第三章 立體的投影A

1、第三章第三章 立體的投影立體的投影第二章第二章 三視圖的形成三視圖的形成三視圖三視圖的形成的形成3.1 平面立體的投影平面立體的投影3.2回轉(zhuǎn)體的投影回轉(zhuǎn)體的投影3.3 切割體的投影切割體的投影3.4 相貫體的投影相貫體的投影第三章立體的投影第三章立體的投影 如圖，建立一個(gè)平面如圖，建立一個(gè)平面P P和不和不在該平面內(nèi)的一點(diǎn)在該平面內(nèi)的一點(diǎn)S S，在平面，在平面P P和點(diǎn)和點(diǎn)S S之間放一物體之間放一物體A A。過點(diǎn)。過點(diǎn)S S發(fā)射一光線發(fā)射一光線SASA，SASA與平面與平面P P的的交點(diǎn)交點(diǎn)a a稱為物體稱為物體A A在平面在平面P P上的上的投影。這種確定空間物體投影的方法，稱為投影法。

2、投影。這種確定空間物體投影的方法，稱為投影法。一、投影法的基本知識(shí)一、投影法的基本知識(shí)1.1.投影法投影法2-12-1 投影法和三視圖的形成投影法和三視圖的形成圖圖2-1 2-1 投影法投影法2.2.投影法分類投影法分類中心投影法中心投影法 ：投影線匯交一點(diǎn)的投影法。：投影線匯交一點(diǎn)的投影法。 平行投影法平行投影法 ：所有投影線相互平行的投影法。：所有投影線相互平行的投影法。斜投影法斜投影法：投影線與投影面相傾斜的平行投影法。：投影線與投影面相傾斜的平行投影法。正投影法正投影法：投影線與投影面相垂直的平行投影法：投影線與投影面相垂直的平行投影法。ACbaBcACBBCAcbaabcS投射中心投

3、影面P投射方向投影面P投影面P投射方向投射線中心投影法中心投影法正投影法正投影法斜投影法斜投影法圖圖2-2 2-2 投影法分類投影法分類3.3.平行投影法的投影特性平行投影法的投影特性類似性（同形性）類似性（同形性）: :當(dāng)直線或平面圖當(dāng)直線或平面圖形不平行、也不垂直投影面時(shí)，形不平行、也不垂直投影面時(shí)，直線的直線的投影仍為直線，平面圖形的投影是原圖投影仍為直線，平面圖形的投影是原圖形的類似形。正投影時(shí)，形的類似形。正投影時(shí)，其投影小于實(shí)其投影小于實(shí)長或?qū)嵭伍L或?qū)嵭?。?shí)形性（真跡性）實(shí)形性（真跡性）：線段或平面圖線段或平面圖形平行于投影面，其投影反映實(shí)形或形平行于投影面，其投影反映實(shí)形或?qū)嶉L。

4、實(shí)長。積聚性：積聚性：直線或平面圖形平行于投直線或平面圖形平行于投射線，其投影積聚成點(diǎn)或直線。射線，其投影積聚成點(diǎn)或直線。定比性：定比性：兩平行線段長度之比，等于其投影長之比。兩平行線段長度之比，等于其投影長之比。 直線上兩線段長度之比，等于其投影長之比。直線上兩線段長度之比，等于其投影長之比。平行性：平行性：兩相互平行直線，其投影平行。兩相互平行直線，其投影平行。從屬性：從屬性：直線上的點(diǎn)或平面上的點(diǎn)和直線，其投影必在直線或平面的直線上的點(diǎn)或平面上的點(diǎn)和直線，其投影必在直線或平面的投影上。投影上。V投影面正投影投射線ABPRCD圖圖2-3 2-3 平行投影法的投影特性平行投影法的投影特性注意

5、：投影不等于影子注意：投影不等于影子圖圖2-4 2-4 影子和投影影子和投影僅有一個(gè)投影不能準(zhǔn)確、真實(shí)地表達(dá)物體的形狀。僅有一個(gè)投影不能準(zhǔn)確、真實(shí)地表達(dá)物體的形狀。圖圖2-5 2-5 不同物體得同一投影不同物體得同一投影二、三視圖及其對(duì)應(yīng)關(guān)系二、三視圖及其對(duì)應(yīng)關(guān)系1.1.三視圖的形成及其投影規(guī)律三視圖的形成及其投影規(guī)律 主視圖主視圖 俯視圖俯視圖 左視圖左視圖正面投影面正面投影面V V面面水平投影面水平投影面H H面面?zhèn)让嫱队懊鎮(zhèn)让嫱队懊鎃 W面面（正面投影）（正面投影）（水平投影）（水平投影） （側(cè)面投影）（側(cè)面投影）視圖：視圖：把互相平行的投影把互相平行的投影線當(dāng)作人的視線，用正投線當(dāng)作人

6、的視線，用正投影法所得物體的圖形稱為影法所得物體的圖形稱為視圖。視圖。圖圖2-6 2-6 三視圖三視圖圖圖2-7 2-7 三視圖的形成及其投影規(guī)律三視圖的形成及其投影規(guī)律圖圖2-7 2-7 三視圖的形成及其投影規(guī)律三視圖的形成及其投影規(guī)律2.三視圖之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系三視圖之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系度量對(duì)應(yīng)關(guān)系：度量對(duì)應(yīng)關(guān)系：主、俯視圖主、俯視圖-長對(duì)正長對(duì)正主、左視圖主、左視圖-高平齊高平齊俯、左視圖俯、左視圖-寬相等寬相等方位對(duì)應(yīng)關(guān)系：方位對(duì)應(yīng)關(guān)系：主視圖主視圖物體的上、下和左、右物體的上、下和左、右俯視圖俯視圖物體的前、后和左、右物體的前、后和左、右左視圖左視圖物體的上、下和前、后物體的上、下和前、后圖圖

