復(fù)變函數(shù)與積分變換第五章學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1復(fù)變函數(shù)與積分復(fù)變函數(shù)與積分(jfn)變換第五章變換第五章第一頁，共45頁。& 1. 留數(shù)的定義& 2. 留數(shù)定理(dngl)& 3. 留數(shù)的計算規(guī)則第1頁/共44頁第二頁，共45頁。的奇點所圍成的區(qū)域內(nèi)含有)(zfC0zC設(shè)C為區(qū)域D內(nèi)包含的任一條正向簡單閉曲線0z)(fdzzc未必為0,0,z所圍成的區(qū)域內(nèi)解析在)(Cf=0z.的某去心鄰域(ln y):0( )f zz在在00zzR 解解析析D內(nèi)的Laurent展式:)(zfRzz 00在第2頁/共44頁第三頁，共45頁。12 = =ic zzzczzzczcnCnCCd)(d )(d0010 = =CCn

2、nzzzczzzcd)(d)(1010 Czzfd)(0(P49例3.3)0 (柯西-古薩基本定理)i 201010)()()(czzczzczfnn = = nnzzczzc)()(001第3頁/共44頁第四頁，共45頁。定義設(shè) z0 為 f (z) 的孤立奇點， f (z) 在 z0去心鄰域(ln y)內(nèi)的羅朗級數(shù)中負(fù)冪次項 (z- z0)1 的系數(shù) c1 稱為f (z)在 z0 的留數(shù)，記作 Res f (z), z0 。由留數(shù)定義(dngy), Res f (z), z0= c1 (1)2()(21),(Re10dzzficzzfsc = = = 故故1Laurentc 是是積積分分過

3、過程程中中唯唯一一殘殘留留下下來來的的系系數(shù)數(shù), ,zzficCd )(211 = = 即即綜上，的系數(shù)(xsh)01)( zz展式中負(fù)冪項Laurent第4頁/共44頁第五頁，共45頁。000( ),( )0,f zzf zzzzR 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)以以有有限限點點 為為孤孤立立奇奇點點 即即在在點點的的某某去去心心鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)解解析析 則則稱稱積積分分記作為 f (z)在 的0z),(Re0zzfs。01( ),:, 0;2Cf z dzCzzRi = 定義(dngy)留數(shù),注1c = =dzzfizzfsC = =)(21),(Re0 第5頁/共44頁第六頁，共45頁。二、利用(lyng)留

4、數(shù)求積分1. 留數(shù)定理 設(shè)函數(shù) f(z)在區(qū)域D內(nèi)除有限個孤立奇點 z1, z2, ., zn 外處處(chch)解析.C是D內(nèi)包圍諸奇點的一條正向簡單閉曲線, 則12Res ( ),nkkif z z= = = dzzfc )(Dz1z2z3znC1C2C3CnC第6頁/共44頁第七頁，共45頁。證明(zhngmng)zzfizzfizzfinCCCd )(21d)(21d )(2121 兩邊同時除以 得，i 2如圖, 由復(fù)合閉路(b l)原理= = zzfCd)( 1)(CdzzfdzzfC 2)(dzzfnC )(12Res ( ),Res ( ),Res ( ),nf z zf z z

5、f z z= = zzfCd )(12i12Res ( ),.nkkif z z= = = dzzfc )(即即求沿閉曲線(qxin)C積分求C內(nèi)各孤立奇點處的留數(shù).注1第7頁/共44頁第八頁，共45頁。(1) 如果0z為)(zf的可去奇點, 0Res ( ),0.f z z= =一般規(guī)則(guz)說明：2. 留數(shù)的計算(j sun)規(guī)則成Laurent級數(shù)求.1 c(2) 如果0z為的本性奇點, )(zf)(zf展開則需將(3) 如果0z為的極點, )(zf則有如下(rxi)計算方法：1) 應(yīng)用Laurent展式2) 求n級極點的一般方法(求導(dǎo)運算)第8頁/共44頁第九頁，共45頁。1) 應(yīng)

