第八章-復(fù)合材料細觀力學(xué)基礎(chǔ)(改)

1、第八章第八章 復(fù)合材料細觀力學(xué)基礎(chǔ)復(fù)合材料細觀力學(xué)基礎(chǔ) 8-1 8-1 引言引言 l復(fù)合材料至少由兩種材料構(gòu)成，微觀性質(zhì)是不復(fù)合材料至少由兩種材料構(gòu)成，微觀性質(zhì)是不均勻的。均勻的。l 宏觀性能與微觀結(jié)構(gòu)之間的聯(lián)系？宏觀性能與微觀結(jié)構(gòu)之間的聯(lián)系？l平均值，等效性質(zhì)平均值，等效性質(zhì)均勻材料均勻材料l復(fù)合材料細觀力學(xué)就是在研究如何用一個均勻復(fù)合材料細觀力學(xué)就是在研究如何用一個均勻材料的響應(yīng)來代替非均勻復(fù)合材料的平均響應(yīng)。材料的響應(yīng)來代替非均勻復(fù)合材料的平均響應(yīng)。l前幾章中復(fù)合材料前幾章中復(fù)合材料“模量模量”和和“強度強度”的含義是什么？的含義是什么？l復(fù)合材料的結(jié)構(gòu)分析涉及兩個尺度：復(fù)合材料的結(jié)構(gòu)分

2、析涉及兩個尺度：宏觀的，平宏觀的，平均意義的量均意義的量微觀的，涉及微觀的，涉及組分屬性和微組分屬性和微結(jié)構(gòu)分布結(jié)構(gòu)分布模量、強度模量、強度組分的含量、組分的含量、形狀、結(jié)合形狀、結(jié)合狀態(tài)等狀態(tài)等細觀力學(xué)建細觀力學(xué)建立二者之間立二者之間的關(guān)聯(lián)的關(guān)聯(lián)8-2 8-2 有效模量理論有效模量理論 一、有效模量理論一、有效模量理論1、宏觀均勻、代表性體積單元、宏觀均勻、代表性體積單元復(fù)合材料中的增強體復(fù)合材料中的增強體的幾何分布可以是規(guī)的幾何分布可以是規(guī)則的（如圖），也可則的（如圖），也可以是不規(guī)則的。以是不規(guī)則的。 總體來看，復(fù)合材料是宏觀均勻的，因此總體來看，復(fù)合材料是宏觀均勻的，因此研究其某些性能

3、時，只須取其一代表性體積單研究其某些性能時，只須取其一代表性體積單元（元（representative volume element）來研究即）來研究即可代表總體，見圖?？纱砜傮w，見圖。RVE的要求：的要求：1、RVE的尺寸的尺寸纖維纖維直徑；直徑；3、RVE的纖維體積分?jǐn)?shù)的纖維體積分?jǐn)?shù)=復(fù)合材料的纖維體積復(fù)合材料的纖維體積分?jǐn)?shù)。分?jǐn)?shù)。vvVff 纖維體積分?jǐn)?shù)：纖維體積分?jǐn)?shù)：fv纖維總體積；纖維總體積；v復(fù)合材料體積復(fù)合材料體積注意：注意：只有當(dāng)所討論問題的最小尺寸遠大于代表性體只有當(dāng)所討論問題的最小尺寸遠大于代表性體積單元時，復(fù)合材料的應(yīng)力應(yīng)變等才有意義。積單元時，復(fù)合材料的應(yīng)力應(yīng)變等才有

