全等三角形中的輔助線作法

1、全等三角形輔助線全等三角形輔助線專題講座專題講座 通江縣第二中學(xué)通江縣第二中學(xué) 劉仕平劉仕平知識要點：知識要點： 判定三角形全等方法有SAS、ASA、AAS、SSS和HL 如果題目給出的條件不全，就需要根據(jù)已知的條件結(jié)合相應(yīng)的公理、定理來進(jìn)行分析，先推先推導(dǎo)出所缺的條件然后再證明導(dǎo)出所缺的條件然后再證明。 一些較難的證明題要添加適當(dāng)?shù)妮o助線添加適當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)造合適的全等三角形，把條件相對集中起來，再進(jìn)行等量代換，問題就可以迎刃而解了。 構(gòu)造輔助線的方法：構(gòu)造輔助線的方法： 1. 連線法連線法 2截長補短法截長補短法 3作平行線法：作平行線法：若題設(shè)中含有中點可以試過中點作平行線或中位線，對Rt

2、,有時可作出斜邊的中線 4倍長中線法：倍長中線法：題中條件若有中線，可延長一倍，以構(gòu)造全等三角形，從而將分散條件集中在一個三角形內(nèi) 5翻折法：翻折法：若題設(shè)中含有垂線、角的平分線等條件的，可以試用軸對稱性質(zhì)，沿軸翻轉(zhuǎn)圖形來構(gòu)造全等三角形 通過連線通過連線, ,構(gòu)造全等三角形構(gòu)造全等三角形例例1. 1.如圖如圖,AB=AD,BC=DC,AB=AD,BC=DC,求證求證:B=D.:B=D.ACBD連結(jié)連結(jié)ACAC構(gòu)造全等三角形構(gòu)造全等三角形連線連線 構(gòu)造全等構(gòu)造全等例例2. 2.如圖如圖,AB,AB與與CDCD交于交于O, O, 且且AB=CDAB=CD，AD=BCAD=BC，OB=5cmOB=5

3、cm，求，求ODOD的長的長. .連結(jié)連結(jié)BDBD構(gòu)造全等三角形構(gòu)造全等三角形ACBDO2截長補短法（通常用來證明線段和差相等）截長補短法（通常用來證明線段和差相等） “截長法截長法”即把結(jié)論中最大的線段根據(jù)已知條即把結(jié)論中最大的線段根據(jù)已知條件分成兩段，使其中一段與較短線段相等，件分成兩段，使其中一段與較短線段相等，然后證明余下的線段與另一條線段相等的方然后證明余下的線段與另一條線段相等的方法法 “補短法補短法”即即把兩條線段中的一條補長成為把兩條線段中的一條補長成為一條長線段，然后證明補成的線段與較長的一條長線段，然后證明補成的線段與較長的線段相等，或是把一條較短的線段加長，使線段相等，或

4、是把一條較短的線段加長，使它等于較長的一段，然后證明加長的那部分它等于較長的一段，然后證明加長的那部分與另一較短的線段相等。與另一較短的線段相等。 例例3.3.如圖如圖AC/BD，EA、EB分別平分分別平分CAB、DBA，CD過點過點E，求證：，求證：AB=AC+BD. 分析：本題是線段和差問題的證明，基本方法是截長補短法，即在分析：本題是線段和差問題的證明，基本方法是截長補短法，即在ABAB上截取上截取AFAF，使，使AF=ACAF=AC，這樣，只要證明，這樣，只要證明FB=BDFB=BD即可，于是將問題轉(zhuǎn)化為證明兩線段相等。即可，于是將問題轉(zhuǎn)化為證明兩線段相等。證明：證明：在在AB上取點上

5、取點F，使，使AF=AC，連結(jié)，連結(jié)EFEA平分平分CABCAE=FAECAE FAE（SAS）C=AFEACBDC+D=180又又AFE+BFE=180D=BFEEB平分平分ABDEBF=EBDBFE BDE（AAS）BD=BFAB=AF+BFAB=AC+BDm = 42.35m = 42.23例例4 4.已知在已知在ABC中，中，C=2B, 1=2求證求證:AB=AC+CDADBCE12在在AB上取點上取點E使得使得AE=AC，連接，連接DE截長截長F在在AC的延長線上取點的延長線上取點F使得使得CF=CD，連接，連接DF補短補短3作平行線法作平行線法 如果題目中含有中點，可以通過中點作如

6、果題目中含有中點，可以通過中點作平行線平行線 對于對于RtRt, ,有時可作出斜邊的中線有時可作出斜邊的中線 例例5.如圖，如圖，ABC中，中，ABAC。E是是AB上異于上異于A、B的任意一點，延長的任意一點，延長AC到到D，使，使CDBE，連接，連接DE交交BC于于F。求證：。求證：EFFD。4倍長中線法倍長中線法 如果題中條件有中線，可將中線延長一倍，如果題中條件有中線，可將中線延長一倍，以構(gòu)造全等三角形，從而將分散條件集中以構(gòu)造全等三角形，從而將分散條件集中在一個三角形內(nèi)。在一個三角形內(nèi)。 例例6.如圖如圖1，AD是是ABC的中線，求證：的中線，求證：ABAC2AD 例例7.如圖，如圖，

