龔漫奇高階線性微分方程

1、7.6 高階線性微分方程高階線性微分方程(P329)(P329)形如形如行行倒數(shù)第倒數(shù)第)7331( P)()()()()(1)2(2)1(1)(xfyxPyxPyxPyxPynnnnn .階線性微分方程階線性微分方程的方程稱為的方程稱為n中講過，中講過，的情形已在的情形已在)314(4 . 71Pn .1階線性微分方程階線性微分方程時(shí)就是高時(shí)就是高 n.主主要要講講二二階階方方程程;,0)()14331(稱稱為為齊齊次次線線性性微微分分方方程程時(shí)時(shí)行行倒倒數(shù)數(shù) xfP.,0)()13331(稱稱為為非非齊齊次次線線性性方方程程時(shí)時(shí)行行倒倒數(shù)數(shù) xfP)331(. 1P線線性性微微分分方方程程

2、解解的的結(jié)結(jié)構(gòu)構(gòu))41,(的綜合的綜合是定理是定理書上無書上無廣義疊加原理廣義疊加原理定理定理 分別是方程分別是方程、設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)21yy)1()()()(1 xfyxQyxPy)2()()()(2 xfyxQyxPy是方程是方程為任意常數(shù)為任意常數(shù)則則),(212211CCyCyCy )3()()()()(2211 xfCxfCyxQyxPy.的的解解分別為分別為、由于由于證明證明21yy的解，的解，和和)2()1( ，)()()(1111xfyxQyxPy ，)()()(2222xfyxQyxPy 的解，的解，)()()(221122112211yCyCxQyCyCxPyCyC )()(1

3、111yxQyxPyC)()(2222yxQyxPyC )()(2211xfCxfC .)3(2211的解的解是式是式故故 yCyCy上述上述時(shí)時(shí)問題：當(dāng)問題：當(dāng),0)()(21 xfxf2211yCyCy 通解？答：通解？答：解解的的是否為是否為)2?()1(0)()( yxQyxPy)2.()1( 是是.不一定不一定)(廣義疊加原理廣義疊加原理定理定理分別是方程分別是方程、設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)21yy)1()()()(1 xfyxQyxPy)2()()()(2 xfyxQyxPy是方程是方程為任意常數(shù)為任意常數(shù)則則),(212211CCyCyCy )3()()()()(2211 xfCxfCyxQ

4、yxPy.的的解解的解，的解，上述上述時(shí)時(shí)問題：當(dāng)問題：當(dāng),0)()(21 xfxf2211yCyCy 131212211210yCyCCyyCyCyyy ）（時(shí)，時(shí)，如如.所以不是通解所以不是通解只含有一個(gè)任意常數(shù)，只含有一個(gè)任意常數(shù)，,21要滿足什么條件要滿足什么條件那么那么yy才能是通解呢？才能是通解呢？2211yCyCy .清清是是不不是是通通解解只只能能說說一一定定是是解解，說說不不通解？答：通解？答：解解的的是否為是否為)2?()1(0)()( yxQyxPy)2.()1( 是是.不一定不一定)(廣義疊加原理廣義疊加原理定理定理分別是方程分別是方程、設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)21yy)1()()

5、()(1 xfyxQyxPy)2()()()(2 xfyxQyxPy是方程是方程為任意常數(shù)為任意常數(shù)則則),(212211CCyCyCy )3()()()()(2211 xfCxfCyxQyxPy.的的解解的解，的解，,21要滿足什么條件要滿足什么條件那么那么yy才能是通解呢？才能是通解呢？2211yCyCy 但但的解的解是是,)0( )0(0)()( yxQyxPy則則的解的解是是設(shè)設(shè),)0(,21 yy.不不一一定定是是通通解解2211yCyCy 性性無無關(guān)關(guān)的的概概念念：關(guān)關(guān)于于函函數(shù)數(shù)線線性性相相關(guān)關(guān)與與線線行行第第)10332(P個(gè)函數(shù)，個(gè)函數(shù)，上的上的為區(qū)間為區(qū)間）（設(shè)設(shè)nIxyx