7、2-8 2-8 三視圖之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系三視圖之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系第三章立體的投影第三章立體的投影 常見的基本幾何體常見的基本幾何體平面基本體平面基本體曲面基本體曲面基本體點(diǎn)的可見性規(guī)定：點(diǎn)的可見性規(guī)定： 若點(diǎn)所在的平面的投影若點(diǎn)所在的平面的投影可見，點(diǎn)的投影也可見；若可見，點(diǎn)的投影也可見；若平面的投影積聚成直線，點(diǎn)平面的投影積聚成直線，點(diǎn)的投影也可見。的投影也可見。 由于棱柱的表面都是平由于棱柱的表面都是平面，所以在棱柱的表面上取面，所以在棱柱的表面上取點(diǎn)與在平面上取點(diǎn)的方法相點(diǎn)與在平面上取點(diǎn)的方法相同。同。3.1平面基本體平面基本體1.1.棱柱棱柱 棱柱的三視圖棱柱的三視圖 棱柱面上取點(diǎn)棱柱面上取點(diǎn)

8、 a a a (b ) b 棱柱的組成棱柱的組成 b 由由兩個(gè)底面和幾個(gè)側(cè)棱面兩個(gè)底面和幾個(gè)側(cè)棱面組成。側(cè)棱面與側(cè)棱面的交線組成。側(cè)棱面與側(cè)棱面的交線叫側(cè)棱線，叫側(cè)棱線，側(cè)棱線相互平行側(cè)棱線相互平行。 在圖示位置時(shí)，六棱柱的兩在圖示位置時(shí)，六棱柱的兩底面為水平面，在俯視圖中反映底面為水平面，在俯視圖中反映實(shí)形。前后兩側(cè)棱面是正平面，實(shí)形。前后兩側(cè)棱面是正平面，其余四個(gè)側(cè)棱面是鉛垂面，它們其余四個(gè)側(cè)棱面是鉛垂面，它們的水平投影都積聚成直線，與六的水平投影都積聚成直線，與六邊形的邊重合。邊形的邊重合。( ) s s 2.2.棱錐棱錐 棱錐的三視圖棱錐的三視圖 在棱錐面上取點(diǎn)在棱錐面上取點(diǎn) k k

9、k b a c abc a (c )b s n n 棱錐的組成棱錐的組成 n 由由一個(gè)底面和幾個(gè)一個(gè)底面和幾個(gè)側(cè)棱面?zhèn)壤饷娼M成。組成。側(cè)棱線交側(cè)棱線交于有限遠(yuǎn)的一點(diǎn)于有限遠(yuǎn)的一點(diǎn)錐錐頂頂。同樣采用平面上取點(diǎn)法。同樣采用平面上取點(diǎn)法。 棱錐處于圖示位置時(shí)，棱錐處于圖示位置時(shí)，其底面其底面ABC是水平面，在是水平面，在俯視圖上反映實(shí)形。側(cè)棱俯視圖上反映實(shí)形。側(cè)棱面面SAC為側(cè)垂面，另兩個(gè)為側(cè)垂面，另兩個(gè)側(cè)棱面為一般位置平。側(cè)棱面為一般位置平。 圓柱面的俯視圖積聚成一圓柱面的俯視圖積聚成一個(gè)圓，在另兩個(gè)視圖上分別以個(gè)圓，在另兩個(gè)視圖上分別以兩個(gè)方向的輪廓素線的投影表兩個(gè)方向的輪廓素線的投影表示。示。

10、3.23.2回轉(zhuǎn)體的投影回轉(zhuǎn)體的投影1.1.圓柱體圓柱體 圓柱體的三視圖圓柱體的三視圖 輪廓線素線的投影與曲面的輪廓線素線的投影與曲面的 可見性的判斷可見性的判斷 圓柱面上取點(diǎn)圓柱面上取點(diǎn) a a a 圓柱面上與軸線平行的任圓柱面上與軸線平行的任一直線稱為圓柱面的一直線稱為圓柱面的素線素線。 圓柱體的組成圓柱體的組成由由圓柱面和兩底面圓柱面和兩底面組成。組成。 圓柱面是由直線圓柱面是由直線AA1繞與繞與它平行的軸線它平行的軸線OO1旋轉(zhuǎn)而成。旋轉(zhuǎn)而成。A1AOO1 直線直線AA1稱為母線。稱為母線。 利用投影利用投影的積聚性的積聚性 在圖示位置，俯視圖為一在圖示位置，俯視圖為一圓。另兩個(gè)視圖為

11、等邊三圓。另兩個(gè)視圖為等邊三角形，三角形的底邊為圓角形，三角形的底邊為圓錐底面的投影，兩腰分別錐底面的投影，兩腰分別為圓錐面不同方向的兩條為圓錐面不同方向的兩條輪廓素線的投影。輪廓素線的投影。 圓錐面是由直線圓錐面是由直線SA繞與繞與它相交的軸線它相交的軸線OO1旋轉(zhuǎn)而旋轉(zhuǎn)而成。成。 S稱為稱為錐頂錐頂，直線直線SA稱稱為母線為母線。圓錐面上過錐頂。圓錐面上過錐頂?shù)娜我恢本€稱為圓錐面的的任一直線稱為圓錐面的素線素線。O1O 圓錐體的組成圓錐體的組成 s s 2.2.圓錐體圓錐體 圓錐體的三視圖圓錐體的三視圖 輪廓線素線的投影與輪廓線素線的投影與 曲面的可見性的判斷曲面的可見性的判斷 圓錐面上取