4、意義。 二、復(fù)合材料的應(yīng)力、應(yīng)變及有效模量（復(fù)合材料）（復(fù)合材料） （均勻等效體）（均勻等效體）vijijvv0d1klijklijC*vijijvv0d1按體積平均，定義復(fù)合材料的應(yīng)力、應(yīng)變?yōu)椋喊大w積平均，定義復(fù)合材料的應(yīng)力、應(yīng)變?yōu)椋浩骄鶓?yīng)力平均應(yīng)力平均應(yīng)變平均應(yīng)變則等效體的本構(gòu)方程（即應(yīng)力則等效體的本構(gòu)方程（即應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系）為：應(yīng)變關(guān)系）為：*ijklC定義為復(fù)合材料的有效模量（或宏觀模量，定義為復(fù)合材料的有效模量（或宏觀模量，總體模量）總體模量）jijixsu0)( jijinsT0)(三、有效模量理論1、邊界條件、邊界條件：（：（不能隨意！不能隨意?。┚鶆驊?yīng)變邊界條件：均勻應(yīng)變邊界條

5、件：均勻應(yīng)力邊界條件：均勻應(yīng)力邊界條件：0ijij0ijij 2、可證明的兩個特性：、可證明的兩個特性：在給定均勻應(yīng)變邊界下，有：在給定均勻應(yīng)變邊界下，有：在給定均勻應(yīng)力邊界下，有：在給定均勻應(yīng)力邊界下，有：證明可見證明可見復(fù)合材料力學(xué)復(fù)合材料力學(xué)（周履等）（周履等）P223。0d1ijvijijvv vijijvv0d1klijklijC* 3、有效模量理論、有效模量理論jijixsu0)(1）給定均勻應(yīng)變邊界條件）給定均勻應(yīng)變邊界條件而而*ijklC其中其中為復(fù)合材料的有效模量。為復(fù)合材料的有效模量。其應(yīng)變能為：其應(yīng)變能為：vCvUklijijklvijij*21d21此時，復(fù)合材料的應(yīng)變

6、能也為：此時，復(fù)合材料的應(yīng)變能也為：vCvUklijijklvijij*21d2100d1ijvijijvv vijijvv0d1jijinsT0)(2）給定均勻應(yīng)力邊界條件）給定均勻應(yīng)力邊界條件而而klijklijC*ij*ijklC則由則由，只需求得，只需求得，即可求得，即可求得3）有效模量的嚴(yán)格理論解）有效模量的嚴(yán)格理論解 只有按上述兩種均勻邊界條件算得的有效只有按上述兩種均勻邊界條件算得的有效彈性模量一致，并可由彈性模量一致，并可由RVE的解向鄰近單元連的解向鄰近單元連續(xù)拓展到整體時，所得的有效彈性模量才是嚴(yán)續(xù)拓展到整體時，所得的有效彈性模量才是嚴(yán)格的理論解。格的理論解。 則只有滿足上

7、述條件的復(fù)合材料的宏觀彈則只有滿足上述條件的復(fù)合材料的宏觀彈性模量才能通過體積平均應(yīng)力、應(yīng)變進行計算；性模量才能通過體積平均應(yīng)力、應(yīng)變進行計算；或按應(yīng)變能計算?；虬磻?yīng)變能計算。一、長纖維復(fù)合材料8-3 有效模量的材料力學(xué)半經(jīng)驗解法llmf1 1E（一）縱向有效模量（一）縱向有效模量采用平面假設(shè)，在采用平面假設(shè)，在P力作用下，對力作用下，對RVE有：有：（下標(biāo)（下標(biāo)f、m表示纖維和基體）表示纖維和基體）mmffvijmmvijffvijijVVvvvvvvvvdvvmf)()(d1d11mmffVV1mmmfffEEE,111mmffVEVEE1mf1所以有所以有而而利用利用稱為縱向有效模量的混

8、合律。稱為縱向有效模量的混合律。mmffVV222mmffVV2121（二）縱向泊松比（二）縱向泊松比RVE的縱向應(yīng)變關(guān)系式：的縱向應(yīng)變關(guān)系式：1兩邊同時除以兩邊同時除以，可得：，可得：mmffVV1212G（三）縱橫（面內(nèi)）剪切模量（三）縱橫（面內(nèi)）剪切模量在剪應(yīng)力作用下，在剪應(yīng)力作用下，RVE的剪的剪應(yīng)變有如下關(guān)系：應(yīng)變有如下關(guān)系：mmffGVGVG121mmmfffGGG,121212mf12以以代入上式，代入上式，并假設(shè)有并假設(shè)有，可得：，可得：（倒數(shù)混合律）（倒數(shù)混合律） mmffVV2 2E（四）橫向有效模量（四）橫向有效模量222fm設(shè)設(shè)而由平均值關(guān)系有：而由平均值關(guān)系有：222

