彎曲變形例題

1、1例例1 1 求如圖示等截面直梁的撓曲線方程、用積分法求最大撓度及求如圖示等截面直梁的撓曲線方程、用積分法求最大撓度及最大轉(zhuǎn)角。最大轉(zhuǎn)角。建立坐標(biāo)系并寫出彎矩方程建立坐標(biāo)系并寫出彎矩方程系統(tǒng)總的彎矩的求解)()(xLPxM寫出寫出微分方程并積分微分方程并積分)()(xLPxMfEI 解：解：x12)(21CxLPfEI213)(61CxCxLPEIfPLfRABAM以以x x為自變量的積分為自變量的積分以以(L-x)(L-x)為自變量的積分為自變量的積分轉(zhuǎn)角的定義為在某一點(diǎn)轉(zhuǎn)角的定義為在某一點(diǎn)出的傾斜度；轉(zhuǎn)角的真出的傾斜度；轉(zhuǎn)角的真正含義。正含義。)()(xLPxMfEI 1221CPLxPx

2、fEI2123261CxCxPLxEIf2應(yīng)用位移邊界條件應(yīng)用位移邊界條件求積分常數(shù)求積分常數(shù)322161 ; 21PLCPLC061)0(23CPLEIf021)0()0(12CPLfEIEI以以x x為自變量的積分為自變量的積分以以(L-x)(L-x)為自變量的積分為自變量的積分0 ; 021CC0)0(2CEIf0)0()0(1CfEIEI其結(jié)果為積分常數(shù)的不同其結(jié)果為積分常數(shù)的不同1221CPLxPxfEI2123261CxCxPLxEIf3寫出彈性曲線方程并畫出曲線寫出彈性曲線方程并畫出曲線3233)(6)(LxLxLEIPxf以以x x為自變量的積分為自變量的積分以以(L-x)(L

3、-x)為自變量的積分為自變量的積分彈性曲線的求解2336)(LxxEIPxfxfPLMRA4EIPLLff3)(3maxEIPLL2)(2max最大撓度及最大轉(zhuǎn)角最大撓度及最大轉(zhuǎn)角 B的符號為負(fù)，表示截面的轉(zhuǎn)角是順時針方向的；的符號為負(fù)，表示截面的轉(zhuǎn)角是順時針方向的； 而撓度而撓度fB是負(fù)的，表示是負(fù)的，表示B點(diǎn)的撓度是向下。點(diǎn)的撓度是向下。xfPLMRAEIPLLLEIPLf336)(333EIPLLLf2)()(25解：解：建立坐標(biāo)系并寫出彎矩方程建立坐標(biāo)系并寫出彎矩方程系統(tǒng)桿的彎矩求解。段)( )(ABPaPxxM寫出寫出微分方程的積分并積分微分方程的積分并積分的傾斜轉(zhuǎn)角的意義，即直線處

4、1221CPaxPxfEI撓度的利用21232161CxCPaxPxEIf PaPxfEI xfPLaMRAACB例例2 2：用積分法求圖示懸臂梁的撓曲線方程，自由端的撓度：用積分法求圖示懸臂梁的撓曲線方程，自由端的撓度和轉(zhuǎn)角。設(shè)和轉(zhuǎn)角。設(shè)EIEI為常量，為常量，BC BC 段內(nèi)無載荷。段內(nèi)無載荷。6用邊界條件用邊界條件求積分常數(shù)求積分常數(shù)0)0(2CEIf在支架處的轉(zhuǎn)角的利用0)0(1CEIxPLafMRAACB寫出寫出ABAB段的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程段的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程并畫出曲線圖并畫出曲線圖)3(6)(23axxEIPxfPaxPxEIf221xPLafACBf1f27最大撓度最大撓

5、度(x=L)及最大轉(zhuǎn)角及最大轉(zhuǎn)角(*BC為直線，故為直線，故B=C)EIPaCB22特殊結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)角的求解)3(6)(221aLEIPaaLffffBBCPLafACBf1f2因?yàn)橐驗(yàn)锽很小，故很小，故f2= B(L-a)8外力都作用在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)的彎曲叫平面彎曲外力都作用在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)的彎曲叫平面彎曲受外力作用的梁其橫截面上受外力作用的梁其橫截面上-彎曲內(nèi)力彎曲內(nèi)力(剪力，彎矩剪力，彎矩)橫截面上剪力和彎矩的求法橫截面上剪力和彎矩的求法均布載荷，均布載荷，剪力，彎矩剪力，彎矩三者之間的關(guān)系三者之間的關(guān)系梁的純彎曲和橫力彎曲；彎曲正應(yīng)力的求法和分布梁的純彎曲和橫力彎曲；彎曲正應(yīng)力的求法和分布中性軸