12、點(diǎn)圓錐面上取點(diǎn) k 輔助直線法輔助直線法輔助圓法輔助圓法 (n )sn k(n ) k 由由圓錐面和底面圓錐面和底面組成。組成。SA如何在圓錐面如何在圓錐面上作直線？上作直線？過錐頂作過錐頂作一條素線。一條素線。圓的半徑？圓的半徑？ 三個(gè)視圖分別為三三個(gè)視圖分別為三個(gè)和圓球的直徑相等的個(gè)和圓球的直徑相等的圓，它們分別是圓球三圓，它們分別是圓球三個(gè)方向輪廓線的投影。個(gè)方向輪廓線的投影。3.3.圓球圓球 圓母線以它的直圓母線以它的直徑為軸旋轉(zhuǎn)而成。徑為軸旋轉(zhuǎn)而成。 圓球的三視圖圓球的三視圖 輪廓線的投影與曲輪廓線的投影與曲 面可見性的判斷面可見性的判斷 圓球面上取點(diǎn)圓球面上取點(diǎn) k 輔助圓法輔助圓

13、法k k 圓球的形成圓球的形成圓的半徑？圓的半徑？3.2.5 基本體的尺寸標(biāo)注基本體的尺寸標(biāo)注 無論繪制的圖樣多么準(zhǔn)確，都不能用它的大小作為加工的尺寸依據(jù)，只有標(biāo)注在圖紙上的尺寸才是可靠的依據(jù)。 對(duì)形體的尺寸標(biāo)注，應(yīng)遵守第1章所述尺寸標(biāo)注的基本規(guī)則，并注意以下幾點(diǎn)： (1) 形體的尺寸應(yīng)標(biāo)注在反映形體特征最明顯的視圖中，半徑尺寸一定要標(biāo)注在反映圓弧的視圖中。 (2) 直徑尺寸可以標(biāo)注在非圓視圖中，標(biāo)注時(shí)在尺寸數(shù)字前加字符“”。 (3) 標(biāo)注尺寸不能重復(fù)。 1. 平面立體的尺寸標(biāo)注 平面立體可標(biāo)注長、寬、高三個(gè)方向上的尺寸（圖233）。 正棱柱除標(biāo)注高度外，還可標(biāo)注正多邊形的外接圓直徑 （圖23

14、4），對(duì)于偶數(shù)邊的正多邊形也可標(biāo)注其對(duì)邊尺寸（圖235），外接圓直徑或?qū)叧叽缍咧荒軜?biāo)注一個(gè)。圖233 平面立體的尺寸標(biāo)注 圖234 三棱柱尺寸標(biāo)注 圖235 六棱柱尺寸標(biāo)注圖236 棱柱體尺寸標(biāo)注 棱臺(tái)尺寸標(biāo)注 2. 回轉(zhuǎn)體的尺寸標(biāo)注 圓柱應(yīng)標(biāo)注其高度和直徑（圖238）。 圓錐應(yīng)標(biāo)注其高度和底圓直徑（圖239）。 圓臺(tái)應(yīng)標(biāo)注高度、底圓直徑和頂圓直徑（圖240）。 圓球只需要標(biāo)注直徑即可，尺寸數(shù)字前應(yīng)加字符“S”（圖241）。圖2-38 圓柱體尺寸標(biāo)注圖2-39 圓錐體尺寸標(biāo)注圖2-40 圓臺(tái)尺寸標(biāo)注 圖2-41 球體尺寸標(biāo)注3.33.3 平面體及回轉(zhuǎn)體的截切平面體及回轉(zhuǎn)體的截切截切：截切：

15、 用一個(gè)平面與立體相交，截去立體的一用一個(gè)平面與立體相交，截去立體的一部分。部分。 截平面截平面 用以截切物體的平面用以截切物體的平面。 截交線截交線 截平面與物體表面的交線。截平面與物體表面的交線。 截?cái)嗝娼財(cái)嗝?因截平面的截切，在物體上形因截平面的截切，在物體上形 成的平面。成的平面。討論的問題：截交線的分析和作圖討論的問題：截交線的分析和作圖 。3.3.1 3.3.1 平面體的截切平面體的截切一、平面截切的基本形式一、平面截切的基本形式 截交線是一個(gè)由直線組成的截交線是一個(gè)由直線組成的封閉的平面多邊形封閉的平面多邊形，其，其 形狀取決于平面體的形狀及截平面對(duì)平面體的截切形狀取決于平面體的

16、形狀及截平面對(duì)平面體的截切 位置。位置。 截交線的每條邊是截交線的每條邊是截平面與棱面的交線截平面與棱面的交線。求求截交線的實(shí)質(zhì)是求兩平面的交線截交線的實(shí)質(zhì)是求兩平面的交線截交線的性質(zhì)：截交線的性質(zhì)：二、平面截切體的畫圖二、平面截切體的畫圖 求截交線的兩種方法：求截交線的兩種方法： 求各棱線與截平面的交點(diǎn)求各棱線與截平面的交點(diǎn)棱線法棱線法。 求各棱面與截平面的交線求各棱面與截平面的交線棱面法棱面法。關(guān)鍵是正確地畫出截交線的投影關(guān)鍵是正確地畫出截交線的投影。 求截交線的步驟：求截交線的步驟： 截平面與體的相對(duì)位置截平面與體的相對(duì)位置 截平面與投影面的相對(duì)位置截平面與投影面的相對(duì)位置確定截交線確定

17、截交線的投影特性的投影特性確定截交確定截交線的形狀線的形狀 空間及投影分析空間及投影分析 畫出截交線的投影畫出截交線的投影 分別求出截平面與棱面分別求出截平面與棱面的交線，并連接成多邊形。的交線，并連接成多邊形。例例1 1：求四棱錐被截切后的俯視圖和左視圖。：求四棱錐被截切后的俯視圖和左視圖。3 3 2 2 1 1 (4(4 ) )1 1 2 2 4 4 3 3 1 12 24 4 空間分析空間分析交線的形狀？交線的形狀？3 3 投影分析投影分析 求截交線求截交線 分析棱線的投影分析棱線的投影 檢查檢查 尤其注意檢查截尤其注意檢查截 交線投影的類似性交線投影的類似性截平面與體的截平面與體的幾個(gè)

