5.分子運動永不停息分子運動永不停息.熱力學零度不可能達到熱力學零度不可能達到.kTtk232ktkt121TT nkTP 2121,TTnn21PP 例題例題試求氮氣分子的平均平動動能和均方根速率。試求氮氣分子的平均平動動能和均方根速率。設（設（1）在溫度）在溫度 t = 1000 時；（時；（2）t = 0 時；時；（3）t = -150 時。時。1tk123kTJ1063. 212731038. 1232023MRTv121313sm11941028127331. 832tk223kTJ1065. 52731038. 1232123MR

18、Tv222313sm493102827331. 833tk323kTJ1055. 221MRTv32331sm3206.4 能量均分定理能量均分定理 對于理想氣體對于理想氣體考慮分子內(nèi)部結構考慮分子內(nèi)部結構討論能量問題討論能量問題 討論碰撞問題討論碰撞問題 將分子看成質點將分子看成質點研究氣體的能量時，氣體分子不能再看成質點，因研究氣體的能量時，氣體分子不能再看成質點，因此分子有平動，轉動和振動。此分子有平動，轉動和振動。1.定義：決定分子在空間位置所需的獨立坐標數(shù)定義：決定分子在空間位置所需的獨立坐標數(shù).6.4.1 自由度自由度2.單原子分子單原子分子模型模型: 質點質點. 3個個 平動自由

19、度平動自由度, i=t = 33.雙原子分子雙原子分子剛性雙原子分子剛性雙原子分子: 啞鈴模型啞鈴模型m2m1x除質心的平動外除質心的平動外(3個自由度個自由度)還有轉動還有轉動(2個自由度個自由度)i = t + r = 5.模型模型: 質點彈簧型質點彈簧型m2m1x除除3平動平動,2轉動外轉動外,還有還有1維振動維振動故故 i = t + r + v = 6非非剛性雙原子分子剛性雙原子分子6個自由度個自由度C xzy剛體的自由度剛體的自由度質心位置質心位置) , (zyx轉軸的方位轉軸的方位） , (2 個獨立個獨立繞軸轉動的角度繞軸轉動的角度剛體的一般運動有剛體的一般運動有 6 個自由度

20、（個自由度（ 3 個平動自由度個平動自由度 + 3個轉動自由度），定軸轉動的剛體個轉動自由度），定軸轉動的剛體 1 個自由度。個自由度。氣體分子的自由度氣體分子的自由度總自由度總自由度 = 平動自由度平動自由度 + 轉動自由度轉動自由度 + 振動自由度振動自由度單原子分子單原子分子i = 3 i = t + r + s剛性雙原子分子剛性雙原子分子i = 5 剛性多原子分子剛性多原子分子( n 3 ) i = 6 t = 3 r = 2 t = 3 r = 3 kT23tkkTvvvzyx21212121222分子的平均平動動能分子的平均平動動能每個自由度上的平均平動動能每個自由度上的平均平動動

21、能每個轉動和振動自由度上的每個轉動和振動自由度上的平均動能都等于平均動能都等于kT21 由于分子頻繁碰撞，動能在各運動形式、各自由度由于分子頻繁碰撞，動能在各運動形式、各自由度之間轉移，平衡時，各種平均動能按自由度均分。之間轉移，平衡時，各種平均動能按自由度均分。 能均分定理是統(tǒng)計規(guī)律，反映大量分子系統(tǒng)能均分定理是統(tǒng)計規(guī)律，反映大量分子系統(tǒng)的整體性質，對個別分子或少數(shù)分子不適用。的整體性質，對個別分子或少數(shù)分子不適用。分子的平均總動能分子的平均總動能kTi2 k模型模型分子間無相互作用分子間無相互作用無相互作用勢能無相互作用勢能剛性分子剛性分子 無振動自由度無振動自由度剛性分子理想氣體內(nèi)能剛性

22、分子理想氣體內(nèi)能 =1 mol molA22iiENkTRTRTiMmE2分子平均動能之和分子平均動能之和m / M mol 單原子分子單原子分子RTMmE23RTMmE25剛性雙原子分子剛性雙原子分子剛性多原子分子剛性多原子分子RTMmE26溫度溫度 T 的的單值函數(shù)單值函數(shù)理想氣體的摩爾熱容量理想氣體的摩爾熱容量RiCV2RRiCP2例題例題 摩爾數(shù)相同的氧氣和二氧化碳氣體（視為理想摩爾數(shù)相同的氧氣和二氧化碳氣體（視為理想氣體），如果它們的溫度相同，則兩氣體氣體），如果它們的溫度相同，則兩氣體 A. 內(nèi)能相等；內(nèi)能相等； B. 分子的平均動能相同；分子的平均動能相同； C. 分子的平均平動

