江元生《結(jié)構(gòu)化學(xué)》問(wèn)題詳解chapter1

1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案第一章 量子理論1. 說(shuō)明 a(x, t)a0 cos 2 (xt )及 a (x,t)x都是波動(dòng)方程a0 sin 2 (t )2 a( x,t )12a( x,t)的解。x2c2t 2提示：將 a( x, t ) 代入方程式兩端，經(jīng)過(guò)運(yùn)算后，視其是否相同。解：利用三角函數(shù)的微分公式sin(ax)a cos(ax) 和cos(ax)a sin(ax) ， 將xxa( x,t )a0 c os2 ( xt)代入方程：2cos 2 ( x( x左邊x2a0t)a0xxcos 2t )a0x2sin 2( xt)22xcos 2(t )a012xa0xt cos 2右邊c2t 2a0 c

2、os 2(t )c2t(t )a02sin 2(xt)c2xa20 22cos 2( xt)c對(duì)于電磁波 c，所以 a( x, t)a0 cos 2( xt)是波動(dòng)方程的一個(gè)解。對(duì)于 a( x, t)a0 sin 2xt)，可以通過(guò)類似的計(jì)算而加以證明：(2a0 sin 2 ( x22( x左邊x2t)a0sin2t)12xa0x2右邊c2t 2a0 sin 2(t)c22sin 2(t)2. 試根據(jù) Planck黑體輻射公式，推證 Stefan定律： IT 4，給出的表示式，并計(jì)算它的數(shù)值。提示： E0E()d,I =cE /4解：將 E()d8 h31d 代入上式，E 08 h 31dc3

3、h kTc3h kT1e1e作變量代換 xh/ kT 后，上式變?yōu)?，精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案8 h kT418 h kT448 5 k 4T 4Ex3dx3h0x13h153 3cec15c hIc Ec 8 5 k4 T 42 5 k 4T 45.67 10 8 W m 2 K 444 15c3h 315c2 h33.說(shuō)明在長(zhǎng)波低頻 區(qū)域=0 ， Planck公式還原為 Rayleigh-Jeans公式。提示：應(yīng)用 Taylor級(jí)數(shù)展開(kāi) eh kT 。解：在長(zhǎng)波低頻 區(qū)域=0 ，可將 ehkT 用 Taylor 級(jí)數(shù)展開(kāi)至一階，h kThkTe1并代入 Planck公式即可得 Rayleigh-

4、Jeans公式，E( )d8 h 311d8 h 3 kT d8 kT 2 dc3eh kTc3hc34.試通過(guò)對(duì)能量密度函數(shù)求極值，推導(dǎo)出Wien 位移定律 max T b ,bhc / 5k 2.9 10 3 m K 。解：本題正確求解的關(guān)鍵是必須明確以波長(zhǎng)為變量求得的最大能量密度及波長(zhǎng)率為變量求得的最大能量密度及頻率max 無(wú)對(duì)應(yīng)關(guān)系: c=maxmax.量分別計(jì)算如下:(1) 求 max根據(jù)能量密度函數(shù)的表示式E( ) d8 h31d得到 ,c3ehkT1dE( )d8 h31ddc3ehkT1hkT23hh kT8 h d38 h e1 3kTec3 deh kT1c3eh kT12

5、8 h2hh kTh kTc3eh kT1 23 e1kT e當(dāng)上述微分為零時(shí)能量密度函數(shù)取極值( 可以證明 ,取極大值 .),即 :8 h2hh kThkTc3eh kT1 23 e1kT e0= 0 為平庸根 , 另一個(gè)根由下述方程得到 :3 eh kT1h eh kT0 .kT令 xh上述方程變換為 : 3(x-1)-x=0,exekT通過(guò)迭代求解 ,可得兩個(gè)根 x = 0,x = 2.82.從而得到關(guān)系式Th.2.82kmax(2) 求max先將能量密度的表示式變換為波長(zhǎng)的函數(shù):max 和以頻現(xiàn)對(duì)這兩個(gè)物理精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案8 h c3)dE ( )dd (c /8 hcE ( )d