9、222222,fffmmmEEEmmffEVEVE221（倒數(shù)混合律）（倒數(shù)混合律）12G2E12fG2fE可通過可通過和和的計算公式可反算的計算公式可反算和和。（五）（五）Halpin-Tsai方程方程mmffVEVEE1mmffVV21 單向纖維增強的單層的五個有效模量分單向纖維增強的單層的五個有效模量分別由下式計算：別由下式計算：mfmfMMMM1ffmVVMM11 23122,或GE（M表示表示）其中：其中：纖維增強效果的一種度量參數(shù)，依賴于：纖維增強效果的一種度量參數(shù)，依賴于 相幾何和載荷條件。相幾何和載荷條件。*babaGElog73. 1log ,2122對矩形（對矩形（ab）截

10、面纖維，）截面纖維，22E112GfV對圓截面纖維，方形排列，中等對圓截面纖維，方形排列，中等值時，值時，另外，另外，*式還可以用于沿直線排列的短纖維增式還可以用于沿直線排列的短纖維增強單層的縱向和橫向有效模量的計算：強單層的縱向和橫向有效模量的計算：計算計算E1時，?。簳r，?。篵aE21計算計算E2時，?。簳r，?。?2E二、短纖維復(fù)合材料（一）單向短纖維復(fù)合材料（一）單向短纖維復(fù)合材料TLEE ,只討論縱向和橫向模量（只討論縱向和橫向模量（）。）。2)2tanh(1llVEVEELmmffLL1、修正復(fù)合法則（修正混合定律）、修正復(fù)合法則（修正混合定律）L其中其中表示纖維長度有效因子。表示纖

11、維長度有效因子。 212)ln(2fffmrRrEG)(長（短）TTEEmGfrfV其中其中為基體剪切模量，為基體剪切模量，為纖維半經(jīng)，為纖維半經(jīng)，R為為纖維間距，纖維間距，l為纖維長度，為纖維長度，R與纖維的排列方式和與纖維的排列方式和有關(guān)。有關(guān)。fTfTmTfLfLmLVVEEVVdlEE121121 21 ;21mfmfTmfmfLEEEEdlEEEE 2、Halpin-Tsai方程方程dl 2此時，對此時，對 L?。喝。?對對 T?。喝。篸lTE上式表明上式表明與纖維長比與纖維長比無關(guān)，可見單向無關(guān)，可見單向短纖維復(fù)合材料的橫向模量與連續(xù)纖維復(fù)合短纖維復(fù)合材料的橫向模量與連續(xù)纖維復(fù)合材

12、料的相同。材料的相同。 )1 (fmffLoRandomVEVECETLRandomEEE8583（二）隨機分布短纖維復(fù)合材料（二）隨機分布短纖維復(fù)合材料1、修正混合律：、修正混合律：2、基于、基于halpin-Tsai的經(jīng)驗公式：的經(jīng)驗公式： oC 即為位向因子，在即為位向因子，在0.3750.5之間，材料之間，材料為面內(nèi)各向同性。為面內(nèi)各向同性。8-4 有效模量的其他力學(xué)模型解 一、復(fù)合圓柱模型fVconstba/a）復(fù)合圓柱族模型）復(fù)合圓柱族模型1E21b）求）求和和 23Kc）求）求12Gd）求）求mmffmmfmfmmffGKVKVvvVVVEVEE1)(421mmffmfmmfmf

