第6章定積分及其應(yīng)用

1、第第6 6章章 定積分及其應(yīng)用定積分及其應(yīng)用目錄6.1 定積分的概念與性質(zhì)6.2 微積分基本公式6.3 定積分的換元法與分部積分法6.4 反常積分6.5 定積分的應(yīng)用壹定積分的概念與性質(zhì)3第一節(jié) 定積分的概念與性質(zhì)abxyo? A實例實例1 1 （求曲邊梯形的面積）（求曲邊梯形的面積）x軸與兩條直線軸與兩條直線ax 、)(xfy 一、定積分問題的提出abxyoabxyo用矩形面積近似取代曲邊梯形面積顯然:小矩形越多，矩形總面積越接近曲邊梯形面積（四個小矩形）（九個小矩形）平平面面圖圖形形的的面面積積。所所圍圍直直線線例例如如，求求由由曲曲線線1, 0, 0,2 xxyxyAera=?公元前二百

2、多年前的阿基米德就已會用此法求出許多不規(guī)則圖形的面積觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系播放觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系觀察下列演示過程

3、，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系曲邊梯形如圖所示：,:1210bxxxxxaTnn abxyoix1x1 ix1 nx;

4、,11 iiiiixxxxxnba，長度為，長度為個小區(qū)間個小區(qū)間分成分成把區(qū)間把區(qū)間1,1,2, .iiiixxn ()iifx 為為高高的的小小矩矩形形面面積積為為為為底底，以以)(,1iiifxx i iA )(xfy （1）分割（2）近似代替（3）求和11()nniiiiiAfx （4）取極限,當當分分割割無無限限加加細細時時，即即0,max21 nxxxTiniiTxf )(lim10 曲邊梯形面積為 A求曲邊梯形面積所用的方法步驟：A 分割、分割、 近似代替、近似代替、 求和、求和、 取極限取極限 .實例2 （求變速直線運動的路程）思路：把整段時間分割成若干小段，每小段上速度看作不

5、變，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通過對時間的無限細分過程求得路程的精確值.,)(SbatvvM的的運運動動路路程程到到時時刻刻求求該該物物體體從從時時刻刻作作直直線線運運動動以以變變速速設(shè)設(shè)一一物物體體 （1）分割btttttaTnn 1210:,1 iiitttiiitvs )( （3）求和iinitvS )(1 （4）取極限，令令,max21ntttT iniiTtvS )(lim10 ., 2 , 1, ,1nittiii （2）近似代替設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xf在在,ba上上有有界界，如如果果不不論論對對,ba在在,ba中中任任意意插插入入若若干干個個分分點點bxxxxx

6、ann 1210各各小小區(qū)區(qū)間間的的長長度度依依次次為為1 iiixxx，), 2 , 1( i，在在各各小小區(qū)區(qū)間間上上任任取取一一點點i （iix ），作作乘乘積積iixf )( ), 2 , 1( i并作和并作和iinixfS )(1 ，二、定積分的定義定義怎樣的分法，怎樣的分法，被積函數(shù)被積表達式積分變量也也不不論論在在小小區(qū)區(qū)間間,1iixx 上上點點i 怎怎樣樣的的取取法法，和和S總趨于總趨于確確定定的的極極限限I，我我們們稱稱這這個個極極限限I為為函函數(shù)數(shù))(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上的的定定積積分分，記為積分上限積分下限黎曼積分積分和或或黎黎曼曼和和.,積積分分區(qū)區(qū)間間稱稱為為

7、ba不不存存在在，若若iniiTxf )(lim10 在在則則稱稱)(xf.,上上不不可可積積ba注意:( )bafdxx 即即( )bafdtt ( ).bafduu .,.1o無無關(guān)關(guān)所所用用的的積積分分變變量量的的記記號號有有關(guān)關(guān)，而而與與和和積積分分區(qū)區(qū)間間它它只只與與被被積積函函數(shù)數(shù)，其其結(jié)結(jié)果果是是一一個個數(shù)數(shù)，定定積積分分是是積積分分和和的的極極限限baf.;, 0.2o但但反反之之不不然然分分點點個個數(shù)數(shù)當當 nT.,)(上上不不可可積積在在則則baxf，的的某某一一個個積積分分和和的的極極限限在在若若,.3obaf不不存存在在，極極限限值值都都存存在在但但的的某某兩兩個個積積

