二面角及其度量試題

1、一、學習目標掌握二面角的概念，會利用向量和平面的法向量求解二面角的大小二、知識梳理（一）選擇題（每道題的四個選擇答案中有且只有一個答案是正確的1.已知二面角：-l-的大小為，直線a:v,a與：所成的角為v，則（）A.B.的平面角的關系是（）A.相等B.互補C.相等或互補D.既不相等也不互補3.如圖所示, 值是（）PA=PB=PC,且它們所成的角均為60°,則二面角BPAC的余弦1A.2V3C.T4.在正三角形.3T1ABC中，AD，BC于D,沿AD折成二面角BADC后，BCAB,這時二面角B-ADC的大小為（）A.60°C.90D.120（二）填空題5.ABC的邊BC在平面

2、內，A在內的射影是A1,設ABC的面積為S,它和平面。交成的一個二面角的大小為日（日銳角）,則aA1BC的面積是.6.若P是公ABC所在平面外一點，而PBC和公ABC都是邊長為2的正三角形，PA二46,則二面角PBC-A的大小是7.已知二面角：-AB-棱AB上一點，PE、PF分別在面，一：內,/EPB=/FPB=45°,那么&給出下列四個命題：（1）過平面外一點有且只有一個平面與已知平面垂直;1：是直二面角，P是EPF的大小是.（2）過平面外一定直線有且只有一個平面與已知平面垂直;（3）垂直于同一平面的兩個平面可能相互平行，也可能相互垂直；（4）如果一個二面角的兩個半平面分別

3、垂直于另一個二面角的兩個半平面？那么這兩個二面角的平面角相等或互補？其中正確的命題的序號是9. 已知PA垂直于矩形ABCD所在的平面，RA=3,AB=2,BC=13,則二面角P-BDA的正切值為.（三）解答題10. 在長方體ABCDAiBCiDi中，AA1=1,AD=DC=,3，在線段AQI上有一點Q,口1且GQCiAi,求平面QDC與平面AiDC所成銳二面角的大小.3如圖，在底面為直角梯形的四棱錐P ABCD 中11.AD/BC,ZABC=90°,PA，平面ABC,FA=4,AD=2,AB=23,BC=6,求二面角APC-D的余弦值.*12.如圖，在長方體ABCDAiBiCiDi中

4、，AD=AAi=1,AB=2,點E在棱AB上移動.AE等于何值時，二面角DiEC-D的大小為-.4三、自我評價完成時間成功率札記參考答案3.2.4二面角及其度量1.A2.C3.B4.A5.ScosJ6.90°7.60°10.解：建立空間直角坐標系，則D(0,0,0),C(0.?.3,0),A(._3,0,1),C,0,.3,1)一1323CCAQW.設平面AiCD,平面QCD的一個法向量分別為n二(%,%,乙)，m=(x2,y2,Z2)r_LnDC=0,yi=0,由、-二廠nDA)=0卜/3為十乙=0令xi=1,.?Z"=-'3.y2 =0,n二(1,0,

5、f；3).±mDC=0,由*二mDQ=0,令x2=1,.Z1=-3.-.3m二(1,0,-g)'/3cos :n,m 一|n I '|m|n,m .2 6即平面QDC與平面A1DC所成銳二面角為11.解：如圖，建立坐標系，則A(0,0,0),B(2.3,0,0),C(2.3,6,0),D(0,2,0),P(0,0,4),所以CD=(-23,-4,0),PD=(0,2,-4)PA=(0,0,4),AC=(2._3,6,0)設平面PCD的法向量為n=(x,y,1),則CDn=0,PDn=0廠Mx-4y=0,解得-竽內4=：一n=(一弩,2,1).同理可求得平面PAC的法向量為m=(-2、.3,2,0)39331所以cos :m, n393 ?面角A- PC D的余弦值為31|m|n|12.解：以D為坐標原點，直線DA,DC,DD1分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標系，設AE=x,則A1(1,0,1),D1(0,0,1),E(1,x,0),A(1,0,0),C(0,2,0).CE=(1,x-2,0).DQ=(0,2,-1),DD廠(0,0,1).設平面DIEC的法向量n=(a,b,c),WQ2bc=0令b=1,?c=2,a=2x.nCE=0,ab(