6、的曲率半徑的計算中性軸的曲率半徑的計算zEIM1梁橫截面上任意一點(diǎn)正應(yīng)力的計算梁橫截面上任意一點(diǎn)正應(yīng)力的計算zIMy某一橫截面上最大正應(yīng)力的計算某一橫截面上最大正應(yīng)力的計算zWMmax梁的最大正應(yīng)力的計算梁的最大正應(yīng)力的計算zWMmaxmax橫力彎曲時，矩形，圓形，工字鋼等截面上剪應(yīng)力的橫力彎曲時，矩形，圓形，工字鋼等截面上剪應(yīng)力的分布和計算。一般情況下，由正應(yīng)力強(qiáng)度條件得出結(jié)分布和計算。一般情況下，由正應(yīng)力強(qiáng)度條件得出結(jié)構(gòu)尺寸，由剪應(yīng)力強(qiáng)度條件對構(gòu)件進(jìn)行校核構(gòu)尺寸，由剪應(yīng)力強(qiáng)度條件對構(gòu)件進(jìn)行校核9 度量梁變形的兩個基本位移量度量梁變形的兩個基本位移量:撓度撓度 轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角 撓曲線及其近似微分方

7、程求法撓曲線及其近似微分方程求法 彎矩方程，轉(zhuǎn)角，撓度之間的關(guān)系彎矩方程，轉(zhuǎn)角，撓度之間的關(guān)系 怎樣怎樣用積分法求梁的變形用積分法求梁的變形：注意式中的積分常數(shù)：注意式中的積分常數(shù)C，D 利用邊界條件確定積分常數(shù)：利用邊界條件確定積分常數(shù)：在鉸支座上，撓度在鉸支座上，撓度v等于零等于零在固定端，撓度在固定端，撓度v和轉(zhuǎn)角和轉(zhuǎn)角均為零均為零在彎曲變形的對稱點(diǎn)上，轉(zhuǎn)角在彎曲變形的對稱點(diǎn)上，轉(zhuǎn)角等于零等于零撓曲線是一條光滑和連續(xù)的曲線撓曲線是一條光滑和連續(xù)的曲線)()(22xMdxdEIxfEI CMdxEIdxdvEIDCxdxMdxEIv10求彎曲變形的二個方法求彎曲變形的二個方法： 1.用直接

8、積分法求梁的彎曲變形用直接積分法求梁的彎曲變形（積分常數(shù)，分段）（積分常數(shù)，分段） EIxMdxdiiii)(22 CdxEIxMdxdviiiii)(DCxdxdxEIxMviiiii)(撓曲線方程：撓曲線方程：撓曲線方程一次積分：撓曲線方程一次積分：撓曲線方程二次積分：撓曲線方程二次積分：2.用疊加法求彎曲變形用疊加法求彎曲變形 載荷疊加、結(jié)構(gòu)固化載荷疊加、結(jié)構(gòu)固化 是否需要結(jié)構(gòu)固化，要視情況而定；是否需要結(jié)構(gòu)固化，要視情況而定； 目的就是把復(fù)雜的簡單化，并且撓度和轉(zhuǎn)角可目的就是把復(fù)雜的簡單化，并且撓度和轉(zhuǎn)角可 以在表中直接查取。以在表中直接查取。11 疊加法可分為疊加法可分為載荷疊加載荷

9、疊加 結(jié)構(gòu)形式疊加（逐段剛化法）結(jié)構(gòu)形式疊加（逐段剛化法） 無論用那種方法疊加，目的就是要把原來復(fù)無論用那種方法疊加，目的就是要把原來復(fù)雜的變成簡單的，并且使其撓度和轉(zhuǎn)角都可以雜的變成簡單的，并且使其撓度和轉(zhuǎn)角都可以在表在表7.1中直接查取的載荷形式。中直接查取的載荷形式。12用疊加法求梁變形時的幾個注意點(diǎn)用疊加法求梁變形時的幾個注意點(diǎn)CCBBAAffBBAAfCbffBCBCBafBCBC13例例3 按疊加原理求按疊加原理求A點(diǎn)轉(zhuǎn)角和點(diǎn)轉(zhuǎn)角和C點(diǎn)撓度。點(diǎn)撓度。解、解、載荷分解如圖載荷分解如圖EIPafPC63EIPaPA42EIqLfqC2454EIqaqA33 P=ABq+ABqPABCa

