高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)：第10章《計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布》9

1、u第九節(jié) 離散型隨機(jī)變量的均值與方差、正態(tài)分布(理)u主干知識(shí)梳理u一、均值u1一般地，若離散型隨機(jī)變量X的分布列為：Xx1x2xixnPp1p2pipnu則稱E(X)為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的u u2若YaXb，其中a，b為常數(shù)，則Y也是隨機(jī)變量，且E(aXb).u3(1)若X服從兩點(diǎn)分布，則E(X) ；u(2)若XB(n，p)，則E(X) .x1p1x2p2xipixnpn平均水平aE(X)bpnpu二、方差u1設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為：Xx1x2xixnPp1p2pipn(xiE(X)2 平均偏離程度 u2D(aXb)u3若X服從兩點(diǎn)分布，則D(X)u

2、4若XB(n，p)，則D(X)a2D(X)p(1p)np(1p)上方 x x 1 u (6)當(dāng)一定時(shí)，曲線的形狀由確定，越小，曲線越 ，表示總體的分布越集中；越大，曲線越 ，表示總體的分布越 “瘦高”“矮胖”分散u2正態(tài)分布的三個(gè)常用數(shù)據(jù)：u(1)P(X)；u(2)P(2X2)；u(3)P(3X3) .0.682 60.954 40.997 4u 基礎(chǔ)自測(cè)自評(píng)u1(2013廣東高考)已知離散型隨機(jī)變量X的分布列為u2已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布N(0，2)若P(2)0.023，則P(22)u()uA0.477 B0.628uC0.954 D0.977uC0，P(2)P(2)0.023，uP(22)

3、120.0230.954.u3(教材習(xí)題改編)設(shè)隨機(jī)變量XB(n，p)且E(X)1.6，D(X)1.28則u()uAn8p0.2 Bn4p0.4uCn5p0.32 Dn7p0.45uAXB(n，p)，E(X)np1.6，uD(X)np(1p)1.28，解得n8，p0.2.u 關(guān)鍵要點(diǎn)點(diǎn)撥u1均值與方差：u(1)均值E(X)是一個(gè)實(shí)數(shù)，由X的分布列唯一確定，即X作為隨機(jī)變量是可變的，而E(X)是不變的，它描述X值的取值平均狀態(tài)u(2)D(X)表示隨機(jī)變量X對(duì)E(X)的平均偏散程度，D(X)越小，X的取值越集中，D(X)越大，X的取值越分散u2由正態(tài)分布計(jì)算實(shí)際問(wèn)題中的概率百分比時(shí)，關(guān)鍵是把正態(tài)分

4、布的兩個(gè)重要參數(shù)、求出，然后確定三個(gè)區(qū)間(，(2，2，(3，3與已知概率值進(jìn)行聯(lián)系求解. 離散型隨機(jī)變量的均值與方差 u u(1)求此人到達(dá)當(dāng)日空氣重度污染的概率；u(2)設(shè)X是此人停留期間空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良的天數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；u(3)由圖判斷從哪天開始連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大？(結(jié)論不要求證明)u 規(guī)律方法u1求離散型隨機(jī)變量的均值與方差關(guān)鍵是確定隨機(jī)變量的所有可能值，寫出其分布列，正確利用公式計(jì)算若隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，則可直接代入公式E(X)np，uD(X)np(1p)計(jì)算u2注意E(aXb)aE(X)b，D(aXb)a2D(X)的應(yīng)用u 跟蹤訓(xùn)練u1(2013重慶高考)某商

5、場(chǎng)舉行的“三色球”購(gòu)物摸獎(jiǎng)活動(dòng)規(guī)定：在一次摸獎(jiǎng)中，摸獎(jiǎng)?wù)呦葟难b有3個(gè)紅球與4個(gè)白球的袋中任意摸出3個(gè)球，再?gòu)难b有1個(gè)藍(lán)球與2個(gè)白球的袋中任意摸出1個(gè)球根據(jù)摸出4個(gè)球中紅球與藍(lán)球的個(gè)數(shù)，設(shè)一、二、三等獎(jiǎng)如下：u其余情況無(wú)獎(jiǎng)且每次摸獎(jiǎng)最多只能獲得一個(gè)獎(jiǎng)級(jí)u(1)求一次摸獎(jiǎng)恰好摸到1個(gè)紅球的概率；u(2)求摸獎(jiǎng)?wù)咴谝淮蚊?jiǎng)中獲獎(jiǎng)金額X的分布列與期望E(X)均值與方差的實(shí)際應(yīng)用 日需求量n14151617181920頻數(shù)10201616151310u以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率u若花店一天購(gòu)進(jìn)16枝玫瑰花，X表示當(dāng)天的利潤(rùn)(單位：元)，求X的分布列、數(shù)學(xué)期望及方差；u若花店計(jì)劃

6、一天購(gòu)進(jìn)16枝或17枝玫瑰花，你認(rèn)為應(yīng)購(gòu)進(jìn)16枝還是17枝？請(qǐng)說(shuō)明理由u (2)X可能的取值為60,70,80，并且uP(X60)0.1，P(X70)0.2，P(X80)0.7.uX的分布列為：X607080P0.10.20.7uX的數(shù)學(xué)期望為uE(X)600.1700.2800.776.uX的方差為uD(X)(6076)20.1(7076)20.2(8076)20.744.u答案一：花店一天應(yīng)購(gòu)進(jìn)16枝玫瑰花理由如下：u若花店一天購(gòu)進(jìn)17枝玫瑰花，Y表示當(dāng)天的利潤(rùn)(單位：元)，那么Y的分布列為：uY的數(shù)學(xué)期望為E(Y)550.1650.2750.16850.5476.4.uY的方差為D(Y)