23、動能相同；分子的平均平動動能相同； D. 分子的平均轉動動能相同。分子的平均轉動動能相同。RTiMmE2kTi2 kkT23 tkkTr2 rk例題例題 指出下列各式所表示的物理意義，指出下列各式所表示的物理意義， kT21( 1 )kT23( 2 )kTi2( 3 )RTi2( 4 ) 分子在每個自由度上的分子在每個自由度上的平均平均動能動能 分子的平均平動動能分子的平均平動動能 分子的平均動能分子的平均動能 1 mol 氣體的內(nèi)能氣體的內(nèi)能RTMm23( 5 ) 質量質量 m 為氣體內(nèi)所有分子的為氣體內(nèi)所有分子的平均平動動能之和平均平動動能之和RTiMm2( 6 ) 質量質量 m 為氣體的

24、內(nèi)能為氣體的內(nèi)能一一. 分布的概念分布的概念氣體系統(tǒng)是由大量分子組成，氣體系統(tǒng)是由大量分子組成， 而各分子的速率通過碰撞而各分子的速率通過碰撞不斷地改變，不斷地改變， 不可能逐個加以描述不可能逐個加以描述, 只能給出分子數(shù)按只能給出分子數(shù)按速率的分布。速率的分布。問題的提出問題的提出分布的概念分布的概念例如學生人數(shù)按年齡的分布例如學生人數(shù)按年齡的分布 年齡年齡 15 16 17 18 19 20 2122 人數(shù)按年齡人數(shù)按年齡 的分布的分布 2000 3000 4000 1000 人數(shù)比率按人數(shù)比率按 年齡的分布年齡的分布 20% 30% 40% 10%6.5 麥克斯韋速率分布定律麥克斯韋速率

25、分布定律 速率速率v1 v2 v2 v3 vi vi +v 分子數(shù)按速率分子數(shù)按速率 的分布的分布 N1 N2 Ni 分子數(shù)比率分子數(shù)比率按速率的分布按速率的分布N1/N N2/N Ni/N 例如氣體分子按速率的分布例如氣體分子按速率的分布 Ni 就是就是分子數(shù)按速率的分布分子數(shù)按速率的分布二二. 速率分布函數(shù)速率分布函數(shù) f(v) 設某系統(tǒng)處于平衡態(tài)下，設某系統(tǒng)處于平衡態(tài)下， 總分子數(shù)為總分子數(shù)為 N ，則在則在vv+ dv 區(qū)區(qū)間內(nèi)分子數(shù)的比率為間內(nèi)分子數(shù)的比率為NNd)(vfvdvvdd)(NNff(v) 稱為速率分布函數(shù)稱為速率分布函數(shù)意義：意義： 分布在速率分布在速率v 附近單位速率

26、間隔內(nèi)的分子數(shù)與總附近單位速率間隔內(nèi)的分子數(shù)與總分子數(shù)的比率。分子數(shù)的比率。 四四. 麥克斯韋速率分布定律麥克斯韋速率分布定律理想氣體在平衡態(tài)下分子的速率分布函數(shù)理想氣體在平衡態(tài)下分子的速率分布函數(shù)kTekTf2/22/32)2(4)(vvv ( 麥克斯韋速率分布函數(shù)麥克斯韋速率分布函數(shù) )式中式中為分子質量，為分子質量，T 為氣體熱力學溫度，為氣體熱力學溫度， k 為玻耳茲曼常量為玻耳茲曼常量k = 1.3810- -23 J / K1. 麥克斯韋速率分布定律麥克斯韋速率分布定律說明說明(1) 從統(tǒng)計的概念來看講速率恰好等于某一值的分子數(shù)多少，從統(tǒng)計的概念來看講速率恰好等于某一值的分子數(shù)多少

