現(xiàn)代控制理論課件西工大教程自動控制原理考研必看

1、西北工業(yè)大學(xué)自動化學(xué)院1控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合2引引 論論v經(jīng)典控制理論經(jīng)典控制理論: : 數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型: :線性定常高階微分方程和傳遞函數(shù); 分析方法分析方法: : 時域法(低階13階) 根軌跡法 頻域法 適應(yīng)領(lǐng)域適應(yīng)領(lǐng)域: :單輸入單輸出（SISO）線性定常系統(tǒng) 缺缺 點點: :只能反映輸入輸出間的外部特性，難以揭示系統(tǒng)內(nèi)部的結(jié)構(gòu)和運行狀態(tài)。v現(xiàn)代控制理論：現(xiàn)代控制理論： 數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型: :以一階微分方程組成差分方程組表示的動態(tài)方程 分析方法分析方法: :精準(zhǔn)的時域分析法 適應(yīng)領(lǐng)域適應(yīng)領(lǐng)域：（1 1）多輸入多輸出系統(tǒng)（MIMO、SISO、MISO、SIMO） （2 2）非線性

2、系統(tǒng) （3 3）時變系統(tǒng) 優(yōu)越性：優(yōu)越性：（1 1）能描述系統(tǒng)內(nèi)部的運行狀態(tài) （2 2）便于考慮初始條件（與傳遞函數(shù)比較） （3 3）適用于多變量、非線性、時變等復(fù)雜大型控制系統(tǒng) （4 4）便于計算機分析與計算 （5 5）便于性能的最優(yōu)化設(shè)計與控制 內(nèi)容：內(nèi)容：線性系統(tǒng)理論、最優(yōu)控制、最優(yōu)估計、系統(tǒng)辨識、自適應(yīng)控制近似分析3第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述第二章 線性系統(tǒng)的運動分析第三章 控制系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析第四章 線性系統(tǒng)的可控性和可觀測性第五章 線性系統(tǒng)非奇異線性變換及系統(tǒng)的規(guī)范分解第六章 線性定?？刂葡到y(tǒng)的綜合分析4v1.1 1.1 系統(tǒng)數(shù)學(xué)描述的兩種基本方法系統(tǒng)數(shù)學(xué)描述的兩種基

3、本方法 v1.2 1.2 狀態(tài)空間描述常用的基本概念狀態(tài)空間描述常用的基本概念v1.3 1.3 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣 v1.4 1.4 線性定常系統(tǒng)動態(tài)方程的建立線性定常系統(tǒng)動態(tài)方程的建立第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間5 典 型 控 制 系 統(tǒng) 方 框 圖執(zhí)行器被控對象傳感器控制器控制輸入觀測y控制u被控過程x反饋控制 被 控 過 程puuu21nxxx,21qyyy21 1.1 1.1 系統(tǒng)數(shù)學(xué)描述的兩種基本方法系統(tǒng)數(shù)學(xué)描述的兩種基本方法6 典型控制系統(tǒng)典型控制系統(tǒng)由被控對象、傳感器、執(zhí)行器和控制器組成。 被控過程被控過程具有若干輸入端和輸出端。 數(shù)學(xué)描述方法數(shù)學(xué)描述方法： 輸入

4、輸出描述輸入輸出描述（外部描述）:高階微分方程、傳遞函數(shù)矩陣。 狀態(tài)空間描述狀態(tài)空間描述（內(nèi)部描述）：基于系統(tǒng)內(nèi)部結(jié)構(gòu)，是對系統(tǒng)的一種完整的描述。7v輸入：輸入：外部對系統(tǒng)的作用（激勵）； 控制：控制：人為施加的激勵；v 輸入分控制與干擾。v輸出：輸出：系統(tǒng)的被控量或從外部測量到的系統(tǒng)信息 。若輸出是由傳感器測量得到的，又稱為觀測觀測。v狀態(tài)、狀態(tài)變量和狀態(tài)向量狀態(tài)、狀態(tài)變量和狀態(tài)向量 ：能完整描述和唯一確定系統(tǒng)時域行為或運行過程的一組獨立（數(shù)目最?。┑淖兞糠Q為系統(tǒng)的狀態(tài)；其中的各個變量稱為狀態(tài)變量。當(dāng)狀態(tài)表示成以各狀態(tài)變量為分量組成的向量時，稱為狀態(tài)向量。v狀態(tài)空間：狀態(tài)空間：以狀態(tài)向量的各