6、yxyn)(, )(,21的的常常數(shù)數(shù)不不全全為為如如果果0 0)()()(2211 xykxykxyknn.,否否則則稱稱它它們們線線性性無無關(guān)關(guān)上上線線性性相相關(guān)關(guān)個(gè)個(gè)函函數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)間間則則稱稱這這In時(shí)，恒有時(shí)，恒有使得當(dāng)使得當(dāng)Ixkkkn ,21)(廣義疊加原理廣義疊加原理定理定理分別是方程分別是方程、設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)21yy)1()()()(1 xfyxQyxPy)2()()()(2 xfyxQyxPy是方程是方程為任意常數(shù)為任意常數(shù)則則),(212211CCyCyCy )3()()()()(2211 xfCxfCyxQyxPy.的的解解的解，的解，個(gè)函數(shù)，個(gè)函數(shù)，上的上的為區(qū)間為區(qū)間

7、）（設(shè)設(shè)nIxyxyxyn)(, )(,21的的常常數(shù)數(shù)不不全全為為如如果果0 0)()()(2211 xykxykxyknn.,否否則則稱稱它它們們線線性性無無關(guān)關(guān)上上線線性性相相關(guān)關(guān)個(gè)個(gè)函函數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)間間則則稱稱這這In時(shí)，恒有時(shí)，恒有使得當(dāng)使得當(dāng)Ixkkkn ,21)0(0)()( yxQyxPy是是如如定理定理21,:)332(2yyP的的解解且且)0( (/21常數(shù)常數(shù)yy.)0(2211的通解的通解是是則則 yCyCy),21線性無關(guān)線性無關(guān)yy由廣義疊加原理由廣義疊加原理證證:,)0(2211的解的解是是 yCyCy,21線性無關(guān)線性無關(guān)又又yy.得證得證數(shù)數(shù)含有兩個(gè)無關(guān)的任意

8、常含有兩個(gè)無關(guān)的任意常)(廣義疊加原理廣義疊加原理定理定理分別是方程分別是方程、設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)21yy)1()()()(1 xfyxQyxPy)2()()()(2 xfyxQyxPy是方程是方程為任意常數(shù)為任意常數(shù)則則),(212211CCyCyCy )3()()()()(2211 xfCxfCyxQyxPy.的的解解的解，的解，)0(0)()( yxQyxPy是是如如定理定理21,:)326(2yyP的的解解且且)0( (/21常數(shù)常數(shù)yy.)0(2211的通解的通解是是則則 yCyCy),21線性無關(guān)線性無關(guān)yy)0(0)()()()(1)2(2)1(1)( nyxPyxPyxPyxPynn

9、nnn:)333(推推論論P(yáng)構(gòu)）構(gòu)）（齊次線性方程通解結(jié)（齊次線性方程通解結(jié)個(gè)線性無關(guān)的解，個(gè)線性無關(guān)的解，）的）的是齊次方程（是齊次方程（如果如果nnyyyn0,21 .)0(2211的通解的通解是是則則 nyCyCyCynn性無關(guān)的概念：性無關(guān)的概念：關(guān)于函數(shù)線性相關(guān)與線關(guān)于函數(shù)線性相關(guān)與線行行第第)10331(P個(gè)函數(shù)，個(gè)函數(shù)，上的上的為區(qū)間為區(qū)間）（設(shè)設(shè)nIxyxyxyn)(, )(,21的的常常數(shù)數(shù)不不全全為為如如果果0 0)()()(2211 xykxykxyknn.,否否則則稱稱它它們們線線性性無無關(guān)關(guān)上上線線性性相相關(guān)關(guān)個(gè)個(gè)函函數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)間間則則稱稱這這In時(shí)，恒有時(shí)，恒有使