8、分分和和的的極極限限在在或或若若,baf不不相相等等o4 .( ) , f xa b如如果果在在上上，可可積積則則某某特特殊殊積積分分和和.的的極極限限 badxxf)(: , ,a b nT若若取取把把等等分分1,iiibaxxxn ,iibaxain 取取), 2 , 1(ni ,0 nT niiiTxf10)(lim 1lim().nnibaainbanf badxxf)(則則當例1 利用定義計算定積分.102dxx 解iinixf )(1 12niiix 12niiixx 121niinn 2311nini 3(1)(21,1)6nnnn nT0dxx 102iiniTx 210lim

9、 36)12)(1(limnnnnn .31 0,1(1, ) ,iTninixn 把等分，11iiixxxn ，, 0)( xf baAdxxf)(曲邊梯形的面積, 0)( xf baAdxxf)(曲邊梯形的面積的負值1234( )baf x dxAAAA 定積分的幾何意義 1A2A3A4A)(xfy ab，有，有時時特別，當特別，當1)( xf.1)(1ababdxba )(xfy ab積積取取負負號號軸軸下下方方的的面面在在軸軸上上方方的的面面積積取取正正號號；在在數(shù)數(shù)和和之之間間的的各各部部分分面面積積的的代代直直線線的的圖圖形形及及兩兩條條軸軸、函函數(shù)數(shù)它它是是介介于于xxbxaxx

10、fx ,)(前前例例2 2利利用用定定積積分分的的幾幾何何意意義義計計算算下下列列積積分分d dd d11200.(1);(2)1.x xxx 解解d d，10(1)x x 表表示示由由及及 軸軸圍圍成成的的三三角角形形面面積積. .0,1,xxyxx 100 x 1x 0y Ayx d d10 x x 11 12 1.2d d120(2)1,xx 表表示示由由及及 軸軸圍圍成成的的圓圓面面積積. .20,1,114xxyxx 100 x 1x 0y d d1201xx 1.4 yx A2114 當當函函數(shù)數(shù))(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上連連續(xù)續(xù)時時，定理1定理2 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xf在在區(qū)區(qū)

11、間間,ba上上有有界界， 則則)(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上可可積積. . 且且只只有有有有限限個個間間斷斷點點，則則)(xf在在定積分存在定理(可積充分條件)區(qū)區(qū)間間,ba上上可可積積. .三、定積分的性質(zhì)對定積分的補充規(guī)定:（1）當）當ba 時，時，0)( badxxf；（2）當當ba 時時， abbadxxfdxxf)()(.說明 在下面的性質(zhì)中，假定定積分都存在，且不考慮積分上下限的大小證明 badxxgxf)()(iiinixgf )()(lim10 iinixf )(lim10 iinixg )(lim10 badxxf)(.)( badxxg badxxgxf)()( badxx

12、f)( badxxg)(.（此性質(zhì)可以推廣到有限多個函數(shù)作和的情況）性質(zhì)1證明 badxxkf)(iinixkf )(lim10 iinixfk )(lim10 iinixfk )(lim10 .)( badxxfk性質(zhì)2 badxxf)( bccadxxfdxxf)()(.補充：不論 的相對位置如何, 上式總成立., ,a b c例 若,abc ( )caf x dx cbbadxxfdxxf)()( badxxf)( cbcadxxfdxxf)()(.)()( bccadxxfdxxf（定積分對于積分區(qū)間具有可加性）則假設(shè)假設(shè)bca 性質(zhì)3dxba 1dxba ab .證明, 0)( xf

13、, 0)( if), 2 , 1(ni , 0 ix1()0,niiifx 12| max,nTxxx | |01lim()niiTifx ( ). 0baf x dx 性質(zhì)4性質(zhì)5如如果果在在區(qū)區(qū)間間,ba上上0)( xf，性質(zhì)5的推論：證明),()(xgxf , 0)()( xfxg, 0)()( dxxfxgba( )( )0,bbaag x dxf x dx 即即于于是是 dxxfba )( dxxgba )(.如如果果在在區(qū)區(qū)間間,ba上上)()(xgxf ，（1）()ab （定積分不等式性質(zhì)）)(ba 證明( )( )(,)f xf xf x ,)()()(dxxfdxxfdxxf

