【世紀金榜】2016高中數(shù)學 精講優(yōu)練課型平面向量 2.4.2 平面向量數(shù)量積的坐標表示、模、夾角課件 新人教版必修4

1、平面向量數(shù)量積的坐標表示、模、夾角【知識提煉】1.兩向量的數(shù)量積與兩向量垂直的坐標表示設向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，a與b的夾角為.數(shù)量積兩個向量的數(shù)量積等于_即：ab=_向量垂直ab_它們對應坐標的乘積的和.x1x2+y1y2x1x2+y1y2=02.與向量的模、夾角相關的三個重要公式(1)向量的模：設a=(x，y)，那么|a|=_.(2)兩點間的距離公式：假設A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么| |=_.(3)向量的夾角公式：設兩非零向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，a與b的夾角為，那么cos= =_.【即時小測】1.思考以下問題.(1)向量a=(x1，y1

2、)，b=(x2，y2)的數(shù)量積仍是向量，其坐標為(x1x2，y1y2)對嗎？提示：不對.向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)的數(shù)量積為實數(shù)，其值為x1x2+y1y2.(2)向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，那么向量a在向量b方向上的投影能用a，b的坐標表示嗎？提示：能.向量a在向量b方向上的投影為|a|cos(為向量a與b的夾角)，而cos= ，所以|a|cos= 2.a=(-3，4)，b=(5，2)，那么ab的值是()A.23B.7C.-23D.-7【解析】選D.由數(shù)量積的計算公式，ab=(-3，4)(5，2)=-35+42=-7.3.向量a=(x-5，3)，b=(2，x)，

3、且ab，那么由x的值構(gòu)成的集合是()A.2，3B.-1，6C.2D.6【解析】選C.因為a=(x-5，3)，b=(2，x)，又ab，所以ab=2(x-5)+3x=0，解得x=2，那么由x的值構(gòu)成的集合是2.4.a=(1， )，b=(-2，0)，那么|a+b|=_.【解析】因為a+b=(-1， )，所以|a+b|=答案：25.a=(-4，3)，b=(1，2)，那么2|a|2-3ab=_.【解析】因為a=(-4，3)，所以2|a|2=ab=-41+32=2.所以2|a|2-3ab=50-32=44.答案：44 【知識探究】知識點1 平面向量數(shù)量積及模的表示觀察如下圖內(nèi)容，答復以下問題：問題1：向量

4、的數(shù)量積的坐標公式適用于任何兩個向量嗎？問題2：向量的模的坐標表示可以解決哪些問題？【總結(jié)提升】1.數(shù)量積坐標表示的作用及記憶口訣(1)作用：數(shù)量積的坐標表示的實質(zhì)是用向量的坐標計算數(shù)量積的一個公式；它實現(xiàn)了向量的數(shù)量積的運算與兩向量的坐標的運算的轉(zhuǎn)化，從而將它們聯(lián)系起來.(2)記憶口訣：數(shù)量積的坐標表示可簡記為“對應相乘計算和.2.向量的模的坐標運算的實質(zhì)向量的模即為向量的長度，其大小應為平面直角坐標系中兩點間的距離，如a=(x，y)，那么在平面直角坐標系中，一定存在點A(x，y)，使得 =a=(x，y)，所以| |=|a|= ，即|a|為點A到原點的距離.同樣假設A(x1，y1)，B(x2

5、，y2)，那么 =(x2-x1，y2-y1)，所以| |= 即平面直角坐標系中任意兩點間的距離公式.由此可知向量的模的運算實質(zhì)即為平面直角坐標系中兩點間的距離的運算.知識點2 向量垂直、夾角余弦值的坐標表示觀察如下圖內(nèi)容，答復以下問題：問題1：兩個向量夾角公式的條件是什么？問題2：兩個向量的數(shù)量積和兩個向量夾角的余弦值有何關系？問題3：兩個向量垂直條件與平行條件的運算有何區(qū)別？【總結(jié)提升】1.向量垂直的坐標表示(1)記憶口訣和注意問題注意坐標形式下兩向量垂直的條件與兩向量平行的條件不要混淆，“abx1x2+y1y2=0可簡記為“對應相乘和為0；“abx1y2-x2y1=0可簡記為“交叉相乘差為

