大學(xué)物理(下)課件：15-8量子力學(xué)簡(jiǎn)介

1、15-8 量子力學(xué)簡(jiǎn)介量子力學(xué)簡(jiǎn)介12 由于微觀粒子具有波粒二象性，其位置與動(dòng)量不能同時(shí)確定. 所以已無(wú)法用經(jīng)典物理方法去描述其運(yùn)動(dòng)狀態(tài). 用波函數(shù)來(lái)描述微觀粒子的運(yùn)動(dòng).波函數(shù)波函數(shù)及其統(tǒng)計(jì)解釋及其統(tǒng)計(jì)解釋1 波函數(shù)波函數(shù)微觀粒子具有波動(dòng)性用物質(zhì)波波函數(shù)描述微觀粒子狀態(tài)1925年薛定諤年薛定諤3( (1) ) 經(jīng)典的波與波函數(shù)經(jīng)典的波與波函數(shù))(2cos),(xtAtxy 機(jī)械波eRe),()(2ixtAtxy 經(jīng)典波為實(shí)函數(shù))(2),(xvtiAetxy上式是復(fù)數(shù)形式 的實(shí)數(shù)部分4(2)量子力學(xué)波函數(shù)(復(fù)函數(shù)),(tzyx描述微觀粒子運(yùn)動(dòng)的波函數(shù) 自由粒子的能量和動(dòng)量是確定的，其德布羅意和不

2、變 ，可認(rèn)為是一單色平面波. 根據(jù)不確定原理 ，粒子在 x方向上的位置完全不確定. 對(duì)能量為E、動(dòng)量為p的自由粒子，其物質(zhì)波波函數(shù)為)(2i0)(2i0),(pxEthxteetx自由粒子在三維空間運(yùn)動(dòng)時(shí)有)(2i0),(rpEthetr2 波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義*2與光波類比，波函數(shù)的強(qiáng)度為:正實(shí)數(shù)正實(shí)數(shù)由概率波概念，粒子出現(xiàn)在體積元dV內(nèi)的概率為: *dVdw2dVdw2表示在某處單位體積內(nèi)粒子出現(xiàn)的概率6 某一時(shí)刻出現(xiàn)在某點(diǎn)附近在體積元 中的粒子的概率為VdVVdd*2 可見(jiàn)，德布羅意波(或物質(zhì)波)與機(jī)械波、電磁波不同，是一種概率波.2 波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義1d2V

3、 歸一化條件(束縛態(tài)) 某一時(shí)刻整個(gè)空間內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子的概率為波函數(shù)必須是單值、連續(xù)、有限的函數(shù).說(shuō)明：說(shuō)明：71、經(jīng)典波描寫實(shí)在物理量在空間中的傳播過(guò)程，是可測(cè)量的。2、概率波不代表實(shí)在物理量的傳播過(guò)程，波函數(shù)本身沒(méi)有直接的物理意義，一般是不可測(cè)量的?？蓽y(cè)量的 ，一般是 。它的含義是概率。2 8 薛定諤薛定諤（Erwin Schrodinger，18871961）奧地利物理學(xué)家. 1926年建立了以薛定諤方程為基礎(chǔ)的波動(dòng)力學(xué),并建立了量子力學(xué)的近似方法 . 1933年與狄拉克獲諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng).薛定諤方程薛定諤方程1 自由粒子自由粒子薛定諤方程的建立薛定諤方程的建立自由粒子平面波函數(shù)取 x 的二階

4、偏導(dǎo)數(shù)和 t 的一階偏導(dǎo)數(shù))(2i0),(pxEthetxhpx222224Eht2i自由粒子)c(vkEE k22mEpthxmh2i82222一維運(yùn)動(dòng)自由粒子的含時(shí)薛定諤方程thtxExmh2i),(8p2222一維運(yùn)動(dòng)粒子的含時(shí)薛定諤方程 pkEEE2 粒子在勢(shì)能為 的勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)pEhpxEtetx/)(2i0),(hEthpxee/2i/2i0)()(txhpxex/2i0)(0)()(8ddp2222xEEhmx 在勢(shì)場(chǎng)中一維運(yùn)動(dòng)粒子的定態(tài)薛定諤方程3 粒子在恒定勢(shì)場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)p22EmpE與時(shí)間無(wú)關(guān))(pxE120)(8p22222222EEhmzyx 三維勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)粒子的定態(tài)薛定諤