27、， 是沒有意義的。是沒有意義的。(2) 麥克斯韋速率分布定律麥克斯韋速率分布定律對處于平衡態(tài)下的混合氣體的各對處于平衡態(tài)下的混合氣體的各 組分分別適用。組分分別適用。(3) 在通常情況下實際氣體分子的速率分布和麥克斯韋速率在通常情況下實際氣體分子的速率分布和麥克斯韋速率 分布能很好的符合。分布能很好的符合。vvvvvd)2(4d)(d2/22/32kTekTfNN 理想氣體在平衡態(tài)下，氣體中分子速率在理想氣體在平衡態(tài)下，氣體中分子速率在vv+ dv 區(qū)間區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)與總分子數(shù)的比率為內(nèi)的分子數(shù)與總分子數(shù)的比率為這一規(guī)律稱為麥克斯韋速率分布定律這一規(guī)律稱為麥克斯韋速率分布定律2. 麥克斯韋速率

28、分布曲線麥克斯韋速率分布曲線f(v)vOv( 速率分布曲線速率分布曲線 )由圖可見，氣體中由圖可見，氣體中速率很小、速率很速率很小、速率很大的分子數(shù)都很少。大的分子數(shù)都很少。 NNdvv d)(f在在dv 間隔內(nèi)間隔內(nèi), , 曲線下曲線下的面積表示速率分布的面積表示速率分布在在vv+ dv 中的中的分子分子數(shù)與總分子數(shù)的比率數(shù)與總分子數(shù)的比率vdv 在在v1v2 區(qū)間內(nèi)區(qū)間內(nèi), ,曲線下的面積表示速率分布在曲線下的面積表示速率分布在v1v2 之間之間的的分子數(shù)與總分子數(shù)的比率分子數(shù)與總分子數(shù)的比率NNf21d)(vvvvv1v2TvOT( 速率分布曲線速率分布曲線 )曲線下面的總面積，曲線下面

29、的總面積，等于分布在整個速等于分布在整個速率范圍內(nèi)所有各個率范圍內(nèi)所有各個速率間隔中的分子速率間隔中的分子數(shù)與總分子數(shù)的比數(shù)與總分子數(shù)的比率的總和率的總和 01d)(vvf最概然速率最概然速率v p f(v) 出現(xiàn)極大值時出現(xiàn)極大值時, , 所對應的速率稱為最概然速率所對應的速率稱為最概然速率 pv(歸一化條件歸一化條件)f(v) 不同氣體不同氣體, , 不同溫度下的不同溫度下的速率分布曲線的關系速率分布曲線的關系 一定一定, ,T 越大越大, , 這時曲線向右移動這時曲線向右移動 T 一定一定, , 越大越大, , 這時曲線向左移動這時曲線向左移動v p 越大越大, , v p 越小越小,

30、,T1f(v)vOT2( T1)1pv2pv1f(v)vO2( 1)1pv2pv由于曲線下的面積不變由于曲線下的面積不變, ,由此可見由此可見五五. 分子速率的三種統(tǒng)計平均值分子速率的三種統(tǒng)計平均值 1. 平均速率平均速率MRTkT59. 18 0d)(1dvNfNNNvvvvJ/K1038. 1106.0228.3123230NRk0d)(vf vvv式中式中M 為氣體的摩爾質量，為氣體的摩爾質量，R 為摩爾氣體常量為摩爾氣體常量 21d)(vvvvvf思考：思考： 是否表示在是否表示在v1 v2 區(qū)間內(nèi)的平均速率區(qū)間內(nèi)的平均速率 ？MRTkT73. 132v3. 最概然速率最概然速率 2.

31、 方均根速率方均根速率kTf3)d(022vvvv0d(dpvvvv)fMRTMRTkTp41. 122v一定溫度下一定溫度下,vp附近單位速率間隔內(nèi)的相對分子數(shù)最多附近單位速率間隔內(nèi)的相對分子數(shù)最多.即即vp對應曲線對應曲線 f(v)的極大值的極大值T(1) 一般三種速率用途各一般三種速率用途各 不相同不相同 討論分子的碰撞次數(shù)用討論分子的碰撞次數(shù)用說明說明v討論分子的平均平動動討論分子的平均平動動能用能用2v討論速率分布一般用討論速率分布一般用pvpvv2vpvvv2f(v)vO(2) 同一種氣體分子的三種速率的大小關系同一種氣體分子的三種速率的大小關系:氦氣的速率分布曲線如圖所示氦氣的速