5、個分量作為坐標(biāo)軸所組成的n維空間稱為狀態(tài)空間。v狀態(tài)軌線：狀態(tài)軌線：系統(tǒng)在某個時刻的狀態(tài)，在狀態(tài)空間可以看作是一個點。隨著時間的推移，系統(tǒng)狀態(tài)不斷變化，并在狀態(tài)空間中描述出一條軌跡，這種軌跡稱為狀態(tài)軌線或狀態(tài)軌跡。 v狀態(tài)方程：狀態(tài)方程：描述系統(tǒng)狀態(tài)變量與輸入變量之間關(guān)系的一階向量微分或差分方程稱為系統(tǒng)的狀態(tài)方程，它不含輸入的微積分項。一般情況下，狀態(tài)方程既是非線性的，又是時變的，可以表示為 v輸出方程：輸出方程：描述系統(tǒng)輸出變量與系統(tǒng)狀態(tài)變量和輸入變量之間函數(shù)關(guān)系的代數(shù)方程稱為輸出方程，當(dāng)輸出由傳感器得到時，又稱為觀測方程。輸出方程的一般形式為v動態(tài)方程：動態(tài)方程：狀態(tài)方程與輸出方程的組合稱

6、為動態(tài)方程，又稱為狀態(tài)空間表達式 。一般形式為( )( ), ( ),x tf x t u t t( )( ), ( ),y tg x t u t t1.2 1.2 狀態(tài)空間描述常用的基本概念狀態(tài)空間描述常用的基本概念8或離散形式 ( )( ),( ),( )( ),( ),x tfx tu tty tgx tu tt1()( ), ( ),( )( ), ( ),kkkkkkkkx tfx tu tty tg x tu ttv線性系統(tǒng)：線性系統(tǒng)：線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程是一階向量線性微分或差分方程，輸出方程是向量代數(shù)方程。線性連續(xù)時間系統(tǒng)動態(tài)方程的一般形式為v線性定常系統(tǒng)：線性定常系統(tǒng)：線性系統(tǒng)的

7、A，B，C，D或G，H，C，D中的各元素全部是常數(shù)。即 ( )( ) ( )( ) ( )y(t)C(t)x(t)D(t)u(t)x tA t x tB t u t(t)Ax(t)Bu(t)y(t)Cx(t)Du(t)x 或離散形式(1)( )( )( )( )( )x kGx kHu ky kCx kDu kA xB uyC xD ux 若有9分別寫出狀態(tài)矩陣狀態(tài)矩陣 A、控制矩陣、控制矩陣 B、輸出矩陣、輸出矩陣 C、前饋矩陣、前饋矩陣 D :已知：nxxxx21puuuu21qyyyy21nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211npnnppbbbbbbbbbB212222

8、111211qnqqnncccccccccC212222111211111212122212ppqqqpddddddDddd 為書寫方便，常把連續(xù)系統(tǒng)和離散系統(tǒng)分別簡記為S(A,B,C,D)和S(G,H,C,D)。 v線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖 ：線性系統(tǒng)的動態(tài)方程常用結(jié)構(gòu)圖表示。nn圖中，I為( )單位矩陣，s是拉普拉斯算子，z為單位延時算子。10v討論： 1、狀態(tài)變量的獨立性。 2、由于狀態(tài)變量的選取不是唯一的，因此狀態(tài)方程、輸出方程、動態(tài)方程也都不是唯一的。但是，用獨立變量所描述的系統(tǒng)的維數(shù)應(yīng)該是唯一的，與狀態(tài)變量的選取方法無關(guān)。 3、動態(tài)方程對于系統(tǒng)的描述是充分的和完整的，即系統(tǒng)

9、中的任何一個變量均可用狀態(tài)方程和輸出方程來描述。 例例1 11 1 試確定圖8-5中（a）、（b）所示電路的獨立狀態(tài)變量。圖中u、i分別是是輸入電壓和輸入電流，y為輸出電壓，xi為電容器電壓或電感器電流。 x3x3解解 并非所有電路中的電容器電壓和電感器電流都是獨立變量。對圖8-5（a），不失一般性，假定電容器初始電壓值均為0，有11 因此，只有一個變量是獨立的，狀態(tài)變量只能選其中一個，即用其中的任意一個變量作為狀態(tài)變量便可以確定該電路的行為。實際上，三個串并聯(lián)的電容可以等效為一個電容。 對圖（b） x1 = x2，因此兩者相關(guān)，電路只有兩個變量是獨立的，即（x1和x3）或(x2和x3)，可以