5、方程拉普拉斯算子2222222zyx定態(tài)波函數(shù)),(zyx0)(8p222EEhm13例如，氫原子的定態(tài)薛定諤方程202p4reE(1) 能量 E 不隨時(shí)間變化.(2) 概率密度 不隨時(shí)間變化.2定態(tài)波函數(shù)性質(zhì)0)4(8202222reEhm14zyx,( (2) 和 連續(xù)),(zyx(3) 為有限的、單值函數(shù) 波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件：?jiǎn)沃怠⒂邢藓瓦B續(xù)1ddd,2zyxzyx(1)(1) 可歸一化(1)薛定諤方程是量子力學(xué)中，態(tài)隨時(shí)間變化的方程，其正確性是由方程的解與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相符而得到證實(shí)15(2)只要找到體系的經(jīng)典能量公式，則可寫出薛定諤方程并求解，可得概率密度2說(shuō)明：說(shuō)明：一一維勢(shì)阱問(wèn)題維勢(shì)阱問(wèn)

6、題粒子勢(shì)能 滿足邊界條件：pEpEaxxEax, 0,0, 0p (1)是固體物理金屬中自由電子的簡(jiǎn)化模型； (2)數(shù)學(xué)運(yùn)算簡(jiǎn)單，量子力學(xué)的基本概念、原理在其中以簡(jiǎn)潔的形式表示出來(lái) .x0 aEp ( x )0)(x0)(x 粒子只能在寬為 a 的兩個(gè)無(wú)限高勢(shì)壁間運(yùn)動(dòng)，這種勢(shì)稱為一維無(wú)限深方勢(shì)阱。 ), 0(, 0axxaxxE, 0,p228hmEk axE0, 0p08dd2222hmEx0dd222kxpEaxo1.1.薛定諤方程的建立薛定諤方程的建立在阱在阱 內(nèi)內(nèi) 粒子勢(shì)能為零粒子勢(shì)能為零)0(ax 定態(tài)薛定諤方程：令則有：kxBkxAxcossin)(0dd222kx根據(jù)波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)

7、條件：?jiǎn)沃?、有限和連續(xù) .0, 0, 0BxkxAxsin)(pEaxo這是一個(gè)二階齊次常數(shù)微分方程，其通解為：在邊界上：0)(, 0) 0(a0sin,kaAax3.3.確定系數(shù)確定系數(shù)2.2.解方程解方程nka 228hmEk 2228mahnE , 3 , 2 , 1,nank量子數(shù)量子數(shù)0sin,kaAax0sinkapEaxo若取A=0，則 = 0，表示粒子不在勢(shì)阱出現(xiàn)，這違反粒子在勢(shì)阱內(nèi)運(yùn)動(dòng)的已知條件，kxAxsin)(xanAxsin)(, 3 , 2 , 1,nank歸一化歸一化條件條件1dd0*2xxa1dsin022xxanAaaA2pEaxo再由歸一化條件確定常數(shù)A：)0

8、(,sin2)(axxanax波函數(shù)為：08dd2222hmEx 波動(dòng)方程波動(dòng)方程pEaxo)0(,sin2)(axxanax波函數(shù)為：22xanaxsin2)(22 概率密度概率密度2228mahnEn 能量能量)0 (,sin2axxana)(x), 0(,0axx一維無(wú)限深方勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)一維無(wú)限深方勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)的粒子其的粒子其波函數(shù)：波函數(shù)：pEaxo23,8222mahnE 由由還可以得到勢(shì)阱中粒子的動(dòng)量和波長(zhǎng)ahnmEPnn22naPhnn2說(shuō)明勢(shì)阱中粒子的每一個(gè)能量本征態(tài)正好對(duì)應(yīng)于德布羅意波的一個(gè)特定波長(zhǎng)的駐波。n =1,2,3,4,5, 6,241 粒子粒子能量能量量子化量子化討論：

