第二章第6-8節(jié)11

1、2.6 2.6 方形鏡共焦腔的行波場方形鏡共焦腔的行波場一、方形鏡對稱共焦腔的行波場一、方形鏡對稱共焦腔的行波場 厄米厄米- -高斯光束高斯光束1 1、推導(dǎo)方法、推導(dǎo)方法菲涅耳菲涅耳基爾霍夫基爾霍夫衍射積分公式衍射積分公式腔內(nèi)、外任一點的場腔內(nèi)、外任一點的場鏡面上的場鏡面上的場2 2、腔中的場分布、腔中的場分布) ) 2200, ,22,mnmnmnrwzix y zwEx y zAEHx Hyw zw zw zee 在厄米在厄米- -高斯近似下高斯近似下E0，Amn, w0 均為常數(shù)均為常數(shù) w 0 : : 基模高斯光束腰斑半徑基模高斯光束腰斑半徑0022swLfw 2220011122sw

2、Lzzw zwfffz2Lf 21211,22nmfrfkzyx11arctg特點特點 : (1) : (1) Emn(x, y, z )是由腔的一個鏡是由腔的一個鏡面上的場產(chǎn)生，并沿著腔的軸線而傳播面上的場產(chǎn)生，并沿著腔的軸線而傳播的行波場。的行波場。(2) (2) 考慮到鏡的適當(dāng)透過率后，考慮到鏡的適當(dāng)透過率后，Emn(x, y, z )也適用于腔外也適用于腔外的場。的場。二、振幅分布和光斑尺寸二、振幅分布和光斑尺寸1 1、振幅分布、振幅分布 2220022,xywzmnmnmnwEx y zAEHx Hy ew zw zw z(1)(1)基?；?222000000,xywzwEx y

3、zA Eew z基模截面是高斯函數(shù)基模截面是高斯函數(shù)(2)(2)最初幾階橫模最初幾階橫模 22201010022,xywzwEx y zA Ex ew zw z 2220100222xywzwA Ex ewz 2220010102,22xywzwEx y zA Ey ewz 2220111102222,xywzwEx y zA Exy ew zw zw z 222011038xywzwA Ex y ewz 22222020200242,2xywzwEx y zA Exew zwz 22220200282xywzwA Exew zwz2 2、光斑尺寸振幅下降為最大值、光斑尺寸振幅下降為最大值1/

4、e1/e時的光斑半徑時的光斑半徑(1)(1)基?；? :振幅下降為最大值振幅下降為最大值1/e1/e時的光斑半徑時的光斑半徑 2220011122swLzzzw zwfff特點特點:a:a、光斑半徑隨、光斑半徑隨z z按照雙曲線規(guī)律變化。按照雙曲線規(guī)律變化。 222201wzzwfb b、當(dāng)、當(dāng) z=0 時，時， 達到最小值達到最小值 w z且有：且有： 002sww zw基模高斯光束的腰斑半徑基模高斯光束的腰斑半徑c c、當(dāng)、當(dāng) 時，即在鏡面上時，有：時，即在鏡面上時，有：2Lfz 002sw zww( (x x , , y y) )002sww0w0fL2z z(2)(2)高階模：坐標(biāo)均

5、方差的四倍高階模：坐標(biāo)均方差的四倍 2021211mzwzmw zmwf 2021211nzwznw znwf三、模體積三、模體積1 1、定義：描述某一腔模在腔內(nèi)擴展的空間體積。、定義：描述某一腔模在腔內(nèi)擴展的空間體積。2 2、意義：模體積大。對激活介質(zhì)能量的提取就大，對模式、意義：模體積大。對激活介質(zhì)能量的提取就大，對模式振蕩作貢獻的粒子數(shù)越多，就有可能獲得大的輸出功率。振蕩作貢獻的粒子數(shù)越多，就有可能獲得大的輸出功率。決定一個模式能否振蕩，能獲得多大的輸出功率，與其它決定一個模式能否振蕩，能獲得多大的輸出功率，與其它模式的競爭情況等。模式的競爭情況等。3 3、對稱共焦腔基模的模體積：看成底