10、a由梁的簡單載荷變形表由梁的簡單載荷變形表(7.1)(7.1)序號序號5 5，7 7查得：查得：14EIPafPC63EIPaPA42EIqLfqC2454EIqaqA33qqPP=+AAABBBCaa疊加疊加qAPAA)43(122qaPEIaEIPaEIqafffqCPCC62453415例例4：若圖示梁：若圖示梁B端的轉(zhuǎn)角端的轉(zhuǎn)角B=0，則力偶矩等于，則力偶矩等于多少？多少？16解：解：maEI20mPa4BPaEI 22表表7.17.1中序號中序號2 2表表7.17.1中序號中序號1 117例例5-15-1：用疊加法求圖示梁：用疊加法求圖示梁B B端的撓度和轉(zhuǎn)角。端的撓度和轉(zhuǎn)角。18解

11、：解：EIaqEIaqfBB6)2(;8)2(3141EIqaaEIqafCBCB6832422121;BBBBBBfff表表7.1中序號中序號3表表7.1中序號中序號319解：解： 0Pqa56表表7.17.1中沒有中沒有vqaEIC 523844()表表7.17.1中序號中序號7 7PaaEI()2162表表7.17.1中序號中序號4 4，撓度向上為正撓度向上為正例例5-2：欲使：欲使AD梁梁C點(diǎn)撓度為零，求點(diǎn)撓度為零，求P與與q的關(guān)系。的關(guān)系。20例例6-16-1 試用疊加法求簡支梁在圖示載荷作用下跨度中試用疊加法求簡支梁在圖示載荷作用下跨度中點(diǎn)點(diǎn)C的撓度。的撓度。ACq0 /2(c)解

12、：圖解：圖(a)分解為圖分解為圖(b)和圖和圖(c)之和之和 圖圖(b)中點(diǎn)中點(diǎn)C的撓度為的撓度為:q0ACE(a)=C(b)q0 /2+)7.1.7(7685401表EIlqfC圖圖(c)中點(diǎn)中點(diǎn)C的撓度為零；的撓度為零；因?yàn)檩d荷關(guān)于因?yàn)檩d荷關(guān)于C反對稱。反對稱。02Cf疊加疊加:EIlqfffCCC76854021第七章第七章21C(b)q2C(a)q1q2C(c)q1-q2例例6-26-2 試用疊加法求簡支梁在圖示載荷作用下跨度中試用疊加法求簡支梁在圖示載荷作用下跨度中點(diǎn)點(diǎn)C的撓度。的撓度。解：圖解：圖(a)分解為圖分解為圖(b)和圖和圖(c)之和之和 圖圖(b)中點(diǎn)中點(diǎn)C的撓度為的撓度

13、為:圖圖(c)中點(diǎn)中點(diǎn)C的撓度為：的撓度為：疊加疊加:)7.1.7(3845421表EIlqfC)(768)(54212上題的結(jié)果EIlqqfCEIlqqEIlqqEIlqfffCCC768)(5768)(538454214214221+=第七章第七章22例例7：求圖示梁：求圖示梁B、D兩處的撓度兩處的撓度 vB、 vD 。23解：解： vqaEIqaaEIqaEIB()()2823143434 vvqaaEIqaEIDB222488334()解除解除B點(diǎn)約束點(diǎn)約束以反力以反力qa代替代替24例例8：求圖示梁：求圖示梁 C、D兩點(diǎn)的撓度兩點(diǎn)的撓度 vC、 vD。25解：解：vvqaEIqaEI

14、CD 05238452444,()26結(jié)構(gòu)形式疊加（逐段剛化法結(jié)構(gòu)形式疊加（逐段剛化法) ) 原理說明。原理說明。=+PL1L2 AB CB CPL2f1f2等價等價xfxf轉(zhuǎn)角與撓度的關(guān)系2221;LffffCBfPL1L2AB C 剛化剛化AC段段PL1L2 AB C剛化剛化BC段段PL1L2ABCMxf剛化剛化AC段后段后,BC段就成懸臂梁了。同時，段就成懸臂梁了。同時，AC段無外載荷，對段無外載荷，對BC段無影響。段無影響。剛化剛化BC段后段后,AC段就成簡支梁了。段就成簡支梁了。BC段上外載荷需移到段上外載荷需移到C截面上，其對截面上，其對AC段段有影響如圖。外載荷的大小及方向可用有

