機(jī)械波平面簡(jiǎn)諧波方程

1、波動(dòng)第一節(jié)10 - 1機(jī)械振動(dòng)在媒質(zhì)中的傳播過(guò)程稱為機(jī)械波。產(chǎn)生機(jī)械波的必要條件：波源 作機(jī)械振動(dòng)的物體；媒質(zhì) 能夠傳播機(jī)械振動(dòng)的彈性媒質(zhì)。 波是運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的傳播波是運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的傳播，介介質(zhì)的質(zhì)點(diǎn)并不隨波傳播質(zhì)的質(zhì)點(diǎn)并不隨波傳播.注意注意橫波與縱波橫波：質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向與波的傳播方向垂直縱波：質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向與波的傳播方向平行軟繩軟彈簧波的傳播方向質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方向波的傳播方向質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方向 在機(jī)械波中，橫波只能在固體中出現(xiàn)；縱波可在氣體、液體和固體中出現(xiàn)?？諝庵械穆暡ㄊ强v波。液體表面的波動(dòng)情況較復(fù)雜，不是單純的縱波或橫波。 縱波縱波 特點(diǎn)：質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向與波傳播方向一致特點(diǎn)：質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向與波傳播方向一致幾

2、何描述波 前波 面波 線波面振動(dòng)相位相同的點(diǎn)連成的面。波前最前面的波面。平面波 （波面為平面的波）球面波 （波面為球面的波）波線（波射線）波的傳播方向。在各向同性媒質(zhì)中，波線恒與波面垂直。波的物理量波傳播方向波長(zhǎng)振動(dòng)狀態(tài)完全相同的相鄰兩質(zhì)點(diǎn)之間的距離。橫波：橫波：相鄰相鄰 波峰波峰波峰波峰 波谷波谷 波谷波谷 縱波：縱波：相鄰相鄰 波疏波疏波疏波疏 波密波密波密波密波的物理量波傳播方向波速周期波形移過(guò)一個(gè)波長(zhǎng)所需的時(shí)間。頻率周期的倒數(shù)。波速單位時(shí)間內(nèi)振動(dòng)狀態(tài)（振動(dòng)相位）的傳播速度，又稱相速。機(jī)械波速取決于彈性媒質(zhì)的物理性質(zhì)?；?媒質(zhì)中波動(dòng)傳到的各點(diǎn)，都可以看作能夠發(fā)射子波的新波源，在這以后的任

3、意時(shí)刻，這些子波的包絡(luò)面就是該時(shí)刻的波面。波的疊加原理 兩波在空間某點(diǎn)相遇，相遇處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)是各列波到達(dá)該點(diǎn)所引起振動(dòng)的疊加；相遇后各波仍保持其各自的特性（如頻率、波長(zhǎng)、振動(dòng)方向等），繼續(xù)沿原方向傳播。通常波強(qiáng)不太強(qiáng)的波相遇，滿足疊原理，稱為線性波。波強(qiáng)強(qiáng)到不滿足疊加原理的波，稱為非線性波。第一節(jié)10 - 2平面簡(jiǎn)諧波由簡(jiǎn)諧振動(dòng)的傳播所形成的波動(dòng)。簡(jiǎn)諧波 簡(jiǎn)諧波又稱余弦波或正弦波，是規(guī)律最簡(jiǎn)單、最基本的波。各種復(fù)雜的波都可以看作是許多不同頻率的簡(jiǎn)諧波的疊加。簡(jiǎn)諧波的一個(gè)重要模型是平面簡(jiǎn)諧波。 平面簡(jiǎn)諧波的波面是平面，有確定的波長(zhǎng)和傳播方向，波列足夠長(zhǎng)，各質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的振幅恒定。波動(dòng)方程一列平面簡(jiǎn)諧

4、波（假定是橫波）觀測(cè)坐標(biāo)原點(diǎn)任設(shè)（不必設(shè)在波源處）波沿 X 軸正向傳播（正向行波）頭表示該波的傳播方向。試分別用小箭頭表明圖中頭表示該波的傳播方向。試分別用小箭頭表明圖中A A、B B、C C、D D、E E、F F、G G、H H、I I各質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向。各質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向。例例 設(shè)某一時(shí)刻繩上橫波的波形曲線如下圖所示，水平箭設(shè)某一時(shí)刻繩上橫波的波形曲線如下圖所示，水平箭xyABCDEFGHIuABCDEFGHI隨堂小議（1 1）A A點(diǎn)的振動(dòng)速度大于零；點(diǎn)的振動(dòng)速度大于零；（2 2）B B點(diǎn)靜止不動(dòng)；點(diǎn)靜止不動(dòng)；（3 3）C C點(diǎn)向下運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)向下運(yùn)動(dòng)；（4 4）DD點(diǎn)的振動(dòng)速度小于零。點(diǎn)的振