6、半、對稱共焦腔基模的模體積：看成底半徑為徑為w0，高為，高為L的圓柱體。的圓柱體。221220000LwLVs2w0s四、等相位面的分布四、等相位面的分布1 1、與腔軸線相交于、與腔軸線相交于z z0 0的等相位面的方程的等相位面的方程 2200, ,22,mnmnmnrwzix y zwEx y zAEHx Hyw zw zw zee21211,22nmfrfkzyx022, 0 , 021211,znmfrfkzyx2 2、等相面特點、等相面特點( (1 1) ) 近似為拋物面近似為拋物面, ,頂點在：頂點在：z=z0, , 焦距為：焦距為：0200202241zfzLf( (2 2) )

7、 在在 的范圍內(nèi)的范圍內(nèi), ,等相面近似為等相面近似為2 fr 球面球面, ,與腔軸交于與腔軸交于z0處的等相面曲率半徑為處的等相面曲率半徑為: :000202zffzfzfzfR(3) (3) 有有 , ,0000zzz0000zzz說明等相面是凹面向著腔心的，且說明等相面是凹面向著腔心的，且 R 隨隨 z 0而變。而變。(4)(4) 當(dāng)當(dāng) 時，時， 20LfzLfzR 20即反射鏡面本身與兩個等相面重合。即反射鏡面本身與兩個等相面重合。(5)(5) 當(dāng)當(dāng) 時，時， 。腔心和無窮遠處。腔心和無窮遠處或00zR(6)(6) 在等相面處放一個相應(yīng)曲率半徑的反射鏡片，共焦場分在等相面處放一個相應(yīng)曲

8、率半徑的反射鏡片，共焦場分布不受影響。布不受影響。的等相面為平面。的等相面為平面。五、遠場發(fā)散角五、遠場發(fā)散角( (全角全角) )01 1、定義：雙曲線兩漸、定義：雙曲線兩漸近線間的夾角。近線間的夾角?；＃夯＃?20 12limezw zz 弧度弧度 2021limzwz fz02211lim2zwzf02wff20f高階模的發(fā)散角隨階次的增大而增大，方向性變差！高階模的發(fā)散角隨階次的增大而增大，方向性變差！2.7 2.7 圓形鏡共焦腔圓形鏡共焦腔圓形鏡共焦腔模式的積分方程有嚴(yán)格的解析解圓形鏡共焦腔模式的積分方程有嚴(yán)格的解析解超橢球函數(shù)！超橢球函數(shù)！數(shù)學(xué)上，對超橢球函數(shù)的研究還不如長橢球函

9、數(shù)！這里數(shù)學(xué)上，對超橢球函數(shù)的研究還不如長橢球函數(shù)！這里只討論菲涅耳數(shù)只討論菲涅耳數(shù)N N足夠大時的近似解。足夠大時的近似解。一、拉蓋爾一、拉蓋爾高斯近似高斯近似1 1、當(dāng)、當(dāng) 時，可用拉蓋爾時，可用拉蓋爾高斯近似高斯近似N(1)(1)鏡面上的場分布：鏡面上的場分布：本征函數(shù)本征函數(shù)拉蓋爾高斯函數(shù)拉蓋爾高斯函數(shù)( (用極坐標(biāo)用極坐標(biāo)) )2202200cos,22sinsmrwmmnmnnssmrrrCLemwwv歸一化常數(shù)歸一化常數(shù)0sLw說明說明: : cos 和和 sin 可可 任取其一，但當(dāng)任取其一，但當(dāng)m=0時，只能取時，只能取cos，否則本征函數(shù)無意義。，否則本征函數(shù)無意義。締合拉