15、影響如圖。外載荷的大小及方向可用外載荷等效法判定。外載荷等效法判定。27=外伸梁剛化原理說明外伸梁剛化原理說明BC外伸梁上作用均布載荷，外伸梁上作用均布載荷， 剛化剛化AB段，段，BC為懸臂梁。為懸臂梁。這種形式可以在表這種形式可以在表7.1中查取。被剛化的中查取。被剛化的 AB段上由于無段上由于無任何載荷作用，故對任何載荷作用，故對BC段的變形無任何影響。段的變形無任何影響。剛化剛化BC段，段，BC為自由端。為自由端。?取而代之均布載荷的等效取而代之均布載荷的等效載荷為作用在載荷為作用在B截面上的彎矩和集中載荷；由表截面上的彎矩和集中載荷；由表7.1查取。查取。平面系內(nèi)力的遷移。平面系內(nèi)力的

16、遷移。判斷鋼化結(jié)果的正誤判斷鋼化結(jié)果的正誤:兩者載荷之和是否為原來的載荷兩者載荷之和是否為原來的載荷?28習(xí)題習(xí)題7.8c EI為常量，用為常量，用疊加法疊加法求圖示求圖示外伸梁外伸梁B端的端的和和。解解:1)把復(fù)合載荷分解成二個把復(fù)合載荷分解成二個簡單簡單載載荷的作用；如圖荷的作用；如圖(b)、 (c)。圖圖(b)固化固化DB段；圖段；圖(c)固化固化AD段。段。 圖圖(b)的載荷形式可以在表的載荷形式可以在表7.1中中直接查取，圖直接查取，圖 (c)載荷形式無法直載荷形式無法直接獲得；故需對結(jié)構(gòu)進(jìn)行固化成接獲得；故需對結(jié)構(gòu)進(jìn)行固化成圖圖(d)和和(e)的形式，可直接查表。的形式，可直接查表

17、。 在圖在圖(d)、 (e)中，中，截面截面D上作用上作用的載荷是兩對的載荷是兩對作用力與反作用力作用力與反作用力。其大小和方向如何求？其大小和方向如何求？(a)(b)ACqDB(c)(d)(e)+=29EIqaEIaqaBPDP416)2(32EIqafBq84均布載荷均布載荷q引起引起B(yǎng)截面的撓度和轉(zhuǎn)角截面的撓度和轉(zhuǎn)角載荷載荷P引起引起D截面的轉(zhuǎn)角截面的轉(zhuǎn)角彎矩引起彎矩引起D截面的轉(zhuǎn)截面的轉(zhuǎn)角角?EIqaBq63EIqaEIaqaDM3322322) 分別求出簡單載荷作用時外伸端分別求出簡單載荷作用時外伸端B的變形：的變形： (b)(d)(e)固定端雖有載荷，但對固定端雖有載荷，但對DB段

18、的轉(zhuǎn)角和撓度均無影響段的轉(zhuǎn)角和撓度均無影響集中載荷對集中載荷對DB段的轉(zhuǎn)角和段的轉(zhuǎn)角和撓度均無影響撓度均無影響表表7.1-5表表7.1-3表表7.1-430EIqaEIqaEIqaEIqaBqDMDPB463433333) 疊加疊加 EIqaEIqaaEIqaEIqafaafBqDMDPB2458344433B點(diǎn)的轉(zhuǎn)角為：點(diǎn)的轉(zhuǎn)角為：B點(diǎn)的撓度為：點(diǎn)的撓度為：(a)(b)(d)(e)+=+31CABl/4l/4l/4l/4DII1=2IP(a)BC CfB(b)p/2pl/8p/2fB1DB(c) 若把若把CB段作為懸臂梁，段作為懸臂梁，自由端自由端B的撓度大小等于原來梁的撓度大小等于原來梁C

19、點(diǎn)的點(diǎn)的撓度撓度圖圖(b)。1)由于是變截面，故要分段計算。由于是變截面，故要分段計算。 首先把首先把DB段段作為懸臂梁作為懸臂梁 圖圖(c)；自由端自由端B的撓度大小可由表的撓度大小可由表7.1-2求得。固求得。固定端定端D的載荷大小和方向很容易求得，且的載荷大小和方向很容易求得，且對對DB段的變形不產(chǎn)生任何影響。段的變形不產(chǎn)生任何影響。EIPlEIlPfB3843)4(2331解：由變形的對稱性可看出：解：由變形的對稱性可看出： 跨度跨度中點(diǎn)截面中點(diǎn)截面C的轉(zhuǎn)角為零的轉(zhuǎn)角為零，撓曲線在撓曲線在C點(diǎn)的切線是水平的。點(diǎn)的切線是水平的。p/2p/2習(xí)題習(xí)題7.6b 變截面梁如圖所示；變截面梁如圖