10、任用其中一組變量如（x2，x3）作為狀態(tài)變量。13232xcccx13223xcccx12令初始條件為零，對線性定常系統(tǒng)的動態(tài)方程進行拉氏變換，可以得到 11( )()( )( )()( )X ssIABU sY sC sIABD U s系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣（簡稱傳遞矩陣）定義為 DBAsICsG1)()(例例1-21-2 已知系統(tǒng)動態(tài)方程為2121212121100110012010 xxyyuuxxxx 試求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣。解解 已知 0,1001,1001,2010DCBA 故 210)2(11201)(11ssssssAsI210)2(111001210)2(111001)(1sss

11、sssssBAsI1.3 1.3 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣131.4 .1 1.4 .1 由物理模型建動態(tài)方程由物理模型建動態(tài)方程根據(jù)系統(tǒng)物理模型建立動態(tài)方程1.4 1.4 線性定常系統(tǒng)動態(tài)方程的建立線性定常系統(tǒng)動態(tài)方程的建立 RLC 電路 例例1-31-3 試列寫如圖所示RLC的電路方程，選擇幾組狀態(tài)變量并建立相應(yīng)的動態(tài)方程，并就所選狀態(tài)變量間的關(guān)系進行討論。解解 有明確物理意義的常用變量主要有：電流、電阻器電壓、電容器的電壓與電荷、電感器的電壓與磁通。根據(jù)獨立性要求，電阻器的電壓與電流、電容器的電壓與電荷、電感器的電流與磁通這三組變量不能選作為系統(tǒng)的狀態(tài)。 根據(jù)回路電壓定律ei

12、dtCdtdiLRi1 電路輸出量 y 為 1cyeidtC 1) 設(shè)狀態(tài)變量為電感器電流和電容器電壓，即 則狀態(tài)方程為ix 1idtCx12eLxLxLRx11211121xCx 輸出方程為 2xy14其向量-矩陣形式為 2121211001011xxyeLxxCLCRxx簡記為 cxybeAxx式中， 10,01,011,2121cLbCLCRAxxxxxx 2)設(shè)狀態(tài)變量為電容器電流和電荷，即 則有 idtxix21,21212110,01011xxCyeLxxLCLRxx 3)設(shè)狀態(tài)變量 （ 無明確意義的物理量），可以推出 idtCxRiidtCx1,1211x)()(112121ex

13、LRxxRCdtdiRxx 2212)(11xyxxRCiCx15其向量-矩陣形式為 2121211001111xxyLRxxRCRCRCLRRCxx可見對同一系統(tǒng)，狀態(tài)變量的選擇不具有唯一性，動態(tài)方程也不是唯一的。 例例1-41-4 由質(zhì)量塊、彈簧、阻尼器組成的雙輸入三輸出機械位移系統(tǒng)如圖所示，具有力F和阻尼器氣缸速度V 兩種外作用，輸出量為質(zhì)量塊的位移，速度和加速度。試列寫該系統(tǒng)的動態(tài)方程。 分別為質(zhì)量、彈簧剛度、阻尼系數(shù)；x為質(zhì)量塊位移。 雙輸入三輸出機械位移系統(tǒng)解解 根據(jù)牛頓力學(xué)可知，系統(tǒng)所受外力F與慣性力m 、阻尼力f( V )和彈簧恢復(fù)力 構(gòu)成平衡關(guān)系，系統(tǒng)微分方程如下: 這是一個

14、二階系統(tǒng)，若已知質(zhì)量塊的初始位移和初始速度，系統(tǒng)在輸入作用下的解便可唯一確定，故選擇質(zhì)量塊的位移和速度作為狀態(tài)變量。設(shè) 。由題意知系統(tǒng)有三個輸出量，設(shè) x x kxFkxVxfxm)( fk,m,xxxx21,xyxxyxxy 32211,16于是由系統(tǒng)微分方程可以導(dǎo)出系統(tǒng)狀態(tài)方程FkxVxfmxxxx12221)(1 其向量-矩陣形式為 VFmfmxxmfmkxx10010212111223100001001yxFyxVkffymmmm1.4.2 1.4.2 由高階微分方程建動態(tài)方程由高階微分方程建動態(tài)方程1) 1) 微分方程不含輸入量的導(dǎo)數(shù)項微分方程不含輸入量的導(dǎo)數(shù)項 ：uyayayaya

15、ynnnnn001)2(2)1(1)( 選n個狀態(tài)變量為 有 )1(21,nnyxyxyx11211013232xyuxaxaxaxxxxxxxnnnnn得到動態(tài)方程 cxybuAxx17式中 121012100100000100,10000010nnnxxxAbcxxaaaa 系統(tǒng)的狀態(tài)變量圖 2) 2) 微分方程輸入量中含有導(dǎo)數(shù)項微分方程輸入量中含有導(dǎo)數(shù)項 ：ubububuyayayaynnnnnn01) 1(1)(01) 1(1)( 一般輸入導(dǎo)數(shù)項的次數(shù)小于或等于系統(tǒng)的階數(shù)n。首先研究情況，為了避免在狀態(tài)方程中出現(xiàn)輸入導(dǎo)數(shù)項，可按如下規(guī)則選擇一組狀態(tài)變量，設(shè) 18其展開式為 niuhxx

