第七章 平面彎曲桿件

1、第七章第七章 平面彎曲桿件平面彎曲桿件7-1 截面的幾何性質(zhì)截面的幾何性質(zhì)7-2 平面彎曲桿件的內(nèi)力平面彎曲桿件的內(nèi)力 7-3 彎曲應(yīng)力和強度彎曲應(yīng)力和強度 7-4 拉壓與彎曲組合變形桿件的應(yīng)力和強度拉壓與彎曲組合變形桿件的應(yīng)力和強度一一、彎曲的概念和梁的計算簡圖、彎曲的概念和梁的計算簡圖 1、彎曲、彎曲：在垂直于桿軸線的平衡力系的作用下，桿的軸線在變形后成：在垂直于桿軸線的平衡力系的作用下，桿的軸線在變形后成為曲線的變形形式。為曲線的變形形式。 2、梁、梁：主要承受垂直于軸線荷載的桿件主要承受垂直于軸線荷載的桿件 軸線是直線的稱為軸線是直線的稱為直梁直梁，軸線是曲線的稱為，軸線是曲線的稱為曲

2、梁曲梁。 有對稱平面的梁稱為有對稱平面的梁稱為對稱梁對稱梁，沒有對稱平面的梁稱為，沒有對稱平面的梁稱為非對稱梁非對稱梁 3、平面彎曲（對稱彎曲）、平面彎曲（對稱彎曲）：若梁上所有外力都作用在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，梁：若梁上所有外力都作用在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，梁變形后軸線形成的曲線也在該平面內(nèi)的彎曲。變形后軸線形成的曲線也在該平面內(nèi)的彎曲。 4、非對稱彎曲、非對稱彎曲：若梁不具有縱向?qū)ΨQ面，或梁有縱向?qū)ΨQ面上但外力：若梁不具有縱向?qū)ΨQ面，或梁有縱向?qū)ΨQ面上但外力并不作用在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)的彎曲。并不作用在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)的彎曲。7-2 7-2 平面彎曲桿件的內(nèi)力平面彎曲桿件的內(nèi)力FqFAFB縱向?qū)ΨQ面縱向?qū)ΨQ面5.工

3、程實例F2F16. 梁的計算簡圖梁的計算簡圖 研究對象研究對象：等截面的直梁，且外力作用在梁對稱面內(nèi)的平：等截面的直梁，且外力作用在梁對稱面內(nèi)的平面力系。面力系。梁的梁的計算簡圖計算簡圖：梁軸線代替梁，將荷載和支座加到軸線上：梁軸線代替梁，將荷載和支座加到軸線上 單跨靜定梁單跨靜定梁僅用靜力平衡方程即可求得反力的梁僅用靜力平衡方程即可求得反力的梁(a)懸臂梁懸臂梁(b)簡支梁簡支梁(c)外伸梁外伸梁二、梁的彎曲內(nèi)力二、梁的彎曲內(nèi)力-剪力與彎矩剪力與彎矩一一、截面法過程：、截面法過程：切取、替代、平衡切取、替代、平衡FABaxASSAy0:0FFFFFxFMxFMMAAC0:0 xAFSFMCF

4、SFMBFCABSBSy0:0FFFFFFFFxFxlFxFMxlFxFMMABBC0:0 剪力剪力平行于橫截面的內(nèi)力，符號：，正負(fù)號規(guī)定：使平行于橫截面的內(nèi)力，符號：，正負(fù)號規(guī)定：使梁有左上右下錯動趨勢的剪力為正，反之為負(fù)梁有左上右下錯動趨勢的剪力為正，反之為負(fù)(左截面上的剪左截面上的剪力向上為正，右截面上的剪力向下為正力向上為正，右截面上的剪力向下為正)； MMMMFSFSFSFS 彎矩彎矩繞截面轉(zhuǎn)動的內(nèi)力，符號：繞截面轉(zhuǎn)動的內(nèi)力，符號：M，正負(fù)號規(guī)定：使，正負(fù)號規(guī)定：使梁變形呈上凹下凸的彎矩為下側(cè)受拉，反之為上側(cè)受拉。梁變形呈上凹下凸的彎矩為下側(cè)受拉，反之為上側(cè)受拉。剪力為正剪力為正剪力