13、mmffGKVKVKKvvVVVV1)11)(21mmmmffmGKVKKVKK123 可在復(fù)合圓柱模型上施加不同的均勻應(yīng)力可在復(fù)合圓柱模型上施加不同的均勻應(yīng)力邊界條件，利用彈性力學(xué)方法進行求解而得到邊界條件，利用彈性力學(xué)方法進行求解而得到有效模量，結(jié)果為：有效模量，結(jié)果為：1、2、3、（平面應(yīng)變體積模量）（平面應(yīng)變體積模量）)1 ()1 (12fmmfmmffmVGVGVGVGGG4、23G5、可由三相模型求得：可由三相模型求得： 23G利用在利用在r處處施加純剪均勻施加純剪均勻應(yīng)力邊界條件應(yīng)力邊界條件下，兩者（下，兩者（a）和（和（b）的應(yīng)變）的應(yīng)變能相等來確定能相等來確定。具體見具體見復(fù)

14、合材料力學(xué)復(fù)合材料力學(xué)（周履等）（周履等）P250-256！二、Eshelby夾雜模型1、Eshelby等效夾雜理論等效夾雜理論*klPij D- 異質(zhì)夾雜異質(zhì)夾雜同質(zhì)等效夾雜同質(zhì)等效夾雜*kl：特征應(yīng)變：特征應(yīng)變 設(shè)整個系統(tǒng)在無窮遠邊界處受均勻應(yīng)力邊設(shè)整個系統(tǒng)在無窮遠邊界處受均勻應(yīng)力邊界條件，如沒有夾雜界條件，如沒有夾雜 ，則，則D內(nèi)的應(yīng)力應(yīng)變?yōu)閮?nèi)的應(yīng)力應(yīng)變?yōu)?1000 ;ijijklklklCijij)()(*0000klklklijklklklIijklijijIijCC 而實際的應(yīng)力應(yīng)變場還應(yīng)該加上由夾雜引而實際的應(yīng)力應(yīng)變場還應(yīng)該加上由夾雜引起的擾動應(yīng)力和擾動應(yīng)變，即：起的擾動應(yīng)力和擾

15、動應(yīng)變，即：則夾雜中的應(yīng)力場可表示為則夾雜中的應(yīng)力場可表示為*ij其中，其中，稱為等效特征應(yīng)變。稱為等效特征應(yīng)變。*ijijklijS )()(*000klklklijklklklIijklCC 由由Eshelby的研究得出擾動應(yīng)變和特征應(yīng)的研究得出擾動應(yīng)變和特征應(yīng)變的關(guān)系為：變的關(guān)系為： 其中四階張量其中四階張量Sijkl稱為稱為Eshelby張量，僅與基張量，僅與基體的材料性能和夾雜物的形狀和尺寸有關(guān)。如體的材料性能和夾雜物的形狀和尺寸有關(guān)。如果夾雜物的形狀為橢球，則夾雜內(nèi)的應(yīng)變和應(yīng)果夾雜物的形狀為橢球，則夾雜內(nèi)的應(yīng)變和應(yīng)力場是均勻的。關(guān)鍵在于如何求得特征應(yīng)變的力場是均勻的。關(guān)鍵在于如何求

16、得特征應(yīng)變的值。利用等效夾雜理論有：值。利用等效夾雜理論有：（*） 將（將（*）代入該式則可求得特征應(yīng)變，進）代入該式則可求得特征應(yīng)變，進而求得夾雜內(nèi)外的彈性場。而求得夾雜內(nèi)外的彈性場。2、單向短纖維復(fù)合材料的彈性性能預(yù)測、單向短纖維復(fù)合材料的彈性性能預(yù)測2a1322b011ij 01111011設(shè)沿設(shè)沿1方向作用均勻應(yīng)力方向作用均勻應(yīng)力1E12求求和和因為材料內(nèi)部有：因為材料內(nèi)部有：表示平均值。表示平均值。ij只需求得材料內(nèi)的平均應(yīng)變只需求得材料內(nèi)的平均應(yīng)變即可求得該材料的有效模量。即可求得該材料的有效模量。*0ijijijf 由由Eshelby夾雜理論可得：夾雜理論可得：*ij其中其中f為