9、討論：基 態(tài) 能 量)1(,8221nmahE2228mahnEn 能 量 激發(fā)態(tài)能量), 3 , 2(,812222nEnmahnEn 一維無(wú)限深方勢(shì)阱中粒子的能量是量子化的 .pEaxo按經(jīng)典理論粒子的“能量連續(xù)”；但量子力學(xué)能量只能取分立值（能級(jí)） 252 粒子在勢(shì)阱中各處出現(xiàn)的概率密度不同概率密度)(sin2)(22xanaxxanaxsin2)(波 函 數(shù) 例如，當(dāng) n =1時(shí)， 粒子在 x = a /2處出現(xiàn)的概率最大26 3 波函數(shù)為駐波形式，阱壁處為波節(jié)，波腹的個(gè)數(shù)與量子數(shù) n 相等0 xa1n2n3n4nn2nxanAxsin)(xanaxsin2)(220pEa16E19E

10、14E1E10 x27例例1 1 假如粒子只在一維空間運(yùn)動(dòng)，它的狀假如粒子只在一維空間運(yùn)動(dòng)，它的狀態(tài)可用態(tài)可用a xxaAeaxxtxEti0 sin, 0 0),(表示，式中表示，式中E E、A A均為常數(shù)，求：均為常數(shù)，求：（1 1）歸一化波函數(shù)；）歸一化波函數(shù)；（2 2）概率密度；）概率密度；（3 3）在）在 找到粒子的概率是多少？找到粒子的概率是多少？（4 4）在什么地方找到粒子的概率最大？）在什么地方找到粒子的概率最大？dxxx28 解解 （1）由歸一化條件xaAxaAexaAedxddEtiEti22*22sinsinsin. , 1a xxaAeaxxtxEti0 sin, 0

11、0),(29aAaAxdxaAxdxaAa2 12sinsin220222歸一化的波函數(shù)：axxaeaaxxtxEti0 sin2, 0 0),(30（2）概率密度）概率密度（3）概率）概率axxdxaaaxxdxdw0 sin2, 0 022（4）0, 2daxdx處， 最大。axxaaaxx0 sin2, 0 02231例例2 2：在阱寬為a 的無(wú)限深勢(shì)阱中,一個(gè)粒子處在基態(tài),波函數(shù)為解： , 3 , 2 , 1,sin2)(1nxaax3ax 試求:粒子在0 x到之間被找到的概率概率密度為:,sin)(221 xaxa32221( )sin,axxa粒子在0 x到3ax 之間被找到的概率

12、dxaxadxPaa302301sin24331設(shè)質(zhì)量為m的微觀粒子處在寬度為a的一維無(wú)限深勢(shì)阱中，試求：解：解：已知已知xanaxsin2)(粒子在 0 x a/4區(qū)間中出現(xiàn)的幾率，并對(duì)n =1和n =的情況算出概率值。在哪些量子態(tài)上，a/4處的概率密度最大？粒子出現(xiàn)在粒子出現(xiàn)在0 0 x x a a/4/4區(qū)間中的幾率為區(qū)間中的幾率為dxxwa240)(dxanaa402sin22sin2141nndxxwa240)(dxanaa402sin22sin2141nn1n2141w%9n41w1nnxanax22sin2)(4a4sin2)(22aanax4sin22na35最大時(shí)有最大時(shí)有1

13、4sin2n24kn, 1 , 0k24 kn4sin2)(22aanax4sin22na求解波函數(shù)的方法及解決的幾個(gè)問(wèn)題求解波函數(shù)的方法及解決的幾個(gè)問(wèn)題361.1.求波函數(shù)的步驟：（1）由體系的勢(shì)能寫出薛定諤方程（2）解方程得一般解（3）根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)條件和歸一化條件確定有關(guān)常數(shù)項(xiàng)2 2.求粒子出現(xiàn)概率極大、極小的位置*2（1）求概率密度函數(shù) 02dxd3.求粒子在某區(qū)域內(nèi)出現(xiàn)的概率求粒子在某區(qū)域內(nèi)出現(xiàn)的概率37拐點(diǎn)極大點(diǎn)極小點(diǎn)000222mxxdxd（3 3）判斷）判斷*2（1）求概率密度函數(shù)）求概率密度函數(shù)dxWxx221（2）計(jì)算計(jì)算38一維方勢(shì)壘 隧道效應(yīng))(pxEaxx , 0, 0ax