5、為負(fù)剪力為負(fù)下側(cè)受拉下側(cè)受拉上側(cè)受拉上側(cè)受拉二、平面彎曲梁橫截面上的內(nèi)力：二、平面彎曲梁橫截面上的內(nèi)力：)0(kN29030kN1502335 .460y的正誤或校核求也可由BBABBAAABFFMFqFFFFFqFFMmkN26)5 . 12(2kN7A1A1SFFMFFFmkN3025 . 15 . 15 . 1kN115 . 1B2B2SqFMFqF例例7-5 求下圖所示簡支梁求下圖所示簡支梁1 1與與2 2截面的剪力和彎矩。截面的剪力和彎矩。2112m21.5mq=12kN/m3m1.5m1.5mF=8kNABFAFB解：解： 1、求支反力、求支反力2、計算、計算1-1截面的內(nèi)力截面的

6、內(nèi)力3、計算、計算2-2截面的內(nèi)力截面的內(nèi)力F=8kNFAS1F1MFBq=12kN/mS2F2M)()(SSxMMxFF1.剪力、彎矩方程剪力、彎矩方程： 2.剪力、彎矩圖剪力、彎矩圖：剪力、彎矩方程的圖形，橫軸沿軸線：剪力、彎矩方程的圖形，橫軸沿軸線方向表示截面的位置，縱軸為內(nèi)力的大小。方向表示截面的位置，縱軸為內(nèi)力的大小。例例7-6 作圖示懸臂梁作圖示懸臂梁AB的剪力圖和彎矩圖。的剪力圖和彎矩圖。三三 、梁的剪力圖與彎矩圖、梁的剪力圖與彎矩圖 FxxMFxF)()(S剪力、彎矩方程：xFSFFlMS maxmax|FFMFlFlABFSM2qlFFBA由對稱性知：222)(2)(22AA

7、SqxqLxqxxFxMqxqlqxFxF82,2maxmaxSqlMqlF例例7-7 圖示簡支梁受均布荷載圖示簡支梁受均布荷載q的作用，作該梁的的作用，作該梁的剪力圖和彎矩圖。剪力圖和彎矩圖。qlABx解：解： 1、求支反力、求支反力FAFB2、建立剪力方程和彎矩方程、建立剪力方程和彎矩方程2/ql2/ql8/2ql 例例7-8 在圖示簡支梁在圖示簡支梁AB的的C點處作用一集中力點處作用一集中力F，作該梁的剪力圖和彎矩圖。作該梁的剪力圖和彎矩圖。 由剪力、彎矩圖知：由剪力、彎矩圖知：在集中力作用點，彎矩圖發(fā)生轉(zhuǎn)折，剪在集中力作用點，彎矩圖發(fā)生轉(zhuǎn)折，剪力圖發(fā)生突變，其突變值等于集中力的大小，從

8、左向右作圖，突力圖發(fā)生突變，其突變值等于集中力的大小，從左向右作圖，突變方向沿集中力作用的方向變方向沿集中力作用的方向。FabClAB解：解： 1、求支反力、求支反力lFaFlFbFBA；2、建立剪力方程和彎矩方程、建立剪力方程和彎矩方程axlFbxxFxMaxlFbFxFAC段0)(0)(:AASxFAFB SBB( ):( )FaF xFaxllCBM xFlxFalxaxll 段FSlFb/lFa/MlFab/ 由剪力、彎矩圖知：由剪力、彎矩圖知：在集中力偶作用點，彎在集中力偶作用點，彎矩圖發(fā)生突變，其突變值為集中力偶的大小。矩圖發(fā)生突變，其突變值為集中力偶的大小。 例例7-9 在圖示簡

9、支梁在圖示簡支梁AB的的C點處作用一集中力偶點處作用一集中力偶M，作該梁的剪力圖和彎矩圖。，作該梁的剪力圖和彎矩圖。abClABM解：解： 1、求支反力、求支反力lMFlMFBA；2、建立剪力方程和彎矩方程、建立剪力方程和彎矩方程axlMxxFxMaxlMFxFAC段0)(0)(:AASxFAFB lxaxllMxlFxMlxalMFxFCB段BBS)()(:FSlM /MlMa/lMb/1、剪力、彎矩和分布載荷間的微分關(guān)系、剪力、彎矩和分布載荷間的微分關(guān)系 （1）假設(shè)：規(guī)定）假設(shè)：規(guī)定q(x)向上為正，向下為負(fù)；任取微段，認(rèn)向上為正，向下為負(fù)；任取微段，認(rèn)為其上為其上q(x)為常數(shù)，無集中力