18、棱面相交幾個(gè)棱面相交？截交線在俯、截交線在俯、左視圖上的形左視圖上的形狀？狀？例例1 1：求四棱錐被截切后的俯視圖和左視圖。：求四棱錐被截切后的俯視圖和左視圖。我們采用的是我們采用的是哪種解題方法哪種解題方法？棱線法！棱線法！例例2 2：求四棱錐被截切后的俯視圖和左視圖。：求四棱錐被截切后的俯視圖和左視圖。1 12 21 1 (2(2 ) )、兩點(diǎn)分別兩點(diǎn)分別同時(shí)位于三個(gè)面同時(shí)位于三個(gè)面上。上。三面共點(diǎn)：三面共點(diǎn)：2 2 1 1 注意：注意：要逐個(gè)截平面分析和繪制要逐個(gè)截平面分析和繪制截交線。當(dāng)平面體只有局截交線。當(dāng)平面體只有局部被截切時(shí)，先假想為整部被截切時(shí)，先假想為整體被截切，求出截交線后

19、體被截切，求出截交線后再取局部。再取局部。例例2 2：求四棱錐被截切后的俯視圖和左視圖。：求四棱錐被截切后的俯視圖和左視圖。例例 3: 求八棱柱被平面求八棱柱被平面P截切后的俯視圖。截切后的俯視圖。P P 截交線的形狀？截交線的形狀？1 1 5 5 4 4 3 3 2 2 8 8 7 7 6 6 截交線的投影截交線的投影特性？特性？2 2 3 3 6 6 7 7 1 1 8 8 4 4 5 5 求截交線求截交線1 15 54 47 76 63 32 28 8分析棱線的分析棱線的投影投影檢查截交檢查截交線的投影線的投影例例 3: 求八棱柱被平面求八棱柱被平面P截切后的俯視圖。截切后的俯視圖。3.

20、3.2 3.3.2 回轉(zhuǎn)體的截切回轉(zhuǎn)體的截切一、回轉(zhuǎn)體截切的基本形式一、回轉(zhuǎn)體截切的基本形式截交線的性質(zhì)：截交線的性質(zhì)： 截交線是截平面與回轉(zhuǎn)體表面的截交線是截平面與回轉(zhuǎn)體表面的共有線共有線。 截交線的形狀取決于回轉(zhuǎn)體表面的形狀及截交線的形狀取決于回轉(zhuǎn)體表面的形狀及 截平面與回轉(zhuǎn)體軸線的相對(duì)位置截平面與回轉(zhuǎn)體軸線的相對(duì)位置。 截交線都是截交線都是封閉的平面圖形封閉的平面圖形。二、求平面與回轉(zhuǎn)體的截交線的一般步驟二、求平面與回轉(zhuǎn)體的截交線的一般步驟 空間及投影分析空間及投影分析 分析回轉(zhuǎn)體的形狀以及截平面與回轉(zhuǎn)體軸線分析回轉(zhuǎn)體的形狀以及截平面與回轉(zhuǎn)體軸線 的相對(duì)位置，以便的相對(duì)位置，以便確定截交

21、線的形狀確定截交線的形狀。 分析截平面與投影面的相對(duì)位置，分析截平面與投影面的相對(duì)位置，明確明確截交截交 線的投影特性線的投影特性，如積聚性、類似性等。，如積聚性、類似性等。找出找出 截交線的截交線的已知已知投影，投影，予見未知予見未知投影。投影。 畫出截交線的投影畫出截交線的投影當(dāng)截交線的投影為非圓曲線時(shí)，其作圖步驟為：當(dāng)截交線的投影為非圓曲線時(shí)，其作圖步驟為： 將各點(diǎn)光滑地連接起來，并判斷截交線的可將各點(diǎn)光滑地連接起來，并判斷截交線的可 見性。見性。 先找特殊點(diǎn)，補(bǔ)充中間點(diǎn)先找特殊點(diǎn)，補(bǔ)充中間點(diǎn)。 圓柱體的截切圓柱體的截切 截平面與圓柱面的截交線的形狀取決于截平面與圓柱面的截交線的形狀取決

22、于截平面與圓柱軸線的相對(duì)位置截平面與圓柱軸線的相對(duì)位置垂直垂直圓圓橢圓橢圓平行平行兩平行直線兩平行直線傾斜傾斜P PV VP PP PV VP PP PV VP P例例1 1：求左視圖：求左視圖空間及投影分析空間及投影分析求截交線求截交線分析圓柱體輪廓素線的投影分析圓柱體輪廓素線的投影截平面與體的相對(duì)位置截平面與體的相對(duì)位置截平面與投影面的相對(duì)位置截平面與投影面的相對(duì)位置解題步驟：解題步驟： 同一立體被多同一立體被多個(gè)平面截切，要逐個(gè)平面截切，要逐個(gè)截平面進(jìn)行截交個(gè)截平面進(jìn)行截交線的分析和作圖。線的分析和作圖。例例1 1：求左視圖：求左視圖空間及投影分析空間及投影分析求截交線求截交線分析圓柱體

23、輪廓素線的投影分析圓柱體輪廓素線的投影截平面與體的相對(duì)位置截平面與體的相對(duì)位置截平面與投影面的相對(duì)位置截平面與投影面的相對(duì)位置解題步驟：解題步驟：例例2 2：求左視圖：求左視圖例例2 2：求左視圖：求左視圖例例3 3：求俯視圖：求俯視圖例例3 3：求俯視圖：求俯視圖截交線的已知投影？截交線的已知投影？例例4 4：求左視圖：求左視圖找特殊點(diǎn)找特殊點(diǎn)補(bǔ)充中間點(diǎn)補(bǔ)充中間點(diǎn)光滑連接各點(diǎn)光滑連接各點(diǎn)分析輪廓素線的投影分析輪廓素線的投影截交線的側(cè)面投截交線的側(cè)面投影是什么形狀？影是什么形狀？截交線的截交線的空間形狀空間形狀？ 例例4 4：求左視圖：求左視圖找特殊點(diǎn)找特殊點(diǎn)找中間點(diǎn)找中間點(diǎn)光滑連接各點(diǎn)光滑連