10、蓋爾締合拉蓋爾多項式多項式 mnL(2) (2) 締合拉蓋爾多項式締合拉蓋爾多項式 10mL mLm11 0d! d!0,1, 2,!mnmnmnnknkLeennmnmkknk(3) (3) 前幾階鏡面場函數(shù)前幾階鏡面場函數(shù)220000,osrwrC ev與方形鏡的情形一樣與方形鏡的情形一樣221010cos2,sinosrwosrCrewv22201012,1 2osrwosrrCewv2 2、與、與 本征值本征值212nmLkimne說明：說明：N N越大，用拉蓋爾越大，用拉蓋爾高斯近似的誤差越??！高斯近似的誤差越?。《?、拉蓋爾二、拉蓋爾高斯近似下共焦腔模的特征高斯近似下共焦腔模的特征1

11、 1、模的振幅分布、模的振幅分布,mnrv(1)(1)基?；?0TEM220000,osrwrC ev與方形鏡的情形一樣與方形鏡的情形一樣光斑半徑光斑半徑0sLw花樣特點：無節(jié)線，在花樣特點：無節(jié)線，在 r = 0 處振幅最大。處振幅最大。(2)(2)高次模高次模 ：與對應(yīng)的本征函數(shù)一樣。：與對應(yīng)的本征函數(shù)一樣。mnTEM00TEM01TEM02TEM10TEM20TEM30TEMm、n的意義的意義? ?TEMmn的光斑尺寸：場振幅下降為最外面一個極大值的的光斑尺寸：場振幅下降為最外面一個極大值的1/e的點與鏡面中心的距離。的點與鏡面中心的距離。特點：階次越高，光斑半徑越大。特點：階次越高，

12、光斑半徑越大。2 2、模的相位分布、模的相位分布因因 為實數(shù)，則等相位面也為鏡面。為實數(shù)，則等相位面也為鏡面。,mnrv3 3、單程相移和諧振頻率單程相移和諧振頻率212nmkLmn幾何相移幾何相移附加相移附加相移(1)(1)單程相移單程相移(2) (2) 諧振頻率諧振頻率可見，相移特點以及頻率的高度簡并都與方形鏡的類似！可見，相移特點以及頻率的高度簡并都與方形鏡的類似！12122mnqcqmnL(3) (3) 頻率間隔：也與方形鏡的一樣。頻率間隔：也與方形鏡的一樣。(4)(4)單程衍射損耗單程衍射損耗211mnmn212nmLkimne0mn數(shù)值迭代表明，損耗仍然與數(shù)值迭代表明，損耗仍然與N

13、、m、n相關(guān)！而且在菲涅耳相關(guān)！而且在菲涅耳數(shù)相同時，圓形鏡共焦腔的損耗要大方形鏡的幾倍。數(shù)相同時，圓形鏡共焦腔的損耗要大方形鏡的幾倍。三、三、 圓形鏡共焦腔的行波場圓形鏡共焦腔的行波場圓形鏡共焦腔的行波場特性的推導(dǎo)方法與方形鏡相同圓形鏡共焦腔的行波場特性的推導(dǎo)方法與方形鏡相同, , 其其基模光束的特征也完全相同?；９馐奶卣饕餐耆嗤?。四、四、 對稱共焦腔的模式小結(jié)對稱共焦腔的模式小結(jié)1 1、 對稱共焦腔在高斯近似下對稱共焦腔在高斯近似下( (在在N1N1時時), ), 自再現(xiàn)模可以自再現(xiàn)?？梢杂枚蛎子枚蛎赘咚够蚶w爾高斯或拉蓋爾高斯函數(shù)近似描述場分布。其中高斯函數(shù)近似描述場分布。其中人們

14、較多關(guān)心基模情況，對應(yīng)的行波為人們較多關(guān)心基模情況，對應(yīng)的行波為基模高斯光束基模高斯光束。2 2、只有精確解才能正確描述共焦腔模的損耗特性。每一橫、只有精確解才能正確描述共焦腔模的損耗特性。每一橫模的損耗由腔的菲涅耳數(shù)決定，不同橫模的損耗各不相同。模的損耗由腔的菲涅耳數(shù)決定，不同橫模的損耗各不相同。一般，一般，階次越高的模損耗也越大階次越高的模損耗也越大。3 3、衍射損耗低；、衍射損耗低； 模簡并；基模光斑尺寸沿腔軸以雙曲線模簡并；基模光斑尺寸沿腔軸以雙曲線規(guī)律變化規(guī)律變化; ; 等相位面近似為球面，在反射鏡處，等相位面等相位面近似為球面，在反射鏡處，等相位面與鏡面重合。與鏡面重合。自再現(xiàn)模所