10、、集中力偶；內(nèi)力作正向假設(shè)。為常數(shù)，無集中力、集中力偶；內(nèi)力作正向假設(shè)。 （2）微分關(guān)系推導(dǎo)：）微分關(guān)系推導(dǎo)：四、彎矩、剪力與荷載集度間的關(guān)系四、彎矩、剪力與荷載集度間的關(guān)系yxMF1q(x)ABq(x)dxOM(x)FS(x)M(x)+dM(x)FS(x)+dFS(x)(d)(d0)()(d)()(0SSSSxqxxFdxxqxFxFxFFy：)(d)(d0)(21)()()(d)(0S2SxFxxMxqdxxFxMxMxMMdxO：)(d)(d22xqxxMxdx（1）微分關(guān)系的幾何意義：）微分關(guān)系的幾何意義： 剪力圖上某點處的切線斜率等于該點處荷載集度的大?。患袅D上某點處的切線斜率等于

11、該點處荷載集度的大小；彎矩圖上某點處的切線斜率等于該點剪力的大小。彎矩圖上某點處的切線斜率等于該點剪力的大小。 （2）各種荷載下剪力圖與彎矩圖的形態(tài)）各種荷載下剪力圖與彎矩圖的形態(tài)：2、討論微分關(guān)系的幾何意義、討論微分關(guān)系的幾何意義外力情況外力情況q0(向下向下)無荷載段無荷載段集中力集中力F作用作用處：處：集中力偶集中力偶M作作用處：用處：剪力圖上的特剪力圖上的特征征(向下斜直線向下斜直線)水平線水平線突變突變，突變值突變值為為F不變不變彎矩圖上的特彎矩圖上的特征征(下凸拋物線下凸拋物線)斜直線斜直線有有尖點尖點有有突變突變，突變突變值為值為M最大彎矩可最大彎矩可 能的截面位置能的截面位置剪

12、力為零的截剪力為零的截面面剪力突變的截剪力突變的截面面彎矩突變的某彎矩突變的某一側(cè)一側(cè)（1）先利用計算法則計算分段點）先利用計算法則計算分段點FS、M值；值；（2）利用微分關(guān)系判斷并畫出分段點之間的）利用微分關(guān)系判斷并畫出分段點之間的FS、M圖。圖。 3、利用微分關(guān)系作剪力彎矩圖、利用微分關(guān)系作剪力彎矩圖例例7-10 外伸梁外伸梁AB承受荷載如圖所示，作該梁的承受荷載如圖所示，作該梁的FS-M圖。圖。解：解： 1、求支反力、求支反力kN8 . 3kN2 . 7BAFF2、判斷各段、判斷各段FS、M圖形狀：圖形狀：CA和和DB段：段：q=0，F(xiàn)S圖為水平線，圖為水平線， M圖為斜直線。圖為斜直線

13、。AD段：段：q5)，上述，上述公式的誤差不大，但公式中的公式的誤差不大，但公式中的M應(yīng)為所研究截面上的彎矩，即應(yīng)為所研究截面上的彎矩，即為截面位置的函數(shù)。為截面位置的函數(shù)。zzEIxMxIyxM)()(1)(s，maxmax zMWss2 2、梁的彎曲正應(yīng)力強度條件梁的彎曲正應(yīng)力強度條件(1)強度校核強度校核:maxss(2)截面設(shè)計截面設(shè)計:maxsMWz(3)確定梁的許可荷載確定梁的許可荷載:zWMmaxs 根據(jù)強度條根據(jù)強度條件可進(jìn)行：件可進(jìn)行：MPa84Pa10841040010210) 1669CCEs解：kN4 .47N104 .471014125. 025. 025. 0)(3