14、E0,p0 一維方勢(shì)壘0pEE 粒子的能量0pE)(pxEaox39ax 當(dāng)粒子能量 E Ep0 時(shí)，從經(jīng)典理論來(lái)看, 粒子不可能穿過(guò)進(jìn)入 的區(qū)域 .但用量子力學(xué)分析，粒子有一定概率穿透勢(shì)壘，事實(shí)表明，量子力學(xué)是正確的.隧道效應(yīng) 從左方射入的粒子，在各區(qū)域內(nèi)的波函數(shù)123)(xaxo40中似乎有一個(gè)隧道, 能使少量粒子穿過(guò)而進(jìn)入 的區(qū)域，此現(xiàn)象人們形象地稱為隧道效應(yīng).ax 粒子的能量雖不足以超越勢(shì)壘 ,但在勢(shì)壘 隧道效應(yīng)的本質(zhì) : 來(lái)源于微觀粒子的波粒二象性.123)(xaxo41量子圍欄照片量子圍欄照片 1 9 8 1年賓尼希和羅雷爾利用電子的隧道效應(yīng)制成 了掃描遂穿 顯 微 鏡 ( STM

15、 ) ，可觀測(cè)固體表面原子排列的狀況 . 應(yīng)用應(yīng)用 1986年賓尼希又研制了原子力顯微鏡.)(xU,0,0Uaxx和0ax0 粒子在 x a的區(qū)域。2.2.勢(shì)壘貫穿勢(shì)壘貫穿( (隧道效應(yīng)）隧道效應(yīng)）設(shè)一個(gè)質(zhì)量為m的粒子，沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)，其勢(shì)能為：這種勢(shì)能分布稱為一維勢(shì)壘。 在量子力學(xué)中，情況又如果呢？為討論方便，我們把整個(gè)空間分成三個(gè)區(qū)域：0UVOaIIIxIII)(),0(),0(axaxx在各個(gè)區(qū)域的波函數(shù)分別表示為1、2、3。0UVOaIIIxIII),()(212122xEdxxdm),()()(22202222xExUdxxdm),()(232322xEdxxdm2021)(2EU

16、mk222mEk 令：0 xax 0ax 0, 0)()(12212xxkdxxdaxxkdxxd0, 0)()(221222axxkdxxd, 0)()(32232三個(gè)區(qū)間的薛定諤方程簡(jiǎn)化為：方程的通解為：ikxikxeAAe1xikxikeBBe112ikxikxeCCe3將上面的三個(gè)式子乘以因子： ，可知：Etie 三式的右邊第一項(xiàng)表示沿三式的右邊第一項(xiàng)表示沿x方向傳播的平面波，方向傳播的平面波，第二項(xiàng)為沿第二項(xiàng)為沿x負(fù)方向傳播的平面波。負(fù)方向傳播的平面波。 1右邊的第一項(xiàng)表示射向勢(shì)壘的入射波，第二項(xiàng)表示被“界面（x=0）”反射的反射波。 2右邊的第一項(xiàng)表示穿入勢(shì)壘的透射波，第二項(xiàng)表示被

17、“界面（x=a）”反射的反射波。 3右邊的第一項(xiàng)表示穿出勢(shì)壘的透射波， 3的第二項(xiàng)為零，因?yàn)樵趚a區(qū)域不可能存在反射波(C/=0)。 利用波函數(shù)“單值、有限、連續(xù)”的標(biāo)準(zhǔn)條件，可得：)0()0(21)()(32aa0201|)(|)(xxdxxddxxdaxaxdxxddxxd|)(|)(32求出解的形式畫(huà)于圖中。0VVaoxIIIIII討論：討論：（1）EU0 按照經(jīng)典力學(xué)觀點(diǎn),在EU0情況下，粒子應(yīng)暢通無(wú)阻地全部通過(guò)勢(shì)壘，而不會(huì)在勢(shì)壘壁上發(fā)生反射。 而在微觀粒子的情形，卻會(huì)發(fā)生反射。0VVaoxIIIIII（2）Ea區(qū)域也存在波函數(shù)，所以粒子還可能穿過(guò)勢(shì)壘進(jìn)入xa區(qū)域。 粒子在總能量E小于