5、動(dòng)速度小于零。以波速以波速 u 沿沿 X 軸逆向傳播的簡(jiǎn)諧波軸逆向傳播的簡(jiǎn)諧波 t 時(shí)刻的波形如時(shí)刻的波形如下圖下圖ABCD波動(dòng)方程一列平面簡(jiǎn)諧波（假定是橫波）觀測(cè)坐標(biāo)原點(diǎn)任設(shè)（不必設(shè)在波源處）波沿 X 軸正向傳播（正向行波）設(shè) 位于原點(diǎn) 處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程為 已知振動(dòng)狀態(tài)以速度 沿 軸正向傳播 。對(duì)應(yīng)同一時(shí)刻 ， 振動(dòng)狀態(tài)與原點(diǎn)在時(shí)刻的振動(dòng)狀態(tài)相同。因此，在設(shè)定坐標(biāo)系中，波線上任一點(diǎn)、任意時(shí)刻的振動(dòng)規(guī)律為點(diǎn)的這就是沿 X 軸正向傳播的平面簡(jiǎn)諧波動(dòng)方程。它是時(shí)間和空間的雙重周期函數(shù)。續(xù)上沿 X 軸正向傳播的平面簡(jiǎn)諧波動(dòng)方程波動(dòng)方程常用周期波長(zhǎng)或頻率的形式表達(dá)由得消去波速波方程意義若給定 ，波動(dòng)方

6、程即為距原點(diǎn) 處的質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方程距原點(diǎn) 處質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的初相若給定 ，波動(dòng)方程表示所給定的 時(shí)刻波線上各振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)相對(duì)各自平衡點(diǎn)的位置分布，即該時(shí)刻的波形圖。續(xù)上若 和 都是變量，即 是 和 的函數(shù)， 這正是波動(dòng)方程所表示的波線上所有的質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)位置分布隨時(shí)間而變化的情況。可看成是一種動(dòng)態(tài)的波形圖。正向波同一時(shí)刻，沿 X 軸正向，波線上各質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)相位依次落后。波沿 X 軸正向傳播反向波同一時(shí)刻，沿 X 軸正向，波線上各質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)相位依次超前。波沿 X 軸反向傳播例三波動(dòng)方程y = = 0.05 cos p p ( 5 x 100 t ) (SI)此波是正向還是反向波，并求A、n、T T、u 及 l

7、l ；x = 2 m 處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程及初相；x1 = 0.2 m及 x2 = 0.35 m 處兩質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)相位差。cosa = cos(-a)0.05cos p p ( 5 x 100 t ) 20 m s - -1100 p p0.02 s與比較得0.05 m0.4 m50 Hz而且得知原點(diǎn)（ x = 0 ) 處質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)初相0.05cos 100 p p ( t ) x20正向波例三波動(dòng)方程y = = 0.05 cos p p ( 5 x 100 t ) (SI)此波是正向還是反向波，并求A、n、T T、u 及 l l ；x = 2 m 處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程及初相；x1 = 0.2 m及 x2

8、 = 0.35 m 處兩質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)相位差。x = 2 m 處0.05cos p p ( 52 100 t ) 0.05cos ( 100 p p t 10 p p ) 初相為 10 p p x1 = 0.2 m 處的振動(dòng)相位x2 = 0.35 m 處的振動(dòng)相位兩者的相位差為5 p p0.150.75 p pp p ( 5x1 100 t ) p p ( 5x2 100 t ) 例二一平面簡(jiǎn)諧波以波速 沿 X 軸正向傳播。位于 處的 P 點(diǎn)的振動(dòng)方程為得 波動(dòng)方程設(shè) B 點(diǎn)距原點(diǎn)為P 點(diǎn)振動(dòng)傳到 B 點(diǎn)需時(shí)即 B 點(diǎn) 時(shí)刻的振動(dòng)狀態(tài)與 P 點(diǎn) 時(shí)刻的振動(dòng)狀態(tài)相同 例例3 一平面簡(jiǎn)諧波沿一平面簡(jiǎn)諧

9、波沿 軸正方向傳播，軸正方向傳播， 已知振幅已知振幅 ， ， . 在在 時(shí)坐標(biāo)原點(diǎn)處的質(zhì)點(diǎn)在平衡位置沿時(shí)坐標(biāo)原點(diǎn)處的質(zhì)點(diǎn)在平衡位置沿 軸正向軸正向運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng). 求：求： ( (2) ) 波形圖；波形圖；s0 .1t( (3) ) 處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)規(guī)律并作圖處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)規(guī)律并作圖. m5 . 0 x( (1) )波動(dòng)方程；波動(dòng)方程；m0 . 1A0tm0 . 2s0 . 2TOxOy解解 ( (1) ) 寫(xiě)出波動(dòng)方程的標(biāo)準(zhǔn)式寫(xiě)出波動(dòng)方程的標(biāo)準(zhǔn)式)(2cosl-xTtAy2-0,0y v00 xt)(2cosl-xTtAyyAO2)0 . 20 . 2(2cos-xty(m) ( (2) )求求 波形圖波形圖s0.1t2cos0 .1xy-波形方程波形方程s0.1t0m/ym/x2.01.0-1.0 時(shí)刻波形圖時(shí)刻波形圖s0.1t2)0 . 20 . 2(2cos0 . 1-xtyxsin(m) ( (3) ) 處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)規(guī)律并作圖處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)規(guī)律并作圖 m5 . 0