確定二次函數(shù)的表達式

1、九年級數(shù)學(下)第二章 二次函數(shù) 確定二次函數(shù)的表達式 一、一、教學教學目標：目標： 1.經(jīng)歷確定二次函數(shù)表達式的過程經(jīng)歷確定二次函數(shù)表達式的過程,體會求二次函體會求二次函數(shù)表達式的思想方法數(shù)表達式的思想方法,培養(yǎng)數(shù)學應用意識培養(yǎng)數(shù)學應用意識.2.會利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的表達式會利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的表達式.3.靈活應用二次函數(shù)的三種形式靈活應用二次函數(shù)的三種形式:一般式，頂點式，一般式，頂點式，交點式交點式，以便在用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)表達，以便在用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)表達式時減少未知數(shù)的個數(shù)，簡化運算過程。式時減少未知數(shù)的個數(shù)，簡化運算過程。二、重點和難點：二、重點和難點：根據(jù)

2、問題靈活選用二次函數(shù)表達式的不同形式，根據(jù)問題靈活選用二次函數(shù)表達式的不同形式，既是重點又是難點。既是重點又是難點。復習提問：復習提問：1.二次函數(shù)表達式的一般形式是什么二次函數(shù)表達式的一般形式是什么?2.二次函數(shù)表達式的頂點式是什么二次函數(shù)表達式的頂點式是什么?3.若二次函數(shù)若二次函數(shù)y=ax+bx+c(a0)與與x軸兩交點為軸兩交點為(x1,0),(x2,0)則其函數(shù)表達式可以表示成什么形則其函數(shù)表達式可以表示成什么形式式?y=ax+bx+c(a,b,c為常數(shù)為常數(shù),a0)y=a(x-h)2+k(a0)y=a(x-x1)(x-x2)(a0)例例1.若二次函數(shù)圖象過若二次函數(shù)圖象過A(2,-

3、4),B(0,2),C(-1,2)三點三點求此函數(shù)的解析式。求此函數(shù)的解析式。解解：設二次函數(shù)表達式為：設二次函數(shù)表達式為y=ax2+bx+c圖象過圖象過B(0,2)c=2y=ax2+bx+2圖象過圖象過A(2,-4),C(-1,2)兩點兩點-4=4a+2b+22=a-b+2解得解得a=-1,b=-1函數(shù)的解析式為：函數(shù)的解析式為：y=-x2-x+2解法2：（利用頂點式）（利用頂點式）圖像過B(0,2),C(-1,2)兩點，兩點，可知其對稱軸為可知其對稱軸為X=-1/2可設解析式為可設解析式為y=a(x+1/2)2+kA(2,-4),B(0,2)在圖像上，在圖像上，-4=a(2+1/2)2+k

4、2=a(0+1/2)2+ka=-1,k=9/4y=-(x+1/2)2+9/4即即y=-x2-x+2例例2.已知一個二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點已知一個二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(4,-3)，并且當并且當x=3時有最大值時有最大值4，試確定這個二次，試確定這個二次函數(shù)的解析式。函數(shù)的解析式。解法解法1：（利用一般式）（利用一般式）設二次函數(shù)解析式為：設二次函數(shù)解析式為：y=ax2+bx+c(a0)由題意知由題意知16a+4b+c=-3-b/2a=3(4ac-b2)/4a=4解方程組得：解方程組得：a=-7b=42c=-59二次函數(shù)的解析式為：二次函數(shù)的解析式為：y=-7x2+42x-59 解法解法2：（利用頂

5、點式）（利用頂點式）當當x=3時，有最大值時，有最大值4頂點坐標為頂點坐標為(3,4)設二次函數(shù)解析式為：設二次函數(shù)解析式為： y=a(x-3)2+4函數(shù)圖象過點（函數(shù)圖象過點（4，-3）a(4-3)2+4=-3a=-7二次函數(shù)的解析式為：二次函數(shù)的解析式為：y=-7(x-3)2+4例例3.二次函數(shù)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象過點的圖象過點A(0,5),B(5,0)兩點，它的對稱軸為直線兩點，它的對稱軸為直線x=3，求這個二次函數(shù)的解析式。求這個二次函數(shù)的解析式。解解:二次函數(shù)的對稱軸為直線二次函數(shù)的對稱軸為直線x=3設二次函數(shù)表達式為設二次函數(shù)表達式為y=a(x-3)2+k圖象過點圖象

6、過點A(0,5),B(5,0)兩點兩點5=a(0-3)2+k0=a(5-3)2+k解得：解得：a=1k=-4二次函數(shù)的二次函數(shù)的表達式表達式:y=(x-3)2-4即即y=x2-6x+5小結(jié)小結(jié):已知頂點坐標已知頂點坐標（h,k）或?qū)ΨQ軸方程或?qū)ΨQ軸方程x=h時時優(yōu)先選用頂點式。優(yōu)先選用頂點式。 解：（解：（交點式交點式）二次函數(shù)圖象經(jīng)過點二次函數(shù)圖象經(jīng)過點(3,0),(-1,0)設二次函數(shù)表達式為設二次函數(shù)表達式為：y=a(x-3)(x+1)函數(shù)圖象過點函數(shù)圖象過點(1,4)4=a(1-3)(1+1)得得a=-1函數(shù)的表達式為：函數(shù)的表達式為：y=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3例已知

