倒易空間和布里淵區(qū)學習教案

1、會計學1倒易空間倒易空間(kngjin)和布里淵區(qū)和布里淵區(qū)第一頁，共30頁。第1頁/共30頁第二頁，共30頁。簡單簡單(jindn)(jindn)晶格晶格復式晶格復式晶格(jn )(jn ) 在晶格中取一個格點為頂點，以三個不共面的方向上的周在晶格中取一個格點為頂點，以三個不共面的方向上的周期為邊長形成的平行六面體作為重復單元，這個平行六面體即期為邊長形成的平行六面體作為重復單元，這個平行六面體即為原胞，它是體積最小的重復單元。代表原胞三個邊的矢量稱為原胞，它是體積最小的重復單元。代表原胞三個邊的矢量稱為原胞的基本平移為原胞的基本平移(pn y)(pn y)矢量，簡稱基矢。矢量，簡稱基矢。1

2、 原胞第2頁/共30頁第三頁，共30頁。特點特點(tdin)(tdin)：格點只在平行六面體的頂角上，面上和內(nèi)部均無格：格點只在平行六面體的頂角上，面上和內(nèi)部均無格點，平均每個固體物理學原胞包含點，平均每個固體物理學原胞包含1 1個格點。個格點。(1)(1)固體固體(gt)(gt)物理學原胞物理學原胞( (原胞原胞) )基矢：固體物理學原胞基矢通常用基矢：固體物理學原胞基矢通常用 表示。表示。321,aaa 321aaa 體積為：體積為：原胞內(nèi)任一點原胞內(nèi)任一點(y din)(y din)的位矢的位矢表示為：表示為： 1,0321332211 xxxaxaxaxr 為為整整數(shù)數(shù)32133221

3、1,lllalalalRl 位矢位矢RrR+r第3頁/共30頁第四頁，共30頁。(2)(2)結(jié)晶學原胞（單胞）結(jié)晶學原胞（單胞） 構(gòu)造：使三個基矢的方向盡可能地沿著構(gòu)造：使三個基矢的方向盡可能地沿著(yn zhe)(yn zhe)空間對稱軸的方向，空間對稱軸的方向，它具有明顯的對稱性和周期性。它具有明顯的對稱性和周期性。基矢：結(jié)晶學原胞的基矢一般用基矢：結(jié)晶學原胞的基矢一般用 表示。表示。cba, 特點：結(jié)晶學原胞不僅在平行六面體頂角上有格點，面上及特點：結(jié)晶學原胞不僅在平行六面體頂角上有格點，面上及內(nèi)部內(nèi)部(nib)(nib)亦可有格點。其體積是固體學原胞體積的整數(shù)倍。亦可有格點。其體積是固

4、體學原胞體積的整數(shù)倍。 ncbav 體積為：體積為：第4頁/共30頁第五頁，共30頁。(a)(a)簡立方簡立方(lfng)(lfng)kaajaaiaa 321原胞的體積原胞的體積3a abc(3)(3)固體固體(gt)(gt)學原胞與結(jié)晶學原胞（單胞）的比較學原胞與結(jié)晶學原胞（單胞）的比較kacjabi aa結(jié)晶學原胞和固體結(jié)晶學原胞和固體(gt)(gt)學原胞學原胞相同包含相同包含1 1個格點。個格點。第5頁/共30頁第六頁，共30頁。平均每個結(jié)晶學原平均每個結(jié)晶學原胞包含胞包含(bohn)4(bohn)4個個格點；體積為格點；體積為 。(b)(b)面心立方面心立方(lfng) (Cu,

5、Ag, (lfng) (Cu, Ag, Au)Au) jiaakiaakjaa 222321 332141aaaa 固體物理學原胞的體積固體物理學原胞的體積iajaka1a3a2a3akacjabi aa第6頁/共30頁第七頁，共30頁。(c)(c)體心體心(t xn)(t xn)立方立方 kjiaakjiaakjiaa 222321平均平均(pngjn)(pngjn)每個布拉維原胞包含每個布拉維原胞包含2 2個格個格點點iajaka1a3a2a固體固體(gt)(gt)物理學原胞的體積物理學原胞的體積kacjabi aa 332121aaaa （NaNa，Li, K)Li, K)第7頁/共30