6、0.(2)可以解決的問題應用公式可解決向量垂直，兩條直線互相垂直等問題.2.平面向量夾角的余弦公式的應用條件及使用策略(1)應用條件兩個非零向量的坐標，可以利用該公式求得夾角的余弦值.(2)在不同表示形式下求向量夾角的策略當a，b是非坐標形式時，求a與b的夾角，需求出ab，|a|和|b|或直接得出它們之間的關系.假設a，b是坐標形式，那么可直接利用公式cos=求解.【題型探究】類型一 平面向量數(shù)量積的坐標運算【典例】1.(2021三明高一檢測)向量a=(2，1)，b=(x，2)，且ab=1，那么x的值為()A.-B.C.-1D.12.向量a=(1，3)，b=(2，5)，c=(2，1)，求(1)

7、2a(b-a).(2)(a+2b)c.(3)a(bc).【解題探究】1.典例1中，利用哪個條件建立關于x的方程？提示：根據(jù)ab=1建立關于x的方程.2.典例2中，向量數(shù)量積的運算滿足哪些運算律？提示：向量數(shù)量積的運算滿足數(shù)乘結(jié)合律(a)b=(ab)=a(b)；滿足分配律(a+b)c=ac+bc.【解析】1.選A.因為a=(2，1)，b=(x，2)，所以ab=2x+12=1，解得x=- .2.(1)方法一：2a=2(1，3)=(2，6)，b-a=(2，5)-(1，3)=(1，2)，所以2a(b-a)=(2，6)(1，2)=21+62=14.方法二：2a(b-a)=2ab-2a2=2(12+35)

8、-2(1+9)=14.(2)方法一：a+2b=(1，3)+2(2，5)=(1，3)+(4，10)=(5，13)，(a+2b)c=(5，13)(2，1)=52+131=23.方法二：(a+2b)c=ac+2bc=12+31+2(22+51)=23.(3)因為bc=22+51=9，所以a(bc)=9a=9(1，3)=(9，27).【方法技巧】數(shù)量積運算的途徑及注意點(1)兩條途徑：一是先將各向量用坐標表示，直接進行數(shù)量積運算；二是先利用數(shù)量積的運算律將原式展開，再依據(jù)計算.(2)注意點：對于以圖形為背景的向量數(shù)量積運算的題目，注意把握圖形特征，并寫出相應點的坐標即可求解.【變式訓練】a=(2，-1

9、)，b=(3，-2)，那么(3a-b)(a-2b)=_.【解析】因為ab=23+(-1)(-2)=8，a2=22+(-1)2=5，b2=32+(-2)2=13，所以(3a-b)(a-2b)=3a2-7ab+2b2=35-78+213=-15.答案：-15【一題多解】此題還可以采用以下方法：因為a=(2，-1)，b=(3，-2)，所以3a-b=(6，-3)-(3，-2)=(3，-1)，a-2b=(2，-1)-(6，-4)=(-4，3).所以(3a-b)(a-2b)=3(-4)+(-1)3=-15.答案：-15類型二 向量的模的問題【典例】1.(2021石家莊高一檢測)設xR，向量a=(x，1)，

10、b=(1，-2)，且ab，那么|a+b|=() 2.假設向量a的始點A(-2，4)，終點B(2，1)，求(1)a的模.(2)與向量a平行的單位向量的坐標.(3)與向量a垂直的單位向量的坐標.【解題探究】1.典例1中如何求x的值？向量的模的坐標表達式是什么？提示：由ab利用向量共線的坐標表示求x的值.向量a=(x，y)的模為|a|= 2.典例2中與向量a平行的單位向量是什么？與向量a垂直的單位向量可以表示成什么？提示：與向量a平行的單位向量是 ，與向量a垂直的單位向量可以表示為ae=0.【解析】1.選B.因為a=(x，1)，b=(1，-2)，且ab，所以-2x-11=0，解得x=- .所以 2.

11、(1)因為a= =(2，1)-(-2，4)=(4，-3)，所以|a|=(2)與向量a平行的單位向量是 (4，-3)，即坐標為或(3)與向量a垂直的單位向量為e=(x，y)，那么ae=4x-3y=0，所以又因為|e|=1，所以x2+y2=1，聯(lián)立 解得 或所以坐標為【延伸探究】1.(變換條件)假設將典例1中條件“ab變?yōu)椤癮b，結(jié)論如何？【解析】因為ab，所以ab=0，即x-2=0.所以x=2，所以a=(2，1)，所以a2=5.又因為b2=5，所以 2.(改變問法)假設典例1中條件不變，求|2a-3b|的值？【解析】 2a-3b= =(-1，2)-(3，-6)=(-4，8)所以|2a-3b|=【