10、得當(dāng)使得當(dāng)Ixkkkn ,21線性無關(guān)，線性無關(guān)，不恒為常數(shù)，故不恒為常數(shù)，故例如，由于例如，由于xxxxcos,sincos/sin.cos,sin, 10cossin12222線性相關(guān)線性相關(guān)，可知，可知又由又由xxxx )(廣義疊加原理廣義疊加原理定理定理分別是方程分別是方程、設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)21yy)1()()()(1 xfyxQyxPy)2()()()(2 xfyxQyxPy是方程是方程為任意常數(shù)為任意常數(shù)則則),(212211CCyCyCy )3()()()()(2211 xfCxfCyxQyxPy.的的解解的解，的解，)0(0)()( yxQyxPy)()()()( xfyxQyxP

11、y3)333(定定理理P)(構(gòu)構(gòu)非齊次線性方程通解結(jié)非齊次線性方程通解結(jié)的通解，的通解，是齊次方程是齊次方程如果如果)0( y的特解，的特解，是非齊次方程是非齊次方程)( *y.)(的通解的通解是非齊次方程是非齊次方程則則 *yyy非齊特解非齊特解齊次通解齊次通解解解此定理簡稱為：非齊通此定理簡稱為：非齊通 由廣義疊加原理由廣義疊加原理證證:,)(*的解的解是是 yyy.得證得證數(shù)數(shù)含有兩個(gè)無關(guān)的任意常含有兩個(gè)無關(guān)的任意常又又y補(bǔ)補(bǔ)充充推推論論：21, yy果果如如的解，的解，都是非齊次方程都是非齊次方程)( .)0(21的解的解齊次方程齊次方程是是則則 yyy)(廣義疊加原理廣義疊加原理定理

12、定理分別是方程分別是方程、設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)21yy)1()()()(1 xfyxQyxPy)2()()()(2 xfyxQyxPy是方程是方程為任意常數(shù)為任意常數(shù)則則),(212211CCyCyCy )3()()()()(2211 xfCxfCyxQyxPy.的的解解的解，的解，（俠俠義義疊疊加加原原理理）定定理理4)334(P21, yy果果如如的解，的解，和和分別是方程分別是方程)2()1( 是是則則21yyy .)()()()(21的解的解xfxfyxQyxPy ., 1:21得證得證令廣義疊加原理中的令廣義疊加原理中的證證 CC)0(0)()( yxQyxPy)()()()( xfyxQy

13、xPy., 1:21得證得證令廣義疊加原理中的令廣義疊加原理中的證證 CC10).4(1)(360. 3),8)(7(1337 下下面面作作業(yè)業(yè)：PP)(.)4(13531理理提提示示：每每一一步步都都要要用用定定的的結(jié)結(jié)論論：證證明明補(bǔ)補(bǔ)充充作作業(yè)業(yè) P補(bǔ)補(bǔ)充充推推論論：21, yy果果如如都是非齊次方程的解，都是非齊次方程的解，.21齊次方程的解齊次方程的解是是則則yyy 11對二階線性非齊次方程對二階線性非齊次方程 )()()(xfyxQyxPy 情形情形1 1 )()(2211xyCxyCy 設(shè)設(shè)(3)的解為的解為 )()()()(2211xvxyxvxyy 由于有設(shè)了兩個(gè)未知數(shù)由于有

14、設(shè)了兩個(gè)未知數(shù), (3)(4)已知對應(yīng)齊次方程通解為已知對應(yīng)齊次方程通解為 2211vyvyy 2211vyvy (v1(x), v2(x)待定待定)* *三、常數(shù)變易法三、常數(shù)變易法(P334)(P334)代入代入(3)后得到一個(gè)方程，后得到一個(gè)方程， 所以可以規(guī)定它們再滿足一個(gè)方程所以可以規(guī)定它們再滿足一個(gè)方程(P335第第3行行):2211vyvyy ,21vvy 中不含中不含為使為使令令02211 vyvy于是于是22112211vyvyvyvyy 將以上結(jié)果代入方程將以上結(jié)果代入方程 (3), 2211vyvy 1111)(vyQyPy )()(2222xfvyQyPy 得得)(22