14、6FFWFWMFalFMzzCCBCsMPa126Pa1012610141108 .17mkN8 .1741)2663maxmaxmaxsszWMFLM 例例7-11 已知已知16號工字鋼號工字鋼Wz=141cm3，l=1.5m，a=1m，s s=160MPa，E=210GPa，在梁的下邊緣，在梁的下邊緣C點沿軸向貼一應(yīng)變片點沿軸向貼一應(yīng)變片，測得，測得C點軸向線應(yīng)變點軸向線應(yīng)變 ,求求F并校核梁正應(yīng)力強度。并校核梁正應(yīng)力強度。6c10400 CNO.16FABa2/ llz強度滿足要求二、二、梁的切應(yīng)力和強度梁的切應(yīng)力和強度1、矩形截面梁、矩形截面梁*SzzF SI b假設(shè)：（假設(shè)：（1）橫

15、截面上各點處的切應(yīng)力均平行于）橫截面上各點處的切應(yīng)力均平行于y軸；軸； （2）距中性軸等遠(yuǎn)處的切應(yīng)力大小相等。）距中性軸等遠(yuǎn)處的切應(yīng)力大小相等。 Oyzbh maxyO 代入切應(yīng)力公式：代入切應(yīng)力公式：將將 12231bhIdbdAhy，2232/322612yhbhFdbhbFshys切應(yīng)力切應(yīng)力 呈圖示的呈圖示的拋物線分布拋物線分布，在最邊緣處為零在最邊緣處為零在中性軸上最大，在中性軸上最大，其值為：其值為： 2323maxbhFs)/(bhFs平均切應(yīng)力平均切應(yīng)力 d 2、工字形截面梁上的切應(yīng)力、工字形截面梁上的切應(yīng)力腹板上任一點處的可直接由矩形梁的公式得出：腹板上任一點處的可直接由矩形

16、梁的公式得出：dISFzzs*式中：式中：d為腹板厚度為腹板厚度3、薄壁環(huán)形截面梁上的切應(yīng)力、薄壁環(huán)形截面梁上的切應(yīng)力假設(shè)假設(shè) ：1、切應(yīng)力沿壁厚無變化；、切應(yīng)力沿壁厚無變化；2、切應(yīng)力方向與圓周相切、切應(yīng)力方向與圓周相切AFrrFbISFsszzs2223020*max式中：式中：A為圓環(huán)截面面積為圓環(huán)截面面積02 rA 4、圓截面梁上的切應(yīng)力、圓截面梁上的切應(yīng)力AFdddFbISFsyszzs34)64/(12/43*max式中：式中：A為圓截面面積為圓截面面積對于對于等直桿等直桿，最大切應(yīng)，最大切應(yīng)力的統(tǒng)一表達(dá)式為：力的統(tǒng)一表達(dá)式為：bISFzzs*max,max5、梁的切應(yīng)力強度條件、

17、梁的切應(yīng)力強度條件*maxmax,maxbISFzzs 與正應(yīng)力強度條件相似，也可以進(jìn)行三方面的工作：與正應(yīng)力強度條件相似，也可以進(jìn)行三方面的工作：1、強度校核強度校核，2、截面設(shè)計，截面設(shè)計，3、確定梁的許可荷載確定梁的許可荷載但通常用于但通常用于校核校核。特殊的特殊的：1、梁的最大彎矩小，而最大剪力大；、梁的最大彎矩小，而最大剪力大；2、焊接組合截面，腹板厚度與梁高之比小于型鋼的相應(yīng)比值；、焊接組合截面，腹板厚度與梁高之比小于型鋼的相應(yīng)比值； 3、木梁因其順紋方向的抗剪強度差。、木梁因其順紋方向的抗剪強度差。需進(jìn)行切應(yīng)力強度計算。需進(jìn)行切應(yīng)力強度計算。 例例7-12 T形梁尺寸及所受荷載如

18、圖所示形梁尺寸及所受荷載如圖所示, 已知已知s sy=100MPa，s sl=50MPa， =40MPa，yc=17.5mm，Iz=18.2104mm4。求求(1)C左側(cè)截面左側(cè)截面E點的正應(yīng)力、切應(yīng)力；點的正應(yīng)力、切應(yīng)力；(2)校核梁的正應(yīng)力、校核梁的正應(yīng)力、切應(yīng)力強度條件。切應(yīng)力強度條件。1FS0.250.75(kN)_+M(kN.m)0.250.5+_kN75. 1kN25. 0) 1CAFF，求支座反力：解：mkN25. 0mkN5 . 0kN1kN75. 0)2,BCCSCSSMMFFMF，圖如右：、作梁的右左CADm1kN1kN/m1m1m140401010yczEBMPa1 .