24、接各點(diǎn)分析輪廓素線的投影分析輪廓素線的投影 橢圓的長、橢圓的長、短軸隨截平面與短軸隨截平面與圓柱軸線夾角的圓柱軸線夾角的變化而改變。變化而改變。4545什么情況下什么情況下投影為圓呢投影為圓呢？截平面與圓柱截平面與圓柱軸線成軸線成4545時(shí)時(shí)。例例5 5：求左視圖：求左視圖例例5 5：求左視圖：求左視圖虛實(shí)分界點(diǎn)虛實(shí)分界點(diǎn) 圓錐體的截切圓錐體的截切 根據(jù)截平面與圓錐軸線的相根據(jù)截平面與圓錐軸線的相對(duì)位置不同，截交線有五種形狀對(duì)位置不同，截交線有五種形狀。過錐頂過錐頂兩相交直線兩相交直線P PV V圓圓P PV V= 90= 90P PV V橢圓橢圓拋物線拋物線P PV V=雙曲線雙曲線P PV

25、 V= 0= 0例例: 圓錐被正垂面截切，求圓錐被正垂面截切，求 截交線，并完成三視圖截交線，并完成三視圖。截交線截交線的空間的空間形狀？形狀？截交線截交線的投影的投影特性？特性？找特殊點(diǎn)找特殊點(diǎn)如何找橢圓另如何找橢圓另一根軸的端點(diǎn)一根軸的端點(diǎn)？補(bǔ)充中間點(diǎn)補(bǔ)充中間點(diǎn)光滑連接各點(diǎn)光滑連接各點(diǎn)分析輪廓線的分析輪廓線的 投影投影例例: 圓錐被正垂面截切，求圓錐被正垂面截切，求 截交線，并完成三視圖。截交線，并完成三視圖。 球體的截切球體的截切 平面與圓球相交，平面與圓球相交，截交線的形截交線的形狀都是圓狀都是圓，但根據(jù)截平面與投影面，但根據(jù)截平面與投影面的相對(duì)位置不同，的相對(duì)位置不同，其其截交線的投

26、影截交線的投影可能為圓、橢圓或積聚成一條直線可能為圓、橢圓或積聚成一條直線。例：求半球體截切后的俯視圖和左視圖。例：求半球體截切后的俯視圖和左視圖。水平面截圓球的截交線水平面截圓球的截交線的投影，在俯視圖上為的投影，在俯視圖上為部分圓弧，在側(cè)視圖上部分圓弧，在側(cè)視圖上積聚為直線。積聚為直線。兩個(gè)側(cè)平面截圓球的截兩個(gè)側(cè)平面截圓球的截交線的投影，在側(cè)視圖交線的投影，在側(cè)視圖上為部分圓弧，在俯視上為部分圓弧，在俯視圖上積聚為直線。圖上積聚為直線。例：求半球體截切后的俯視圖和左視圖。例：求半球體截切后的俯視圖和左視圖。 復(fù)合回轉(zhuǎn)體的截切復(fù)合回轉(zhuǎn)體的截切 首先分析復(fù)合回轉(zhuǎn)體由哪些基本回轉(zhuǎn)體組成首先分析復(fù)

27、合回轉(zhuǎn)體由哪些基本回轉(zhuǎn)體組成以及它們的連接關(guān)系，以及它們的連接關(guān)系，然后然后分別求出這些基本回分別求出這些基本回轉(zhuǎn)體的截交線，并依次將其連接。轉(zhuǎn)體的截交線，并依次將其連接。例：求作頂尖的俯視圖例：求作頂尖的俯視圖 小小 結(jié)結(jié) 一、平面體的截交線一般情況下是由直線組成一、平面體的截交線一般情況下是由直線組成 的封閉的平面多邊形，多邊形的邊是的封閉的平面多邊形，多邊形的邊是截平截平 面與棱面的交線面與棱面的交線。求截交線的方法：求截交線的方法：棱線法棱線法 棱面法棱面法二、平面截切回轉(zhuǎn)體，截交線的形狀取決于截二、平面截切回轉(zhuǎn)體，截交線的形狀取決于截 平面與被截立體軸線的相對(duì)位置。平面與被截立體軸線

28、的相對(duì)位置。 截交線是截平面與回轉(zhuǎn)體表面的截交線是截平面與回轉(zhuǎn)體表面的共有線共有線。 當(dāng)截交線的投影為非圓曲線時(shí)，當(dāng)截交線的投影為非圓曲線時(shí)，要要先先找特殊點(diǎn)，再補(bǔ)充中間點(diǎn)找特殊點(diǎn)，再補(bǔ)充中間點(diǎn)，最后光滑連接，最后光滑連接各點(diǎn)。各點(diǎn)。 注意分析平面體的棱線和回轉(zhuǎn)體輪廓注意分析平面體的棱線和回轉(zhuǎn)體輪廓素線的投影。素線的投影。 分析截平面與被截立體對(duì)投影面的相對(duì)分析截平面與被截立體對(duì)投影面的相對(duì) 位置，以位置，以確定截交線的投影特性確定截交線的投影特性。 求截交線求截交線三、解題方法與步驟三、解題方法與步驟 空間及投影分析空間及投影分析 分析截平面與被截立體的相對(duì)位置，以分析截平面與被截立體的相對(duì)