6、頁第八頁，共30頁。a1a2a32. 倒格子倒格子(g zi)（Reciprocal Lattice）定義(dngy)b1,b2,b3為新的基矢：213132321222aabaabaab)(321aaab1垂直于a2a3晶面b2垂直于a1a3晶面b3垂直于a1a2晶面第8頁/共30頁第九頁，共30頁。a1a2b3a3b2b1b1,b2,b3為不共面的基矢，稱為為不共面的基矢，稱為(chn wi)倒易點陣（倒易點陣（reciprocal lattice）或倒格子）或倒格子下面(xi mian)簡單說一下b1與a2a3晶面面間距的關(guān)系：213132321222aabaabaab 為平行四邊形（為

7、平行四邊形（a2,a3）的）的面積面積(min j)，則有，則有 32aa 設(shè)設(shè)(a2,a3)平面所在的晶面族的平面所在的晶面族的面間距為面間距為d1132122daab表明倒易點陣基矢的長度正好與晶面間距的倒數(shù)成正比表明倒易點陣基矢的長度正好與晶面間距的倒數(shù)成正比 第9頁/共30頁第十頁，共30頁。說明：說明： (1)倒易點陣基矢的大小倒易點陣基矢的大小(dxio)是該晶面族的晶是該晶面族的晶面間距的倒數(shù)的面間距的倒數(shù)的2倍。單位為長度的倒數(shù)。倍。單位為長度的倒數(shù)。(2)倒易點陣基矢的方向是該晶面的法線方向，倒倒易點陣基矢的方向是該晶面的法線方向，倒易點陣的一個基矢與正點陣的一組晶面相對應(yīng)。

8、易點陣的一個基矢與正點陣的一組晶面相對應(yīng)。也可以說正點陣里的一族晶面與倒易點陣中的一也可以說正點陣里的一族晶面與倒易點陣中的一個點相對應(yīng)。個點相對應(yīng)。 a1a2b3a3b2b1第10頁/共30頁第十一頁，共30頁。So every crystal structure has two lattices associated with it, the direct lattice and the reciprocal lattice. Thus when we rotate a crystal in a holder, we rotate both the direct lattice and t

9、he reciprocal lattice. 第11頁/共30頁第十二頁，共30頁。A diffraction pattern of a crystal is a map of the reciprocal lattice of a crystal. A microscope image, if it could be resolved on a fine enough scale, is a map of the direct lattice of the crystal, or the crystal structure in real space.產(chǎn)生(chnshng)衍射的斑點是產(chǎn)生(

10、chnshng)電子衍射的晶面（在厄瓦爾德球面上）的倒易點。第12頁/共30頁第十三頁，共30頁。 Vectors in the direct lattice have the dimensions of length; vectors in the reciprocal lattice have the dimensions of 1/length.The reciprocal lattice is a lattice in the Fourier space associated with the crystal.第13頁/共30頁第十四頁，共30頁。胞的邊長胞的邊長第14頁/共30頁第十

11、五頁，共30頁。332121)(aaaaV )()()21(2122223321kjikjiaaVaab)(2)(2)(2321jiabkiabkjab 同理，有：第15頁/共30頁第十六頁，共30頁。 倒易點陣(din zhn)與正點陣(din zhn)的關(guān)系1、兩種點陣(din zhn)的基矢之間的關(guān)系 jiifjiifabijijijji0122、兩種點陣(din zhn)位矢之間的關(guān)系 設(shè)在正點陣(din zhn)中，位置矢量為： 在倒易點陣(din zhn)中，位置矢量為：332211alalalRl332211bhbhbhKh213132321222aabaabaab第16頁/共3

12、0頁第十七頁，共30頁。則有： )(2為整數(shù)nnRKlh332211321321ballbakkbahhKRblbkbhKlakahaRhlhl3、兩種點陣(din zhn)的原胞之間的關(guān)系： 3)2(*上式說明，如果(rgu)兩個矢量滿足上式，其中一個是正格矢，另一個必為倒格矢。4、同一物理量在正點陣(din zhn)和倒易點陣(din zhn)中的表達式滿足傅立葉變換關(guān)系。第17頁/共30頁第十八頁，共30頁。 rT r l3h , h , hTKrK21KTr lhhiihlee r 晶體中任一處r的物理量具有晶格周期性： r 332211aaaTllll 為晶格平移矢量。將周期函數(shù)33

