第三章 傅里葉變換

1、信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)Signals and Systems第第3章章 傅里葉變換傅里葉變換Signals and Systems3.1 3.1 信號(hào)的正交函數(shù)分解信號(hào)的正交函數(shù)分解3.2 3.2 周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)分析周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)分析3.3 3.3 典型周期信號(hào)的頻譜典型周期信號(hào)的頻譜3.4 3.4 傅里葉變換傅里葉變換3.5 3.5 典型非周期信號(hào)的傅里葉變換典型非周期信號(hào)的傅里葉變換3.6 3.6 傅里葉變換的基本性質(zhì)傅里葉變換的基本性質(zhì)3.7 3.7 周期信號(hào)的傅里葉變換周期信號(hào)的傅里葉變換3.8 3.8 抽樣信號(hào)的傅里葉變換抽樣信號(hào)的傅里葉變換3.9 3.9 時(shí)域抽樣定理時(shí)域

2、抽樣定理3.10 3.10 從抽樣信號(hào)恢復(fù)連續(xù)時(shí)間信號(hào)從抽樣信號(hào)恢復(fù)連續(xù)時(shí)間信號(hào)3.11 3.11 非周期信號(hào)的能量密度譜非周期信號(hào)的能量密度譜中國(guó)民航大學(xué) CAUC3.1 3.1 信號(hào)的正交函數(shù)分解信號(hào)的正交函數(shù)分解則稱則稱f1(t)與與f2(t)在在(t1 ，t2)上上正交。正交。0 0) )d d( () )( (ttftftt21212. 復(fù)變函數(shù)：復(fù)變函數(shù)：若有若有n個(gè)復(fù)變函數(shù)個(gè)復(fù)變函數(shù)fi(t) （i=1，n）在區(qū)間在區(qū)間( t1，t2)上滿足上滿足上正交。在區(qū)間則稱),()(,),(),(2121tttftftfn1. 實(shí)變函數(shù)：實(shí)變函數(shù)：若實(shí)函數(shù)若實(shí)函數(shù)f1(t) 和和f2(t

3、)在在( (t1 ，t2) )上滿足上滿足jikjittftfijtti ,21 0 0) )d d( () )( (* *中國(guó)民航大學(xué) CAUC3.1 3.1 信號(hào)的正交函數(shù)分解信號(hào)的正交函數(shù)分解3. 完備正交函數(shù)集：完備正交函數(shù)集：若若f1(t) ， fn(t) 在區(qū)間在區(qū)間( t1，t2)上上為正交函數(shù)集，不再存在任意函數(shù)為正交函數(shù)集，不再存在任意函數(shù) (t)與其正交，則與其正交，則f1(t) ， fn(t) 稱為稱為完備正交函數(shù)集。完備正交函數(shù)集。1. 三角函數(shù)集三角函數(shù)集: :)sin()cos(tntn, ,( t0，t0 +T ) , ,1 1, ,2 2, , 0n2. 指數(shù)函

4、數(shù)集指數(shù)函數(shù)集: :tnj je e, ,2 2, ,1 1, , 0n( t0，t0 +T ) 3. 抽樣函數(shù)集抽樣函數(shù)集: :4. Walsh函數(shù)集函數(shù)集: : - -S Sa a ntT( - ， ) ( 0，1 ) , ,1 1, ,2 2, , 0n, ,2 2, ,1 1, , 0n) ), ,( (W Wtnal中國(guó)民航大學(xué) CAUC3.1 3.1 信號(hào)的正交函數(shù)分解信號(hào)的正交函數(shù)分解定理定理1 1 若若f1(t) ， fn(t) 在區(qū)間在區(qū)間( t1，t2)上為完備正交函數(shù)上為完備正交函數(shù)集，則在集，則在 ( t1，t2)上滿足上滿足Dirichlet條件的函數(shù)條件的函數(shù) f(

5、t)可以可以表示為以表示為以下的無(wú)窮級(jí)數(shù)：下的無(wú)窮級(jí)數(shù)：.)( .)()()(2211tfctfctfctfrrttfttftfcttkttkkd)(/d)()(2*2121其中其中（傅立葉系數(shù)）（傅立葉系數(shù)）定理定理2 2 若若f(t)可用可用完備正交函數(shù)集完備正交函數(shù)集 f1(t) ， fn(t) 表示，則表示，則ttfcttfnttnnttd)(d)(2122121 （Parserval定理定理）物理意義：物理意義：一個(gè)信號(hào)所含有的能量（功率）恒等于此信號(hào)在完一個(gè)信號(hào)所含有的能量（功率）恒等于此信號(hào)在完備正交函數(shù)集中各分量能量（功率備正交函數(shù)集中各分量能量（功率)之和。之和。中國(guó)民航大學(xué)

6、 CAUC3.2 3.2 周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)分析周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)分析，將信號(hào)表示為不同頻率，將信號(hào)表示為不同頻率的線性組合，為不同信號(hào)之間進(jìn)行比較的線性組合，為不同信號(hào)之間進(jìn)行比較提供了途徑，而且提供了途徑，而且單頻正弦信號(hào)激勵(lì)下的響應(yīng)單頻正弦信號(hào)激勵(lì)下的響應(yīng)的分析在技術(shù)上是很成熟的的分析在技術(shù)上是很成熟的。，已知單頻正弦信號(hào)激勵(lì)下的，已知單頻正弦信號(hào)激勵(lì)下的響應(yīng)，利用響應(yīng)，利用可求得多個(gè)不同頻率可求得多個(gè)不同頻率正弦正弦信號(hào)信號(hào)同時(shí)激勵(lì)下的總響應(yīng)，而且每個(gè)正弦分量同時(shí)激勵(lì)下的總響應(yīng)，而且每個(gè)正弦分量通過(guò)系統(tǒng)后，是衰減還是增強(qiáng)一目了然。通過(guò)系統(tǒng)后，是衰減還是增強(qiáng)一目了然。中國(guó)民航大學(xué) C

7、AUC3.2 3.2 周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)分析周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)分析 周期信號(hào)周期信號(hào)f (t)應(yīng)滿足應(yīng)滿足，即：，即： 絕對(duì)可積，即滿足絕對(duì)可積，即滿足 在在一個(gè)周期一個(gè)周期內(nèi)只有有限個(gè)的不連續(xù)點(diǎn)；內(nèi)只有有限個(gè)的不連續(xù)點(diǎn)； 在在一個(gè)周期一個(gè)周期內(nèi)只有有限個(gè)極大值和極小值。內(nèi)只有有限個(gè)極大值和極小值。條件（條件（1 1） 為充分條件但不是必要條件；為充分條件但不是必要條件； 條件（條件（2 2）（）（3 3）是必要條件但不是充分條件。）是必要條件但不是充分條件。ttfTTd )( 2/2/中國(guó)民航大學(xué) CAUC3.2 3.2 周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)分析周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)分析2/2/1011d