6、c 3ehc / kT15 (1ehc / kT )對(duì) E( )求極值:dE( )8hc d5 (1ehc / kT)dd8hc5 6(1ehc / kT)115hc / kT2hchc / kT(1e)kT 2e6hc hc / kT8 hc (1ehc/ kT )2hc / kT5(1e)kTe極值條件為上式等于零 .再令 yhc,得到 :kT5( ey -1)- ye y= 0迭代求得 : y=0,y=4.965.y=0 為平庸根 , y=4.965時(shí), E() 取極大值 ( 可以證明 ), 故而 ,maxT hc / kyhc / 4.965k.(3) 綜合上述兩個(gè)結(jié)果 ,容易發(fā)現(xiàn)ma

7、xmax不等于光速 c.5. 計(jì)算下列波長(zhǎng)的一個(gè)光子和1mol 光子的能量：a 600nm 紅 ,b 550nm黃 , c 400nm藍(lán) ,d 200nm 紫外 ,e150pm X 射線 , f1cm 微波 。解：本題用到的長(zhǎng)度單位變換為：1m 10 2 cm106 m 109 nm 1012 pm 。一個(gè)光子的能量為：Ehhhc，而 1mol 光子的能量為： E molN 0 hN 0 hc。這里N是 Avogadro 常數(shù)，是 Planck 常數(shù) ,c是光速， 是波長(zhǎng)。 對(duì)與本題的各種波長(zhǎng)，0代入以上公式得：aE2.07eV ， Emol199.38kJ ；bE2.25eV ， Emol2

8、17.50 kJ ；cE3.10eV ， Emol299.07 kJ ；dE6.20eV ， Emol598.14 kJ ；eE=8.26 ×103eV,Emol =7.975 × 105kJ；fE=1.24 ×104eV,Emol=1.20 × 10-2 kJ 。6. 用波長(zhǎng)為 750nm, 500nm, 200nm 的光照射以下金屬的表面：Na 2.3eV , K2.2eV ,Cs 2.1eV , W4.5eV 。括號(hào)中的數(shù)值是該金屬的功函數(shù)，請(qǐng)估計(jì)光電子發(fā)射時(shí)，每種情況的電子動(dòng)能。解：光電子發(fā)射時(shí)，電子動(dòng)能Ekhc，這里是金屬的功函數(shù)。代入本題的波

9、長(zhǎng)和功函數(shù)，計(jì)算結(jié)果見(jiàn)下表：NaKCsW=750無(wú)發(fā)射無(wú)發(fā)射無(wú)發(fā)射無(wú)發(fā)射=5000.18eV0.28eV0.38eV無(wú)發(fā)射=2003.90eV4.00eV4.10eV1.70eV精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案7.測(cè)量光電子的動(dòng)能，把它看作入射光頻率的函數(shù)。在波長(zhǎng)為625nm時(shí)，動(dòng)能為0.2eV ；在波長(zhǎng)為416nm時(shí)，動(dòng)能為1.2eV ；在 312nm時(shí)，動(dòng)能為2.2eV 。計(jì)算此金屬的功函數(shù)，能否通過(guò)這些數(shù)據(jù)，確定Planck 常數(shù)，試給出h 的數(shù)值。解：本題中 h 作為未知量出現(xiàn)。據(jù)公式 Ekhc，將第一組和第二組數(shù)據(jù)代入公式并將公式中的每一項(xiàng)的能量單位都換成eV，得到一方程組，0.21.03610

10、 5 N 0 hc625101.21.03610 5 N 0hc4161099從這個(gè)方程組可得h6.651210 34 J s 和1.79eV 。利用這兩個(gè)參數(shù)和第三組數(shù)據(jù)可驗(yàn)證所得結(jié)果正確。8.計(jì)算下列情況下得de Broglie波長(zhǎng)：a 速度為 10 3 m/s 的氫原子；b 能量為 0.05eV 和 5 106 eV 的自由電子；c 能量為 0.05eV 的氙原子。解：粒子的de Broglie波長(zhǎng)為= h / p 。aH 1 的原子量為1.007825,原子質(zhì)量單位1.6605655 × 1027kg，所以6.6261810 34 J s 1.0078251.66056551

