倒易空間和布里淵區(qū)學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1倒易空間倒易空間(kngjin)和布里淵區(qū)和布里淵區(qū)第一頁(yè)，共30頁(yè)。第1頁(yè)/共30頁(yè)第二頁(yè)，共30頁(yè)。簡(jiǎn)單簡(jiǎn)單(jindn)(jindn)晶格晶格復(fù)式晶格復(fù)式晶格(jn )(jn ) 在晶格中取一個(gè)格點(diǎn)為頂點(diǎn)，以三個(gè)不共面的方向上的周在晶格中取一個(gè)格點(diǎn)為頂點(diǎn)，以三個(gè)不共面的方向上的周期為邊長(zhǎng)形成的平行六面體作為重復(fù)單元，這個(gè)平行六面體即期為邊長(zhǎng)形成的平行六面體作為重復(fù)單元，這個(gè)平行六面體即為原胞，它是體積最小的重復(fù)單元。代表原胞三個(gè)邊的矢量稱為原胞，它是體積最小的重復(fù)單元。代表原胞三個(gè)邊的矢量稱為原胞的基本平移為原胞的基本平移(pn y)(pn y)矢量，簡(jiǎn)稱基矢。矢量，簡(jiǎn)稱基矢。1

2、 原胞第2頁(yè)/共30頁(yè)第三頁(yè)，共30頁(yè)。特點(diǎn)特點(diǎn)(tdin)(tdin)：格點(diǎn)只在平行六面體的頂角上，面上和內(nèi)部均無(wú)格：格點(diǎn)只在平行六面體的頂角上，面上和內(nèi)部均無(wú)格點(diǎn)，平均每個(gè)固體物理學(xué)原胞包含點(diǎn)，平均每個(gè)固體物理學(xué)原胞包含1 1個(gè)格點(diǎn)。個(gè)格點(diǎn)。(1)(1)固體固體(gt)(gt)物理學(xué)原胞物理學(xué)原胞( (原胞原胞) )基矢：固體物理學(xué)原胞基矢通常用基矢：固體物理學(xué)原胞基矢通常用 表示。表示。321,aaa 321aaa 體積為：體積為：原胞內(nèi)任一點(diǎn)原胞內(nèi)任一點(diǎn)(y din)(y din)的位矢的位矢表示為：表示為： 1,0321332211 xxxaxaxaxr 為為整整數(shù)數(shù)32133221

3、1,lllalalalRl 位矢位矢RrR+r第3頁(yè)/共30頁(yè)第四頁(yè)，共30頁(yè)。(2)(2)結(jié)晶學(xué)原胞（單胞）結(jié)晶學(xué)原胞（單胞） 構(gòu)造：使三個(gè)基矢的方向盡可能地沿著構(gòu)造：使三個(gè)基矢的方向盡可能地沿著(yn zhe)(yn zhe)空間對(duì)稱軸的方向，空間對(duì)稱軸的方向，它具有明顯的對(duì)稱性和周期性。它具有明顯的對(duì)稱性和周期性?；福航Y(jié)晶學(xué)原胞的基矢一般用基矢：結(jié)晶學(xué)原胞的基矢一般用 表示。表示。cba, 特點(diǎn)：結(jié)晶學(xué)原胞不僅在平行六面體頂角上有格點(diǎn)，面上及特點(diǎn)：結(jié)晶學(xué)原胞不僅在平行六面體頂角上有格點(diǎn)，面上及內(nèi)部?jī)?nèi)部(nib)(nib)亦可有格點(diǎn)。其體積是固體學(xué)原胞體積的整數(shù)倍。亦可有格點(diǎn)。其體積是固