20、所示；試求跨度中點(diǎn)試求跨度中點(diǎn)C的撓度。的撓度。32BC CfBp/2pl/8p/2fB1DBCABl/4l/4l/4l/4DII1=2IP(a)(b)(c)2)其次，其次，D截面上的剪力和彎矩截面上的剪力和彎矩如圖如圖(d)所示。這兩個載荷將在所示。這兩個載荷將在D截面上產(chǎn)生撓度和轉(zhuǎn)角，其大小截面上產(chǎn)生撓度和轉(zhuǎn)角，其大小可由表可由表7.1-1，7.1-2求得求得圖圖(d)。pl/8p/2fDDCfB2(d)可由載荷等效法求得彎可由載荷等效法求得彎矩和剪力的大小及方向矩和剪力的大小及方向EIplEIlplEIlpD643482)4(22112的受力分析。注意界面（相交面）處EIplEIlplE

21、IlpfD76852)4(83)4(23121333BC CfBp/2pl/8p/2fB1DBpl/8p/2fDDCfB2CABl/4l/4l/4l/4DII1=2IP(a)(b)(d)(c)3)如圖如圖(d)所示，所示，B端由于端由于 ， 而引起的撓度為：而引起的撓度為：DDfEIpllEIPlEIpllffDDB7681346437685432324)疊加疊加 和和 ，可求出作為，可求出作為自由端自由端B B處的撓度為：處的撓度為：2Bf1BfEIplEIplEIplfffBBB2563768338433321EIplffBC2563334習(xí)題習(xí)題7.15. 圖中兩根梁由鉸鏈相圖中兩根梁由

22、鉸鏈相互聯(lián)接，互聯(lián)接，EI相同，且相同，且EI=常量。常量。試求試求P力作用點(diǎn)力作用點(diǎn)D的位移。的位移。 解：解：(1)(1)對兩根梁受力分析對兩根梁受力分析 中間鉸鏈不傳遞力偶，中間鉸鏈不傳遞力偶，所以可用外力所以可用外力RE來取代鉸來取代鉸鏈約束，并求出鏈約束，并求出RE=P/2。35=+(2) (2) 求出梁求出梁AEAE上上E E點(diǎn)的位移點(diǎn)的位移 把把AEAE梁的結(jié)構(gòu)簡化成圖梁的結(jié)構(gòu)簡化成圖(c)(c)的懸臂梁及圖的懸臂梁及圖(d)(d)的簡支梁的簡支梁ARE=P/2CE(b)ACEP/2Pa/2(d)AP/2CE(c)EIPaEIaPfE63)2(33)1(EIPaaEIaPaafC

23、E6323)2(圖圖(c)懸臂梁：表懸臂梁：表7.1-2圖圖(d)簡支梁：彎矩的作用簡支梁：彎矩的作用使得使得CE段轉(zhuǎn)動。表段轉(zhuǎn)動。表7.1-4受力分析的求解利用！受力分析的求解利用！36(2)(2)分析分析EBEB梁：梁：圖圖(e)(e)由于由于E E點(diǎn)的位移而引起點(diǎn)的位移而引起D D的位移為的位移為: : EIPafffEEE3321BREDE(e)PfEEIPaffED62131EIPaEIaPfD648)2(332圖圖(e)簡支梁：載荷簡支梁：載荷P的作用使的作用使D點(diǎn)產(chǎn)點(diǎn)產(chǎn)生的位移為生的位移為(表表7.1-5)：D D的位移為的位移為：EIPafffDDD3321377 7-6 -6

24、 簡單超靜定梁簡單超靜定梁 超靜定梁：未知力的數(shù)目超靜定梁：未知力的數(shù)目多于靜力平衡方程多于靜力平衡方程的數(shù)目的數(shù)目 求解方法：求解方法：1.1.根據(jù)靜不定次數(shù)選取靜不定梁的基本結(jié)構(gòu)根據(jù)靜不定次數(shù)選取靜不定梁的基本結(jié)構(gòu)( (靜定基靜定基) ) 解除多余約束解除多余約束( (個數(shù)與靜不定次數(shù)相同個數(shù)與靜不定次數(shù)相同) )，用多余約束力代，用多余約束力代替，得到靜不定梁的基本結(jié)構(gòu)；替，得到靜不定梁的基本結(jié)構(gòu)；* *解除多余約束的方法不同，解除多余約束的方法不同，則基本結(jié)構(gòu)也不同；則基本結(jié)構(gòu)也不同；2.2.找變形幾何關(guān)系找變形幾何關(guān)系( (變形協(xié)調(diào)關(guān)系變形協(xié)調(diào)關(guān)系) ) 即多余約束處梁的變形應(yīng)滿足的