14、bababa 即即dxxfba )(dxxfba )(.說明： 可積性是顯然的.|)(xf|在在區(qū)區(qū)間間,ba上上的的性質(zhì)5的推論： (絕對值不等式性質(zhì))()ab 解令,)(xexfx 2, 0 x ( )0,f x , 0)(02 dxxexdxex 02,02dxx 于是dxex 20.20dxx 設(shè)設(shè)M及及m分分別別是是函函數(shù)數(shù)證明,)(Mxfm ,)( bababaMdxdxxfdxm).()()(abMdxxfabmba （此性質(zhì)可用于估計積分值的大致范圍）)(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上的的最最大大值值及及最最小小值值，性質(zhì)6解,sin31)(3xxf 0,x , 1sin03 x,

15、31sin31413 x,31sin31410030dxdxxdx .3sin31403 dxx如如果果函函數(shù)數(shù))(xf在在閉閉區(qū)區(qū)間間,ba上上連連續(xù)續(xù)，證明1( )baf x dxmbMa )()()(abMdxxfabmba 由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理知使使dxxfba )()(abf . . )(ba 性質(zhì)7（定積分中值定理）積分中值公式在在區(qū)區(qū)間間,ba上上至至少少存存在在一一個個點點 ，使( )(= )1( ),baf xxbfaCd dxxfba )()(abf .)(ba 在在區(qū)區(qū)間間,ba上上至至少少存存在在一一個個點點 ，即積分中值公式的幾何解釋：xyoab )( f使得

16、以區(qū)間使得以區(qū)間,ba為為以以曲曲線線)(xfy 底底邊邊，為為曲曲邊邊的的曲曲邊邊梯梯形形的的面面積積等等于于同同一一底底邊邊而而高高為為)( f的一個矩形的面積。的一個矩形的面積。 小 結(jié)定積分的實質(zhì)：特殊和式的極限定積分的思想和方法：分割化整為零求和積零為整取極限精確值定積分求近似以直（不變）代曲（變）取極限3定積分的性質(zhì)（注意估值性質(zhì)、積分中值定理的應(yīng)用）4典型問題（）估計積分值；（）不計算定積分比較積分大小貳微積分基本公式5152 xadxxf)(考察定積分考察定積分 xadttf)(記記.)()( xadttfx積分上限函數(shù)積分上限函數(shù) 如如果果上上限限x在在區(qū)區(qū)間間,ba上上任任

17、意意變變動動，則則對對于于每每一一個個取取定定的的x值值，定定積積分分有有一一個個對對應(yīng)應(yīng)值值，所所以以它它在在,ba上上定定義義了了一一個個函函數(shù)數(shù)，一、積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)53abxyo定定理理 如如果果)(xf在在,ba上上連連續(xù)續(xù)，則則積積分分上上限限的的函函數(shù)數(shù)dttfxxa )()(在在,ba上上具具有有導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，且且它它的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)是是)()()(xfdttfdxdxxa )(bxa 1、積分上限函數(shù)的性質(zhì)、積分上限函數(shù)的性質(zhì)xx 證證dttfxxxxa )()()()(xxx dttfdttfxaxxa )()()(x x54 dttfdttfdttfxaxxxxa )()()

18、(,)( xxxdttf由積分中值定理得由積分中值定理得xf )( ,xxx xx , 0),( fx )(limlim00 fxxx ).()(xfx abxyoxx )( x x55、變限積分求導(dǎo)公式、變限積分求導(dǎo)公式2)()()(xfdttfxa1)()()()()(xuxufdttfxua2)()()()()(xvxvfdttfbxv3)()()()()()()()(xvxvfxuxufdttfxuxv4）證明（證明（2)()()()(dttfdxddttfxuaxuadxxdudttfxdudxua)()()()()()(xuxuf56)(,sin)(xFdttxFx求求例例1532