8、)(1TTttfTa其中：)sincos()(1110nnntnbtnaatf2/2/1111)1,2=( d)cos()(2TTnnttntfTa2/2/1111)1,2=( d)sin()(2TTnnttntfTb 1=2 f1= 2 /T1, ,T1為為f(t)的周期。的周期。（直流（直流/平均分量）平均分量）（余弦分量幅度）（余弦分量幅度）（正弦分量幅度）（正弦分量幅度）中國(guó)民航大學(xué) CAUC3.2 3.2 周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)分析周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)分析)sincos()(1110nnntnbtnaatf 1基本角頻率（基本角頻率（基頻基頻）nnnnnnbbaaa0、an、bn傅里葉

9、系數(shù)傅里葉系數(shù)cos(n 1t) 、 sin(n 1t) n次諧波次諧波cos 1t 、 sin 1t 基波基波a0信號(hào)的直流信號(hào)的直流/ /平均分量平均分量中國(guó)民航大學(xué) CAUC3.2 3.2 周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)分析周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)分析)sincos()(1110nnntnbtnaatf110cos)(nnntncctf）（, ,2200nnnbacac nnnabarctg c0稱為信號(hào)的稱為信號(hào)的，c1cos( 1t+ 1)為為基波分量基波分量，cn cos(n 1t+ n) （n1）為為。 c1 0 0，cn 0。 周期信號(hào)可分解為直流、基波和各次諧波的線性組合周期信號(hào)可分解為直

10、流、基波和各次諧波的線性組合。 中國(guó)民航大學(xué) CAUC3.2 3.2 周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)分析周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)分析 例例 求下圖所示周期鋸齒波的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式。求下圖所示周期鋸齒波的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式。已知：已知：tTAtf0)( , 2/2/00TtT 解：解： 220000001TTtdtTATa , 3 , 2 , 1 ) 1(1nnAn傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式為傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式為： tAtAtf112sin2sin0基波基波直流直流諧波諧波0d)cos(22/2/100ooTTnttntTATa2/2/100d)sin(2ooTTnttntTATbA/2-A/2中國(guó)民航大學(xué) CAUC3.2

11、 3.2 周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)分析周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)分析tnnnFtf1j=e )(ttfTFTTtnnde)(1 22 j1111其中其中傅氏系數(shù)傅氏系數(shù)000 caF)0( e)j(21 jnFbaFnnnnn)0( e)j(21 j-nFbaFnnnnn)0( 2121 22ncbaFFnnnnnFnnF* 兩種形式兩種形式傅氏級(jí)數(shù)傅氏級(jí)數(shù)的傅氏系的傅氏系數(shù)之關(guān)系數(shù)之關(guān)系中國(guó)民航大學(xué) CAUC3.2 3.2 周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)分析周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)分析110cos)(nnntncctf）（tnnnFtf1j=e )(tnnntnnnFFFtf11j1j10ee)(tnntnnnFF

12、F11jj10ee) e Re(21j10tnnnFF中國(guó)民航大學(xué) CAUC3.2 3.2 周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)分析周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)分析試計(jì)算圖示周期矩形脈沖信號(hào)的試計(jì)算圖示周期矩形脈沖信號(hào)的展開(kāi)式。展開(kāi)式。解解: 1）指數(shù)形式）指數(shù)形式)2(Sa11nTAtATttfTFtnTTtnnde1de)(122j122j11111tj=111e )2(Sa nnnTAtnnnFtf1j=e )(中國(guó)民航大學(xué) CAUC3.2 3.2 周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)分析周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)分析 2）三角形式）三角形式tnnTATAtfn11111cos)2/(Sa)/2()/()(可得，周期方波信號(hào)的可得，

13、周期方波信號(hào)的展開(kāi)式為展開(kāi)式為)5cos513cos31(cos22)(111tttAAtf若若 =T1/2，則有，則有) e Re(2)(1j10tnnnFFtf由由中國(guó)民航大學(xué) CAUC3.2 3.2 周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)分析周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)分析 求求 Fn 。)4( j)4( j11ee213tttt11j4jj4jee23ee234 j14 j1e23,e23FF1, 0nFn)4cos(3)(1ttf中國(guó)民航大學(xué) CAUC3.2 3.2 周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)分析周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)分析1） f(t)為偶函數(shù)：為偶函數(shù)：f(t)=f(-t)0 nb1120101d)(2TttfTa

14、 f(t)傅氏級(jí)數(shù)展開(kāi)式中，可能含有直流項(xiàng)和傅氏級(jí)數(shù)展開(kāi)式中，可能含有直流項(xiàng)和余弦項(xiàng)，而不含有正弦項(xiàng)。余弦項(xiàng)，而不含有正弦項(xiàng)。20111d)cos()(4TnttntfTa中國(guó)民航大學(xué) CAUC3.2 3.2 周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)分析周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)分析2） f(t)為奇函數(shù)：為奇函數(shù)：f(t)= f(t) f(t)傅氏級(jí)數(shù)展開(kāi)式中，只可能含有正弦項(xiàng)，傅氏級(jí)數(shù)展開(kāi)式中，只可能含有正弦項(xiàng)，而不會(huì)含有直流項(xiàng)和余弦項(xiàng)。而不會(huì)含有直流項(xiàng)和余弦項(xiàng)。20111d)sin()(4TnttntfTb11a0=0an=0中國(guó)民航大學(xué) CAUC3.2 3.2 周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)分析周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)分析

15、21Ttftf為偶數(shù)nttntfTbTn， d)sin()(420111）f(t)為偶諧函數(shù)（偶半波對(duì)稱函數(shù)）：為偶諧函數(shù)（偶半波對(duì)稱函數(shù)）： )(220101TttfTa為偶數(shù)nttntfTaTn, d)cos()(420111 f(t)傅氏級(jí)數(shù)展開(kāi)式中，只含有直流分量和傅氏級(jí)數(shù)展開(kāi)式中，只含有直流分量和偶次諧波，而不含有奇次諧波。偶次諧波，而不含有奇次諧波。 波形移動(dòng)波形移動(dòng) T1/2，與原波形重合，與原波形重合中國(guó)民航大學(xué) CAUC3.2 3.2 周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)分析周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)分析 21Ttftf為奇數(shù)nttntfTbTn， d)sin()(4201114）f(t)為奇諧函