17、纖維體積分?jǐn)?shù)；為纖維體積分?jǐn)?shù)；即特征應(yīng)變。即特征應(yīng)變。)()(0*00*cklklijklklcklklijklklijklcijCCS*ij對橢圓形夾雜，對橢圓形夾雜，Eshelby已經(jīng)證明已經(jīng)證明在夾雜內(nèi)部在夾雜內(nèi)部是均勻的，而在夾雜以外為零，且有：是均勻的，而在夾雜以外為零，且有： ijklSckl0kl其中其中為為Eshelby張量；張量；為因夾雜的出現(xiàn)而為因夾雜的出現(xiàn)而形成的干擾應(yīng)變；形成的干擾應(yīng)變； 為無限遠處的均勻應(yīng)變；為無限遠處的均勻應(yīng)變； )1 ()(011*11*1101101111111fEfEm0ijklC為基體材料的彈性張量；為基體材料的彈性張量；ijklC為夾雜的彈

18、性張量。為夾雜的彈性張量。*ij聯(lián)解上式可得到聯(lián)解上式可得到。由此可得：由此可得：11221222若求出若求出，則：，則： 1321322、斜向纖維情況：、斜向纖維情況：321先在先在坐標(biāo)系下求得：坐標(biāo)系下求得：*ij*ij（方法同前）（方法同前）然后利用坐標(biāo)變換求得然后利用坐標(biāo)變換求得（為（為角的函數(shù)）角的函數(shù)） 11111E112212仍利用仍利用和和求有效模量，注意此時的模求有效模量，注意此時的模量為量為角的函數(shù)。角的函數(shù)。3、隨機分布短纖維復(fù)合材料：、隨機分布短纖維復(fù)合材料： 20*20*)(21ddijij011*11*22 112211011randomE1122random)(*

19、ijij對不同的對不同的角，按前述方法求得其角，按前述方法求得其然后對其求對于然后對其求對于得平均值：得平均值：在在作用下可求得作用下可求得和和，進而求得，進而求得和和。最后可得：。最后可得：注意：上述計算均未計及纖維之間的互相作用。注意：上述計算均未計及纖維之間的互相作用。011ij由前面的分析可知由前面的分析可知vijijdvv01 npppijijVV1)(1三、數(shù)值計算方法（有限元法）三、數(shù)值計算方法（有限元法）；而；而該積分的值可由該積分的值可由FEM進行數(shù)值計算，即有：進行數(shù)值計算，即有：p為離散的單元號，為離散的單元號，n為單元總數(shù)。為單元總數(shù)。1122只需求出了只需求出了和和，

20、即可得：，即可得：110111E112212對復(fù)合材料有效性能的計算均需要建立一定的對復(fù)合材料有效性能的計算均需要建立一定的體積代表性單元，如：體積代表性單元，如： c c c c a) aligned fiber model b) tilted fiber model 單向短纖維復(fù)合材料的理想化模型單向短纖維復(fù)合材料的理想化模型 y Fiber y Interface c S o z c x d Matrix l L S a) Longitudinal section b) Transverse section 三維代表性體積單元三維代表性體積單元 所有的計算都是基于上述代表性體積單元。所有

21、的計算都是基于上述代表性體積單元。對隨機分布短纖維復(fù)合材料的處理方法與前一對隨機分布短纖維復(fù)合材料的處理方法與前一致。致。不同的方法得到的結(jié)果不同，見下表。不同的方法得到的結(jié)果不同，見下表。復(fù)合材料復(fù)合材料Vf混合律混合律H-T方程方程夾雜理論夾雜理論FEM測量測量 -Al2O3f/Al-5.5Mg -Al2O3f/Al-5.5Zn -Al2O3f/Al-12Si0101520010152001020-8593102-8593102-85102-768084-768084-7684-788388-788388-7888-81.487.793.9-81.487.793.9-81.493.9707

