復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)61768學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1復(fù)合復(fù)合(fh)函數(shù)求偏導(dǎo)函數(shù)求偏導(dǎo)61768第一頁(yè)，共29頁(yè)。一、復(fù)合(fh)函數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t 設(shè)z=f(u,v)是變量(binling)u，v的函數(shù)，而u，v又是x，y的函數(shù)，即 ，如果能構(gòu)成z是x ,y的二元復(fù)合函數(shù)如何求出函數(shù)(hnsh)z對(duì)自變量x，y的偏導(dǎo)數(shù)呢？第1頁(yè)/共28頁(yè)第二頁(yè)，共29頁(yè)。定理8.5 設(shè)函數(shù) 在點(diǎn)(x,y)處有偏導(dǎo)數(shù)(do sh)，而函數(shù)z=f(u,v)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)(u,v)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)(do sh)，則復(fù)合函數(shù) 在點(diǎn)(x,y)處的偏導(dǎo)數(shù)(do sh) 存在，且有下面的鏈?zhǔn)椒▌t：),(),(yxvyxu復(fù)合(fh)函數(shù)的結(jié)構(gòu)圖是第2頁(yè)/共28頁(yè)第三頁(yè)，共29

2、頁(yè)。公式(gngsh)(1)給出z對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)是 公式(*)與結(jié)構(gòu)圖兩者之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系是：偏導(dǎo)數(shù) 是由兩項(xiàng)組成的，每項(xiàng)又是兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)的乘積，公式(*)的這兩條規(guī)律，可以通過(guò)函數(shù)的結(jié)構(gòu)圖得到，即xz (1)公式(*)的項(xiàng)數(shù)，等于結(jié)構(gòu)圖中自變量x到達(dá)z路徑的個(gè)數(shù).函數(shù)結(jié)構(gòu)中自變量x到達(dá)z的路徑有兩條.第一條是 ，第二條是 ，所以公式(*)由兩項(xiàng)組成.zvxzux 第3頁(yè)/共28頁(yè)第四頁(yè)，共29頁(yè)。 (2)公式(*)每項(xiàng)偏導(dǎo)數(shù)乘積(chngj)因子的個(gè)數(shù),等于該條路徑中函數(shù)及中間變量的個(gè)數(shù).如第一條路徑 ,有一個(gè)函數(shù)z和一個(gè)中間變量u，因此，第一項(xiàng)就是兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù) 與 的乘積(chngj). 復(fù)合函數(shù)

3、結(jié)構(gòu)雖然是多種多樣，求復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)公式也不完全相同，但借助函數(shù)的結(jié)構(gòu)圖，運(yùn)用上面的法則，可以直接(zhji)寫(xiě)出給定的復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的公式.這一法則通常形象地稱為鏈?zhǔn)椒▌t.第4頁(yè)/共28頁(yè)第五頁(yè)，共29頁(yè)。下面借助于函數(shù)的結(jié)構(gòu)圖，利用鏈?zhǔn)椒▌t定出偏導(dǎo)數(shù)(do sh)公式.1、設(shè)z=f(u,v,w)有連續(xù)(linx)偏導(dǎo)數(shù)，而 都有偏導(dǎo)數(shù)，求復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù) .第5頁(yè)/共28頁(yè)第六頁(yè)，共29頁(yè)。 由結(jié)構(gòu)圖看出自變量x到達(dá)z的路徑有三條，因此 由三項(xiàng)組成.而每條路徑上都有一個(gè)函數(shù)和一個(gè)中間變量，所以每項(xiàng)是函數(shù)對(duì)中間變量及中間變量對(duì)其相應(yīng)(xingyng)自變量的偏導(dǎo)數(shù)乘積，即同理可得到，(3

4、) .ywwzyvvzyuuzyz第6頁(yè)/共28頁(yè)第七頁(yè)，共29頁(yè)。2.設(shè)函數(shù)w=f(u,v)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)(do sh)，而 都有偏導(dǎo)數(shù)(do sh)，求復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)(do sh) .第7頁(yè)/共28頁(yè)第八頁(yè)，共29頁(yè)。借助于結(jié)構(gòu)圖，可得第8頁(yè)/共28頁(yè)第九頁(yè)，共29頁(yè)。3.設(shè)函數(shù)w=f(u,v)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)(do sh)，而 可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)只是自變量x的函數(shù)，求z對(duì)x的導(dǎo)數(shù)(do sh) .可得(5) .ddddddxvvzxuuzxz第9頁(yè)/共28頁(yè)第十頁(yè)，共29頁(yè)。 在這里，函數(shù)z是通過(guò)二元函數(shù)z=f(u,v)而成為(chngwi)x的一元復(fù)合函數(shù).因此，z對(duì)x的導(dǎo)數(shù) 又稱為z對(duì)x的

5、全導(dǎo)數(shù).對(duì)公式(5)應(yīng)注意，由于z，u，v這三個(gè)函數(shù)都是x的一元函數(shù)，故對(duì)x的導(dǎo)數(shù)應(yīng)寫(xiě)成 ，而不能寫(xiě)成 .xzdd 公式(5)是公式(2)的特殊情形，兩個(gè)函數(shù)u,v的自變量都縮減為一個(gè)，即公式(2)就變成 (5).更特殊地，如果函數(shù)z不含v，只是u的函數(shù)，于是公式(5)變成.dddddd xuuzxz這正是一元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式.第10頁(yè)/共28頁(yè)第十一頁(yè)，共29頁(yè)。4.設(shè)函數(shù)(hnsh)z=f(x,v)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)， 有偏導(dǎo)數(shù)，求復(fù)合函數(shù)(hnsh) 的偏導(dǎo)數(shù) . 自變量x到達(dá)z的路徑有二條，第一路徑上只有一個(gè)函數(shù)，即z是x的函數(shù).第二路徑上有兩個(gè)函數(shù)z和v.自變量y到達(dá)z的路徑只有一條，于