25、條件；即多余約束處梁的變形應(yīng)滿足的條件；比如支座處的位移為比如支座處的位移為零等；零等；3.3.求出多余約束處的變形，由此得到補(bǔ)充方程求出多余約束處的變形，由此得到補(bǔ)充方程4.4.聯(lián)立求解補(bǔ)充方程和平衡方程，得出約束力聯(lián)立求解補(bǔ)充方程和平衡方程，得出約束力 5.5.求解梁的其它問題求解梁的其它問題( (強(qiáng)度、剛度等強(qiáng)度、剛度等) )38例例1111： ：列出如圖示列出如圖示超靜定超靜定梁的求解步驟梁的求解步驟=EIq0LABxf解：解：建立靜定基建立靜定基 確定超靜定次數(shù)，用反力確定超靜定次數(shù)，用反力代替多余約束所得到的結(jié)代替多余約束所得到的結(jié)構(gòu)構(gòu)靜定基。靜定基。圖圖(1)把固定端變成鉸支座后

26、把固定端變成鉸支座后增加約束反力增加約束反力MA;圖圖(2)把鉸支座把鉸支座B去掉后增加去掉后增加約束反力約束反力RB;Lq0MABA(1)q0LRBAB(2)39幾何方程幾何方程變形協(xié)調(diào)方程變形協(xié)調(diào)方程0BBRBqBfff+q0LRBAB=RBABq0AB物理方程物理方程變形與力的關(guān)系變形與力的關(guān)系補(bǔ)充方程補(bǔ)充方程EILRfEIqLfBBRBqB3;83403834EILREIqLB83qLRB求解其它問題求解其它問題( (反力、應(yīng)力、反力、應(yīng)力、 變形等變形等) )40幾何方程：變形協(xié)調(diào)方程幾何方程：變形協(xié)調(diào)方程解：解：建立靜定基建立靜定基BCBRBqBLfffB=例例1 12 2 結(jié)構(gòu)如

27、圖，求結(jié)構(gòu)如圖，求B B點(diǎn)反力。點(diǎn)反力。LBCEAxfq0LRBABCq0LRBABEI=RBAB+q0AB41=LBCEAxfq0LRBABCRBAB+q0AB物理方程物理方程變形與力的關(guān)系變形與力的關(guān)系補(bǔ)充方程補(bǔ)充方程EILRfEIqLfBBRBqB3; 834EALREILREIqLBCBB3834)3(834EILALIqLRBCBEALRLBCBBC公式公式(2.10)42例例13：圖示桿系中，圖示桿系中，AB和和CD梁的抗彎剛度為梁的抗彎剛度為EI，BD桿的拉壓剛度是桿的拉壓剛度是EA，不計剪切變形的影響，求，不計剪切變形的影響，求BD桿的桿的內(nèi)力。內(nèi)力。 解：解：(1)確定靜不定

28、梁的基本結(jié)構(gòu)：確定靜不定梁的基本結(jié)構(gòu)： 取取D為多余約束，以外力代之為多余約束，以外力代之)2()1(DD(2)求變形幾何關(guān)系求變形幾何關(guān)系 (3)求物理關(guān)系求物理關(guān)系 EAlEIlREAlREIlRDDDD232333)1(AB桿桿 表表7.1-2BD桿桿43EIqlEIlRDD8343)2(4)補(bǔ)充方程補(bǔ)充方程 EIqlEIlREAlEIlRDDDD8323433)2()1(5)求求BD桿的內(nèi)力桿的內(nèi)力 DBDDDRNEAlEIlEIqlRR232834447 7-7 -7 如何提高梁的承載能力如何提高梁的承載能力 強(qiáng)度：強(qiáng)度：正應(yīng)力：正應(yīng)力：剪應(yīng)力：剪應(yīng)力： zzbIQS* 剛度：剛度：

29、穩(wěn)定性：穩(wěn)定性：與內(nèi)力和截面性質(zhì)有關(guān)。與內(nèi)力和截面性質(zhì)有關(guān)。 maxzWM maxmaxff一般來說可采取以下的方法一般來說可采取以下的方法1）合理安排梁的載荷和支座，以降低）合理安排梁的載荷和支座，以降低Mmax的數(shù)值的數(shù)值2）采用合理的截面形狀，以提到）采用合理的截面形狀，以提到Wz的數(shù)值的數(shù)值457.7.17.7.1 合理布置外力（包括支座），使合理布置外力（包括支座），使 M max 盡可能小。盡可能小。PL/2L/2Mx+PL/4PL/43L/4Mx3PL/16P/2L/4L/4P/2MxPL/846Mx82qLqL402qL502qL MxP=qLL/54L/5對稱MxqL2/10