16、uhyxiii, 3 , 21101uhuhuhyuhxxuhuhuhyuhxxuhuhyuhxxuhyxnnnnnnn1)2(1)1(0)1(112102231011201 式中， 是n個待定常數(shù)。是n個。 110,nhhh由上式的第一個方程可得輸出方程是n個。 uhxy01其余（n）個狀態(tài)方程如下 n個。 uhxxuhxxuhxxnnn11232121對式求導(dǎo)，有 ：( )( )(1)011(1)( )( )(1)11000011()nnnnnnnnnnnxyh uhuh uaya ya yb ub uh uhuh u19由展開式將 均以 及 u 的各階導(dǎo)數(shù)表示，經(jīng)整理可得 yyyn,)1

17、(ixuhahahabuhahahbuhahbuhbxaxaxnnnnnnnnnnnnn)()()()(0011110012111)1(0111)(0110令上式中 u 的各階導(dǎo)數(shù)的系數(shù)為零，可確定各 h 值01211101110hahabhhabhbhnnnnnn記 0011110hahahabhnnn故 uhxaxaxnnnn110則系統(tǒng)的動態(tài)方程為 ducxybuAxx式中 012112100001100001000010hdchhhhbaaaaAnnn20 若輸入量中僅含次導(dǎo)數(shù)且 ，可將高于次導(dǎo)數(shù)項的系數(shù)置0，仍可應(yīng)用上述公式。 nm 1.4 .3 1.4 .3 由系統(tǒng)傳遞函數(shù)建立動態(tài)

18、方程由系統(tǒng)傳遞函數(shù)建立動態(tài)方程 01111110)()()(asasasbsbsbsbsUsYsGnnnnnnn應(yīng)用綜合除法有 )()()(01110111sDsNbasasasssbsGnnnnnnn 式中， 是直接聯(lián)系輸入、輸出量的前饋系數(shù)，當(dāng)G(s)的分母次數(shù)大于分子次數(shù)時， ， 是嚴格有理真分式，其分子各次項的系數(shù)分別為 nb0nb)()(sDsNnnnnnnbabbabbab111111000下面介紹由 導(dǎo)出幾種標(biāo)準(zhǔn)型動態(tài)方程的方法：1 1） 串聯(lián)分解串聯(lián)分解 如圖，取z為中間變量，將 分解為相串聯(lián)的兩部分，有 )()(sDsN)()(sDsNzzzyuzazazaznnnnn01)

19、1101)11)(（選取狀態(tài)變量 )1(21,nnzxzxzx)()(sDsN21則狀態(tài)方程為 1223(1)01101121nnnnnxxxxxa za zazua xa xaxu 輸出方程為 nnxxxy12110其向量-矩陣形式 cxybuAxx式中， naaaaA2101000010000101000b110nc當(dāng) 具有以上形狀時， 陣稱為友矩陣，相應(yīng)的狀態(tài)方程則稱為可控標(biāo)準(zhǔn)型。 bA和A0121n時， 的形式不變， bA和000c22 當(dāng) 時， 不變，)()()(sDsNbsGncbA,ubcxyn當(dāng) 時，若按下式選取狀態(tài)變量 0nbTocAA Toccb Tocbc 式中，T為轉(zhuǎn)置

20、符號，則有1210100010001000naaaaA110nb100c注意注意 的形狀特征。若動態(tài)方程中的 具有這種形式，則稱為可觀測標(biāo)準(zhǔn)型。自行證明證明：可控標(biāo)準(zhǔn)型和可觀測標(biāo)準(zhǔn)型是同一傳遞函數(shù)的不同實現(xiàn)。可控標(biāo)準(zhǔn)型和可觀測標(biāo)準(zhǔn)型的狀態(tài)變量圖如圖 ：cA,cA, （對偶關(guān)系 ） 可控標(biāo)準(zhǔn)型狀態(tài)變量圖 可觀測標(biāo)準(zhǔn)型狀態(tài)變量圖 23例例1-6 1-6 設(shè)二階系統(tǒng)微分方程為 ，試列寫可控標(biāo)準(zhǔn)型、可觀測標(biāo)準(zhǔn)型動態(tài)方程，并分別確定狀態(tài)變量與輸入，輸出量的關(guān)系。 解解 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 21221)()()(nssTssUsYsG21221)()()(nssTssUsYsG于是，可控標(biāo)準(zhǔn)型動態(tài)方程的各矩