6、是 的偏導(dǎo)數(shù)公式應(yīng)是：yzxz, (6) . yvvfyzxvvfxfxz，第11頁(yè)/共28頁(yè)第十二頁(yè)，共29頁(yè)。 注意： 這里(zhl)的 與 是代表不同的意義.其中 是將函數(shù) 中的y看作常量而對(duì)自變量x求偏導(dǎo)數(shù)，而 是將函數(shù)f(x,v)中的v看常量而對(duì)第一個(gè)位置變量x求偏導(dǎo)數(shù)，所以兩者的含意不同，為了避免混淆，將公式(6)右端第一項(xiàng)寫(xiě) ，而不寫(xiě)為 .xfxz 第12頁(yè)/共28頁(yè)第十三頁(yè)，共29頁(yè)。., yzxz例1 設(shè) 求,sineyxvxyuvzu解法(ji f)1 得第13頁(yè)/共28頁(yè)第十四頁(yè)，共29頁(yè)。解法2 對(duì)于具體的二元復(fù)合函數(shù)，可將中間(zhngjin)變量u，v，用x，y代入

7、，則得到 ，z 是x，y二元復(fù)合函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t，得)sin(eyxzxy，)cos()sin(eyxyxyxy).cos()sin(eyxyxxxy第14頁(yè)/共28頁(yè)第十五頁(yè)，共29頁(yè)。例2 設(shè) ，其中(qzhng)f(u,v)為可微函數(shù)，求解 令 ，可得xyvyxu,22xvvzxuuzxz yvvzyuuzyz 其中 不能再具體計(jì)算了，這是因?yàn)橥鈱雍瘮?shù)f 僅是抽象的函數(shù)記號(hào)，沒(méi)有具體給出函數(shù)表達(dá)式.vzuz,第15頁(yè)/共28頁(yè)第十六頁(yè)，共29頁(yè)。例3 設(shè) ，其中(qzhng)f(u,v,w)為可微函數(shù)，求解 令 可得.,2xyztxyvxu第16頁(yè)/共28頁(yè)第十七頁(yè)，共29頁(yè)

8、。例4 設(shè) 求解 可得在該例中，我們清楚看出 與 含意是不同的.xfxz 顯然不等于 .xz 第17頁(yè)/共28頁(yè)第十八頁(yè)，共29頁(yè)。例5 設(shè) 求tyyztxxztzdddddd解 得第18頁(yè)/共28頁(yè)第十九頁(yè)，共29頁(yè)。例6 設(shè)z=f(x,xcosy)，其中(qzhng)f(u,v)為可微函數(shù)，求解 令v=xcosy，得 求復(fù)合函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，不需要新的方法(fngf)和新的公式，只需把一階偏導(dǎo)數(shù)看作一個(gè)新的函數(shù)，應(yīng)用鏈?zhǔn)椒▌t對(duì)它再求偏導(dǎo)數(shù)即可.第19頁(yè)/共28頁(yè)第二十頁(yè)，共29頁(yè)。222,1zyxuuw例7 設(shè) ，求證：證22221dd zyxxuxuuwxw第20頁(yè)/共28頁(yè)第二十一頁(yè)，

9、共29頁(yè)。由于x，y，z在函數(shù)中的地位(dwi)是相同的，所以同樣有. 033 )(33 3352223222222uuuzyxuzwywxw因此有第21頁(yè)/共28頁(yè)第二十二頁(yè)，共29頁(yè)。二、全微分形式不變性 與一元函數(shù)的微分形式不變性類(lèi)似，多元函數(shù)全微分也有形式不變性.也就是說(shuō)不論(bln)u，v是自變量還是中間變量，函數(shù)z=f(u,v)的全微分的形式是一樣的.即這個(gè)性質(zhì)稱為(chn wi)全微分的形式不變性. 事實(shí)上，設(shè)z=f(u,v)有連續(xù)(linx)偏導(dǎo)數(shù)，當(dāng)u，v是自變量時(shí)，顯然(7)式成立.第22頁(yè)/共28頁(yè)第二十三頁(yè)，共29頁(yè)。 如果u，v是中間(zhngjin)變量，即 ，且這

10、兩個(gè)函數(shù)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)),(),(yxvyxu的全微分為,dddyyzxxzz其中. , yvvzyuuzyzxvvzxuuzxzyzxz, 將 代入上式，得第23頁(yè)/共28頁(yè)第二十四頁(yè)，共29頁(yè)。即，當(dāng)u，v是中間變量(binling)時(shí)，(7)式也成立.這就證明了全微分形式不變性.第24頁(yè)/共28頁(yè)第二十五頁(yè)，共29頁(yè)。例如，.ddd)(d)()(dvuuvvvuvuuuvvu利用全微分形式不變性及全微分的四則運(yùn)算公式(gngsh)，求函數(shù)的全微分會(huì)更簡(jiǎn)便些.利用全微分形式不變性，比較容易(rngy)地得出全微分的四則運(yùn)算公式，第25頁(yè)/共28頁(yè)第二十六頁(yè)，共29頁(yè)。例8 求 的全微分(wi fn)及偏導(dǎo)數(shù).解222222222)(dd)(dzyxzyxxxzyxu第26頁(yè)/共28頁(yè)第二十七頁(yè)，共29頁(yè)。例9 設(shè) ，其中f(u,v)有連續(xù)(linx)偏導(dǎo)數(shù)，求 及解 設(shè)xvxyxu22sin, 第27頁(yè)/共28頁(yè)第二十八頁(yè)，共29頁(yè)。NoImage內(nèi)容(nirng)總結(jié)會(huì)