19、1解：解：)()sin()(11232xxxF112232xxx)sin(2例例)(,)(sinarctanxFdttxFxx求求1522)(cossinsin)(210111212xxxxxF25112xx)(arctan57定理定理2 2（原函數(shù)存在定理）（原函數(shù)存在定理） 如如果果)(xf在在,ba上上連連續(xù)續(xù)，則則積積分分上上限限的的函函數(shù)數(shù)dttfxxa )()(就就是是)(xf在在,ba上上的的一一個個原原函函數(shù)數(shù). .定理的重要意義：定理的重要意義：（1）肯定了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的）肯定了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的.（2）初步揭示了積分學(xué)中的定積分與原函數(shù)之）初步揭示了積分學(xué)中

20、的定積分與原函數(shù)之間的聯(lián)系間的聯(lián)系.58定理定理 3 3（微積分基本公式）（微積分基本公式）如如果果)(xF是是連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù))(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上的的一一個個原原函函數(shù)數(shù)，則則)()()(aFbFdxxfba . .又又 dttfxxa )()(也也是是)(xf的的一一個個原原函函數(shù)數(shù), 已知已知)(xF是是)(xf的一個原函數(shù)，的一個原函數(shù)，CxxF )()(,bax 證證二、微積分基本公式59令令ax ,)()(CaaF 0)()( dttfaaa,)(CaF ),()()(aFxFdttfxa ,)()(CdttfxFxa 令令 bx).()()(aFbFdxxfba 牛頓牛

21、頓萊布尼茨公式萊布尼茨公式60)()()(aFbFdxxfba 微積分基本公式表明：微積分基本公式表明： baxF)( 一一個個連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)間間,ba上上的的定定積積分分等等于于它它的的任任意意一一個個原原函函數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)間間,ba上上的的增增量量.注意注意當當ba 時，時，)()()(aFbFdxxfba 仍成立仍成立.求定積分問題轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)的問題求定積分問題轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)的問題.616例例dxx10210331x317例例dxx3121131xarctan)arctan(arctan13)(43 12762例例8 8 求求 .)1sincos2(20 dxxx原式原式 20

22、cossin2 xxx .23 例例9 9 設(shè)設(shè) , 求求 . 215102)(xxxxf 20)(dxxf解解解解 102120)()()(dxxfdxxfdxxf在在2 , 1上上規(guī)規(guī)定定當當1 x時時，5)( xf, 102152dxxdx原原式式. 6 xyo1263例例11 11 求求 解解.112dxx 當當0 x時時，x1的的一一個個原原函函數(shù)數(shù)是是|ln x,dxx 121 12|ln x. 2ln2ln1ln 12例例dxx201dxxdxx211011dxx101)(dxx211)(212102121121)()(xx16413例例dxx 01 sindxxx 0222)c

23、os(sindxxx 022cossindxxx2022 )sin(cosdxxx 222)cos(sin)(1246514例例dxxx 03sinsindxxx 021)sin(sindxxx2021cossin dxxxcossin 021dxxxxdxx)cos(sincossin 22021343232)(6615例例dxxxnn101limdxxdxxxnn10101001110 nnnndxxxlimlim解解：10 )(nnxnn011111010110dxxxnnlim673.微積分基本公式微積分基本公式1.積分上限函數(shù)積分上限函數(shù) xadttfx)()(2.積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

24、積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù))()(xfx )()()(aFbFdxxfba 四、小結(jié)牛頓萊布尼茨公式溝通了微分學(xué)與積分學(xué)牛頓萊布尼茨公式溝通了微分學(xué)與積分學(xué)之間的關(guān)系之間的關(guān)系叁定積分的換元法與分部積分法68一、定積分的換元法一、定積分的換元法 定理定理1. 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù), ,)(baCxf單值函數(shù)單值函數(shù))(tx滿足滿足:1), ,)(1Ct 2) 在,上,)(bta;)(,)(batfxxfbadd)( ) t( ) t證證: 所證等式兩邊被積函數(shù)都連續(xù)所證等式兩邊被積函數(shù)都連續(xù), 因此積分都存在因此積分都存在 ,且它們的原函數(shù)也存在且它們的原函數(shù)也存在 .,)()(的一個原函數(shù)是設(shè)xfxF是的原