19、21010102 .18)105 .12400(1075. 0)(MPa6 .2010102 .18105 . 7105 . 0) 315493*,12433bISFIyMzzCSEzECE左拉s(0.05)44.6MPa 24.0MPa 48.0MPa (0.05)89.2MPa BcBllzBcByyzCcCllzCcCyyzMyIM yIM yIMyIssssssss*,max,maxmax3294151010 (50) /2 1018.2 1010 102.9MPa SzzcFSI by該梁滿足強度要求該梁滿足強度要求40401010yczE,0.75kN0.5kN m0.25kN m

20、S CCBFMM 左，4）正應(yīng)力強度校核要求）正應(yīng)力強度校核要求5）切應(yīng)力強度校核要求）切應(yīng)力強度校核要求maxmaxWMz 1、合理配置梁的荷載和支座、合理配置梁的荷載和支座三、提高梁強度的措施三、提高梁強度的措施+Fl/4M圖+Fl/8M圖Fl/8/2lABC/2lFl/4l/4l/4l/4ABFCDql2/8M圖+M圖+-ql2/40ql2/50ql2/50qlAB3l/5l/5l/5qAB2.合理選擇截面形狀：合理選擇截面形狀：3231DWz (/2)aD2321( /2)66 1.18zzbhDWWzDzaaa12a1z12aD32131466 1.67zzabhWW21.05aD1

21、457. 4zzWW 0.8a2a21.6a22a2z另外：另外：max1t1max2c2zzyMyIyMyItmaxtmaxcmaxcmaxs ss sz采用等強度梁采用等強度梁 可將梁的截面高度設(shè)計成考慮各截面彎矩大小變化的變截可將梁的截面高度設(shè)計成考慮各截面彎矩大小變化的變截面梁；若使梁的各橫截面上的最大正應(yīng)力都相等，并均達(dá)到材面梁；若使梁的各橫截面上的最大正應(yīng)力都相等，并均達(dá)到材料的許用應(yīng)力，則這種料的許用應(yīng)力，則這種變截面梁稱為等強度梁變截面梁稱為等強度梁。FABFABzb)(xh)()61()2()()(2maxxbhxFxWxM 3)(bFxxh 22323minSmax bhF

22、AF43min bFh 一、拉壓與彎曲組合變形的概念一、拉壓與彎曲組合變形的概念7-4 7-4 拉壓與彎曲組合變形桿件的應(yīng)力和強度拉壓與彎曲組合變形桿件的應(yīng)力和強度xqFFy偏心拉伸或壓縮偏心拉伸或壓縮-構(gòu)件外力構(gòu)件外力與軸線平行但不與軸線重合與軸線平行但不與軸線重合1F2F1F2FNFM力力F作用點離截面形心的距離作用點離截面形心的距離e稱為稱為偏心距偏心距。將力。將力F向截向截面形心簡化，可得桿的任意橫截面上的內(nèi)力面形心簡化，可得桿的任意橫截面上的內(nèi)力2.按疊加原理求正應(yīng)力的代數(shù)和，即可按疊加原理求正應(yīng)力的代數(shù)和，即可1.分別計算軸向力引起的正應(yīng)力和橫向力（或偏心）引起分別計算軸向力引起的正應(yīng)力和橫向力（或偏心）引起的正應(yīng)力的正應(yīng)力 例例7-13 圖示起重機的最大吊重圖示起重機的最大吊重F=12kN，許用應(yīng)力許用應(yīng)力s s=100MPa，試為，試為AB桿選擇適當(dāng)桿選擇適當(dāng)?shù)墓ぷ咒撔吞枴５墓ぷ咒撔吞枴?（2）作作AB桿的彎矩圖和軸力圖桿的彎矩圖和軸力圖C點左截面為危險截面。點左截面為危險截面。 34118kN24kN23yxyTFTT， (3) 暫不考慮軸力，按彎曲正應(yīng)力強度暫不考