高等數(shù)學(xué)-概率8[1]1+估計量的優(yōu)劣標(biāo)準(zhǔn)

1、數(shù)理統(tǒng)計數(shù)理統(tǒng)計 第八章第八章 參數(shù)估計參數(shù)估計X X1 1，.,X.,Xn n是來自總體是來自總體X X的樣本，的樣本，X X1 1，.,X.,Xn n獨(dú)立同分布獨(dú)立同分布( , )( , )f xXf x是 的分布律或概率密度，其中是參數(shù)。的形式已知，則有統(tǒng)計模型11(, )(, )f xf x( , )f x要得到，必須求出參數(shù) 。精確求出 比較困難，需要根據(jù)樣本估計 的值。數(shù)理統(tǒng)計數(shù)理統(tǒng)計 第一節(jié)第一節(jié) 估計量的優(yōu)劣標(biāo)準(zhǔn)估計量的優(yōu)劣標(biāo)準(zhǔn)數(shù)理統(tǒng)計數(shù)理統(tǒng)計 樣本均值是否是樣本均值是否是 的一個好的估計量？的一個好的估計量？ (2) 怎樣決定一個估計量是否比另一個估計量怎樣決定一個估計量是否

2、比另一個估計量“好好”？樣本方差是否是樣本方差是否是 的一個好的估計量？的一個好的估計量？2 這就需要討論以下幾個問題這就需要討論以下幾個問題: :(1) 我們希望一個我們希望一個“好的好的”估計量具有什么特性？估計量具有什么特性？(3) 如何求得合理的估計量？如何求得合理的估計量？XN( )2, 數(shù)理統(tǒng)計數(shù)理統(tǒng)計 估計量的評選標(biāo)準(zhǔn)估計量的評選標(biāo)準(zhǔn) 在介紹估計量的評選標(biāo)準(zhǔn)之前，我們必須強(qiáng)在介紹估計量的評選標(biāo)準(zhǔn)之前，我們必須強(qiáng)調(diào)指出：調(diào)指出： 評價一個估計量的好壞，不能僅僅依據(jù)一次試評價一個估計量的好壞，不能僅僅依據(jù)一次試驗的結(jié)果，而必須由多次試驗結(jié)果來衡量驗的結(jié)果，而必須由多次試驗結(jié)果來衡量

3、. 這是因為估計量是樣本的函數(shù)這是因為估計量是樣本的函數(shù), 是隨機(jī)變量是隨機(jī)變量 . 因因此，由不同的觀測結(jié)果，就會求得不同的參數(shù)估計此，由不同的觀測結(jié)果，就會求得不同的參數(shù)估計值值. 因此一個好的估計，應(yīng)在多次試驗中體現(xiàn)出優(yōu)良因此一個好的估計，應(yīng)在多次試驗中體現(xiàn)出優(yōu)良性性 .數(shù)理統(tǒng)計數(shù)理統(tǒng)計 常用的幾條標(biāo)準(zhǔn)是：常用的幾條標(biāo)準(zhǔn)是：1無偏估計無偏估計2有效估計有效估計3相合估計相合估計這里我們重點介紹前面兩個標(biāo)準(zhǔn)這里我們重點介紹前面兩個標(biāo)準(zhǔn) .數(shù)理統(tǒng)計數(shù)理統(tǒng)計 估計量是隨機(jī)變量，對于不同的樣本值會得到估計量是隨機(jī)變量，對于不同的樣本值會得到不同的估計值不同的估計值 . 我們希望估計值在未知參數(shù)真

4、值附我們希望估計值在未知參數(shù)真值附近擺動，而它的期望值等于未知參數(shù)的真值近擺動，而它的期望值等于未知參數(shù)的真值. 這就這就導(dǎo)致無偏性這個標(biāo)準(zhǔn)導(dǎo)致無偏性這個標(biāo)準(zhǔn) . 一、無偏估計一、無偏估計 )(E則稱則稱 為為 的的無偏估計無偏估計 . ),(1nXX 設(shè)設(shè)是未知參數(shù)是未知參數(shù) 的估計量，若的估計量，若 數(shù)理統(tǒng)計數(shù)理統(tǒng)計 例如，用樣本均值作為總體均值的估計時，例如，用樣本均值作為總體均值的估計時，雖無法說明一次估計所產(chǎn)生的偏差，但這種偏差隨雖無法說明一次估計所產(chǎn)生的偏差，但這種偏差隨機(jī)地在機(jī)地在0的周圍波動，對同一統(tǒng)計問題大量重復(fù)使的周圍波動，對同一統(tǒng)計問題大量重復(fù)使用不會產(chǎn)生系統(tǒng)偏差用不會產(chǎn)

5、生系統(tǒng)偏差 .無偏性是對估計量的一個常見而重要的要求無偏性是對估計量的一個常見而重要的要求 .無偏性的實際意義是指沒有系統(tǒng)性的偏差無偏性的實際意義是指沒有系統(tǒng)性的偏差 .數(shù)理統(tǒng)計數(shù)理統(tǒng)計 例例1證證1222(,),=,nXXEDXS從 總 體中 抽 取 樣 本則 樣 本 平 均 數(shù)及 樣 本 方 差是，的 無 偏 估 計 。11111()()nniiiiE XEXEXnnnn22211111()()nniiiiD XDXD Xnnnn22111()11()1niiniiE SEXXnEXXn數(shù)理統(tǒng)計數(shù)理統(tǒng)計 2211()()1niiEXnXn2211()()11niinEXEXnn222111

6、nnnnn方差定義方差定義11(,),(,),nmXXYY如果從總體 中抽取兩個獨(dú)立樣本則1=()XnXmYmn22212(1)(1)2nSmSSnm2和的無偏估計2211()1niiXXSn2212()1miiYYSm數(shù)理統(tǒng)計數(shù)理統(tǒng)計 二、有效估計二、有效估計D( ) D( )2 1 則稱則稱 較較 有效有效 .2 1 都是參數(shù)都是參數(shù) 的無偏估計量，若對的無偏估計量，若對任意任意 ，),(11nXX ),(122nXX 1 設(shè)設(shè)和和 且至少對于且至少對于某個某個 上式中的不等號成立，上式中的不等號成立，如果 的方差最小，則稱 是 的有效估計數(shù)理統(tǒng)計數(shù)理統(tǒng)計 例例2解解比 較 總 體 期 望的 兩 個 無 偏 估 計11niiXXn，E X11niiiniia XXa21D Xn11niiiniia E XE Xa222112211()()nniiiiinniiiiaD XaD Xaa數(shù)理統(tǒng)計數(shù)理統(tǒng)計 222ijijaaa a利 用 不 等 式2211()nniiijiiijaaa a222211()nniijiiijiaaana2221211niiniiaD XD Xnna數(shù)理統(tǒng)計數(shù)理統(tǒng)計 三、一致估計三、一致估計任意任意 ，當(dāng)，當(dāng) 時時 依概率收斂依概率收斂