29、位置，以 確定截交線的形狀確定截交線的形狀。 當(dāng)單體被多個(gè)截平面截切時(shí)，要當(dāng)單體被多個(gè)截平面截切時(shí)，要逐個(gè)逐個(gè)截截 平面平面進(jìn)行截交線的分析與作圖進(jìn)行截交線的分析與作圖。當(dāng)只有。當(dāng)只有 局部被截切局部被截切時(shí)，先時(shí)，先按整體被截切求出截按整體被截切求出截 交線交線，然后，然后再取局部再取局部。 求求復(fù)合回轉(zhuǎn)體復(fù)合回轉(zhuǎn)體的截交線，應(yīng)首先分析復(fù)的截交線，應(yīng)首先分析復(fù) 合回轉(zhuǎn)體由哪些基本回轉(zhuǎn)體組成以及它合回轉(zhuǎn)體由哪些基本回轉(zhuǎn)體組成以及它 們的連接關(guān)系，然后們的連接關(guān)系，然后分別求出分別求出這些這些基本基本 回轉(zhuǎn)體的截交線回轉(zhuǎn)體的截交線，并依，并依次將其連接次將其連接。平面體與回平面體與回轉(zhuǎn)體相貫轉(zhuǎn)體

30、相貫回轉(zhuǎn)體與回回轉(zhuǎn)體與回轉(zhuǎn)體相貫轉(zhuǎn)體相貫多體相貫多體相貫3.4 3.4 相貫體投影相貫體投影1.1.相貫的形式相貫的形式 兩立體相交叫作相貫，其表面產(chǎn)生的交兩立體相交叫作相貫，其表面產(chǎn)生的交線叫做線叫做相貫線相貫線。 本章主要討論常用不同立體相交時(shí)其本章主要討論常用不同立體相交時(shí)其表表面相貫線的投影特性及畫法。面相貫線的投影特性及畫法。2.2.相貫線的主要性質(zhì)相貫線的主要性質(zhì) 其作圖實(shí)質(zhì)是找出相貫的兩立其作圖實(shí)質(zhì)是找出相貫的兩立體表面的若干體表面的若干共有點(diǎn)共有點(diǎn)的投影。的投影。 共有性共有性 表面性表面性相貫線位于兩立體的表面上。相貫線位于兩立體的表面上。相貫線是相貫線是兩立體表面的共有線兩

31、立體表面的共有線。 封閉性封閉性 相貫線一般是相貫線一般是封閉的空間折線封閉的空間折線（通（通常由直線和曲線組成）常由直線和曲線組成）或空間曲線或空間曲線。1.1.相貫線的性質(zhì)相貫線的性質(zhì) 相貫線是相貫線是由若干段平面曲由若干段平面曲線（或直線）所組成的線（或直線）所組成的空間折空間折線線，每一段是平面體的棱面與每一段是平面體的棱面與回轉(zhuǎn)體表面的交線回轉(zhuǎn)體表面的交線。3.4.1 平面體與回轉(zhuǎn)體相貫平面體與回轉(zhuǎn)體相貫2.2.作圖方法作圖方法 分析各棱面與回轉(zhuǎn)體表面的相對(duì)位置，從而確分析各棱面與回轉(zhuǎn)體表面的相對(duì)位置，從而確 定交線的形狀。定交線的形狀。 求出各棱面與回轉(zhuǎn)體表面的截交線。求出各棱面與

32、回轉(zhuǎn)體表面的截交線。 連接各段交線，并判斷可見性。連接各段交線，并判斷可見性。 求交線的實(shí)質(zhì)是求交線的實(shí)質(zhì)是求各棱面與回轉(zhuǎn)面的截交線求各棱面與回轉(zhuǎn)面的截交線。例例1：補(bǔ)全主視圖補(bǔ)全主視圖 空間分析：空間分析： 四棱柱的四個(gè)棱面分別與四棱柱的四個(gè)棱面分別與圓柱面相交，前后兩棱面與圓圓柱面相交，前后兩棱面與圓柱軸線平行，截交線為兩段直柱軸線平行，截交線為兩段直線；左右兩棱面與圓柱軸線垂線；左右兩棱面與圓柱軸線垂直，截交線為兩段圓弧。直，截交線為兩段圓弧。 投影分析：投影分析： 由于相貫線是兩立體表由于相貫線是兩立體表面的共有線，所以相貫線的面的共有線，所以相貫線的側(cè)面投影積聚在一段圓弧上，側(cè)面投影

33、積聚在一段圓弧上，水平投影積聚在矩形上。水平投影積聚在矩形上。例例1：補(bǔ)全主視圖補(bǔ)全主視圖例例2：求作主視圖：求作主視圖例例2：求作主視圖：求作主視圖1. 1. 相貫線的性質(zhì)相貫線的性質(zhì) 相貫線一般為相貫線一般為光滑封閉的光滑封閉的空間曲線空間曲線，它是兩回轉(zhuǎn)體表面它是兩回轉(zhuǎn)體表面的共有線的共有線。3.4.2 3.4.2 回轉(zhuǎn)體與回轉(zhuǎn)體相貫回轉(zhuǎn)體與回轉(zhuǎn)體相貫2.2.作圖方法作圖方法 利用投影的積聚性直接找點(diǎn)利用投影的積聚性直接找點(diǎn)。 用輔助平面法。用輔助平面法。 先找特殊點(diǎn)。先找特殊點(diǎn)。 作圖過程作圖過程 補(bǔ)充中間點(diǎn)。補(bǔ)充中間點(diǎn)。確定交線的確定交線的彎曲趨勢(shì)彎曲趨勢(shì)確定交線確定交線的范圍的范圍