7、二次函數(shù)圖象經(jīng)過點例已知二次函數(shù)圖象經(jīng)過點(1,4),(-1,0)和和(3,0)三點，求二次函數(shù)的表達式。三點，求二次函數(shù)的表達式。知道拋物線與知道拋物線與x軸的兩個交點的坐軸的兩個交點的坐標，選用交點式比較簡便標，選用交點式比較簡便其它解法其它解法：（：（一般式一般式）設二次函數(shù)解析式為設二次函數(shù)解析式為y=ax2+bx+c二次函數(shù)圖象過點二次函數(shù)圖象過點(1,4),(-1,0)和和(3,0)a+b+c=4a-b+c=0 9a+3b+c=0解得：解得：a=-1b=2c=3函數(shù)的解析式為：函數(shù)的解析式為：y=-x2+2x+3（頂點式）（頂點式）解：解：拋物線與拋物線與x軸相交兩點軸相交兩點(-

8、1,0)和和(3,0)，(-1+3)/2=1點點(1,4)為拋物線的頂點為拋物線的頂點可設二次函數(shù)解析式為：可設二次函數(shù)解析式為：y=a(x-1)2+4拋物線過點拋物線過點(-1,0)0=a(-1-1)2+4得得a=-1函數(shù)的解析式為：函數(shù)的解析式為：y=-(x-1)2+4 歸納：歸納：在確定二次函數(shù)表達式時在確定二次函數(shù)表達式時（1）若已知圖像上三個非特殊點，常設一般式）若已知圖像上三個非特殊點，常設一般式；（2）若已知二次函數(shù)頂點坐標或?qū)ΨQ軸，常設頂）若已知二次函數(shù)頂點坐標或?qū)ΨQ軸，常設頂點式點式較為簡便；較為簡便；（3）若已知二次函數(shù)與）若已知二次函數(shù)與x軸的兩個交點，常設交軸的兩個交點

9、，常設交點式較為簡單。點式較為簡單。請選擇最優(yōu)解法，求下列二次函數(shù)表達式。請選擇最優(yōu)解法，求下列二次函數(shù)表達式。展示自我：展示自我：(1)已知拋物線的頂點在原點，對稱軸是已知拋物線的頂點在原點，對稱軸是y軸，且經(jīng)過點軸，且經(jīng)過點（-2，2），求此拋物線的表達式？），求此拋物線的表達式？(4)已知一個二次函數(shù)的圖象過點（已知一個二次函數(shù)的圖象過點（0，1），它的頂點），它的頂點坐標是（坐標是（8，9），求這個二次函數(shù)的表達式？），求這個二次函數(shù)的表達式？(3)已知拋物線的頂點在已知拋物線的頂點在x軸上，對稱軸是直線軸上，對稱軸是直線x=1，且經(jīng)，且經(jīng)過（過（2，3），求此拋物線的表達式？），求此

10、拋物線的表達式？(2)已知拋物線的頂點在已知拋物線的頂點在y軸上軸上,且經(jīng)過（且經(jīng)過（-1，-3）和（和（2，6),求此拋物線的表達式？求此拋物線的表達式？(5)已知一個二次函數(shù)的圖象經(jīng)過原點，且過（已知一個二次函數(shù)的圖象經(jīng)過原點，且過（2，5），），（-1，3）求這個二次函數(shù)的表達式？）求這個二次函數(shù)的表達式？做一做做一做 如圖，某建筑的屋頂設計成橫截面為拋物線如圖，某建筑的屋頂設計成橫截面為拋物線 （曲（曲 線線AOB） 的薄殼屋頂它的拱寬的薄殼屋頂它的拱寬AB為為6m，拱高，拱高CO為為 0.9m試建立適當?shù)闹苯亲鴺讼翟嚱⑦m當?shù)闹苯亲鴺讼?并寫出這段拋物線所對應的二并寫出這段拋物線所對

11、應的二次函數(shù)表達式次函數(shù)表達式? 圖26.2.6 解解:以線段以線段AB的中垂線為的中垂線為y軸軸,以過點以過點o且且與與y軸垂直的直線為軸垂直的直線為x軸軸,建立直角坐標系建立直角坐標系)33(1 . 01 . 039 . 0,)9 . 0, 3(9 . 0, 326222xxyaaaxyBOCABCBAB函數(shù)表示式為二次因此這段拋物線對應的中代入設它的函數(shù)表達式為設它的函數(shù)表達式為:y=ax(a0)議一議議一議 通過上述問題的解決通過上述問題的解決,您能體會到求二次函數(shù)您能體會到求二次函數(shù)表達式采用的一般方法是什么表達式采用的一般方法是什么? （待定系數(shù)法）（待定系數(shù)法）你能否總結(jié)出上述解

12、題的一般步驟你能否總結(jié)出上述解題的一般步驟?1.若無坐標系若無坐標系,首先應建立適當?shù)闹苯亲鴺讼凳紫葢⑦m當?shù)闹苯亲鴺讼?2.設拋物線的表達式設拋物線的表達式;3.寫出相關(guān)點的坐標寫出相關(guān)點的坐標;4.列方程列方程(或方程組或方程組);5.解方程或方程組解方程或方程組,求待定系數(shù)求待定系數(shù);6.寫出函數(shù)的表達式寫出函數(shù)的表達式;224) 1(2x 二次函數(shù)二次函數(shù)y=x2+px+q的圖像與的圖像與X軸正半軸交于軸正半軸交于M,N兩點，與兩點，與Y軸正向交于軸正向交于R,且且OM MN OR=1 2 3(O為坐標原點為坐標原點),求二次函求二次函數(shù)表達式數(shù)表達式.oRMNYX 求點求點C的坐標的坐標若一個二次函數(shù)的圖像經(jīng)過若一個二次函數(shù)的圖像經(jīng)過A，B，C三點，三點，求這個二次函數(shù)表達式。求這個二次函數(shù)表達式。1.已已知平面直角坐標系兩點知平面直角坐標系兩點A（1，2）B（0，3）點）點C在在X軸上，其橫坐標