13、2211bbbKhhhh 321,bbb 為相應(yīng)的基矢。作傅里葉變換： 1lhieTK 利用晶格的平移周期性有： 3h , h , hrK21Kr hihe 展開為傅里葉級數(shù) Fourier space： 第18頁/共30頁第十九頁，共30頁。jii=jjiji 0 22 ba n為整數(shù).顯然，當?shù)垢褡?g zi)基矢bj和正格子(g zi)基矢ai之間滿足下列關(guān)系時上式必然成立。 nlh2TK 于是213132321222aabaabaab 321,aaa 設(shè)晶格基矢為相應(yīng)的倒格子(g zi)基矢定義為：332211bbbKhhhh 顯然倒格矢 滿足(mnz)傅里葉變換。式中是晶格原胞的體積

14、 第19頁/共30頁第二十頁，共30頁。用波矢k空間的點來描述電子態(tài)是可取(kq)的。波矢空間就是倒格矢空間。（單位）Re:【討論討論】固體物理中為什么要引入倒格子（波失）空固體物理中為什么要引入倒格子（波失）空間？間？最主要還是為了處理問題的方便。從能量的角度去描述核外電子的運動很自然就能引入倒格子空間。其實只要在位置空間和狀態(tài)空間的一個傅立葉變換，純粹是數(shù)學行為，對物理的本質(zhì)沒有改變。在位置空間是看不出能量，并且繞核運動不容易做出描述?！居懻摗居懻?toln)】固體物理中為什么要引入波矢空間？】固體物理中為什么要引入波矢空間？（正格(zhn )矢空間稱為坐標空間或位置空間，倒格矢空間為狀態(tài)

15、空間。）第20頁/共30頁第二十一頁，共30頁。a a 2a 3a 3 a a 2 0kE圖 E k 曲線的表達圖式要知道一個(y )能帶中有多少個量子態(tài)，必須求出在一個(y )布里淵區(qū)內(nèi)電子狀態(tài)的點數(shù)?？紤]到k的周期性，可以把k的取值范圍限制在一個(y )區(qū)域內(nèi)，這個區(qū)域是一個(y )最小的周期性重復單元。這個最小的單元就是上面簡約布里淵區(qū)。布里淵區(qū)在研究晶體內(nèi)電子的運動時特別重要，因為當晶體中的電子表現(xiàn)出波動性時，它們也會在這些界面上發(fā)生反射。因此，如何做出布里淵區(qū)有重要意義。第21頁/共30頁第二十二頁，共30頁。一維晶格點陣的布里淵區(qū)一維晶格點陣的布里淵區(qū)?第22頁/共30頁第二十三頁

16、，共30頁。圖 一維晶格(jn )的正格子點陣、倒格子點陣和第一布里淵區(qū)第23頁/共30頁第二十四頁，共30頁。iba21jba22a22）. 二維正方(zhngfng)結(jié)構(gòu)晶格點陣的布里淵區(qū)第24頁/共30頁第二十五頁，共30頁。圖二維正方圖二維正方(zhngfng)晶格的布里淵區(qū)晶格的布里淵區(qū)由圖可知，每個布里淵區(qū)的體由圖可知，每個布里淵區(qū)的體積都與倒格子原胞的體積相等。積都與倒格子原胞的體積相等。將任一布里淵區(qū)的各個部分位將任一布里淵區(qū)的各個部分位移移(wiy)適當?shù)牡垢袷妇涂珊线m當?shù)牡垢袷妇涂珊喜⒊傻谝徊祭餃Y區(qū)。并成第一布里淵區(qū)。第第n個布里淵區(qū)必與第個布里淵區(qū)必與第n-1個布個布里淵區(qū)相鄰。只需關(guān)注第一布里淵區(qū)相鄰。只需關(guān)注第一布里淵區(qū)的情況，便能得知其他里淵區(qū)的情況，便能得知其他布里淵區(qū)得情況。布里淵區(qū)得情況。第25頁/共30頁第二十六頁，共30頁。kbjbibaaa2,2,2321a2（請同學（請同學(tng xu)嘗試）嘗試） 3）. 計算題：三維簡立方結(jié)構(gòu)晶格點陣的布里淵區(qū)的形狀如何？體積(tj)是多少？第26頁/共30頁第二十七頁，共30頁。321,bbbkbjbibaaa32121;21;21第27頁/共30頁第二十八頁，共30頁。圖（