16、數(shù)（奇半波對(duì)稱函數(shù)）：為奇諧函數(shù)（奇半波對(duì)稱函數(shù)）： 00a f(t)傅氏級(jí)數(shù)展開(kāi)式中，只含有奇次諧波，傅氏級(jí)數(shù)展開(kāi)式中，只含有奇次諧波，而不含有直流分量和偶次諧波。而不含有直流分量和偶次諧波。111 波形移動(dòng)波形移動(dòng) T1/2，與原波形橫軸對(duì)稱，與原波形橫軸對(duì)稱為奇數(shù)nttntfTaTn, d)cos()(420111中國(guó)民航大學(xué) CAUC3.2 3.2 周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)分析周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)分析 ：某些信號(hào)：某些信號(hào)波形經(jīng)上下或左右平移后，才呈現(xiàn)出某種波形經(jīng)上下或左右平移后，才呈現(xiàn)出某種)(tf0TT2T3TT2T3A)(tf0TT2T3TT2T32/A去掉去掉后，后， 信號(hào)呈信號(hào)呈

17、，只含，只含有有。 因此該信號(hào)含有因此該信號(hào)含有，。中國(guó)民航大學(xué) CAUC3.2 3.2 周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)分析周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)分析(1) cos)(110nnntncctf）（(2) e )(1j=tnnnFtf 式（式（1）表明，周期信號(hào)）表明，周期信號(hào)f(t)可以分解為可以分解為及及之和。之和。 式（式（2）表明，周期信號(hào)）表明，周期信號(hào)f(t)可以分解為可以分解為之和。之和。 不同的時(shí)域信號(hào)，只是不同的時(shí)域信號(hào)，只是不同，因此可以通過(guò)研究傅里葉級(jí)數(shù)的系不同，因此可以通過(guò)研究傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)數(shù)和各次諧波的相位和各次諧波的相位來(lái)研究信號(hào)的特性。來(lái)研究信號(hào)的特性。中國(guó)民航大學(xué) CAUC

18、3.2 3.2 周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)分析周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)分析 cos)(110nnntncctf）（ e )(1j=tnnnFtf （或（或是頻率是頻率(n 1)的函數(shù)，它反映的函數(shù)，它反映了組成信號(hào)各正弦諧波的幅度和相位隨頻率變化了組成信號(hào)各正弦諧波的幅度和相位隨頻率變化的規(guī)律，稱的規(guī)律，稱。頻譜頻譜函數(shù)函數(shù)幅度譜函數(shù)幅度譜函數(shù)相位譜函數(shù)相位譜函數(shù)中國(guó)民航大學(xué) CAUC3.2 3.2 周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)分析周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)分析 cos)(110nnntncctf）（ e )(1j=tnnnFtf 直接畫(huà)出信號(hào)各次諧波對(duì)應(yīng)的直接畫(huà)出信號(hào)各次諧波對(duì)應(yīng)的c0 、cn及及 n（ 或或Fn）

19、線狀分布線狀分布圖形，這種圖形稱為信號(hào)的圖形，這種圖形稱為信號(hào)的。nnnFFje幅度頻譜幅度頻譜相位頻譜相位頻譜c0、cn n幅度頻譜幅度頻譜相位頻譜相位頻譜單邊譜單邊譜雙邊譜雙邊譜中國(guó)民航大學(xué) CAUC3.2 3.2 周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)分析周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)分析cnc0c1c2c3c4c5c6c7c8c9 13 15 17 19 1 13 15 17 19 1 1. . .3 1.- 1-3 1n 1-n 1 n - 中國(guó)民航大學(xué) CAUC3.2 3.2 周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)分析周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)分析 1. . .3 1.- 1-3 1n 1-n 1 n - 當(dāng)當(dāng)Fn為實(shí)函數(shù)時(shí)為實(shí)函數(shù)

20、時(shí), ,經(jīng)常經(jīng)常將幅度譜和相位譜合畫(huà)將幅度譜和相位譜合畫(huà)在一張圖上。在一張圖上。中國(guó)民航大學(xué) CAUCtnntnntnntnnFFFFn1n111-j-jjj-jjeeeeee3.2 3.2 周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)分析周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)分析 關(guān)系關(guān)系: 實(shí)質(zhì)上是一樣實(shí)質(zhì)上是一樣的的 區(qū)別區(qū)別。)cos(1nntnc中國(guó)民航大學(xué) CAUC3.2 3.2 周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)分析周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)分析周期信號(hào)的頻譜如圖，試寫(xiě)出實(shí)數(shù)形周期信號(hào)的頻譜如圖，試寫(xiě)出實(shí)數(shù)形式的式的Fourier級(jí)數(shù)（級(jí)數(shù)（ 1=1rad/s）。6Fn033699433112240F33F61F92F由圖可知由圖可知tnn

21、nFtf1je)(j3j3j6j6j9j943(ee)(ee)2(ee)tttttt46cos(3 )2cos(6 )4cos(9 )ttt中國(guó)民航大學(xué) CAUC3.2 3.2 周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)分析周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)分析 例例 畫(huà)出信號(hào)畫(huà)出信號(hào)f(t)的幅度譜和相位譜。的幅度譜和相位譜。 42coscos2sin1)(111ttttf解解 1)三角形式三角形式42cos)15. 0cos(51)(11tttf10c00236. 251c15.0112c25. 02cn 13 15 17 1 13 15 1中國(guó)民航大學(xué) CAUC3.2 3.2 周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)分析周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)分

22、析2)指數(shù)形式指數(shù)形式42coscos2sin1)(111ttttf)42()42(1111112122211)(tjtjtjtjtjtjeeeeeejtftjnnneF12215. 0112. 1211jejF15. 0112. 1211jejF10F4221jeF4221jeF 12 1- 1-2 1 12 1- 10.15 -0.15 tjjtjjtjtjeeeeejej1111242421212112111中國(guó)民航大學(xué) CAUC3.2 3.2 周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)分析周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)分析周期信號(hào)的頻譜是由周期信號(hào)的頻譜是由的譜線組成的。的譜線組成的。 信號(hào)周期信號(hào)周期T1越大，越大

23、， 1就越小，則譜線越密。就越小，則譜線越密。反之，反之，T1越小，越小， 1越大，譜線則越疏。越大，譜線則越疏。各次諧波分量的頻率都是基波頻率的整數(shù)倍各次諧波分量的頻率都是基波頻率的整數(shù)倍。中國(guó)民航大學(xué) CAUC3.2 3.2 周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)分析周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)分析中國(guó)民航大學(xué) CAUC3.2 3.2 周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)分析周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)分析幅頻不變，零相位幅頻不變，零相位幅頻為常數(shù)，相位不變幅頻為常數(shù)，相位不變中國(guó)民航大學(xué) CAUC3.2 3.2 周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)分析周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)分析12202222121 d)(111nnnnTTccFttfTP任意周期信號(hào)的