32、率分布曲線如圖所示.解解例例求求(2) 氫氣在該溫度時的最概然速率和方均根速率氫氣在該溫度時的最概然速率和方均根速率1000He2Hm/s10001023RT3H10)(2RTpvm/s1041. 13MRT3)(2H2vm/s1073. 13MRT2pv)(vf)m/s(vO(1) 試在圖上畫出同溫度下氫氣的速率分布曲線的大致情況，試在圖上畫出同溫度下氫氣的速率分布曲線的大致情況， (2)0va有有N 個粒子，其速率分布函數(shù)為個粒子，其速率分布函數(shù)為00000202)(0vvvvvvvvvvafa(1) 作速率分布曲線并求常數(shù)作速率分布曲線并求常數(shù) a(2) 速率大于速率大于v0 和速率小于

33、和速率小于v0 的粒子數(shù)的粒子數(shù)解解例例求求)(vf02v032va12100aavv(1) 由歸一化條件得由歸一化條件得1dd000200vvvvvvvaavO(2) 因為速率分布曲線下的面積代表一定速率區(qū)間內(nèi)的分因為速率分布曲線下的面積代表一定速率區(qū)間內(nèi)的分 與總分子數(shù)的比率，所以與總分子數(shù)的比率，所以323200vv因此，因此，vv0 的分子數(shù)為的分子數(shù)為 ( 2N/3 )同理同理 vv0 的分子數(shù)為的分子數(shù)為 ( N/3 )a0vNN0vv NN32的分子數(shù)與總分子數(shù)的比率為的分子數(shù)與總分子數(shù)的比率為根據(jù)麥克斯韋速率分布律，試求速率倒數(shù)的平均值根據(jù)麥克斯韋速率分布律，試求速率倒數(shù)的平均

34、值 。 )1(v根據(jù)平均值的定義，速率倒數(shù)的平均值為根據(jù)平均值的定義，速率倒數(shù)的平均值為 0d)(1)1(vvvvfvvvd)2(4022/32kTekT)2(d)()2(42022/32vvkTekTkTkTv4482kTkT 解解例例根據(jù)麥克斯韋速率分布率，試證明速率在最概然速率根據(jù)麥克斯韋速率分布率，試證明速率在最概然速率vpvp+v 區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)與溫度區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)與溫度 成反比成反比( 設設v 很小很小)T22/2/32)2(4)(vvvkTekTf2/3224vvvvpep114)(efppvv將最概然速率代入麥克斯韋速率分布定律中，有將最概然速率代入麥克斯韋速率分布定律中，有例

35、例證證vvv124)(ekTNNfNpTN1金屬導體中的電子，在金屬內(nèi)部作無規(guī)則運動，與容器中的金屬導體中的電子，在金屬內(nèi)部作無規(guī)則運動，與容器中的氣體分子很類似。設金屬中共有氣體分子很類似。設金屬中共有N 個電子，其中電子的最大個電子，其中電子的最大速率為速率為vm，設電子速率在，設電子速率在vv+dv 之間的幾率為之間的幾率為式中式中A 為常數(shù)為常數(shù)vv d2ANNdmvv 0mvv 0解解例例求求 該電子氣的平均速率該電子氣的平均速率NNm)d(0vvvmAvvv03d44mAv因為僅在（因為僅在（0 ，vm）區(qū)間分布有電子，所以）區(qū)間分布有電子，所以6.6、玻耳茲曼分布律、玻耳茲曼分布

36、律麥克斯韋速度分布律麥克斯韋速度分布律zyxkTvvvekTNNddd)2(dk230 平衡態(tài)下，無外力場作用時，理想氣體分子平衡態(tài)下，無外力場作用時，理想氣體分子在在“位置空間位置空間”的分布是均勻的，分布在的分布是均勻的，分布在“速度空速度空間間”的體積元的體積元 內(nèi)的概率為內(nèi)的概率為zyxvvvddd)( 21 212222kzyxvvvv分子動能分子動能滿足歸一化條件（全滿足歸一化條件（全“速度空間速度空間”捕捉粒子概率為捕捉粒子概率為1）1ddd) 2 (k23zyxkTvvvekT “速率區(qū)間速率區(qū)間 v v + v ” 對應對應“速度空間速度空間”中中半徑為半徑為 v 、厚度為厚度為 d v 的的“球殼球殼”，所以粒子在速，所以粒子在速率區(qū)間內(nèi)的概率為率區(qū)間內(nèi)的概率為vvekTNNkTd4)2(d2230k玻耳茲曼分布律玻