30、可以求得：當(dāng)可以求得：當(dāng)x為為0.207L時，時，彎矩最小為彎矩最小為0.0214ql2L/5qL/5x477.7.27.7.2 合理選擇截面的形狀，使合理選擇截面的形狀，使 Wmax 盡可能大盡可能大若把梁的彎卻正應(yīng)力強(qiáng)度條件寫成：若把梁的彎卻正應(yīng)力強(qiáng)度條件寫成：MmaxW，則梁可以承受的最大彎矩與抗彎截面模量則梁可以承受的最大彎矩與抗彎截面模量W成正比；成正比；同時，使用材料的多少和自重又與截面面積同時，使用材料的多少和自重又與截面面積A成正比。成正比。即，合理的經(jīng)濟(jì)的截面形狀應(yīng)該是即，合理的經(jīng)濟(jì)的截面形狀應(yīng)該是W越大，越大，A越小。越小。引入引入W/A的比值來評價和衡量截面形狀的合理性。

31、的比值來評價和衡量截面形狀的合理性。bhzbhz(2)(1)12221bhhbbhWWzz故，豎放比平放的抗彎強(qiáng)度大，故，豎放比平放的抗彎強(qiáng)度大，(1)(1)比比(2)(2)更更合理。合理。48* *矩形木梁的合理高寬比矩形木梁的合理高寬比北宋李誡于北宋李誡于11001100年著年著 營造法式營造法式 一書中指出一書中指出: :矩形木梁的合理高寬比矩形木梁的合理高寬比 ( ( h h/ /b b = ) 1.5= ) 1.5英英(T.Young)(T.Young)于于18071807年著年著 自然哲學(xué)與機(jī)械技術(shù)講義自然哲學(xué)與機(jī)械技術(shù)講義 一書中指出一書中指出: :矩形木梁的合理高寬比為矩形木梁

32、的合理高寬比為剛度最大。時強(qiáng)度最大時, 3 ;, 2bhbhRbh49在面積相等的情況下在面積相等的情況下 一般截面形狀的抗彎截面模量大小為：一般截面形狀的抗彎截面模量大小為：W框框W環(huán)環(huán)W矩矩W方方W園園有了這個概念以后，我們選擇截面形狀有了這個概念以后，我們選擇截面形狀時，盡可能選中間空洞的截面，即可省時，盡可能選中間空洞的截面，即可省材料又可減輕重量；盡量避免采用實(shí)心材料又可減輕重量；盡量避免采用實(shí)心和圓形的截面。和圓形的截面。507.7.3 7.7.3 根據(jù)材料特性選擇截面形狀根據(jù)材料特性選擇截面形狀 Gz 對于鑄鐵類抗拉、壓能力不同的材料，最對于鑄鐵類抗拉、壓能力不同的材料，最好使用

33、好使用T字形類的截面，并使中性軸偏于抗字形類的截面，并使中性軸偏于抗變形能力弱的一方。即：若抗拉能力弱，而變形能力弱的一方。即：若抗拉能力弱，而梁的危險截面又處上側(cè)受拉，則令中性軸靠梁的危險截面又處上側(cè)受拉，則令中性軸靠近上端。如下圖：近上端。如下圖：517.7.4 7.7.4 采用等強(qiáng)度梁采用等強(qiáng)度梁 等強(qiáng)度梁的概念，就是在最大彎矩處的抗彎截面模量達(dá)等強(qiáng)度梁的概念，就是在最大彎矩處的抗彎截面模量達(dá)到最大值；而在彎矩沿軸線逐漸減少的地方，其相應(yīng)的抗到最大值；而在彎矩沿軸線逐漸減少的地方，其相應(yīng)的抗彎截面模量也減少；從而達(dá)到縮小截面尺寸，節(jié)約材料和彎截面模量也減少；從而達(dá)到縮小截面尺寸，節(jié)約材料

34、和減少自重的目的。減少自重的目的。 設(shè)計時，可設(shè)想截面的尺寸沿梁的軸線改變，即設(shè)計時，可設(shè)想截面的尺寸沿梁的軸線改變，即M(x)和和W(x)都表示為軸線都表示為軸線x的函數(shù)，引入變截面等強(qiáng)度梁的概念，的函數(shù)，引入變截面等強(qiáng)度梁的概念，使得各截面都能滿足強(qiáng)度條件。一般均以正應(yīng)力為校核指使得各截面都能滿足強(qiáng)度條件。一般均以正應(yīng)力為校核指標(biāo)，即：標(biāo)，即：)()()(maxxWxMx有時，在固定端的有時，在固定端的M(x)=0，這并不意味著該處的截面尺，這并不意味著該處的截面尺寸可以為零。故需用剪應(yīng)力來確定最小截面尺寸：寸可以為零。故需用剪應(yīng)力來確定最小截面尺寸：)(5 . 1maxxbhQ527.7