11、0 27 kg10 3 m/s3.95910 10 mb 1eV=1.6022 × 1031J，電子質(zhì)量為9.10953 × 1031kg 。自由電子的波長(zhǎng)和能量的關(guān)系為h 2me E ，將數(shù)據(jù)代入公式并統(tǒng)一單位得，對(duì)于能量為0.05eV 的自由電子，= 5.485 × 109 m；對(duì)于能量為5×10 eV 的自由電子，= 5.485 ×1013 mc Xe 的原子量為9.微粒子發(fā)生衍射現(xiàn)象的條件是孔徑尺寸要與波長(zhǎng)相當(dāng)。今有動(dòng)能102 10 5 eV 的電子，試論當(dāng)孔徑直徑為106 m 普通光柵時(shí)，能否觀察到衍射現(xiàn)象。解：1eV=1.6022

12、× 1031J，電子質(zhì)量為9.10953 × 1031kg。自由電子的波長(zhǎng)和能量的關(guān)系為h2me E 。對(duì)于動(dòng)能為102 eV 的自由電子，= 1.226× 1010 m；對(duì)于能量為105 eV 的自由電子，= 3.878 ×1012 m。所以動(dòng)能為102 10 5 eV 的電子不能在普通光柵上觀察到衍射現(xiàn)象。10.試將兩個(gè)正弦波a1 (x,0)a0 sin k1 x ， a2 (x,0)a0 sin k 2 x 疊加，導(dǎo)出測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系xph 。解：將兩個(gè)正弦波疊加后，利用和角公式得，精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案A(x,0)a1 ( x,0)a2 ( x,0)2a

13、0 sin k1k2 xcos k1k2 x22在 x0 附近，當(dāng) x, 0,k1時(shí)， A(x,0)0 。此時(shí)坐標(biāo)范圍為x，動(dòng)k1k2k2k1k2量范圍為 p p1 p2 h /1 h /2h (k1k2 ) ，從而可得x ph /2。211. 試說(shuō)明( x, t )ei (kx2t )中得任何一個(gè)函數(shù)都是波動(dòng)方程的解2, 且滿足定態(tài)要求(x, t )與時(shí)間無(wú)關(guān)。它們也是另一形式波動(dòng)方程得解：2( x, t)k 2( x, t) ，請(qǐng)驗(yàn)證。x2i 2t解： 將( x, t)ei ( kx2t )代入方程：2左邊x2 ei ( kx 2t )( ik ) 2 ei ( kx 2t )k 2 ei

14、 ( kx 2 t )2 k222 k2右邊tt 2 ei ( kx 2 t )( i 2)2tei ( kx 2 t )k 2ei ( kx 2 t )2(x,t)k22(x, t) ，且故( x, t)i ( kx 2t )是ex 22t 22ei ( kx 2t )e i (kx 2t )1 ，與時(shí)間無(wú)關(guān)，是該波動(dòng)方程的定態(tài)解。( x, t)k又因?yàn)?22 ( x,t)k 2( x,t) ，所以2 ( x,t)k 2( x,t ) 的解。t 2i 2tx2i 2t12. 說(shuō)明 cos kx2t 和 sin kx2t 中的任何一個(gè)函數(shù)都不是2( x,t )k2( x, t)x2i 2t的解

15、，也不符合定態(tài)要求，試推證之。解：將 cos kx2t代入方程，2左邊x2cos kx2tk2 cos kx2t右邊k 2cos(kx2t)k 22cos(kx 2t)k 2 cos(kx2t) 所以i 2ti 2cos kx2t 不是2( x,t)k2(x,t ) 的解。并且x2i 2tcos kx2t2cos2 kx2 t1是時(shí)間的函數(shù)，所以cos kx2t也不符合定態(tài)要求。2對(duì) sin kx 2 t 同理可證。13. 寫出氫原子中電子的波動(dòng)方程。解：(x, y, z,t )2222(x, y , zt)e2ih(x, y , z,t)( x, y, zt)(x, y, z,t )t2me

16、z2y 2z2r其中右邊第一項(xiàng)為動(dòng)能項(xiàng)，第二項(xiàng)為核與電子的靜電相互作用項(xiàng)。精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案14. 試問(wèn) eikx, coskx , k , kx 及 e kx2中哪些是 d faf 的本征函數(shù)，本征值a 為多少。dx解： a deikxikeikx。 eikx是該方程的一個(gè)本征函數(shù)，本征值a ik 。dxdbcoskxk sin kx 。 coskx 不是該方程的本征函數(shù)。dxdck0 。 k 是該方程的一個(gè)本征函數(shù)，本征值a0 。d d kx k 。 kx 不是該方程的本征函數(shù)。 dxe d e kx 22kxekx2。 e kx2不是該方程的本征函數(shù)。dx15.已知?jiǎng)恿克惴鹥xi d，