21、陣為21cccxxx2102cA10cbTcc1由G(s)串聯(lián)分解并引入中間變量z有 22zzzuyTzz對y求導(dǎo)并考慮上述關(guān)系式，則有 TuTzzTzzTy2)21 ( 令 可導(dǎo)出狀態(tài)變量與輸入，輸出量的關(guān)系；,1zxc,2zxc)21 ()()21 ()21 (22222221TTTuTyyxTTuTyyTxcc可觀測標(biāo)準(zhǔn)型動態(tài)方程中各矩陣為 22yyyTuu21oooxxx2102oATbo110oc24狀態(tài)變量與輸入，輸出量的關(guān)系為 122ooxyyTuxy該系統(tǒng)的可控標(biāo)準(zhǔn)型與可觀測標(biāo)準(zhǔn)型的狀態(tài)變量圖 ： （a）可控標(biāo)準(zhǔn)型實現(xiàn) （b）可觀測標(biāo)準(zhǔn)型實現(xiàn)2 2） 只含單實極點時的情況只含單

22、實極點時的情況 當(dāng) 只含單實極點時，動態(tài)方程除了可化為可控標(biāo)準(zhǔn)型或可觀測標(biāo)準(zhǔn)型以外，還可化為對角型動態(tài)方程，其A陣是一個對角陣。設(shè)D(s)可分解為 D(s)= 式中， 為系統(tǒng)的單實極點，則傳遞函數(shù)可展成部分分式之和 )()(sDsN)()(sDsN)()(21nsssn,211( )( )( )( )niiicY sN sU sD ss25而 ，為 在極點 處的留數(shù)，且有Y(s)= U(s)iiisssDsNc)()()()()(sDsNiniiisc1若令狀態(tài)變量 其反變換結(jié)果為 )(1)(sUssXiini, 2 , 11( )( )( )( )( )iiiniiixtxtu ty tc

23、xt展開得 11 12221 122nnnnnxxuxxuxxuyc xc xc x其向量-矩陣形式為 （其狀態(tài)變量如圖(a)所示 ）11122301101nnnxxxxuxx 1212nnxxycccx26若令狀態(tài)變量則 Y(s)= )()(sUscsXiiiniisX1)(進行反變換并展開有 11 11222212nnnnnxxc uxxc uxxc uyxxx其向量-矩陣形式為 1111223200nnnnxxcxxcuxxc131 11nxxyx其狀態(tài)變量圖如圖(b)所示 ，兩者存在對偶關(guān)系 對角型動態(tài)方程狀態(tài)變量圖 如下：27 （a） （b） 對角型動態(tài)方程狀態(tài)變量圖 3 3） 含重

24、實極點時的情況含重實極點時的情況 當(dāng)傳遞函數(shù)除含單實極點之外還含有重實極點時，不僅可化為可控標(biāo)準(zhǔn)型或可觀測標(biāo)準(zhǔn)型，還可化為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型動態(tài)方程，其A陣是一個含約當(dāng)塊的矩陣。設(shè)D(s)可分解為 D(s)= 式中 為三重實極點， 為單實極點，則傳遞函數(shù)可展成為下列部分分式之和： )()(sDsN)()()(431nsss1n,4131112321111( )( )( )( )()()niiiccY sN sccU sD sssss28其狀態(tài)變量的選取方法與之含單實極點時相同，可分別得出向量-矩陣形式的動態(tài)方程： 111111212113131444101001101nnnxxxxxxuxxxx 11

25、12134nycccccx11111111212112131311344441010nnnnxxcxxcxxcucxxcxx00011yx29其對應(yīng)的狀態(tài)變量圖如圖（a），（b）所示。上面兩式也存在對偶關(guān)系。約當(dāng)型動態(tài)方程狀態(tài)變量圖 301.4 .4 1.4 .4 由差分方程和脈沖傳遞函數(shù)建立離散動態(tài)方程由差分方程和脈沖傳遞函數(shù)建立離散動態(tài)方程單輸入-單輸出線性定常離散系統(tǒng)差分方程的一般形式為：)() 1() 1()()() 1() 1()(011011kubkubnkubnkubkyakyankyankynnn兩端取z變換并整理得1111011011110110( )( )( )nnnnnn