34、例例 1 ：圓柱與圓柱相貫，求其相貫線。：圓柱與圓柱相貫，求其相貫線。 空間及投影分析：空間及投影分析： 小圓柱軸線垂直于小圓柱軸線垂直于H面，水面，水平投影積聚為圓，根據(jù)相貫線的平投影積聚為圓，根據(jù)相貫線的共有性，相貫線的水平投影即為共有性，相貫線的水平投影即為該圓。大圓柱軸線垂直于該圓。大圓柱軸線垂直于W面，面，側(cè)面投影積聚為圓，相貫線的側(cè)側(cè)面投影積聚為圓，相貫線的側(cè)面投影在該圓上。面投影在該圓上。求相貫線的投影：求相貫線的投影： 利用積聚性，采用利用積聚性，采用表面取點(diǎn)法。表面取點(diǎn)法。 找特殊點(diǎn)找特殊點(diǎn) 補(bǔ)充中間點(diǎn)補(bǔ)充中間點(diǎn) 光滑連接光滑連接例例 1 ：圓柱與圓柱相貫，求其相貫線。：圓柱

35、與圓柱相貫，求其相貫線。當(dāng)圓柱直徑變化時(shí)，相貫線的變化趨勢(shì)。當(dāng)圓柱直徑變化時(shí)，相貫線的變化趨勢(shì)。交線向大圓交線向大圓柱一側(cè)彎柱一側(cè)彎交線為兩條平面交線為兩條平面曲線（橢圓）曲線（橢圓）例例2：補(bǔ)全主視圖：補(bǔ)全主視圖 外形交線外形交線 兩外表面相貫兩外表面相貫 一內(nèi)表面和一外表面相貫一內(nèi)表面和一外表面相貫 內(nèi)形交線內(nèi)形交線 兩內(nèi)表面相貫兩內(nèi)表面相貫例例2：補(bǔ)全主視圖：補(bǔ)全主視圖 無輪是兩外表面相貫，無輪是兩外表面相貫，還是一內(nèi)表面和一外表面還是一內(nèi)表面和一外表面相貫，或者兩內(nèi)表面相貫，相貫，或者兩內(nèi)表面相貫，求相貫線的方法和思路是求相貫線的方法和思路是一樣的。一樣的。小小 結(jié)：結(jié)：例例3：求主視

36、圖：求主視圖相切處無線相切處無線 外表面與外表外表面與外表面相貫，內(nèi)表面與面相貫，內(nèi)表面與內(nèi)表面相貫。分別內(nèi)表面相貫。分別求其相貫線。求其相貫線。立體例例3：求主視圖：求主視圖例例 4：圓柱與圓錐相貫，求其相貫線的投影。：圓柱與圓錐相貫，求其相貫線的投影。 空間及投影分析：空間及投影分析： 相貫線為一相貫線為一光滑的封閉的空間曲線光滑的封閉的空間曲線。它的側(cè)面投影有積聚性，正面投影、水平它的側(cè)面投影有積聚性，正面投影、水平投影沒有積聚性，應(yīng)分別求出。投影沒有積聚性，應(yīng)分別求出。 解題方法：解題方法：輔助平面法輔助平面法輔助平面法：輔助平面法： 根據(jù)根據(jù)三面共點(diǎn)三面共點(diǎn)的原理，利用輔助平面求的原

37、理，利用輔助平面求出兩回轉(zhuǎn)體表面上的若干共有點(diǎn)，從而畫出出兩回轉(zhuǎn)體表面上的若干共有點(diǎn)，從而畫出相貫線的投影。相貫線的投影。作圖方法：作圖方法： 假想用輔助平面截切兩回轉(zhuǎn)體假想用輔助平面截切兩回轉(zhuǎn)體，分別得，分別得出兩回轉(zhuǎn)體表面的截交線。由于截交線的交出兩回轉(zhuǎn)體表面的截交線。由于截交線的交點(diǎn)既在輔助平面內(nèi)，又在兩回轉(zhuǎn)體表面上，點(diǎn)既在輔助平面內(nèi)，又在兩回轉(zhuǎn)體表面上，因而是相貫線上的點(diǎn)。因而是相貫線上的點(diǎn)。輔助平面的選擇原則：輔助平面的選擇原則： 使使輔助平面與兩回轉(zhuǎn)體輔助平面與兩回轉(zhuǎn)體表面的截交線表面的截交線的的投影投影簡單易畫簡單易畫，例如直線或圓。，例如直線或圓。一般選擇一般選擇投影面平行面投

38、影面平行面例例 4：圓柱與圓錐相貫，求其相貫線的投影。：圓柱與圓錐相貫，求其相貫線的投影。 假想用水平面假想用水平面P截切立體，截切立體，P面與圓柱面與圓柱體的截交線為兩條直線，與圓錐面的交線體的截交線為兩條直線，與圓錐面的交線為圓，圓與兩直線的交點(diǎn)即為交線上的點(diǎn)。為圓，圓與兩直線的交點(diǎn)即為交線上的點(diǎn)。P例例 4：圓柱與圓錐相貫，求其相貫線的投影。：圓柱與圓錐相貫，求其相貫線的投影。 解題步驟：解題步驟： 求特殊點(diǎn)求特殊點(diǎn) 用輔助平面法求用輔助平面法求 中間點(diǎn)中間點(diǎn) 光滑連接各點(diǎn)光滑連接各點(diǎn)例例 4：圓柱與圓錐相貫，求其相貫線的投影。：圓柱與圓錐相貫，求其相貫線的投影。 解題步驟：解題步驟：