24、平均功率等于信號(hào)所包含的任意周期信號(hào)的平均功率等于信號(hào)所包含的直流、基波以及各次諧波的平均功率之和。直流、基波以及各次諧波的平均功率之和。 隨隨n 1 分布情況稱為周期信分布情況稱為周期信號(hào)的號(hào)的功率頻譜功率頻譜，簡(jiǎn)稱，簡(jiǎn)稱。中國(guó)民航大學(xué) CAUC3.2 3.2 周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)分析周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)分析1111j2jjj2( )2e3e43e2ettttf t 求求f (t)的功率。的功率。40F31F22F422343222222P11( )46cos4cos2f ttt424216214222P中國(guó)民航大學(xué) CAUC3.2 3.2 周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)分析周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)分析

25、用有限次諧波分量來(lái)近似原信號(hào)，用有限次諧波分量來(lái)近似原信號(hào)，過(guò)沖峰值不隨諧波分量增加而減少，過(guò)沖峰值不隨諧波分量增加而減少，且且 。 時(shí)間信號(hào)存在跳變破壞了信號(hào)的收斂性，使得時(shí)間信號(hào)存在跳變破壞了信號(hào)的收斂性，使得在在傅里葉級(jí)數(shù)出現(xiàn)傅里葉級(jí)數(shù)出現(xiàn)。中國(guó)民航大學(xué) CAUC3.2 3.2 周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)分析周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)分析-2-1.5-1-0.500.511.52-0.60.811.2-2-1.5-1-0.500.511.52-0.60.811.2-2-1.5-1-0.500.511.52-0.60.811.2-2-1.5-

26、1-0.500.511.52-0.60.811.2N=5N=15N=50N=500中國(guó)民航大學(xué) CAUC3.3 3.3 典型周期信號(hào)的頻譜典型周期信號(hào)的頻譜T1/2-T1/2221111)(1TTtjnndtetfTF22111dtEeTtjn 13 1- 1-3 1 1=8 =1/20 s，T1=1/4 s22sin111nnTEFn=0.2ESa(n /5) e )(1j=tnnnFtf中國(guó)民航大學(xué) CAUC3.3 3.3 典型周期信號(hào)的頻譜典型周期信號(hào)的頻譜(3) (3) Fn 的最大值出現(xiàn)在的最大值出現(xiàn)在n=0處。處。 xxxsin)(Sa )1(頻譜包絡(luò)服從抽樣函

27、數(shù)E /T1 1=2 /T1 (2) (2) 頻譜具有離散性、諧波性和收斂性。頻譜具有離散性、諧波性和收斂性。 (4) (4) 當(dāng)當(dāng)n 1=2k / 時(shí)（時(shí)（k 0），），F(xiàn)n=0；當(dāng)；當(dāng)n 1=0及及n 1=(2k+1) / 時(shí)（時(shí)（k 0、 1），），F(xiàn)n=極值極值。 111sin22nnEFnT中國(guó)民航大學(xué) CAUC3.3 3.3 典型周期信號(hào)的頻譜典型周期信號(hào)的頻譜(rad/s) 2B(Hz) 1fB（5）02 / 這段頻率范圍稱為周期矩形脈沖信號(hào)的這段頻率范圍稱為周期矩形脈沖信號(hào)的, ,即即 信號(hào)的有效帶寬與信號(hào)時(shí)域的持續(xù)時(shí)間信號(hào)的有效帶寬與信號(hào)時(shí)域的持續(xù)時(shí)間 成反比。即成反比。即

28、越大，其越大，其B 越越??；反之，?。环粗?， 越小，其越小，其B 越大。越大。 若信號(hào)丟失有效帶寬以外的諧波成分，不會(huì)對(duì)信號(hào)產(chǎn)生明若信號(hào)丟失有效帶寬以外的諧波成分，不會(huì)對(duì)信號(hào)產(chǎn)生明顯影響。顯影響。當(dāng)信號(hào)通過(guò)系統(tǒng)時(shí)，信號(hào)與系統(tǒng)的有效帶寬必須當(dāng)信號(hào)通過(guò)系統(tǒng)時(shí)，信號(hào)與系統(tǒng)的有效帶寬必須“匹配匹配”。例如：例如：語(yǔ)音信號(hào)頻率約為語(yǔ)音信號(hào)頻率約為300 3400Hz，音樂(lè)信號(hào)頻率約為音樂(lè)信號(hào)頻率約為50 15,000Hz，擴(kuò)大器與揚(yáng)聲器有效帶寬約為擴(kuò)大器與揚(yáng)聲器有效帶寬約為1520,000Hz。中國(guó)民航大學(xué) CAUCsTs41201) 1 (155nSEFansTs21201)2(11010nSEFan

29、2020nSEFansTs1201) 3(1結(jié)論：結(jié)論：當(dāng)周期當(dāng)周期 1變大時(shí)，變大時(shí)，零分量頻零分量頻率不變：率不變：B 或或Bf不變；不變； 1減小，譜減小，譜線間距減小，譜線變密；有效譜帶線間距減小，譜線變密；有效譜帶內(nèi)諧波分量增多；譜線振幅減小，內(nèi)諧波分量增多；譜線振幅減小，變化緩慢。變化緩慢。（1 1）設(shè)）設(shè)f(t)中的中的 E不變，不變， 不變，當(dāng)周期不變，當(dāng)周期 1變化時(shí)，頻譜如何變化？變化時(shí)，頻譜如何變化？3. 3. 頻譜隨參數(shù)的變化（頻譜隨參數(shù)的變化（1 1）中國(guó)民航大學(xué) CAUC（2 2） 設(shè)設(shè)f(t)中的中的 E不變，周期不變，周期 1不變，不變，當(dāng)當(dāng) 變化時(shí)，頻譜如何變

30、化？變化時(shí)，頻譜如何變化？sTs41201) 1 (155nSEFansTs4181)2(1 22nSEFan結(jié)論：結(jié)論： 增大時(shí)，增大時(shí)， 1不變，譜線間距不變，譜線間距不變；不變；零分量頻率減?。毫惴至款l率減?。築 或或Bf變??；變?。挥行ёV帶內(nèi)諧波分量減少；譜線振幅有效譜帶內(nèi)諧波分量減少；譜線振幅較大，減小變化急速。較大，減小變化急速。 退出3.3 3.3 典型周期信號(hào)的頻譜典型周期信號(hào)的頻譜3. 3. 頻譜隨參數(shù)的變化（頻譜隨參數(shù)的變化（2 2）中國(guó)民航大學(xué) CAUC3.3 3.3 典型周期信號(hào)的頻譜典型周期信號(hào)的頻譜試求周期矩形脈沖信號(hào)在其有效帶寬試求周期矩形脈沖信號(hào)在其有效帶寬（0