26、nnnnnnnb zbzb zbzzY zG zbU zzaza zazaza za G(z)稱為脈沖傳遞函數(shù) ，利用z變換關(guān)系 和 ，可以得到動態(tài)方程為：)()(1kxzXii) 1()(1kxzzXii1122110121011( )0(1)0100( )0(1)0010( )( )0(1)00011(1)( )( )( )( )nnnnnnnx kx kxkxku kxkxkxkaaaaxky kx kb u k 簡記為 )()()()()()1(kdukcxkykhukGxkx311.4 .5 1.4 .5 由傳遞函數(shù)矩陣建動態(tài)方程由傳遞函數(shù)矩陣建動態(tài)方程 （傳遞函數(shù)矩陣的實現(xiàn)傳遞函數(shù)

27、矩陣的實現(xiàn)） 給定一傳遞函數(shù)矩陣G(s)，若有一系統(tǒng)（A，B，C，D）能使 成立，則稱系統(tǒng)（A，B，C，D）是G(s)的一個實現(xiàn)。這里僅限于單輸入-多輸出和多輸入-單輸出系統(tǒng)。1)SIMO系統(tǒng)的實現(xiàn)：系統(tǒng)的實現(xiàn)：1()( )C sIABDG s單輸入多輸出系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 1）系統(tǒng)可看作由q個獨立子系統(tǒng)組成，傳遞矩陣為：)()()()()()()()()()()(2121221121sGdsGsGsGdddsGdsGdsGdsGsGsGsGqqqqq32式中，d為常數(shù)向量； 為不可約分的嚴格有理真分式（即分母階次大于分子階次）函數(shù)。通常 , , 的特性并不相同，具有不同的分母，設(shè)最小公分母為：),

28、2 , 1)(qisGi)(1sG)(2sG)(,sGq0111)(asasassDnnn 的一般形式為 )(sG11,1111012,121201,1101( )( )nnnnnq nqqssssG sD sss將 作串聯(lián)分解并引入中間變量Z，令若將A陣寫為友矩陣，便可得到可控標(biāo)準(zhǔn)型實現(xiàn)的狀態(tài)方程：)(sG)1(21,),()()(nnzxzxzxsDsUsZ12101210010000010000011nnnxxxuAxbuxaaaax 每個子系統(tǒng)的輸出方程 ：33每個子系統(tǒng)的輸出方程 ：11110111,1220212,12201,1nnqqq nqqqyxdyxdyuCxduyxd 可

29、以看到可以看到，單輸入，q維輸出系統(tǒng)的輸入矩陣為q維列向量，輸出矩陣為（q n）矩陣，故不存在其對偶形式，即不存在可觀測標(biāo)準(zhǔn)型實現(xiàn)。不存在可觀測標(biāo)準(zhǔn)型實現(xiàn)。2)MISO系統(tǒng)的實現(xiàn)系統(tǒng)的實現(xiàn): :多輸入單輸出系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 系統(tǒng)由p個獨立子系統(tǒng)組成，系統(tǒng)輸出由子系統(tǒng)輸出合成為 ：34式中 11221212( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( ) ( )( )ppppY sG s U sG s UsGs UsU sUsG sG sGsG s U sUs1212221212( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )pppppG sG sG s

30、GsdG sdG sdGsdddG sG sGsdG s同理設(shè) , , 的最小公分母為D（s），則)(1sG)(2sG)(,sGq011,101111, 121)(1)(ppnpnnpsssssDdddsG若將A陣寫成友矩陣的轉(zhuǎn)置形式，便可得到可觀測標(biāo)準(zhǔn)型實現(xiàn)的動態(tài)方程 ：10210110111212211222232311,12,1,112000100010001001ppppnnnnp npuxauxauxaxAxBuuaxyxddducxdu35 可見可見，p維輸入，單輸入系統(tǒng)的輸入矩陣為（n p）矩陣輸出矩陣為一行矩陣，故不存在其對偶形式，即不存在可控標(biāo)準(zhǔn)型實現(xiàn)不存在可控標(biāo)準(zhǔn)型實現(xiàn)。

31、14)2)(1(3)(ssssssG例例1-7 1-7 已知單輸入-多輸出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣為 ，求其傳遞 矩陣的可控標(biāo)準(zhǔn)型實現(xiàn)及對角型實現(xiàn)。例例1-7 1-7 已知單輸入-多輸出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣為 ，求其傳遞 矩陣的可控標(biāo)準(zhǔn)型實現(xiàn)及對角型實現(xiàn)。解解 由于系統(tǒng)是單輸入，多輸出的，故輸入矩陣只有一列，輸出矩陣有兩行。將 化為 嚴格有理真分式( )G s)(13)2)(1(310131)2)(1(3)(sGdsssssssssG(s)G各元素的最小公分母D（s）為 2)1)(s(sD(s)故 63323110)2( 332)1)(s(s110)(2sssssssG 則可控標(biāo)準(zhǔn)型動態(tài)方程為 ： 1