7、AD為為ABC的中線，的中線，ADB、ADC的的平分線交平分線交AB、AC于于E、F。求證：。求證：BE+CFEF 分析：本題中已知分析：本題中已知D D為為BCBC的中點，要證的中點，要證BEBE、CFCF、EFEF間的不等關(guān)系，可利用點間的不等關(guān)系，可利用點D D將將BEBE旋轉(zhuǎn)，使這三條線段在同一個三角形內(nèi)。旋轉(zhuǎn)，使這三條線段在同一個三角形內(nèi)。5翻折法翻折法 沿角平分線翻折構(gòu)造全等三角形沿角平分線翻折構(gòu)造全等三角形 沿高線翻折構(gòu)造全等三角形沿高線翻折構(gòu)造全等三角形 繞點旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等三角形繞點旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等三角形證明：已知：如圖，在四邊形ABCD中，BD是ABC的角平分線，AD=CD，求證：

8、A+C=180DABCE在BC上截取BE=AB，連結(jié)DE。 BD是ABC的角平分線（已知）1=2（角平分線定義）在ABD和EBD中 AB=EB（已知） 1=2（已證） BD=BD（公共邊）ABD EBD（S.A.S）1243 3+ 4180（平角定義），A3（已證）A+ C180 （等量代換） A3（全等三角形的對應(yīng)角相等） AD=CD（已知），AD=DE（已證）DE=DC（等量代換）4=C（等邊對等角）AD=DE（全等三角形的對應(yīng)邊相等）例例8. 例例9.如圖，在如圖，在ABC中，中，12，ABC2C。 求證：求證：ABBDAC。初中幾何常見輔助線作法口訣初中幾何常見輔助線作法口訣人說幾何很

9、困難，難點就在輔助線。人說幾何很困難，難點就在輔助線。 輔助線，如何添？把握定理和概念。輔助線，如何添？把握定理和概念。 還要刻苦加鉆研，找出規(guī)律憑經(jīng)驗。還要刻苦加鉆研，找出規(guī)律憑經(jīng)驗。 三三 角角 形形 圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。 也可將圖對折看，對稱以后關(guān)系現(xiàn)。也可將圖對折看，對稱以后關(guān)系現(xiàn)。 角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線平行線，等腰三角形來添。 角平分線加垂線，三線合一試試看。角平分線加垂線，三線合一試試看。 線段垂直平分線，常向兩端把線連。線段垂直平分線，常向兩端把線連。 要證線段倍與半，延長縮短可試驗。要證線段倍與半，延長縮短可試驗。

10、 三角形中有中線，延長中線等中線。三角形中有中線，延長中線等中線。 1.利用三角形的角平分線來構(gòu)造全等利用三角形的角平分線來構(gòu)造全等三角形三角形 如圖，在ABC中，AD平分BAC。方法一：ABCDE必有結(jié)論：在AB上截取AE=AC，連結(jié)DE。ADE ADC。ED=CDAED=CADE=ADC。方法二：ABCDF延 長 A C 到 F ， 使AF=AB，連結(jié)DF。必有結(jié)論：ABD AFD。BD=FD 如何利用三角形的角平分線來構(gòu)造全等三角形？問題： 如圖，在ABC中，AD平分BAC。 可以利用角平分線所在直線作對稱軸，翻折三角形來構(gòu)造全等三角形。B=FADB=ADF。 如何利用三角形的角平分線來

11、構(gòu)如何利用三角形的角平分線來構(gòu)造全等三角形？造全等三角形？問題：ABCDMN方法三：作 D M A B 于 M ，DNAC于N。必有結(jié)論：AMD ADN。DM=DN3*21 如圖，在ABC中，AD平分BAC。 可以利用角平分線所在直線作對稱軸，翻折三角形來構(gòu)造全等三角形。AM=ANADM=ADN（還可以用“角平分線上的點到角的兩邊距離相等”來證DM=DN）如圖，已知ABC中，AD是BAC的角平分線，AB=AC+CD，求證：C=2BABCDE12證明:在AB上截取AE，使AE=AC，連結(jié)DE。 AD是BAC的角平分線（已知）1=2（角平分線定義）在AED和ACD中 AE=AC（已知） 1=2（已證） AD=AD（公共邊）AED ACD（S.A.S）3B=4（等邊對等角）4 C3（全等三角形的對應(yīng)角相等)又 AB=AC+CD=AE+EB（已知）EB=DC=ED（等量代換） 3= B+4= 2B（三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角和）C=2B（等量代換）ED=CD（全等三角形的對應(yīng)邊相等）如圖，已知ABC中，AD是BAC的角平分線，AB=AC+CD，求證：C=2BABCDF12證明:延長AC到F，使CF=CD，連結(jié)DF。 AD是BAC的角平分線（已知）1=2（角平分線定義） AB=AC+CD，CF=CD（已知） AB=AC+C