31、2 / ）內(nèi)諧波內(nèi)諧波分量所具有的平均功率占整個(gè)信號(hào)平均功率的百分比。分量所具有的平均功率占整個(gè)信號(hào)平均功率的百分比。2181. 0E 55nSEFan 224232221205FFFFFPn1021)(1TdttfTP%5 .90 5PPn40/140/124dtE22 .0E解：解： 中國(guó)民航大學(xué) CAUC3.3 3.3 典型周期信號(hào)的頻譜典型周期信號(hào)的頻譜中國(guó)民航大學(xué) CAUC中國(guó)民航大學(xué) CAUC3.4 3.4 傅里葉變換傅里葉變換1( )lim( )TTf tft e )(1j=tnnnTFtfttfTFTTtnTnde )(1 22 j1111f(t)t0fT(t)T1-T1t0

32、0de )(1lim de )(1limlim j122j1111111ttfTttfTFtTTTtnTTnTnTFlim1中國(guó)民航大學(xué) CAUC3.4 3.4 傅里葉變換傅里葉變換ttfFTFtnTde )(lim)j (j11f(t)的傅里葉變換的傅里葉變換)(lim)(1tftfTTtj=11e limnnnTFtj1=11e2)j (limnnTFd)j (21)(jteFtfT1 , 記記 n 1 = , 1 = 2 /T1 = d , F(j )的傅里葉反變換的傅里葉反變換中國(guó)民航大學(xué) CAUC3.4 3.4 傅里葉變換傅里葉變換de )j (21)(j tFtfttfFde )(

33、)j (tj)j ()()()j (1FFtftfFF)j ()(FtfF或中國(guó)民航大學(xué) CAUC3.4 3.4 傅里葉變換傅里葉變換fFFFTFnfnnTlimlim0012lim)j (1 是單位頻率所具有的信號(hào)頻譜，稱之為非周是單位頻率所具有的信號(hào)頻譜，稱之為非周期信號(hào)的期信號(hào)的，簡(jiǎn)稱，簡(jiǎn)稱。d)j (21)(j teFtf非周期信號(hào)可以分解為無(wú)非周期信號(hào)可以分解為無(wú)數(shù)個(gè)頻率為數(shù)個(gè)頻率為 ，復(fù)振幅為，復(fù)振幅為F(j )/2 d 的的的線性組合。的線性組合。)(| )(|)(jejFjF F(j ) 為為幅度譜幅度譜， ( )為為相位譜相位譜。中國(guó)民航大學(xué) CAUC3.4 3.4 傅里葉變

34、換傅里葉變換nTFTF11lim)j (11)j (nnTFF中國(guó)民航大學(xué) CAUC3.4 3.4 傅里葉變換傅里葉變換ttfd)(中國(guó)民航大學(xué) CAUC3.4 3.4 傅里葉變換傅里葉變換求求F(j )的傅里葉反變換的傅里葉反變換f(t)。 00 F(j ) (j )- 0 0A /2- /2中國(guó)民航大學(xué) CAUC3.5 3.5 典型非周期信號(hào)的傅里葉變換典型非周期信號(hào)的傅里葉變換d d(t)tttFFtde )()()j (jdd10t)(td) 1 (01)j (F均勻譜（白色譜）均勻譜（白色譜）中國(guó)民航大學(xué) CAUC3.5 3.5 典型非周期信號(hào)的傅里葉變換典型非周期信號(hào)的傅里葉變換先

35、求先求d d( )的傅里葉反變換的傅里葉反變換f1(t)。ddd21d)(21 de )(21)(F)(j11ttf )(2 ,21ddEE 對(duì)照對(duì)照、時(shí)頻曲線可看出時(shí)頻曲線可看出: 0t1時(shí)域持續(xù)越寬的信號(hào)，其頻域的頻譜越窄；時(shí)域持續(xù)越寬的信號(hào)，其頻域的頻譜越窄；時(shí)域持續(xù)越窄的信號(hào)，其頻域的頻譜越寬。時(shí)域持續(xù)越窄的信號(hào)，其頻域的頻譜越寬。0)2()j (Ff(t)中國(guó)民航大學(xué) CAUC3.5 3.5 典型非周期信號(hào)的傅里葉變換典型非周期信號(hào)的傅里葉變換d d, ,(t)tttde121)( jdddde )j (21 de21dd)(dd)( jjttttttdj)(Ftf(t)=d d (

36、t)t0( )( - )0 F(j ) 0 ( ) /2- /211-1中國(guó)民航大學(xué) CAUC3.5 3.5 典型非周期信號(hào)的傅里葉變換典型非周期信號(hào)的傅里葉變換，0)(e)(atutfatttfFtde )()j (j為為221)j (aF為為)arctan()(attatdeej0j10)j(e)j(aatat01)(tf0/1)j (F0)(2/2/中國(guó)民航大學(xué) CAUC3.5 3.5 典型非周期信號(hào)的傅里葉變換典型非周期信號(hào)的傅里葉變換為為)j (F222)j (aaF0)(222aa為為tatfta , 0 , e)(-中國(guó)民航大學(xué) CAUC3.5 3.5 典型非周期信號(hào)的傅里葉變換

37、典型非周期信號(hào)的傅里葉變換2/| 02/| )(ttEtf，tEttfFttdede )()j (22jj)2(Sa E(Hz) 1 (rad/s) 2fBB或中國(guó)民航大學(xué) CAUC3.5 3.5 典型非周期信號(hào)的傅里葉變換典型非周期信號(hào)的傅里葉變換)2Sa( )j (EF)2Sa()j (EF時(shí)當(dāng)或時(shí)當(dāng)0)2Sa( ,- 0)2(Sa , 0)(F(j ) ( )中國(guó)民航大學(xué) CAUC3.5 3.5 典型非周期信號(hào)的傅里葉變換典型非周期信號(hào)的傅里葉變換周期信號(hào)的離散頻譜可以通周期信號(hào)的離散頻譜可以通過(guò)對(duì)非周期信號(hào)的連續(xù)頻譜等過(guò)對(duì)非周期信號(hào)的連續(xù)頻譜等間隔取樣求得間隔取樣求得信號(hào)在信號(hào)在時(shí)域有

38、限時(shí)域有限，則在，則在頻域頻域?qū)o(wú)限無(wú)限延續(xù)。延續(xù)。信號(hào)的頻譜分量主要集中在信號(hào)的頻譜分量主要集中在零頻到第一個(gè)過(guò)零點(diǎn)零頻到第一個(gè)過(guò)零點(diǎn)之間，工之間，工程中往往將此寬度作為程中往往將此寬度作為有效帶寬有效帶寬。脈沖寬度脈沖寬度 越窄，有限帶寬越寬，高頻分量越多，即信號(hào)越窄，有限帶寬越寬，高頻分量越多，即信號(hào)信息量大、傳輸速度快，傳送信號(hào)所占用的頻帶越寬。信息量大、傳輸速度快，傳送信號(hào)所占用的頻帶越寬。非周期矩形脈沖信號(hào)的頻譜是連續(xù)頻譜非周期矩形脈沖信號(hào)的頻譜是連續(xù)頻譜，其形狀與周期矩形脈沖信號(hào)，其形狀與周期矩形脈沖信號(hào)離散頻譜離散頻譜的包的包絡(luò)線相似。絡(luò)線相似。中國(guó)民航大學(xué) CAUC3.5