6、用(yngyng)Laurent展式例5.151Re ,0.zesz 求求解5511zezz = =2345(12!3!4!5!zzzzz) 1 43211 11 11 11,2!3!4!5!zzzz=;0z 511Re ,0.4!zesz = =所所以以第9頁/共44頁第十頁，共45頁。如果 為 的 級極點, 0z)(zfm).()(ddlim)!1(1),(Res01100zfzzzmzzfmmmzz = = 規(guī)則(guz)2那末(n m).()(lim),(Res000zfzzzzfzz = =如果 為 的一級極點, 那末0z)(zf規(guī)則(guz)12) 求n級極點的一般方法（當(dāng) m=1

7、時就是規(guī)則1)第10頁/共44頁第十一頁，共45頁。規(guī)則(guz)3 如果,0)(,0)(,0)(000 = = zQzQzP設(shè),)()()(zQzPzf= =)(zP及)(zQ在0z都解析，那末0z為的一級極點,)(zf.)()(),(Res000zQzPzzf = = 且有解2coszzz= =因因為為的的一一級級極極點點, ,Re ,cos2zsz 所所以以2|(cos )zzz= = =2sin()2= = .2= = 例2Re ,.cos2zsz 求求第11頁/共44頁第十二頁，共45頁。 = = 22)1(25:zdzzzz計算計算例3解102)1(25)(2= = = = = =

8、zzzzzzzf和和一一個個二二級級極極點點極極點點的的內(nèi)內(nèi)部部有有一一個個一一級級在在2)1(25lim)(lim0),(Re200 = = = = =zzzzfzfszz1由由規(guī)規(guī)則則)1(25)1()!12(1lim 1),(Re221 = =zzzzdzdzfsz2由由規(guī)規(guī)則則22lim)25(lim211= = = = =zzzzz0 1),(Re20),(Re2)(2= = = = = =zfsizfsidzzfz 第12頁/共44頁第十三頁，共45頁。2:14= = zcdzzzc正向正向計算計算例2解內(nèi)內(nèi)，都都在在圓圓周周個個一一級級極極點點有有cizf , 1:4)(32(

9、)13( )44P zzQ zzz=由由規(guī)規(guī)則則0414141412),(Re),(Re 1),(Re 1),(Re214= = = = = = iizfsizfszfszfsidzzzc 故故第13頁/共44頁第十四頁，共45頁。.2:,d)1(sin22正向正向計算計算= = zCzzzzC思考題思考題答案(d n)22sin 1.i 第14頁/共44頁第十五頁，共45頁。 = =13coszdzzz計算計算例3解的的三三級級極極點點有有一一個個0cos)(3= = =zzzzfiizfsidzzzz = = = = = = =)21(20),(Re2cos132320021Re ( ),

10、0lim( )(31)!11lim(cos )22zzds f zz f zdzz= = = = = 由由規(guī)規(guī)則則第15頁/共44頁第十六頁，共45頁。)(tanNnzdznz = = 計算計算例4解), 2, 1, 0(21,20coscossintan = = = = = = = =kkzkzzzzz即即解得解得令令 0csc)(cot21212 = = = = = =kzkzzz 1,32zk= = 為為一一級級極極點點 由由規(guī)規(guī)則則 得得), 1, 0(1)(cossin21,tanRe21 = = = = = = =kzzkzskz 第16頁/共44頁第十七頁，共45頁。 ninik

11、zsizdznknz422,tanRe2tan2121 = = = = = = = = 故由留數(shù)定理(dngl)得：第17頁/共44頁第十八頁，共45頁。A(1)要靈活運用規(guī)則及洛朗級數(shù)展開(zhn ki)來求留A數(shù)，不要死套規(guī)則。6sin)()()(zzzzQzPzf = = =,)(001cos)0(0sin)0(0)cos1()0( 0)0(000的的三三級級零零點點是是由由于于zpzzpzpzppzzz= = = = = = = = = = = = = =如是f (z)的三級極點(jdin)。630sin1sin2Re,0lim(31)!zzzzzszz= = 由由規(guī)規(guī)則則第18頁/共