7、(5576.4)20.1(6576.4)20.2(7576.4)20.16(8576.4)20.54u112.04.Y55657585P0.10.20.160.54u由以上的計(jì)算結(jié)果可以看出，D(X)D(Y)，即購(gòu)進(jìn)16枝玫瑰花時(shí)利潤(rùn)波動(dòng)相對(duì)較小另外，雖然E(X)E(Y)，但兩者相差不大故花店一天應(yīng)購(gòu)進(jìn)16枝玫瑰花u答案二：花店一天應(yīng)購(gòu)進(jìn)17枝玫瑰花理由如下：u若花店一天購(gòu)進(jìn)17枝玫瑰花，Y表示當(dāng)天的利潤(rùn)(單位：元)，那么Y的分布列為：Y55657585P0.10.20.160.54uY的數(shù)學(xué)期望為E(Y)u550.1650.2750.16850.5476.4.u由以上的計(jì)算結(jié)果可以看出，E(

8、X)E(Y)，即購(gòu)進(jìn)17枝玫瑰花時(shí)的平均利潤(rùn)大于購(gòu)進(jìn)16枝時(shí)的平均利潤(rùn)故花店一天應(yīng)購(gòu)進(jìn)17枝玫瑰花u 規(guī)律方法u隨機(jī)變量的均值反映了隨機(jī)變量取值的平均水平，方差反映了隨機(jī)變量穩(wěn)定于均值的程度，它們從整體和全局上刻畫了隨機(jī)變量，是生產(chǎn)實(shí)際中用于方案取舍的重要的理論依據(jù)，一般先比較均值，若均值相同，再用方差來(lái)決定u 跟蹤訓(xùn)練u2(2014濟(jì)南模擬)某企業(yè)計(jì)劃投資A，B兩個(gè)項(xiàng)目，根據(jù)市場(chǎng)分析，A，B兩個(gè)項(xiàng)目的利潤(rùn)率分別為隨機(jī)變量X1和X2，X1和X2的分布列分別為X15%10%P0.80.2u(1)若在A，B兩個(gè)項(xiàng)目上各投資1 000萬(wàn)元，Y1和Y2分別表示投資項(xiàng)目A和B所獲得的利潤(rùn)，求利潤(rùn)的期望E

9、(Y1)，E(Y2)和方差D(Y1)，D(Y2)；X22%8%12%P0.20.50.3u(2)由于資金限制，企業(yè)只能將x(0 x1 000)萬(wàn)元投資A項(xiàng)目，1 000 x萬(wàn)元投資B項(xiàng)目，f(x)表示投資A項(xiàng)目所得利潤(rùn)的方差與投資B項(xiàng)目所得利潤(rùn)的方差的和求f(x)的最小值，并指出x為何值時(shí)，f(x)取到最小值u解析(1)由題設(shè)可知Y1和Y2的分布列分別為uE(Y1)500.81000.260，uD(Y1)(5060)20.8(10060)20.2400，uE(Y2)200.2800.51200.380，uD(Y2)(2080)20.2(8080)20.5(12080)20.31 200.Y15

10、0100P0.80.2Y22080120P0.20.50.3正態(tài)分布 u(2)某客運(yùn)公司用A、B兩種型號(hào)車輛承擔(dān)甲、乙兩地間的長(zhǎng)途客運(yùn)任務(wù)，每車每天往返一次，A、B兩種車輛載客量分別為36人和60人，從甲地去乙地的營(yíng)運(yùn)成本分別為1 600元/輛和2 400元/輛公司擬組建一個(gè)不超過(guò)21輛車的客運(yùn)車隊(duì)，并要求B型車不多于A型車7輛若每天要以不小于p0的概率運(yùn)完從甲地去乙地的旅客，且使公司從甲地去乙地的營(yíng)運(yùn)成本最小，那么應(yīng)配備A型車、B型車各多少輛？u跟蹤訓(xùn)練u3(2014安徽模擬)在某市2013年1月份的高三質(zhì)量檢測(cè)考 試 中 ， 理 科 學(xué) 生 的 數(shù) 學(xué) 成 績(jī) 服 從 正 態(tài) 分 布N(98,100)已知參加本次考試的全市理科學(xué)生約9 450人某學(xué)生在這次考試中的數(shù)學(xué)成績(jī)是108分，那么他的數(shù)學(xué)成績(jī)大約排在全市前多少名左右？u()uA1 500B1 700uC4 500 D8 000u (1)求觀眾甲選中3號(hào)歌手且觀眾乙未選中3號(hào)歌手的概率；u(2)X表示3號(hào)歌手得到觀眾甲、乙、丙的票數(shù)之和，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望u【思路導(dǎo)析】甲選擇3號(hào)和乙未選擇3號(hào)是相互獨(dú)立事件，先分別計(jì)算其概率，然后利用P(AB)P(A)P