39、3.5 典型非周期信號(hào)的傅里葉變換典型非周期信號(hào)的傅里葉變換Ef(t)tttEtf , 0 , )11 ()()2(Sa )j (2EF F(j )E 2 / 4 / -4 / -2 / 0中國(guó)民航大學(xué) CAUCtEtft , e)(2)(2)2(e )j (EFF(j )EeE2/ -2/ 高斯形高斯形3.5 3.5 典型非周期信號(hào)的傅里葉變換典型非周期信號(hào)的傅里葉變換f(t)EE/20.83 -0.83 t中國(guó)民航大學(xué) CAUC3.5 3.5 典型非周期信號(hào)的傅里葉變換典型非周期信號(hào)的傅里葉變換 000tEetEetftt222EjtetfjFtjd)()(0jd)(teEett0jdtE

40、etjEjE中國(guó)民航大學(xué) CAUC3.5 3.5 典型非周期信號(hào)的傅里葉變換典型非周期信號(hào)的傅里葉變換0101)(sgn)(ttttf0222)(jjFsgn(t)j (F02/2/)(0j2中國(guó)民航大學(xué) CAUC0t)(tu1)j (F0)(2/2/)(0)()(tutf)sgn(2121tdj1)()(F)j (tuF3.5 3.5 典型非周期信號(hào)的傅里葉變換典型非周期信號(hào)的傅里葉變換中國(guó)民航大學(xué) CAUC3.5 3.5 典型非周期信號(hào)的傅里葉變換典型非周期信號(hào)的傅里葉變換f(t)t - EE/2 /2- /206dB點(diǎn)點(diǎn)ttEtf0 , )cos1 (2)(2)(1)(Sa )j (EF

41、 F(j )E 2 / 03 / -2 / -3 / 中國(guó)民航大學(xué) CAUC3.5 3.5 典型非周期信號(hào)的傅里葉變換典型非周期信號(hào)的傅里葉變換 F(j )E 2 / 4 / -4 / -2 / 0 F(j )E 2 / 03 / -2 / -3 / f(t)t - EE/2 /2- /206dB點(diǎn)點(diǎn)。中國(guó)民航大學(xué) CAUC3.6 3.6 傅里葉變換的基本性質(zhì)傅里葉變換的基本性質(zhì)niFtfii,.,2 , 1 )j ()(F，若)j ()(F11iniiiniiFatfa則其中其中ai為常數(shù)為常數(shù), ,n為正整數(shù)為正整數(shù)。)j ()(FFtf若)(2)j (FftF則中國(guó)民航大學(xué) CAUC3.

42、6 3.6 傅里葉變換的基本性質(zhì)傅里葉變換的基本性質(zhì)已知已知d d(t) 1。)2()2()(tutuEtf則則 1 2 d d(- )=2 d d( )。求函數(shù)求函數(shù)Sa(t)=sin(t)/t的傅里葉變換。的傅里葉變換。解：解： 對(duì)于對(duì)于)2(Sa )(F Etf)2()2(2)(2)2Sa( F uuEftE)2()2(2)2( FSa uut則)1() 1()( FSauutFSa(t)中國(guó)民航大學(xué) CAUC3.6 3.6 傅里葉變換的基本性質(zhì)傅里葉變換的基本性質(zhì))2()2(2)2( FSa uut中國(guó)民航大學(xué) CAUC3.6 3.6 傅里葉變換的基本性質(zhì)傅里葉變換的基本性質(zhì)利用利用互

43、易對(duì)稱性互易對(duì)稱性, ,求求F(j )=u( + 0)-u( - 0)對(duì)應(yīng)的時(shí)域信號(hào)對(duì)應(yīng)的時(shí)域信號(hào)f(t)。 例例 。求)( ,1)(jFttf)(sgn j解：解：jt2)(Fsgn)(sgn 22Fjt)(sgn )(jjF中國(guó)民航大學(xué) CAUC3.6 3.6 傅里葉變換的基本性質(zhì)傅里葉變換的基本性質(zhì))( ( )j ()(為實(shí)函數(shù)或者為復(fù)函數(shù)若tfFtfF)j(*)(*FtfF則當(dāng)當(dāng)f(t)為為實(shí)函數(shù)實(shí)函數(shù)時(shí)，有時(shí)，有|F(j )| = |F( j )| ， )j (*)(*FtfF)(je)j ()j (FF)j (j)j (IRFF)j()j(),j()j (IIRRFFFFF(j 為

44、復(fù)數(shù)，可以表示為為復(fù)數(shù)，可以表示為)j()(FtfF中國(guó)民航大學(xué) CAUC3.6 3.6 傅里葉變換的基本性質(zhì)傅里葉變換的基本性質(zhì) F ( )(j )f tF若，1 F ()(j) , f atFaaa則為非零的實(shí)常數(shù)0A2)2(2F0A)(F22)2( tftA44)(21tft0)(tft220A21)21(21F44中國(guó)民航大學(xué) CAUC后語(yǔ)音信號(hào)的變化后語(yǔ)音信號(hào)的變化 f (t) f (1.5t) f (0.5t)00.050.4-0.5-0.4-0.3-0.2-一段語(yǔ)音信號(hào)一段語(yǔ)音信號(hào)(“對(duì)了對(duì)了”) 。

45、抽樣頻率。抽樣頻率 = 22050Hzf(t)f(t/2)f(2t)3.6 3.6 傅里葉變換的基本性質(zhì)傅里葉變換的基本性質(zhì)中國(guó)民航大學(xué) CAUC3.6 3.6 傅里葉變換的基本性質(zhì)傅里葉變換的基本性質(zhì))j ()(F Ftf若0j0e)j ()(F tFttf則式中式中t0為任意實(shí)數(shù)。為任意實(shí)數(shù)。 例例 )1()1()(22tGtGtf解：解：)(Sa 2)(F2tGjjeSaeSajF)(2)(2)(sin)(4Saj。的頻譜求圖示信號(hào))j()(Ftf中國(guó)民航大學(xué) CAUC3.6 3.6 傅里葉變換的基本性質(zhì)傅里葉變換的基本性質(zhì)f(at-t0)和和f(t0-at)。中國(guó)民航大學(xué) CAUC3.