35、.5 7.7.5 選用高強(qiáng)度材料，提高許用應(yīng)力值選用高強(qiáng)度材料，提高許用應(yīng)力值 同類同類材料材料，“E”值相差不多值相差不多，“ jx”相差較大相差較大，故故換用同類材料只能提高強(qiáng)度，不能提高剛度和穩(wěn)定性換用同類材料只能提高強(qiáng)度，不能提高剛度和穩(wěn)定性。 不同類材料，不同類材料，E和和G都相差很多（鋼都相差很多（鋼E= =200GPa , , 銅銅E= =100GPa），故可選用不同的材料以達(dá)到提高剛度和穩(wěn)），故可選用不同的材料以達(dá)到提高剛度和穩(wěn)定性的目的。但是，改換材料，其定性的目的。但是，改換材料，其原料費(fèi)用原料費(fèi)用也會隨之發(fā)生也會隨之發(fā)生很大的改變！很大的改變！53* *例例1414：為了

36、提高懸臂梁：為了提高懸臂梁ABAB的強(qiáng)度和剛度，用短梁的強(qiáng)度和剛度，用短梁CDCD加固。設(shè)二梁加固。設(shè)二梁EIEI相同，試求相同，試求 (1) (1) 二梁接觸處的壓力；二梁接觸處的壓力； (2) (2) 加固前后加固前后ABAB梁最大彎矩的比值；梁最大彎矩的比值； (3) (3) 加固前后加固前后B B點(diǎn)撓度的比值。點(diǎn)撓度的比值。54解：解：(1)(1)變形協(xié)調(diào)條件為變形協(xié)調(diào)條件為：DCDDABvv即5633333PaEIR aEIR aEIDDRPD54(2)P產(chǎn)生產(chǎn)生的撓度的撓度RD產(chǎn)生產(chǎn)生的撓度的撓度2PaM加固前加固前M3Pa/4Pa加固后加固后55(3)加固前加固前EIPaEIaP

37、fB383)2(33加固后加固后EIPaaEIPaEIPaEIPafB61123383233由由RD引起引起由由D D引起引起RDRDPP567.17 7.17 圖示等截面梁的抗彎剛度為圖示等截面梁的抗彎剛度為EIEI。梁下有柱形曲面。梁下有柱形曲面y=-Axy=-Ax3 3，欲使梁變形后恰好與該曲面密合，且曲面不受壓力，試問在梁的欲使梁變形后恰好與該曲面密合，且曲面不受壓力，試問在梁的自由端應(yīng)作用什么載荷？并確定載荷的大小和方向。自由端應(yīng)作用什么載荷？并確定載荷的大小和方向。MePRAMA解：根據(jù)題意，要使得梁的撓曲線解：根據(jù)題意，要使得梁的撓曲線方程為方程為y=Ax3, 在自由端在自由端B

38、加上彎矩加上彎矩Me和集中載荷和集中載荷P；(1)(1)用剪力圖彎矩圖求解用剪力圖彎矩圖求解y=-Ax3yxlABAEIxxMEIxMAxxfAxxfAxxyxf6)()(6)(3)()()(23 AEIxQxM6)()(由彎矩和剪力的關(guān)系可得：由彎矩和剪力的關(guān)系可得：畫出畫出剪力圖剪力圖和和彎矩圖彎矩圖后，就可得到后，就可得到B端端的的Me和和P；固定端的固定端的MA=0。)(6xLAEILMeAEIP6QM57y=-Ax3yxlAB+PBAMeBAMeP=AB(2)(2)用疊加法求解用疊加法求解3)(ALLyfffBPBMB) 1 (32332ALEIPLEIML23)(ALLyBPBMB)2(3222ALEIPLEIML由由(1)(1)和和(2)(2)可得：可得：AEIP6AEILMe658(3)(3)用撓曲線方程求解用撓曲線方程求解求出固定端求出固定端A A的反力為：的反力為：PLMMPReAA寫出彎矩寫出彎矩方程為：方程為：)()(xLPMxRMxMeAA) 1 ()()()(xLPMxMxfEIe )2(2)(2CxPPLxxMxfEIe彎矩彎矩方程和撓曲線的關(guān)系為：方程和撓曲線的關(guān)系為：AxxfAxxfAxyxf6)(3)()(23 MePRAMAy=-Ax3yxlAB59MePRAMAy=-A