12、44頁第十九頁，共45頁。:)(級級數(shù)數(shù)展展開開作作若若將將Laurentzf! 510 ,sinRe6 = = zzzs = = = = zzzzzzzzzz1! 511! 31)! 51! 31(1sin35366-該方法較規(guī)則(guz)2更簡單！第19頁/共44頁第二十頁，共45頁。 = = 665506sinlim)!16(10 ,sinRezzzzdzdzzzszA(2) 由規(guī)則2 的推導(dǎo)(tudo)過程知，在使用規(guī)則2A時，可將 m 取得比實際級數(shù)高，這可使計算更A簡單。如! 51)cos(lim! 51)sin(lim! 510550 = = = = = =zzzdzdzz第20

13、頁/共44頁第二十一頁，共45頁。注意積分路線(lxin)取順時針方向1 = =c1),(Res = = czf說明(shumng)記作 = = Czzfizfd)(21),(Res1.定義(dngy)設(shè)函數(shù))(zf在圓環(huán)域 zR內(nèi)解析，C為圓環(huán)域內(nèi)繞原點的任何一條正向簡單閉曲線，1( )d2Cf zzi 稱稱積積分分的的值值為為( )f z 在在點點的的留留數(shù)數(shù)，=Czzfid)(21第21頁/共44頁第二十二頁，共45頁。.1z.2z.kz .證 = = nkkzzfzf1),(Res),(Res = = CCzzfizzfid)(21d)(211. 0= =由留數(shù)定義(dngy)有:(繞

14、原點的并將kz內(nèi)部的正向簡單閉曲線)C包含在 2. 定理如果函數(shù))(zf在擴充復(fù)平面內(nèi)只有有限個孤立奇點, 那末在所有各奇點 (包括 點) 的留數(shù)的總和必等于零.)(zf證畢第22頁/共44頁第二十三頁，共45頁。說明(shumng): 由定理得,),(Res),(Res1 = = = =zfzzfnkk = = = =nkkCzzfizzf1),(Res2d )(留數(shù)定理(dngl).),(Res2 = =zfi計算(j sun)積分計算無窮遠(yuǎn)點的留數(shù).zzfCd)( 優(yōu)點: 使計算積分進(jìn)一步得到簡化. (避免了計算諸有限點處的留數(shù))第23頁/共44頁第二十四頁，共45頁。規(guī)則(guz)4

15、= = 0 ,11Res),(Res2zzfzf說明: 定理5.2和規(guī)則(guz)4提供了計算函數(shù)沿閉曲線 = = 0 ,11Res2d)(2zzfizzfC積分的又一種方法: 此法在很多情況下此法更為簡單.第24頁/共44頁第二十五頁，共45頁?，F(xiàn)取正向簡單(jindn)閉曲線C為半徑足夠大的正向(zhn xin)圓周 :. = =z,1 = =z令令, iireez= = =并設(shè)并設(shè),1 = = =r那末那末于是(ysh)有 = = Czzfizfd)(21),(Res = =20d)(21 iiieefi證.d12120 = = iireirefi第25頁/共44頁第二十六頁，共45頁。

16、220111d2()iiifreirere = = = = = = 12d1121fi. )1(為正向為正向 = =內(nèi)除在 1= =0= = 外無其他奇點 .0 ,11Res2 = =zzf證畢第26頁/共44頁第二十七頁，共45頁。例5 計算積分 Czzz,d14C為正向圓周:.2= =z函數(shù)14 zz在2= =z的外部, 除 點外沒有其他(qt)奇點. Czzzd14 = =0 ,11Res22zzfi = =),(Res2zfi = =0 ,1Res24zzi. 0= =解 根據(jù)定理(dngl) 5.2與規(guī)則4: 第27頁/共44頁第二十八頁，共45頁。與以下解法(ji f)作比較 :被

17、積函數(shù)14 zz有四個一級極點i ,1都在圓周2= =z的內(nèi)部 , 所以 Czzzd14 1),(Res 1),(Res2 = =zfzfi ),(Res),(Resizfizf 由規(guī)則(guz)3 ,414)()(23zzzzQzP= = = 第28頁/共44頁第二十九頁，共45頁。 Czzzd14.0414141412= = = =i可見(kjin), 利用無窮遠(yuǎn)點的留數(shù)更簡單.例6 計算積分 Czzizz,)3)(1()(d10C為正向圓周 :.2= =z解 除 )3)(1()(1)(10 = =zzizzf被積函數(shù)點外, 其他奇點為.3, 1, i 第29頁/共44頁第三十頁，共45頁