46、6 3.6 傅里葉變換的基本性質(zhì)傅里葉變換的基本性質(zhì)若若 則則 )j ()(FFtf)( j e)(F0j0Ftft式中式中 0為任意實(shí)數(shù)為任意實(shí)數(shù)cos)(0ttfF sin)(0ttfF)( j 21)( j 2100FF)( j 2j)( j 2j00FF中國(guó)民航大學(xué) CAUC3.6 3.6 傅里葉變換的基本性質(zhì)傅里葉變換的基本性質(zhì)Ef(t) /2- /2cos( 0t)2(Sa)j ( EFcos)(F)j (0ttfY)( j 21)( j 2100FF2)(Sa2)(Sa200E試求矩形脈沖信號(hào)試求矩形脈沖信號(hào)f(t)與余弦信號(hào)與余弦信號(hào)cos 0t相乘后信號(hào)相乘后信號(hào)y(t)的的

47、。 中國(guó)民航大學(xué) CAUC3.6 3.6 傅里葉變換的基本性質(zhì)傅里葉變換的基本性質(zhì))2(Sa)j ( EF00()()(j )SaSa222EY 中國(guó)民航大學(xué) CAUC3.6 3.6 傅里葉變換的基本性質(zhì)傅里葉變換的基本性質(zhì) 已知已知F(j )如圖所示，如圖所示，F(xiàn)(j )=FTf(t)，求求f(t)。 0 F(j ) ( )( 0 )t0 ( )( 0 )t0 0 0 c 0 c( 0 c)( 0 c) 0F(j )1 tttSacc00cos)(2解解1:1:00000000jj1( )1 eed1 eed2ccccttttf t中國(guó)民航大學(xué) CAUC3.6 3.6 傅里葉變換的基本性質(zhì)傅

48、里葉變換的基本性質(zhì) 已知已知F(j )如圖所示，如圖所示，F(xiàn)(j )=FTf(t)，求求f(t)。 0 F(j ) ( )( 0 )t0 ( )( 0 )t0 0 0 c 0 c( 0 c)( 0 c) 0F(j )1 0j1j111( )(j )2 eed2ccttf tFF02()ccSatt110( ) (j )( )cos()f tFFf tttttSacc00cos)(2解解2:2: 先求如圖所示先求如圖所示F1(j )的逆變換的逆變換f1(t)。 0 1( ) t0 c cF1(j )2中國(guó)民航大學(xué) CAUC3.6 3.6 傅里葉變換的基本性質(zhì)傅里葉變換的基本性質(zhì)若若則則)j ()

49、(FFtf)j ()j (d)(dFFttf)j ()j (d)(dFFttfnnn 已知已知Fu(t)=1/j + d d( )，利用，利用“時(shí)域微分特性時(shí)域微分特性”求求d d(t)、d d (t)及及d d(n)(t)的傅里葉變換。的傅里葉變換。中國(guó)民航大學(xué) CAUC3.6 3.6 傅里葉變換的基本性質(zhì)傅里葉變換的基本性質(zhì)試?yán)迷嚴(yán)们缶匦蚊}沖信號(hào)的頻譜函數(shù)。求矩形脈沖信號(hào)的頻譜函數(shù)。 0(A)2/t2/)( tf(A)(E)(-E) )2()2()( ddtEtEtf2j2jee)( EEtfF)j ()j ()( FtfF)2(Sa )2sin(2)j (EEF由上式利用由上式利用，

50、得，得)2sin(j2 E)2sin(j2 E（這一步運(yùn)算應(yīng)注意?。ㄟ@一步運(yùn)算應(yīng)注意！）中國(guó)民航大學(xué) CAUC3.6 3.6 傅里葉變換的基本性質(zhì)傅里葉變換的基本性質(zhì)1）若信號(hào)若信號(hào)f(t)的面積為的面積為0，即，即F F(0)=0(0)=0)j ()(F Ftf若)()0(j)(jd)(F dFFft則j)j (d)(F Fft則)(d)(F)(F)j ( ftfFtf)()(2)()0(j)j ( 11ddfFF 2）)(F)j ( ),(d)()( 1tFftffft中國(guó)民航大學(xué) CAUC3.6 3.6 傅里葉變換的基本性質(zhì)傅里葉變換的基本性質(zhì)已知三角脈沖信號(hào)已知三角脈沖信號(hào) 2/ ,

51、 02/ , 21 ()(tttEtf f(t)t0 /2- /2t0 /2- /2t0 /2- /2Ef (t)2E/ -2E/ f (t) (2E/ )(2E/ )(-4E/ ) )2/(2)(4)2/(2)(ddd tEtEtEtf2/2/ 2242 )(F)(jjeEEeEtjFf)j ()j (2F)4(Sa2)j ()j ()j (222EFF為什么能如此處理？為什么能如此處理？ 中國(guó)民航大學(xué) CAUC3.6 3.6 傅里葉變換的基本性質(zhì)傅里葉變換的基本性質(zhì)求下圖所示截平斜變信號(hào)求下圖所示截平斜變信號(hào)f(t)的頻譜的頻譜F(j )。 000 , 10 , /0 , 0)(ttttt

52、tttf f(t)tt001f (t)tt001/t0tt00f (t)(1/t0)(-1/t0)(1)(1)(000ttttttf dd)e1 (1)(0j -02ttjF)j ()j (2F22)j ()j ()j (FF能如此處理嗎？能如此處理嗎？ 中國(guó)民航大學(xué) CAUC3.6 3.6 傅里葉變換的基本性質(zhì)傅里葉變換的基本性質(zhì)求下圖求下圖f(t)的頻譜的頻譜F(j )。 f(t)t1120)(3e )2Sa(1)j (2 / j -djF中國(guó)民航大學(xué) CAUC3.6 3.6 傅里葉變換的基本性質(zhì)傅里葉變換的基本性質(zhì)若若F(j )中不含中不含d d( )，則可利用時(shí)域微分定理得到：，則可利

53、用時(shí)域微分定理得到：F(j )=Fn(j )/(j )n;若若F(j )中含有中含有d d( )，則利用時(shí)域積分定理由，則利用時(shí)域積分定理由Fn(j )求得求得F(j )。 若已知若已知f(n)(t)的頻譜為的頻譜為Fn(j )，現(xiàn)欲利用，現(xiàn)欲利用Fn(j )求求f(t)的的頻譜頻譜F(j )。利用微分信號(hào)的頻譜，求原函數(shù)頻譜的步驟利用微分信號(hào)的頻譜，求原函數(shù)頻譜的步驟 111(j ) (j )(0) ( )2() ( ), jFjFFFfFftd d ，中國(guó)民航大學(xué) CAUC3.6 3.6 傅里葉變換的基本性質(zhì)傅里葉變換的基本性質(zhì)若若)j ()(FFtfnnnnFtftd)j (dj)(Fd