32、2010231xxAxbuux 12310631xyCxduux 36 由 可確定系統(tǒng)極點為-1，-2，它們構(gòu)成對角形狀態(tài)矩陣的元素。鑒于輸入矩陣只有一列，這里不能選取極點的留數(shù)來構(gòu)成輸入矩陣，而只能取元素全為1的輸入矩陣。于是，對角型實現(xiàn)的狀態(tài)方程為 ：( )0D s 12101021xxAxbuux 其輸出矩陣由極點對應(yīng)的留數(shù)組成， 在-1，-2處的留數(shù)分別為：(s)G01)2( 3311)2( )(32)2( 3321) 1( )(221111sssssssssGcsssssGc故其輸出方程為 duxccduCxy2137v本章作業(yè)：本章作業(yè)：83，84，85，8738第二章 線性系統(tǒng)的

33、運動分析v2.1 線性定常連續(xù)系統(tǒng)的自由運動v2.2 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)v2.3 線性定常連續(xù)系統(tǒng)的受控運動v2.4 線性定常離散系統(tǒng)的分析v2.5 連續(xù)系統(tǒng)的離散化39 在控制u=0u=0情況下，線性定常系統(tǒng)由初始條件引起的運動稱為線性定常系統(tǒng)的自由線性定常系統(tǒng)的自由運動運動，可由齊次狀態(tài)方程齊次狀態(tài)方程描述 ：齊次狀態(tài)方程求解方法：冪級數(shù)法冪級數(shù)法、拉普拉斯變換法拉普拉斯變換法和凱萊哈密頓定理法凱萊哈密頓定理法。 v冪級數(shù)法冪級數(shù)法: :設(shè)齊次方程的解是t的向量冪級數(shù)1)式中， 都是n維向量，且 ，求導(dǎo)并考慮狀態(tài)方程，得 2.1 2.1 線性定常連續(xù)系統(tǒng)的自由運動線性定常連續(xù)系統(tǒng)的自由運動

34、)()(tAxtxkktbtbtbbtx2210)(,10kbbbx0)0(bx)(2)(2210121kkkktbtbtbbAtkbtbbtx等號兩邊對應(yīng)的系數(shù)相等，有010323021201!1161312121bAkAbkbbAAbbbAAbbAbbkkk40故 2 211( )() (0)2!kkx tIAtA tA txk定義 2 201112!AtkkkkkeIAtA tA tA tkk則 )0()(xetxAt 稱為矩陣指數(shù)函數(shù)，簡稱矩陣指數(shù) ,又稱為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，記為 ： 求解齊次狀態(tài)方程的問題，核心就是計算狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的問題 。2)拉普拉斯變換法拉普拉斯變換法 ：Ate( )

35、Atte)()(tAxtx對 進行拉氏變換，有： 進行拉氏反變換，有： 與 相比有：它是 的閉合形式。 )0()()(1xAsIsX)0()(L)(11xAsItx)0()(xetxAt11=L()AtesIAAte例例 2-1 2-1 設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為 ，試用拉氏變換求解。)()(3210)()(2121txtxtxtx解解 321321000ssssAsI41狀態(tài)方程的解為 :ssssAsIAsIadjAsI213)2)(1(1)()(12211221221112112sssssssstttttttteeeeeeeeAsILt2222112222)()()0()0(2222)0()0()(

36、)()(2122222121xxeeeeeeeexxttxtxttttttttv凱萊哈密頓定理凱萊哈密頓定理 v 矩陣A A滿足它自己的特征方程。即若設(shè)n階矩陣A的特征多項式為0111)(aaaAIfnnn 則有 :0)(0111IaAaAaAAfnnn42 從該定理還可導(dǎo)出以下兩個推論：推論推論1 1 矩陣A的 次冪，可表為A的（n-1）階多項式 ：)(nkkmnmmkAA10)(nk 推論推論2 2 矩陣指數(shù) 可表為A的（n-1）階多項式，即： 且各作為時間的函數(shù)是線性無關(guān)的。 Ate10( )nAtmmmet A在式推論1中用A的特征值替代A后等式仍能滿足：10( )iktjjijet利

37、用上式和k個就可以確定待定系數(shù) ：v若若 互不相等互不相等 ：1)可寫出各所構(gòu)成的n元一次方程組為 ：( )jti12210112111210122212210121ktkktkktkkkkkeee 43 求解上式，可求得系數(shù) ， ， ，它們都是時間t的函數(shù)，將其代入推論2式后即可得出 。011kAte例例2-2 2-2 已知 ，求 。 3122AAte解解 首先求A的特征值： 0IA31022254011 24 將其代入 ，有： 10( )iktjjijet01401( 1)( 4)ttee404141331133tttteeee01AteIA2213)3131(1001)3134(44tt