18、。由于i 與 1在C的內(nèi)部, Czzizz)3)(1()(d101),(Res),(Res2zfizfi = =),(Res3),(Res2 = =zfzfi = =0)3(21210ii則),(Resizf ),(Res zf所以(suy) 1),(Reszf 3),(Reszf .0= =.)3(10ii = =第30頁/共44頁第三十一頁，共45頁。一概念-留數(shù)一定理-留數(shù)定理（計算閉路復(fù)積分）（重點）兩方法-展開式和規(guī)則求留數(shù)三規(guī)則-求極點處留數(shù) （ 難點 ）第31頁/共44頁第三十二頁，共45頁。 本節(jié)我們學(xué)習(xí)了留數(shù)的概念、計算以及留數(shù)定理. 應(yīng)重點(zhngdin)掌握計算留數(shù)的一

19、般方法,尤其是極點處留數(shù)的求法, 并會應(yīng)用留數(shù)定理計算閉路復(fù)積分.第32頁/共44頁第三十三頁，共45頁。11.( )2Re ( ),nkkR x dxis R z z = = = ( )( )( )P xR xQ x= =12.( )2Re ( ),(0)ni xi zkkR x edxis R z ez= = 其中(qzhng) 注意: 對 的要求,分母Q(x)次數(shù)比分子P(x)至少高兩次， 是函數(shù) 在上半平面內(nèi)的有限個孤立奇點；( )R xkz( )R z 注意: 對 的要求,分母比分子至少高一次， 是函數(shù) 在上半平面內(nèi)的有限個孤立奇點；( )R x( )R zkz第33頁/共44頁第三

20、十四頁，共45頁。思想(sxing)方法 :封閉路線(lxin)的積分 .兩個(lin )重要工作:1) 積分區(qū)域的轉(zhuǎn)化2) 被積函數(shù)的轉(zhuǎn)化把定積分化為一個復(fù)變函數(shù)沿某條2013.(cos ,sin )2Re ( ),nkkRdis f z z = = = 注意：其中 是函數(shù) 在單位圓內(nèi)的有限個孤立奇點。kz)(zf第34頁/共44頁第三十五頁，共45頁。 iez = =令令 ddiiez = =,ddizz= = )(21sin iieei = =,212izz = =)(21cos iiee = =,212zz = =當(dāng) 歷經(jīng)變程2,0時, 20d)sin,(cos R1= =z的正方向繞

21、行一周.z 沿單位圓周第35頁/共44頁第三十六頁，共45頁。 d )sin,(cos20 RizzizzzzRzd21,21122 = = = =zzfzd )(1 = = =z的有理函數(shù)(yu l hn sh) , 且在單位圓周上分母不為零 , 滿足留數(shù)定理的條件 .包圍(bowi)在單位圓周內(nèi)的諸孤立奇點. .),(Res21 = = =nkkzzfi第36頁/共44頁第三十七頁，共45頁。.dsin21dsin0 xxxxxx = =例5.1 計算(j sun)積分.dsin0 xxx 分析(fnx) 所所以以是是偶偶函函數(shù)數(shù) ,sinxxzzsin 某某封封閉閉曲曲線線 ,因zzsi

22、n在實軸上有一級極點(jdin), 0= =z應(yīng)使封閉路線不經(jīng)過奇點, 所以可取圖示路線:第37頁/共44頁第三十八頁，共45頁。xyoRCrCrRr R 解 , 0dddd= = xxezzexxezzeRrixCizrRixCizrR封閉(fngb)曲線C: RrCrRCrR, 由柯西-古薩定理(dngl)得:ttexxerRitrRixdd = =,dxxeRrix = =，令令tx = =,2sinieexixix = =由第38頁/共44頁第三十九頁，共45頁。, 0dddsin2 = = rRCizCizRrzzezzexxxi知知szezzeRRCizCizdd seRRCyd1 = = = =0sin deR d220sin = =Re d22