15、11xfvyvy (6)故故(5),(6)的系數(shù)行列式的系數(shù)行列式, 02121 yyyyW y1, y2是對應(yīng)是對應(yīng)齊次方程的解齊次方程的解(5) 因因y1, y2線性無關(guān)線性無關(guān),)3()()()(xfyxQyxPy 2211vyvyy 2211vyvy 00,1012221fyWyfyWv .112fyWv 2211vyvyy ”無關(guān)無關(guān)“0,21 Wyy:的證明的證明0 W否則否則 00212121kkyyyy解解的非的非有關(guān)于有關(guān)于0 021,kk02211 ykyk矛盾矛盾相關(guān)相關(guān),21yyfyWvfyWv12211,1 積分積分, 得得 ,d121CxWfyv 代入代入(3)的解

16、的解設(shè)設(shè)中中,2211yCyCy 結(jié)論結(jié)論(P329-19(P329-19行行) ) )3()()()(xfyxQyxPy .d212CxWfyv 設(shè)設(shè)(3)的解為的解為 )()()()(2211xvxyxvxyy xWfyyd21 .d12xWfyy 即得即得非齊次方程的通解非齊次方程的通解;2211yCyCy 已知已知 的通解為的通解為 0)()( yxQyxPy)()()(xfyxQyxPy 則則 的通解為的通解為 .2121yyyyW 其中其中)(中中不不再再帶帶有有任任意意常常數(shù)數(shù)”“ ,e21xCxCY 例例0)1( yyxyx的通解為的通解為解解 1111 xyxyxxy已知齊次

17、方程已知齊次方程.)1()1(2的通解的通解求求 xyyxyx將所給方程化為將所給方程化為2211yCyCy 利用公式利用公式 xWfyyd21 .d12xWfyy ;2211yCyCy 已知已知 的通解為的通解為 0)()( yxQyxPy)()()(xfyxQyxPy 則則 的通解為的通解為 .2121yyyyW 其中其中,)(,)(21 yyxfxP本題本題1 xx1 xxxe )()(xxexex W,xxexe xdWfy2 xdexexexxx)1(, x xdWfy1xdexxxx )1()1( )(xedx dxexexx),1( xex)1(221 xxeCxCyx所求所求.

18、 7338 P作作業(yè)業(yè)：2211yCyCy 利用公式利用公式 xWfyyd21 .d12xWfyy ;2211yCyCy 已知已知 的通解為的通解為 0)()( yxQyxPy)()()(xfyxQyxPy 則則 的通解為的通解為 .2121yyyyW 其中其中).(22111是是其其通通解解故故無無關(guān)關(guān)的的另另一一解解是是該該方方程程與與yCyCyy 結(jié)論結(jié)論2(2(隱含于隱含于P336-P336-倒倒3 3行行) ) xdeyyyPdx 21121;1y已知已知 的非零解為的非零解為 )1(0)()( yxQyxPy則則 證明證明,)()(11uyxyxuy 令令代入代入 (1)并化簡并化簡, 得得 uyPyuy)2(111uyQyPy)(111 0 uz 令令0)2(111 zyPyzy一階線性方程一階線性方程0 1111112,yuyuyuyyuyuyuyyCdxQeeyQPyyPdxPdxx 的的通通解解為為： 1C取取 dxPyyezu)2(11 uyyyeyPdx12211xdeyyPdx 2111)(劉維爾公式劉維爾公式. 5338 P作作業(yè)業(yè)：).(22111是是其其通通解解故故無無關(guān)關(guān)的的另另一一解解是是該該方方程程與與yCyCyy xdeyyyPdx 21121;1y已知已知 的非零解為的非零解為 )1(0)()( yxQyxPy則則 利用公式