22、8.180.285.289.894.297.27078.987.489.294.895.67073.675.080.68-5 8-5 復(fù)合材料強度的細觀力學(xué)分析復(fù)合材料強度的細觀力學(xué)分析8-5-1 8-5-1 長纖維復(fù)合材料的強度材料力學(xué)分析長纖維復(fù)合材料的強度材料力學(xué)分析、縱向拉伸強度XmmffcVV)1 ()(maxmaxfmffcVVXXf)1 (maxfmcVXc由圖由圖a所示模型的平衡，復(fù)合材料的應(yīng)力所示模型的平衡，復(fù)合材料的應(yīng)力與與纖維和基體應(yīng)力的關(guān)系為：纖維和基體應(yīng)力的關(guān)系為：maxffX當(dāng)復(fù)合材料的破壞由纖維控制，即纖維達到其當(dāng)復(fù)合材料的破壞由纖維控制，即纖維達到其破壞應(yīng)變破壞

23、應(yīng)變（對應(yīng)的應(yīng)力為（對應(yīng)的應(yīng)力為）時，復(fù)合）時，復(fù)合材料達到應(yīng)力極限值為：材料達到應(yīng)力極限值為：（*） 0f但當(dāng)纖維破壞后（但當(dāng)纖維破壞后（時），基體將承擔(dān)全時），基體將承擔(dān)全部載荷，此時復(fù)合材料的極限應(yīng)力為：部載荷，此時復(fù)合材料的極限應(yīng)力為： fcfVVVminmcXmax由圖由圖c可見：可見：minVVfmaxmaxcc1、當(dāng)、當(dāng)時，時，復(fù)合材料強度由基體控制復(fù)合材料強度由基體控制minVVfmaxmaxcc2、當(dāng)、當(dāng)時，時，復(fù)合材料強度由纖維控制復(fù)合材料強度由纖維控制3、當(dāng)、當(dāng)時，時， 說明復(fù)合材料強度低于基體本身強度，說明復(fù)合材料強度低于基體本身強度，纖維未增強。纖維未增強。 maxm

24、axmaxmax)()()()(minffffmfmmfcmmfmmXXVXXXVfcfVVmcXmax4、當(dāng)、當(dāng)時，時， 說明復(fù)合材料強度高于基體本身強度，說明復(fù)合材料強度高于基體本身強度，纖維增強。纖維增強。 fcVfVfcV一般來說很小，工程中常用的一般來說很小，工程中常用的均大于均大于，復(fù)合材料的強度總由纖維控制。復(fù)合材料的強度總由纖維控制。 X 二、縱向壓縮強度壓縮時可能的破壞形式：壓縮時可能的破壞形式：因纖維屈曲而導(dǎo)致破壞；因纖維屈曲而導(dǎo)致破壞；因橫向界面拉裂而破壞；因橫向界面拉裂而破壞；基體和基體和/或纖維剪切破壞；或纖維剪切破壞；纖維與基體壓壞；纖維與基體壓壞；纖維彎壞等等；纖

25、維彎壞等等；下面只介紹根據(jù)纖維屈曲理論得到的結(jié)果：下面只介紹根據(jù)纖維屈曲理論得到的結(jié)果：兩種模型：兩種模型：a）橫向型（拉壓型）：）橫向型（拉壓型）：“異向異向”屈屈 曲，基體橫向受拉壓作用；曲，基體橫向受拉壓作用；b）剪切型：）剪切型：“同相同相”屈曲，基體受剪切作用。屈曲，基體受剪切作用。)1(241223442222mEchElmlhEfmffcr)1 ( 3ffmffcrVEEV（1）橫向型）橫向型可求得：可求得：其中：其中：l為纖維長度，為纖維長度，h為纖維直徑，為纖維直徑，2c為纖維為纖維間距，間距，m為屈曲時的半波數(shù)目。為屈曲時的半波數(shù)目。由于由于m為一很大的數(shù)，可對上式進行連續(xù)