12、方法技巧】求向量的模的兩種根本策略(1)字母表示下的運算：利用|a|2=a2將向量的模的運算轉(zhuǎn)化為向量與向量的數(shù)量積的問題.(2)坐標表示下的運算：假設a=(x，y)，aa=a2=x2+y2，于是有|a|=【補償訓練】a，b是平面內(nèi)兩個互相垂直的單位向量，假設向量c滿足(a-c)(b-c)=0，那么|c|的最大值是()A.1B.2C.D.【解析】因為|a|=|b|=1，ab=0，展開(a-c)(b-c)=0后得|c|2=c(a+b)，由于a，b是平面內(nèi)兩個互相垂直的單位向量，故|a+b|= ，設=，那么|c|2=c(a+b)=|c|a+b|cos，當|c|0時，|c|=|a+b|cos= co

13、s ，故|c|的最大值是 .類型三 向量的夾角和垂直問題【典例】1.(2021長春高一檢測)a=(1， )，b=( +1， -1)，那么a與b的夾角為_.2.三個點A，B，C的坐標分別為(3，-4)、(6，-3)、(5-m，-3-m)，假設ABC為直角三角形，且A為直角，實數(shù)m的值為_.3.|a|=1，ab= ，(a-b)(a+b)= ，求：a與b的夾角；a-b與a+b的夾角的余弦值.【解題探究】1.典例1中，如何求a與b的夾角？提示：利用cos =2.典例2中A為直角得出什么樣的結(jié)論？提示：由A為直角，得出 即3.典例3中解決此題的關鍵是什么？提示：關鍵是求|b|，|a-b|和|a+b|的值

14、，然后運用夾角公式求解【解析】1.由a=(1， )，b=( +1， -1)，得ab= +1+ ( -1)=4，|a|=2，|b|=2 .設a與b的夾角為，那么cos = 又0，所以= .答案： 2.由，得 =(3，1)， =(2-m，1-m)因為ABC為直角三角形，且A為直角，所以 所以 =3(2-m)+(1-m)=0，解得m= .答案： 3.因為(a-b)(a+b)=|a|2-|b|2= ，又因為|a|=1，所以|b|=設a與b的夾角為，那么cos = 所以=45.即a與b的夾角為45.因為(a-b)2=a2-2ab+b2= 所以|a-b|= .因為(a+b)2=a2+2ab+b2= 所以|

15、a+b|= 設a-b與a+b的夾角為，那么cos= 所以cos= .即(a-b)與(a+b)的夾角的余弦值為 .【延伸探究】典例2中假設把條件中的“A為直角去掉，結(jié)果如何？【解析】由得 =(3，1)， =(2-m，1-m)， =(-1-m，-m)，由ABC為直角三角形，那么當A為直角時，由原題得m= .當B為直角時，那么 =3(-1-m)-m=0，得m=- .當C為直角時，那么 =(2-m)(-1-m)+(1-m)(-m)=0，即m2-m-1=0，解得m=綜上知，當ABC為直角三角形時，m的值為【方法技巧】解決向量夾角問題的方法及本卷須知(1)求解方法：先利用平面向量的坐標表示出這兩個向量的數(shù)

16、量積ab及|a|b|，再由cos = 直接求出cos .(2)本卷須知：利用三角函數(shù)值cos 求的值時，應注意角的取值范圍是0180.利用cos = 判斷的值時，要注意cos 0時，也有兩種情況：一是是銳角，二是為0.【變式訓練】(2021湖北高考)設向量a=(3，3)，b=(1，-1)，假設(a+b)(a-b)，那么實數(shù)=_.【解析】因為a+b=(3+，3-)，a-b=(3-，3+)，因為(a+b)(a-b)，所以(3+)(3-)+(3-)(3+)=0，解得=3.答案：3【誤區(qū)警示】解題時要明確知道(a+b)(a-b)的充要條件是(a+b)(a-b)=0，不要與向量平行的充要條件弄混.【補償訓練】1.a，b為平面向量，a=(4，3)，2a+b=(3，18)，那么a，b夾角的余弦值等于() 【解析】選C.設b=(x，y)，a，b的夾角為，那么2a+b=(8+x，6+y)=(3，18)，解得x=-5，y=12，故b=(-5，12).由cos= 2.A(2，1)，B(3，2)，C(-1，5)，求證ABC是銳角三角形.【解題指南】ABC是銳角三角形，即三個內(nèi)角都是銳角，分別求出相應向量夾角的余弦值，確定該三角形三個內(nèi)角的余弦值均大于0即可.【證明】由條件得 =(1，1)， =(-4，3)， =(3，-4)，因為 =-4+3=-10，及A