4、體學(xué)原胞體積的整數(shù)倍。 ncbav 體積為：體積為：第4頁(yè)/共30頁(yè)第五頁(yè)，共30頁(yè)。(a)(a)簡(jiǎn)立方簡(jiǎn)立方(lfng)(lfng)kaajaaiaa 321原胞的體積原胞的體積3a abc(3)(3)固體固體(gt)(gt)學(xué)原胞與結(jié)晶學(xué)原胞（單胞）的比較學(xué)原胞與結(jié)晶學(xué)原胞（單胞）的比較kacjabi aa結(jié)晶學(xué)原胞和固體結(jié)晶學(xué)原胞和固體(gt)(gt)學(xué)原胞學(xué)原胞相同包含相同包含1 1個(gè)格點(diǎn)。個(gè)格點(diǎn)。第5頁(yè)/共30頁(yè)第六頁(yè)，共30頁(yè)。平均每個(gè)結(jié)晶學(xué)原平均每個(gè)結(jié)晶學(xué)原胞包含胞包含(bohn)4(bohn)4個(gè)個(gè)格點(diǎn)；體積為格點(diǎn)；體積為 。(b)(b)面心立方面心立方(lfng) (Cu,

5、Ag, (lfng) (Cu, Ag, Au)Au) jiaakiaakjaa 222321 332141aaaa 固體物理學(xué)原胞的體積固體物理學(xué)原胞的體積iajaka1a3a2a3akacjabi aa第6頁(yè)/共30頁(yè)第七頁(yè)，共30頁(yè)。(c)(c)體心體心(t xn)(t xn)立方立方 kjiaakjiaakjiaa 222321平均平均(pngjn)(pngjn)每個(gè)布拉維原胞包含每個(gè)布拉維原胞包含2 2個(gè)格個(gè)格點(diǎn)點(diǎn)iajaka1a3a2a固體固體(gt)(gt)物理學(xué)原胞的體積物理學(xué)原胞的體積kacjabi aa 332121aaaa （NaNa，Li, K)Li, K)第7頁(yè)/共30

6、頁(yè)第八頁(yè)，共30頁(yè)。a1a2a32. 倒格子倒格子(g zi)（Reciprocal Lattice）定義(dngy)b1,b2,b3為新的基矢：213132321222aabaabaab)(321aaab1垂直于a2a3晶面b2垂直于a1a3晶面b3垂直于a1a2晶面第8頁(yè)/共30頁(yè)第九頁(yè)，共30頁(yè)。a1a2b3a3b2b1b1,b2,b3為不共面的基矢，稱為為不共面的基矢，稱為(chn wi)倒易點(diǎn)陣（倒易點(diǎn)陣（reciprocal lattice）或倒格子）或倒格子下面(xi mian)簡(jiǎn)單說(shuō)一下b1與a2a3晶面面間距的關(guān)系：213132321222aabaabaab 為平行四邊形（為

7、平行四邊形（a2,a3）的）的面積面積(min j)，則有，則有 32aa 設(shè)設(shè)(a2,a3)平面所在的晶面族的平面所在的晶面族的面間距為面間距為d1132122daab表明倒易點(diǎn)陣基矢的長(zhǎng)度正好與晶面間距的倒數(shù)成正比表明倒易點(diǎn)陣基矢的長(zhǎng)度正好與晶面間距的倒數(shù)成正比 第9頁(yè)/共30頁(yè)第十頁(yè)，共30頁(yè)。說(shuō)明：說(shuō)明： (1)倒易點(diǎn)陣基矢的大小倒易點(diǎn)陣基矢的大小(dxio)是該晶面族的晶是該晶面族的晶面間距的倒數(shù)的面間距的倒數(shù)的2倍。單位為長(zhǎng)度的倒數(shù)。倍。單位為長(zhǎng)度的倒數(shù)。(2)倒易點(diǎn)陣基矢的方向是該晶面的法線方向，倒倒易點(diǎn)陣基矢的方向是該晶面的法線方向，倒易點(diǎn)陣的一個(gè)基矢與正點(diǎn)陣的一組晶面相對(duì)應(yīng)。

8、易點(diǎn)陣的一個(gè)基矢與正點(diǎn)陣的一組晶面相對(duì)應(yīng)。也可以說(shuō)正點(diǎn)陣?yán)锏囊蛔寰媾c倒易點(diǎn)陣中的一也可以說(shuō)正點(diǎn)陣?yán)锏囊蛔寰媾c倒易點(diǎn)陣中的一個(gè)點(diǎn)相對(duì)應(yīng)。個(gè)點(diǎn)相對(duì)應(yīng)。 a1a2b3a3b2b1第10頁(yè)/共30頁(yè)第十一頁(yè)，共30頁(yè)。So every crystal structure has two lattices associated with it, the direct lattice and the reciprocal lattice. Thus when we rotate a crystal in a holder, we rotate both the direct lattice and t