26、函數(shù)為一很大的數(shù)，可對上式進行連續(xù)函數(shù)求解最小值，可得：求解最小值，可得： hchVf2其中，其中，)1 ( 3)1 ( 2maxffmffmffmmfcrfcVEEVEEVVVVX最后有：最后有：)1 ( 32ffmffVEEVVXmffcrmEE1mfEE其中其中。若。若，則上式可變?yōu)?，則上式可變?yōu)?2)(12)1 (mlhEVVGfffmfcr fmfcrfVGVX1（2）剪切型：）剪切型：同理可得：同理可得：ml為半波長（為半波長（h）, 后一項可略去。后一項可略去。2max2)(mmmyKmax2222)() 11(1mmyyfmmffKVVVint) 11(1mmyyfXKVYY三

27、、橫向拉伸強度理論計算可得：理論計算可得：22fmy其中其中，且應(yīng)力集中系數(shù)，且應(yīng)力集中系數(shù)Kmy為：為：max2)(mmXintXY2當(dāng)當(dāng)?shù)扔诘扔诤秃椭休^小者時，中較小者時，mXintX（和和中較小者）中較小者）YY)74(int) 11(1mmssfSKVSY四、橫向壓縮強度其破壞原因為基體剪切破壞，經(jīng)驗公式為：其破壞原因為基體剪切破壞，經(jīng)驗公式為：S五、面內(nèi)剪切強度Y面內(nèi)剪切破壞由基體和界面剪切所致，與面內(nèi)剪切破壞由基體和界面剪切所致，與類似，有：類似，有：mSintS（和和的較小者）的較小者）mmffcVV8-5-28-5-2短纖維復(fù)合材料強度的細觀力學(xué)分析短纖維復(fù)合材料強度的細觀力學(xué)

28、分析一、單向短纖維復(fù)合材料一般采用修正混合律公式進行研究。一般采用修正混合律公式進行研究。對長纖維復(fù)合材料應(yīng)力有：對長纖維復(fù)合材料應(yīng)力有：mmffcVV對短纖維復(fù)合材料，由于必須計及纖維端部對短纖維復(fù)合材料，由于必須計及纖維端部效應(yīng)，所以上式應(yīng)寫為：效應(yīng)，所以上式應(yīng)寫為：flfffdzl01其中其中（需要知道纖維中的（需要知道纖維中的應(yīng)力分布）應(yīng)力分布）由由COX提出的剪切滯后理論，通過圖提出的剪切滯后理論，通過圖b的平衡有：的平衡有：zfzr0d2yzryf2若若 在在z方向為一常數(shù)方向為一常數(shù)則則f則纖維的應(yīng)力則纖維的應(yīng)力沿沿z方向是方向是線性分布的線性分布的dlyft2)(max將能達到

29、最大纖維應(yīng)力的最小纖維長度定義為將能達到最大纖維應(yīng)力的最小纖維長度定義為載荷傳遞長度載荷傳遞長度（d ：纖維直徑）：纖維直徑）ccffEEmax)(上式中上式中rlyf/)(max短纖維最大纖維應(yīng)力發(fā)生在纖維長度中點處短纖維最大纖維應(yīng)力發(fā)生在纖維長度中點處crtll dlyfucr2fufmax)(當(dāng)當(dāng)時：時：則則（臨界載荷傳遞長度）（臨界載荷傳遞長度）)()21 ()()(21max2tftfftffylfflllllldltl其中：其中：為載荷傳遞長度。為載荷傳遞長度。臨界載荷傳遞長度是載荷傳遞長度的最大值。臨界載荷傳遞長度是載荷傳遞長度的最大值。 mmfftfcmmffcVVllVV)2

30、1 ()()(21maxmax)()(tftfllll又因為又因為mmucrffufmmuffycuVllVVVdl2 crfll fufmax)(當(dāng)當(dāng)時，纖維中的應(yīng)力時，纖維中的應(yīng)力，則纖維，則纖維不會破壞，復(fù)合材料的破壞由基體控制，不會破壞，復(fù)合材料的破壞由基體控制，其強度其強度可近似寫為：可近似寫為：crfll （）mmffcrfucuVVl 2l1fu)()( mmffucuVVfu)(crfllfufmax)(而當(dāng)而當(dāng)時，時，復(fù)合材料破壞由，復(fù)合材料破壞由纖維控制，則強度為：纖維控制，則強度為：crfll（）crfll若若，則，則此即為長纖維復(fù)合材料的強度公式。此即為長纖維復(fù)合材料的