39、求特殊點(diǎn)求特殊點(diǎn) 用輔助平面法求用輔助平面法求 中間點(diǎn)中間點(diǎn) 光滑連接各點(diǎn)光滑連接各點(diǎn)123例例5：補(bǔ)全主視圖：補(bǔ)全主視圖 這是一個(gè)多體這是一個(gè)多體相貫的例子，首先相貫的例子，首先分析它是由哪些基分析它是由哪些基本體組成的，這些本體組成的，這些基本體是如何相貫基本體是如何相貫的，的，然后然后分別進(jìn)行分別進(jìn)行相貫線的分析與作相貫線的分析與作圖。圖。例例5：補(bǔ)全主視圖：補(bǔ)全主視圖三面共點(diǎn)三面共點(diǎn) 作圖時(shí)要抓住作圖時(shí)要抓住一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，相貫一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，相貫線匯交于這一點(diǎn)。線匯交于這一點(diǎn)。例例6：求俯視圖：求俯視圖例例6：求俯視圖：求俯視圖 小小 結(jié)結(jié) 一、本章的基本內(nèi)容一、本章的基本內(nèi)容 立體表面相貫

40、線的概念立體表面相貫線的概念 求相貫線的基本方法求相貫線的基本方法相貫線的性質(zhì)：相貫線的性質(zhì)：表面性表面性 共有性共有性 封閉性封閉性二、解題過程二、解題過程 交線分析交線分析 空間分析：空間分析： 投影分析：投影分析： 是否有積聚性投影？是否有積聚性投影？找出找出相貫線的相貫線的已知投影已知投影，預(yù)見未知投影，預(yù)見未知投影，從而從而選擇解題方法。選擇解題方法。面上找點(diǎn)法面上找點(diǎn)法 輔助平面法輔助平面法 分析相交兩立體的表面形狀，分析相交兩立體的表面形狀， 形體大小及相形體大小及相對(duì)位置，對(duì)位置，預(yù)見交線的形狀預(yù)見交線的形狀。特殊點(diǎn)包括：最上點(diǎn)、最下點(diǎn)、最左點(diǎn)、特殊點(diǎn)包括：最上點(diǎn)、最下點(diǎn)、最左

41、點(diǎn)、 最右點(diǎn)、最前點(diǎn)、最后點(diǎn)、最右點(diǎn)、最前點(diǎn)、最后點(diǎn)、 輪廓線上的點(diǎn)等。輪廓線上的點(diǎn)等。 作圖作圖 找點(diǎn)找點(diǎn)連線連線檢查、加深檢查、加深尤其注意檢查回轉(zhuǎn)體輪廓素線的投影。尤其注意檢查回轉(zhuǎn)體輪廓素線的投影。 當(dāng)相貫線的投影為非圓曲線時(shí)，其作圖步當(dāng)相貫線的投影為非圓曲線時(shí)，其作圖步驟為：驟為： 先找特殊點(diǎn)先找特殊點(diǎn) 補(bǔ)充若干中間點(diǎn)補(bǔ)充若干中間點(diǎn)三、平面體與圓柱體相貫三、平面體與圓柱體相貫 相貫線的產(chǎn)生：相貫線的產(chǎn)生： 求相貫線的方法：求相貫線的方法： 相貫線的形狀及投影：相貫線的形狀及投影：外表面與外表面相交，外表面與外表面相交，外表面與內(nèi)表面相交，外表面與內(nèi)表面相交，內(nèi)表面與內(nèi)表面相交。內(nèi)表面與

42、內(nèi)表面相交。 求平面體的求平面體的棱面與圓柱面的截交線棱面與圓柱面的截交線，依次連依次連接起來。接起來。 相貫線為相貫線為封閉的空間折線封閉的空間折線。相貫線在非積聚。相貫線在非積聚性投影上總是性投影上總是向被穿的圓柱體里面彎折向被穿的圓柱體里面彎折，而且在，而且在兩體兩體相交區(qū)域內(nèi)不應(yīng)有圓柱體輪廓線的投影相交區(qū)域內(nèi)不應(yīng)有圓柱體輪廓線的投影。四、兩圓柱體相貫四、兩圓柱體相貫 相貫線的產(chǎn)生相貫線的產(chǎn)生： 求相貫線的方法：求相貫線的方法： 相貫線的形狀及投影：相貫線的形狀及投影：外表面與外表面相交，外表面與外表面相交，外表面與內(nèi)表面相交，外表面與內(nèi)表面相交，內(nèi)表面與內(nèi)表面相交。內(nèi)表面與內(nèi)表面相交。

43、 常用的方法是常用的方法是利用積聚性利用積聚性表面取點(diǎn)表面取點(diǎn)，也可用，也可用輔助平面法輔助平面法。 相貫線為相貫線為光滑封閉的空間曲線光滑封閉的空間曲線。當(dāng)兩圓柱正交，。當(dāng)兩圓柱正交，小圓柱穿大圓柱時(shí)，相貫線在非積聚性投影上總是小圓柱穿大圓柱時(shí)，相貫線在非積聚性投影上總是向大圓柱里彎曲向大圓柱里彎曲，當(dāng)當(dāng)兩圓柱直徑相等兩圓柱直徑相等時(shí)，相貫線在時(shí)，相貫線在空間為兩個(gè)橢圓，其空間為兩個(gè)橢圓，其投影變?yōu)橹本€投影變?yōu)橹本€。 在兩體在兩體相交區(qū)域內(nèi)不應(yīng)有圓柱體輪廓線的投影相交區(qū)域內(nèi)不應(yīng)有圓柱體輪廓線的投影。五、多體相貫五、多體相貫 每個(gè)局部都是兩體相貫每個(gè)局部都是兩體相貫，首先分析，首先分析它是由哪些基本體組成的，然后它是由哪些基本體組成的，然后兩兩進(jìn)兩兩進(jìn)行相貫線的分析與作圖行相貫線的分析與作圖。3.1 3.1 組合體的組成方式組合體的組成方式組合體組合體 由平面體和曲面體組成的物體由平面體和曲面體組成的物體一、組合體的組成方式一、組合體的組成方式 疊加疊加 疊加的形式包括：疊加的形式包括：表面平齊表面平齊疊加疊加表面不平齊表面不平齊疊加疊加對(duì)稱對(duì)