9、he reciprocal lattice. 第11頁(yè)/共30頁(yè)第十二頁(yè)，共30頁(yè)。A diffraction pattern of a crystal is a map of the reciprocal lattice of a crystal. A microscope image, if it could be resolved on a fine enough scale, is a map of the direct lattice of the crystal, or the crystal structure in real space.產(chǎn)生(chnshng)衍射的斑點(diǎn)是產(chǎn)生(

10、chnshng)電子衍射的晶面（在厄瓦爾德球面上）的倒易點(diǎn)。第12頁(yè)/共30頁(yè)第十三頁(yè)，共30頁(yè)。 Vectors in the direct lattice have the dimensions of length; vectors in the reciprocal lattice have the dimensions of 1/length.The reciprocal lattice is a lattice in the Fourier space associated with the crystal.第13頁(yè)/共30頁(yè)第十四頁(yè)，共30頁(yè)。胞的邊長(zhǎng)胞的邊長(zhǎng)第14頁(yè)/共30頁(yè)第十

11、五頁(yè)，共30頁(yè)。332121)(aaaaV )()()21(2122223321kjikjiaaVaab)(2)(2)(2321jiabkiabkjab 同理，有：第15頁(yè)/共30頁(yè)第十六頁(yè)，共30頁(yè)。 倒易點(diǎn)陣(din zhn)與正點(diǎn)陣(din zhn)的關(guān)系1、兩種點(diǎn)陣(din zhn)的基矢之間的關(guān)系 jiifjiifabijijijji0122、兩種點(diǎn)陣(din zhn)位矢之間的關(guān)系 設(shè)在正點(diǎn)陣(din zhn)中，位置矢量為： 在倒易點(diǎn)陣(din zhn)中，位置矢量為：332211alalalRl332211bhbhbhKh213132321222aabaabaab第16頁(yè)/共3

12、0頁(yè)第十七頁(yè)，共30頁(yè)。則有： )(2為整數(shù)nnRKlh332211321321ballbakkbahhKRblbkbhKlakahaRhlhl3、兩種點(diǎn)陣(din zhn)的原胞之間的關(guān)系： 3)2(*上式說(shuō)明，如果(rgu)兩個(gè)矢量滿足上式，其中一個(gè)是正格矢，另一個(gè)必為倒格矢。4、同一物理量在正點(diǎn)陣(din zhn)和倒易點(diǎn)陣(din zhn)中的表達(dá)式滿足傅立葉變換關(guān)系。第17頁(yè)/共30頁(yè)第十八頁(yè)，共30頁(yè)。 rT r l3h , h , hTKrK21KTr lhhiihlee r 晶體中任一處r的物理量具有晶格周期性： r 332211aaaTllll 為晶格平移矢量。將周期函數(shù)33

13、2211bbbKhhhh 321,bbb 為相應(yīng)的基矢。作傅里葉變換： 1lhieTK 利用晶格的平移周期性有： 3h , h , hrK21Kr hihe 展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù) Fourier space： 第18頁(yè)/共30頁(yè)第十九頁(yè)，共30頁(yè)。jii=jjiji 0 22 ba n為整數(shù).顯然，當(dāng)?shù)垢褡?g zi)基矢bj和正格子(g zi)基矢ai之間滿足下列關(guān)系時(shí)上式必然成立。 nlh2TK 于是213132321222aabaabaab 321,aaa 設(shè)晶格基矢為相應(yīng)的倒格子(g zi)基矢定義為：332211bbbKhhhh 顯然倒格矢 滿足(mnz)傅里葉變換。式中是晶格原胞的體積