17、試求下列各波函數(shù)所代表的粒子動(dòng)量平均值，a eikx ，dxbe kx2， c coskx ，其中x。d(x)dx( x)p x( x)dx( x)解：動(dòng)量平均值p xidx。( x)( x) dx( x)(x)dxe ikx d eikxdxeikxeikxdxapxidxiikke ikx eikx dxe ikx eikx dxe kx 2 de kx 2dx2 kx2bdx22xe2dx1 2kpxie kx ekx dx2i ke 2kxdx2i k 12 ki 2 kcoskx d coskxdxcoskx sin kxdxcpxidxik0coskxcoskxdxcoskx co

18、skxdx16. 求一維勢(shì)箱粒子的 x2 值。解：一維勢(shì)箱粒子的本征函數(shù)為：n ( x)2 sin n x , 0 xL( n 1,2,3, )LLn ( x)0, x0, x Lx 22Lx2 sin2 nx dx2LL0LLn32nn22L20 xsinxdxx1 cos2x dx3 30n2222L22LnLnLx dxxcos2 xdxn3 303 3 02n2 2n317. 一個(gè)電子被限制在0.1nm 的一維箱中，試估計(jì)其動(dòng)量及速度 的不確定范圍。精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案解：根據(jù)測(cè)不準(zhǔn)原理x ph ，電子被限制在箱中，其位置的不確定性可以認(rèn)為是箱的大小。則ph / x6.62618103

19、424J s/0.1nm6.62618 10 kg m/s電子質(zhì)量為9.1095310 31 kg ，則vp / me6.62618 10 24 kg m/s7.3 106m/s9.1095310-31 kg18.試以一維勢(shì)箱運(yùn)動(dòng)為模型，討論己三烯的電子成鍵。解：n ( x)2n x, 0 x LLsin( n 1,2,3, )Ln ( x)0, x 0, xL下圖所示為己三烯鏈上的電荷分布情況三個(gè)最高峰分別出現(xiàn)在第一, 第三,第五個(gè) C-C鍵上 ,說(shuō)明上述三個(gè)鍵為雙鍵,其余為單鍵 .三個(gè)雙鍵中 ,中間的雙鍵的電荷分布較小 ,說(shuō)明這個(gè)雙鍵的強(qiáng)度小于邊上的雙鍵.19. 一維勢(shì)箱的長(zhǎng)度有L變?yōu)?L

20、m(m2,3,4,) 時(shí)，箱中粒子的能級(jí)和波函數(shù)會(huì)發(fā)生什么變化？解：處于一維勢(shì)箱中粒子的能級(jí)和波函數(shù)為Enn 2 h2和8ML2n ( x)2 sin n x , 0 xL( n1,2,3,)LLn ( x)0, x0, xL當(dāng)勢(shì)箱的長(zhǎng)度縮短時(shí)，其能級(jí)和波函數(shù)分別變?yōu)镋nm2 n 2 h 2和8ML2n ( x)2m sin mn x, 0xL / m( n1,2,3, ) 。LLn ( x)0, x0, xL / m其能級(jí)間隔將變大而波函數(shù)的形式并不發(fā)生變化，但波函數(shù)振幅變大。20. 請(qǐng)用分離變數(shù)方法將三維勢(shì)箱中粒子的波動(dòng)方程化為三個(gè)一維勢(shì)箱中的方程。解：三維勢(shì)箱中粒子的波動(dòng)方程為：精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案22222mx 2y 2z2( x, y, z)E( x, y, z)設(shè) ( x, y, z)(x)( y )(z) ，并代入以上方程，22222mx 2y 2z2( x) ( y ) ( z)E ( x) ( y) ( z)方程兩端同時(shí)除以( x)( y)(z) 得，12 ( x)12 ( y)12( z)2mE/2( x)x2( y)y2( z)z2方程左端每一項(xiàng)只含一個(gè)變量，且三個(gè)變量是無(wú)關(guān)的，所以每一項(xiàng)都等于一個(gè)常數(shù)。設(shè)這三個(gè)常數(shù)為2mEx /2 ， 2mEy /2和2mEz /2，且 EExE yE z ，則三維勢(shì)箱中粒子的波動(dòng)方程化為三個(gè)