18、勢(shì)壘高度時(shí)仍能貫穿勢(shì)壘的現(xiàn)象稱為隧道效應(yīng)隧道效應(yīng)。定義粒子穿過(guò)勢(shì)壘的貫穿系數(shù)：透射波的概率密度與入射波概率密度的比值。2123| ) 0(| )(|aT ) 02exp()2exp(| ) 0(| )(|112222kTakTa)(22201EUmaakee結(jié)果表明：結(jié)果表明：勢(shì)壘高度U0越低、勢(shì)壘寬a度越小，則粒子穿過(guò)勢(shì)壘的概率就越大。 如果a或m為宏觀大小時(shí)， ，粒子實(shí)際上將不能穿過(guò)勢(shì)壘。0T隧道效應(yīng)是一種微觀效應(yīng)。隧道效應(yīng)是一種微觀效應(yīng)。當(dāng) 時(shí)，勢(shì)壘的寬度約50nm 以上時(shí)，貫穿系數(shù)會(huì)小六個(gè)數(shù)量級(jí)以上。隧道效應(yīng)在實(shí)際上已經(jīng)沒(méi)有意義了。量子概念過(guò)渡到經(jīng)典了。eVEU50 隧道效應(yīng)是經(jīng)典力學(xué)

19、所無(wú)法解釋的，因?yàn)榘唇?jīng)典力學(xué)計(jì)算結(jié)果，在勢(shì)壘區(qū)，粒子的動(dòng)能小于零，動(dòng)量是虛數(shù)。 隧道效應(yīng)來(lái)源于微觀粒子的波粒二象性。隧道效應(yīng)來(lái)源于微觀粒子的波粒二象性。 由于微觀粒子的波動(dòng)性，微觀粒子遵守“不確定關(guān)系”，粒子的坐標(biāo)x和動(dòng)量P不可能同時(shí)具有確定的值，自然作為坐標(biāo)函數(shù)的勢(shì)能和作為動(dòng)量函數(shù)的動(dòng)能當(dāng)然也不能同時(shí)具有確定的值。因此，對(duì)微觀粒子而言，“總能量等于勢(shì)能和動(dòng)能之和”這一概念不再具有明確的意義。)(220EUmaeT 隧道效應(yīng)和掃描隧道顯微鏡STM由于電子的隧道效應(yīng)，金屬中的電子并不完全局限于表面邊界之內(nèi)，電子密度并不在表面邊界處突變?yōu)榱?，而是在表面以外呈指?shù)形式衰減，衰減長(zhǎng)度越為1nm。只要將

20、原子線度的極細(xì)探針以及被研究物質(zhì)的表面作為兩個(gè)電極，當(dāng)樣品與針尖的距離非常接近時(shí)，它們的表面電子云就可能重疊。若在樣品與針尖之間加一微小電壓Ub電子就會(huì)穿過(guò)電極間的勢(shì)壘形成隧道電流。隧道電流對(duì)針尖與樣品間的距離十分敏感。若控制隧道電流不變，則探針在垂直于樣品方向上的高度變化就能反映樣品表面的起伏。Scanning tunneling microscopy因?yàn)樗淼离娏鲗?duì)針尖與樣品間的距離十分敏感。若控制針尖高度不變，通過(guò)隧道電流的變化可得到表面態(tài)密度的分布；使人類第一次能夠?qū)崟r(shí)地觀測(cè)到單個(gè)原子在物質(zhì)表面上的排列狀態(tài)以及與表面電子行為有關(guān)的性質(zhì)。在表面科學(xué)、材料科學(xué)和生命科學(xué)等領(lǐng)域中有著重大的意義和廣闊的應(yīng)用前景。空氣隙空氣隙STM工作示意圖工作示意圖樣品樣品探針探針利用STM可以分辨表面上原子的臺(tái)階、平臺(tái)和原子陣列?？梢灾苯永L出表面的三維圖象19811981年賓尼希和羅雷爾利用電子掃描隧道顯微鏡年賓尼希和羅雷爾利用電子掃描隧道顯微鏡（STMSTM）給出了晶體表面的三維圖象。給出了晶體表面的三維圖象。鉆石中的原子已被看到鉆石中的原子已被看到利用光學(xué)中的受抑全反射理論，研制成功光子掃描隧道顯微鏡（PSTM)。1989年提出成象技術(shù)。它可用于不導(dǎo)電樣品的觀察。51U0勢(shì)勢(shì)壘壘1 2 3勢(shì)壘穿透勢(shì)壘穿透經(jīng)經(jīng)典典理理論論1.E U