25、函數(shù)的原函數(shù) ,因此有因此有則則baxxfd)()()(aFbF)(F)(Ftfd( ) t( ) tF( ) tf( ) t( ) t則則說明說明: :1) 當當 , 即即區(qū)間換為區(qū)間換為，時,定理定理 1 仍成立仍成立 .2) 必需注意必需注意換元必換限換元必換限 , 原函數(shù)中的變量不必代回原函數(shù)中的變量不必代回 .3) 換元公式也可反過來使用換元公式也可反過來使用 , 即即) )(tx令xxfbad)(或配元或配元f( ) td ( ) t配元不換限配元不換限tfd( ) t( ) ttfxxfbadd)( ) t( ) ttfd( ) t( ) t. .解解 換元：換元： ， ； 換限

26、：換限： ， ， ， ，tsinx tdtdxcos0 x0t1x2ttdttdxxcossin11202102202costdt3.3.例題例題 dxx1021例例1 1 計算計算dtt202cos121 20202212cos21tdtdt2011sin2224tt 注注 第一步是采用的換元（不定積分第二類換第一步是采用的換元（不定積分第二類換元法），元法），換元的同時必須換限換元的同時必須換限。在計算。在計算dtt202cos時，我們采用了湊微分法，沒有寫出新變量，時，我們采用了湊微分法，沒有寫出新變量，所以沒有換限所以沒有換限. .41102dxx：由定積分的幾何意義知，該積分值等由定

27、積分的幾何意義知，該積分值等于由于由 ，直線，直線 所所圍圖形的面積（見右圖）圍圖形的面積（見右圖）. .21xy1, 0, 0 xxy41面積值為圓面積的面積值為圓面積的 .21 xy-11xyo例例2 2 計算計算 .dxxx204cos2sin解法解法1.1. dxxx204cos2sindxxx205cossin2換限：換限： ， 0 x1t2x0t，換元換元： ， xtcosxdxdtsin 原式原式 . dtt015206111263t 解法解法2.2. dxxx204cos2sindxxx205cossin2 5202coscosxdx 260112cos63x 由此可見，定積分

28、也可以象不定積分一由此可見，定積分也可以象不定積分一樣進行換元，所不同的是不定積分換元時要樣進行換元，所不同的是不定積分換元時要回代原積分變量，而對定積分則只需將其上回代原積分變量，而對定積分則只需將其上、下限換成新變量的上、下限即可計算出定、下限換成新變量的上、下限即可計算出定積分，而不必回代原積分變量積分，而不必回代原積分變量例例4 4 計算計算解解.)ln1(ln43 eexxxdx原式原式 43)ln1(ln)(lneexxxd 43)ln1(ln)(lneexxxd 432)ln(1ln2eexxd 342 arcsin( ln)eex .6 例例5.5. 計算計算.d12240 x

29、xx解解: 令令21,tx 則則,dd,212ttxtx,0時當 x,4時x3.t 原式原式 =ttttd231212ttd)3(21312)331(213tt 133221;t 且且 例例6.6., ,)(aaCxf設(shè)證證:(1) 若若, )()(xfxfaaaxxfxxf0d)(2d)(則xxfaad)(2) 若若, )()(xfxf0d)(aaxxf則xxfad)(0 xxfad)(0ttfad)(0 xxfad)(0 xxfxfad )()(0,d)(20 xxfa時)()(xfxf時)()(xfxf,0偶倍奇零偶倍奇零tx令奇函數(shù)奇函數(shù)例例7 7 計算計算解解.11cos21122

30、dxxxxx原式原式 1122112dxxx 11211cosdxxxx偶函數(shù)偶函數(shù) 1022114dxxx 10222)1(1)11(4dxxxx 102)11(4dxx 102144dxx.4 單位圓的面積單位圓的面積定積分的分部積分公式定積分的分部積分公式推導(dǎo)推導(dǎo) ,vuvuuv (),bbaauv dxuv ,bbbaaauvu vdxuv dx .bbbaaaudvuvvdu 二、分部積分公式二、分部積分公式例例1 1 計算計算.arcsin210 xdx解解令令,arcsin xu ,dxdv ,12xdxdu , xv 210arcsin xdx 210arcsinxx 21021xxdx621 )1(112120221xdx 12 12201x. 12312 則則 解解 例例2 2 計算計算 . .exdxx1lneexdxxdx