31、強度公式。fufummufummuV)()(minfufumfummucrV)()(fVminVcrV與長纖維類似，與長纖維類似，仍有兩個臨界值仍有兩個臨界值和和 ：)21 (fcrfufull其中其中minVcrV可見短纖維復(fù)合材料的可見短纖維復(fù)合材料的和和值均要高于值均要高于長纖維復(fù)合材料的值。長纖維復(fù)合材料的值。)1 ()d)()21 (d)(2(fmulfffcrloffcrffufcuVllfllllfllVcrcr二、隨機分布短纖維復(fù)合材料的強度模型1、纖維長度隨機分布的單向短纖維復(fù)合材料、纖維長度隨機分布的單向短纖維復(fù)合材料)(flfflcrlcrl此時此時既可以大于既可以大于，

32、又可以小于，又可以小于，若，若為一隨機變量，滿足為一隨機變量，滿足的分布密度函數(shù)，則的分布密度函數(shù)，則復(fù)合材料的強度公式為：復(fù)合材料的強度公式為： mufcrffufomuffcrfufocuVllVCVllVC)1 (2)1 ()21 ()()(crfcrfllll)1 ()d)()21 (d)(2(fmulfffcrloffcrffufocuVllfllllfllVCcrcr2、纖維位向隨機分布的短纖維復(fù)合材料、纖維位向隨機分布的短纖維復(fù)合材料1）修正混合律：）修正混合律：oC即為因纖維位向隨機分布而造成強度降低的即為因纖維位向隨機分布而造成強度降低的因子稱為位向因子，其值為因子稱為位向因

33、子，其值為0.350.5，若同時考，若同時考慮長度的隨機性，則有：慮長度的隨機性，則有：mufum)(注意上面分析中均認(rèn)為注意上面分析中均認(rèn)為與與相等。相等。2124222224sincossin)11(cos)(TLLcu2）統(tǒng)計積分法）統(tǒng)計積分法由由Tsai-Hill判據(jù)可得單向短纖維復(fù)合材料的偏判據(jù)可得單向短纖維復(fù)合材料的偏軸拉伸強度為：軸拉伸強度為：muffcrfufmuffcrfufLVllVVllV)1 (2)1 ()21 ()()(crcrllllL其中：其中：為縱向拉伸強度，等于為縱向拉伸強度，等于21)(2fmumumuTV)()(muiumuiumumuiu3220)()(

34、dfcucuT為橫向拉伸強度，等于為橫向拉伸強度，等于 為剪切破壞強度，等于為剪切破壞強度，等于iumuiu,為界面，基體的剪切強度，為界面，基體的剪切強度，為界面的為界面的抗拉強度?？估瓘姸?。)(f引入纖維位向的分布密度函數(shù)引入纖維位向的分布密度函數(shù)，則，則0mmffAA0mmffVV即：即：8-6 8-6 單層板熱、濕脹系數(shù)的預(yù)測單層板熱、濕脹系數(shù)的預(yù)測1一、 縱向熱脹系數(shù)的確定1、平衡方程：、平衡方程：a）代表性體積單元b）自由時變形c）實際狀態(tài)變形 fmT、 即為因即為因起的纖維和基體應(yīng)力。起的纖維和基體應(yīng)力。而引而引mf1 2、幾何方程：、幾何方程：（平面假設(shè)）（平面假設(shè)）TTT1011)(ffffETmmmmETmmmfffETET3、物理方程：、物理方程：對單層板：對單層板：對纖維：對纖維：對基體：對基體：由上面各式可得：由上面各式可得：TVEVEVEETVEVEVEEmmffmffmfmmmfffmmmffTVEVEVEVEmmffmmmfffmfmmffmmmfffVEVEVEVE1則則 0TT TEEmf,(其實為其實為內(nèi)的平均值，因為內(nèi)的平均值，因為)