54、)j (dj)(F Ftft則試求試求的的。dj1)()(tuFj1)(ddj)(dttuF故利用故利用可得可得:21)(jd 中國(guó)民航大學(xué) CAUC3.6 3.6 傅里葉變換的基本性質(zhì)傅里葉變換的基本性質(zhì)若若)j ()(FFtf)0( d)(j)(F fFttf則證明下列傅氏變換對(duì)成立。證明下列傅氏變換對(duì)成立。21- )2()sgn(j1 ) 1 (tt若若Ff(t)=F(j )，試求，試求(1-t)f(1-t)的頻譜。的頻譜。中國(guó)民航大學(xué) CAUC3.6 3.6 傅里葉變換的基本性質(zhì)傅里葉變換的基本性質(zhì))j ()(F , )j ()(F 2211FtfFtf若)j ()j ()()(F 2

55、121FFtftf則)j ()(F , )j ()(F 2211FtfFtf若)j ()j (21)()(F 2121FFtftf則 卷積定理揭示了時(shí)域與頻域的運(yùn)算關(guān)系，在通信、信息卷積定理揭示了時(shí)域與頻域的運(yùn)算關(guān)系，在通信、信息傳輸?shù)裙こ填I(lǐng)域中具有重要理論意義和應(yīng)用價(jià)值傳輸?shù)裙こ填I(lǐng)域中具有重要理論意義和應(yīng)用價(jià)值。中國(guó)民航大學(xué) CAUC3.6 3.6 傅里葉變換的基本性質(zhì)傅里葉變換的基本性質(zhì)求如圖所示信號(hào)求如圖所示信號(hào)f(t)的頻譜的頻譜F(j )。f(t)t0 /2- /2Eg(t)t0 /4- /4/2Eg(t)t0 /4- /4/2E*)()()(tgtgtf)4(Sa2)(F)(F)j

56、 (2EtgtgF)4Sa( 2/)4(Sa2/2)(FEEtg 中國(guó)民航大學(xué) CAUC3.6 3.6 傅里葉變換的基本性質(zhì)傅里葉變換的基本性質(zhì)計(jì)算其計(jì)算其。25()2( )eed ,(2)ttf tt 25()2( )eedttf t)(e*)2(e52tututt利用利用Fourier變換的變換的可得可得25(j )e(2) e( )ttFFu tFu t10j7)(je5j12jee242 j2 j4中國(guó)民航大學(xué) CAUC3.6 3.6 傅里葉變換的基本性質(zhì)傅里葉變換的基本性質(zhì)RCe(t)vc(t)+ + 利用頻域卷積定理，求矩形脈沖信號(hào)利用頻域卷積定理，求矩形脈沖信號(hào)f(t)與余弦信與

57、余弦信號(hào)號(hào)cos 0t相乘后信號(hào)相乘后信號(hào)y(t)的的。 Ef(t) /2- /2cos( 0t)中國(guó)民航大學(xué) CAUC3.6 3.6 傅里葉變換的基本性質(zhì)傅里葉變換的基本性質(zhì)( )( )1(1) 2 j( ) ;!(2) ( ) j( )(j )nnnnnnntnt u tdd中國(guó)民航大學(xué) CAUC： 非周期信號(hào)的頻譜與周期信號(hào)的頻譜的區(qū)別非周期信號(hào)的頻譜與周期信號(hào)的頻譜的區(qū)別 非周期信號(hào)非周期信號(hào) 非周期信號(hào)頻譜的分析方法：非周期信號(hào)頻譜的分析方法： 應(yīng)用常用應(yīng)用常用與與：調(diào)制、解調(diào)，頻分復(fù)用：調(diào)制、解調(diào)，頻分復(fù)用3.6 3.6 傅里葉變換的基本性質(zhì)傅里葉變換的基本性質(zhì)中國(guó)民航大學(xué) CAU

58、C3.7 3.7 周期信號(hào)的傅里葉變換周期信號(hào)的傅里葉變換11j-je , e ()ttt )(2eF1e F1jj11dtt)(2eF1e F1-jj11dtt中國(guó)民航大學(xué) CAUC3.7 3.7 周期信號(hào)的傅里葉變換周期信號(hào)的傅里葉變換)()( )ee (21cos11jj111ddFttt中國(guó)民航大學(xué) CAUC3.7 3.7 周期信號(hào)的傅里葉變換周期信號(hào)的傅里葉變換)()(j)ee (j21sin11jj111ddFttt 1- 1中國(guó)民航大學(xué) CAUC3.7 3.7 周期信號(hào)的傅里葉變換周期信號(hào)的傅里葉變換tnnnFtf1je)(e)j ()(1jtnnnFFFtfF)(2)(1dnF

59、tfFnn)2(11Te F1jtnnnF) )(F)j ( ( )j (1de )(10001j -2211111tfFFTttfTFntnTTnf(t)T1-T1t0 f0(t)中國(guó)民航大學(xué) CAUC3.7 3.7 周期信號(hào)的傅里葉變換周期信號(hào)的傅里葉變換周期信號(hào)頻譜的沖激的幅度為無(wú)窮大，它周期信號(hào)頻譜的沖激的幅度為無(wú)窮大，它表明在無(wú)窮小的頻帶范圍內(nèi)（即諧頻點(diǎn)）取得無(wú)窮表明在無(wú)窮小的頻帶范圍內(nèi)（即諧頻點(diǎn)）取得無(wú)窮大的頻譜值。大的頻譜值。周期信號(hào)的頻譜是由一些沖激函數(shù)所組成的離周期信號(hào)的頻譜是由一些沖激函數(shù)所組成的離散譜，這些沖激位于信號(hào)的諧頻（散譜，這些沖激位于信號(hào)的諧頻（0， 1， 2，

60、）處，每個(gè)沖激的強(qiáng)度等于）處，每個(gè)沖激的強(qiáng)度等于f(t)的傅氏級(jí)數(shù)相的傅氏級(jí)數(shù)相應(yīng)系數(shù)應(yīng)系數(shù)Fn的的2 倍倍。中國(guó)民航大學(xué) CAUC3.7 3.7 周期信號(hào)的傅里葉變換周期信號(hào)的傅里葉變換)(2)(F1dnFtfnn中國(guó)民航大學(xué) CAUC3.7 3.7 周期信號(hào)的傅里葉變換周期信號(hào)的傅里葉變換nTnTtt)()(1ddntnTTt1j1e1)(dnTnt)()(F11dd中國(guó)民航大學(xué) CAUC3.7 3.7 周期信號(hào)的傅里葉變換周期信號(hào)的傅里葉變換d d(t)d dT(t)d dT(t)000000ttt 1Ff0(t)=F0(j )T12T1-T1-2T1(1)(1)(1)T12T1-T1-