14、 第19頁(yè)/共30頁(yè)第二十頁(yè)，共30頁(yè)。用波矢k空間的點(diǎn)來(lái)描述電子態(tài)是可取(kq)的。波矢空間就是倒格矢空間。（單位）Re:【討論討論】固體物理中為什么要引入倒格子（波失）空固體物理中為什么要引入倒格子（波失）空間？間？最主要還是為了處理問(wèn)題的方便。從能量的角度去描述核外電子的運(yùn)動(dòng)很自然就能引入倒格子空間。其實(shí)只要在位置空間和狀態(tài)空間的一個(gè)傅立葉變換，純粹是數(shù)學(xué)行為，對(duì)物理的本質(zhì)沒(méi)有改變。在位置空間是看不出能量，并且繞核運(yùn)動(dòng)不容易做出描述?！居懻摗居懻?toln)】固體物理中為什么要引入波矢空間？】固體物理中為什么要引入波矢空間？（正格(zhn )矢空間稱為坐標(biāo)空間或位置空間，倒格矢空間為狀態(tài)

15、空間。）第20頁(yè)/共30頁(yè)第二十一頁(yè)，共30頁(yè)。a a 2a 3a 3 a a 2 0kE圖 E k 曲線的表達(dá)圖式要知道一個(gè)(y )能帶中有多少個(gè)量子態(tài)，必須求出在一個(gè)(y )布里淵區(qū)內(nèi)電子狀態(tài)的點(diǎn)數(shù)。考慮到k的周期性，可以把k的取值范圍限制在一個(gè)(y )區(qū)域內(nèi)，這個(gè)區(qū)域是一個(gè)(y )最小的周期性重復(fù)單元。這個(gè)最小的單元就是上面簡(jiǎn)約布里淵區(qū)。布里淵區(qū)在研究晶體內(nèi)電子的運(yùn)動(dòng)時(shí)特別重要，因?yàn)楫?dāng)晶體中的電子表現(xiàn)出波動(dòng)性時(shí)，它們也會(huì)在這些界面上發(fā)生反射。因此，如何做出布里淵區(qū)有重要意義。第21頁(yè)/共30頁(yè)第二十二頁(yè)，共30頁(yè)。一維晶格點(diǎn)陣的布里淵區(qū)一維晶格點(diǎn)陣的布里淵區(qū)?第22頁(yè)/共30頁(yè)第二十三頁(yè)

16、，共30頁(yè)。圖 一維晶格(jn )的正格子點(diǎn)陣、倒格子點(diǎn)陣和第一布里淵區(qū)第23頁(yè)/共30頁(yè)第二十四頁(yè)，共30頁(yè)。iba21jba22a22）. 二維正方(zhngfng)結(jié)構(gòu)晶格點(diǎn)陣的布里淵區(qū)第24頁(yè)/共30頁(yè)第二十五頁(yè)，共30頁(yè)。圖二維正方圖二維正方(zhngfng)晶格的布里淵區(qū)晶格的布里淵區(qū)由圖可知，每個(gè)布里淵區(qū)的體由圖可知，每個(gè)布里淵區(qū)的體積都與倒格子原胞的體積相等。積都與倒格子原胞的體積相等。將任一布里淵區(qū)的各個(gè)部分位將任一布里淵區(qū)的各個(gè)部分位移移(wiy)適當(dāng)?shù)牡垢袷妇涂珊线m當(dāng)?shù)牡垢袷妇涂珊喜⒊傻谝徊祭餃Y區(qū)。并成第一布里淵區(qū)。第第n個(gè)布里淵區(qū)必與第個(gè)布里淵區(qū)必與第n-1個(gè)布個(gè)布里淵區(qū)相鄰。只需關(guān)注第一布里淵區(qū)相鄰。只需關(guān)注第一布里淵區(qū)的情況，便能得知其他里淵區(qū)的情況，便能得知其他布里淵區(qū)得情況。布里淵區(qū)得情況。第25頁(yè)/共30頁(yè)第二十六頁(yè)，共30頁(yè)。kbjbibaaa2,2,2321a2（請(qǐng)同學(xué)（請(qǐng)同學(xué)(tng xu)嘗試）嘗試） 3）. 計(jì)算題：三維簡(jiǎn)立方結(jié)構(gòu)晶格點(diǎn)陣的布里淵區(qū)的形狀如何？體積(tj)是多少？第26頁(yè)/共30頁(yè)第二十七頁(yè)，共30頁(yè)。321,bbbkbjbibaaa32121;21;21第27頁(yè)/共30頁(yè)第二十八頁(yè)，共30頁(yè)。圖（