第七節(jié)常系數(shù)齊次線性微分方程

1、二階常系數(shù)齊次線性微分方程二階常系數(shù)齊次線性微分方程second order homogeneour linear differential equation with constant coefficient二階變系數(shù)齊次線性微分方程二階變系數(shù)齊次線性微分方程 second order homogeneous linear differential equation with variable coefficient 特征方程特征方程 characteristic equation 常系數(shù) 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第七節(jié)齊次線性微分方程 基本思路: 求解常系數(shù)線性齊次微分方程 求

2、特征方程(代數(shù)方程)之根轉(zhuǎn)化 第七章 一、定義)(1)1(1)(xfyPyPyPynnnn n階常系數(shù)線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式階常系數(shù)線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式0 qyypy二階常系數(shù)齊次線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式二階常系數(shù)齊次線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式)(xfqyypy 二階常系數(shù)非齊次線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式二階常系數(shù)非齊次線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式二、二階常系數(shù)齊次線性方程解法-特征方程法特征方程法,rxey 設(shè)設(shè)將其代入上方程將其代入上方程, 得得0)(2 rxeqprr, 0 rxe故有故有02 qprr特征方程特征方程,2422,1qppr 特征根特征根0 qyypy 有兩個(gè)不相等的實(shí)根有兩個(gè)不相等的實(shí)根,2421q

3、ppr ,2422qppr ,11xrey ,22xrey 兩個(gè)線性無關(guān)的特解兩個(gè)線性無關(guān)的特解得齊次方程的通解為得齊次方程的通解為;2121xrxreCeCy )0( 特征根為特征根為 有兩個(gè)相等的實(shí)根有兩個(gè)相等的實(shí)根,11xrey ,221prr )0( 一特解為一特解為得齊次方程的通解為得齊次方程的通解為;)(121xrexCCy 代入原方程并化簡，代入原方程并化簡，將將222yyy , 0)()2(1211 uqprrupru, 0 u知知,)(xxu 取取,12xrxey 則則,)(12xrexuy 設(shè)設(shè)另另一一特特解解為為特征根為特征根為 有一對共軛復(fù)根有一對共軛復(fù)根,1 jr ,

4、2 jr ,)(1xjey ,)(2xjey )0( 重新組合重新組合)(21211yyy ,cos xex )(21212yyjy ,sin xex 得齊次方程的通解為得齊次方程的通解為).sincos(21xCxCeyx 特征根為特征根為定義定義 由常系數(shù)齊次線性方程的特征方程的根由常系數(shù)齊次線性方程的特征方程的根確定其通解的方法稱為確定其通解的方法稱為特征方程法特征方程法. .044的通解的通解求方程求方程 yyy解解特征方程為特征方程為,0442 rr解得解得,221 rr故所求通解為故所求通解為.)(221xexCCy 例例1 1.052的通解的通解求方程求方程 yyy解解特征方程為

5、特征方程為,0522 rr解得解得,2121jr ，故所求通解為故所求通解為).2sin2cos(21xCxCeyx 例例2 2三、n階常系數(shù)齊次線性方程解法01)1(1)( yPyPyPynnnn特征方程為特征方程為0111 nnnnPrPrPr特征方程的根特征方程的根通解中的對應(yīng)項(xiàng)通解中的對應(yīng)項(xiàng)rk重重根根若若是是rxkkexCxCC)(1110 jk復(fù)復(fù)根根重重共共軛軛若若是是xkkkkexxDxDDxxCxCC sin)(cos)(11101110注意注意n次代數(shù)方程有次代數(shù)方程有n個(gè)根個(gè)根, 而特征方程的每一個(gè)而特征方程的每一個(gè)根都對應(yīng)著通解中的一項(xiàng)根都對應(yīng)著通解中的一項(xiàng), 且每一項(xiàng)

6、各一個(gè)且每一項(xiàng)各一個(gè)任意常數(shù)任意常數(shù).nnyCyCyCy 2211特征根為特征根為, 154321jrrjrrr 故所求通解為故所求通解為.sin)(cos)(54321xxCCxxCCeCyx 解解, 01222345 rrrrr特征方程為特征方程為, 0)1)(1(22 rr.022)3()4()5(的通解的通解求方程求方程 yyyyyy例例3 3四、小結(jié)二階常系數(shù)齊次微分方程求通解的一般步驟二階常系數(shù)齊次微分方程求通解的一般步驟:（1）寫出相應(yīng)的特征方程）寫出相應(yīng)的特征方程;（2）求出特征根）求出特征根;（3）根據(jù)特征根的不同情況）根據(jù)特征根的不同情況,得到相應(yīng)的通解得到相應(yīng)的通解. (見下表見下表)02 qprr0 qyypy 特征根的情況特征根的情況 通解的表達(dá)式通解的表達(dá)式實(shí)根實(shí)根21rr 實(shí)根實(shí)根21rr 復(fù)根復(fù)根 ir 2, 1xrxreCeCy2121 xrexCCy2)(21 )sincos(21xCxCeyx 作業(yè)作業(yè) P340 1 ; 2; 思考題思考題求微分方程求微分方程 的通解的通解. yyyyyln