15、應(yīng)滿足的積分方程分離變量法方形鏡對稱共焦腔鏡面場分布（長橢球函數(shù)）厄米-高斯函數(shù)圓形鏡對稱共焦腔鏡面場分布（超橢球函數(shù)）對稱共焦腔拉蓋爾-高斯函數(shù)N近似鏡面場分布鏡面場分布空間行波場分布空間行波場分布本征值本征值 D， mnq腔內(nèi)、外行波場腔內(nèi)、外行波場基模高斯光束：w0、f、w(z)、R(z)、本征函數(shù)本征函數(shù)鏡面上光斑，模體積鏡面上光斑，模體積fw 0空間場分布空間場分布光斑、相位光斑、相位 201fzwzw zfzzR2f22e1衍射損耗1、證明：任何一個共焦腔與無窮多個穩(wěn)定球面腔等價： 2zffR zfzfzz2222212111zfzzRRzfzzRR111021RLRL可以證明R1

16、, R2, L滿足 共焦腔與穩(wěn)定球面腔的等價性 （具有相同的行波場）任何一個共焦腔可以與無窮多個穩(wěn)定球面鏡腔等價，而任何一個穩(wěn)定球面鏡腔只能有一個等價共焦腔12zzL是穩(wěn)定球面腔的情況：，考慮0021zz2.8 一般穩(wěn)定球面鏡腔的模式特征2、證明：任意一個穩(wěn)定球面腔只有一個等價的共焦腔： 關(guān)鍵問題：已知 R1 , R2 , L 如何求出等價共焦腔位置及 f 值 2222212111zfzzRRzfzzRR12zzL 21122121RLRLLRLzRLRLLRLz 22121212RLRLLRRLRLRLf02f111021RLRL當(dāng)可得111021RLRL聯(lián)立解出：聯(lián)立解出：一、鏡面上的光斑

17、尺寸一、鏡面上的光斑尺寸（基模）（基模） 201fzwzw 一般穩(wěn)定球面鏡腔的模式特征fzz,21將前面將前面 的表達式帶入，得到的表達式帶入，得到7 . 8 . 2116 . 8 . 204121210241211201412121222412112211LwggggwwggggwworLRRLRLLRRLwLRRLRLLRRLwsssssss zwrezwwEAzyxE22000000,穩(wěn)定腔二、模體積（基模）二、模體積（基模）9 . 8 . 2221141222122000021122100020021LLwVggggggVwwLVsss002121210或1Vgggggg但121200

18、0000nmVVVVmnmn模體積（高階模）對方形鏡穩(wěn)定腔：三、等相位面分布： zffzfzfzzR2等相位面（2.8.4） 22121212RLRLLRRLRLRLf四、基模遠場發(fā)散角：41212122121122ggggggggLf2zfz12L2lim22ze12 zzwz2lim0000121221VnmwwLVnsmsmn五、諧振頻率：11. 8 . 22122,212,22zfzfarctgnmkfRrzkzrzfzfarctgnmkfRrzkzrmnmn方形鏡圓形鏡12. 8 . 22, 0, 02,12qzzzr2mnmnmnfzz,21表達式代入將14. 8 . 213. 8 . 2cos1212cos1122121ggarcnmqLcggarcnmqLcmnqmnq方形鏡穩(wěn)定球面腔：圓形鏡穩(wěn)定球面腔：六、衍射損耗：2022swaLaN202022ssiwawaiiefN穩(wěn)定球面鏡腔的有效菲涅爾數(shù)Lws0共焦腔菲涅耳數(shù)共焦腔菲涅耳數(shù) 穩(wěn)定球面腔與等價共焦腔的衍射損耗遵循相同規(guī)律時，兩個腔的單程損耗應(yīng)該相等。帶入（2.8.6）和（2.8.7）19. 8 . 211211222121