38、tteeee4444441211333322213333ttttAttttteeeeeeeee v若矩陣若矩陣 A A 的特征值是的特征值是 m m 階的：階的：v 則求解各系數(shù)的方程組的前m個方程可以寫成：1101111tkke 1121211 112111 11 112(1)(1)!(1)!(1)!2!()!tkkmtk mmmmkmdekddmkemmdkm 其它由 組成的（k - m）個方程仍與第一種情況相同，它們上式聯(lián)立即可解出各待定系數(shù)。(1,2,1)iikm45例例2-32-3 已知 ，求 。2012AAte解解 先求矩陣 A A 的特征值，由得： 2001224401,22 2

39、0121( 2)ttete2021( )(12 )( )tttettte10121021001)21 (222teteteetttAt462.2 2.2 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 具有如下運算性質(zhì)： )(tI)0(1)( )( )( )tAtt A 2)()()()()(122121tttttt3)11( )(),()( )tttt 4) 表明 與 可交換，且 ( )At( ) t AA)0( 在式 3）中，令 便可證明；表明 可分解為 的乘積，且 是可交換的。21ttt)(21tt )()(21tt與)()(21tt與Itttttt)0()()()()()()(t1(

40、 )( ) (0),(0)( ) ( )() ( )x tt xxt x tt x t證明:由性質(zhì)3）有根據(jù) 的這一性質(zhì)，對于線性定常系統(tǒng)，顯然有5)()()(1122txtttx)()()()()0(),0()()(1111111txttxtxxttx)()()()()()0()()(11211222txtttxttxttx)(1tx)(2tx)(12tt 證明 ：由于 則 即由轉(zhuǎn)移至的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為47)(02tt )(12tt )(01tt 6)()()(0022txtttx)()()(0011txtttx)()()(1122txtttx)(12tt )(01tt )(0tx)(02tt

41、 )(0tx 證明：由 和得到 )()(kttk)()()()(kteeetktAkAtkAtkBAAB AtBtBtAttBAeeeee)( 7 )8) 若，則 證明： tttttttteeeeeeeet22222222)(At),(1例例2-4 2-4 已知狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為，試求 。解：解：根據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的運算性質(zhì)有3210442222)0(2222)()(0222222221ttttttttttttttttteeeeeeeeAeeeeeeeett9) 若1APAP，則11( )( )AtAttePePPt P482.3 2.3 線性定常連續(xù)系統(tǒng)的受控運動線性定常連續(xù)系統(tǒng)的受控運動線性定常

42、系統(tǒng)的受控運動線性定常系統(tǒng)的受控運動: 線性定常系統(tǒng)在控制作用下的運動，數(shù)學(xué)描述為：)()()(tButAxtx主要有如下兩種解法：)()()(tBuetAxtxeAtAt1) 1) 積分法積分法 由上式由于( )( )( ) ( )( )AtAtAtAtdex tAex tex tex tAx tdt 積分后有 0( )(0)( )tAtAex txeBu t d()00( )(0)( )( ) (0)()( )ttAtA tx te xeBu t dt xtBu t d即 式中，第一項為零輸入響應(yīng)；第二項是零狀態(tài)響應(yīng)。通過變量代換，上式又可表示為：dtBuxttxt)()()0()()(0

43、若取 作為初始時刻，則有0t000()()000( )( )( )() ( )()( )ttA t tA tttx tex teBudttx ttBud492) 2) 拉普拉斯變換法拉普拉斯變換法 將 式兩端取拉氏變換，有 11( )(0)( )( )( )()(0)()( )sX sxAX sBU sX ssIAXsIABU s進行拉氏反變換有)()()0()()(1111sBUAsILxAsILtx例例2-52-5 設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為uxxxx103210212112(0)(0)(0)Txxx( )1( )u tt且 試求在作用下狀態(tài)方程的解。( )1( )u tt()1u tBdxttxt

44、0)()0()()(解解 由于前面已求得22222( )222tttttttteeeeteeee222200220111( )2222ttttttteeeeeeddeeeeee )()()(tButAxtx50222112222211( )(0)2( )22( )(0)222ttttttttttttx txeeeeeex tx txeeeeee22222002011( )2222ttttttteeeeeeddeeeeee 512.4 2.4 線性定常離散系統(tǒng)的分析線性定常離散系統(tǒng)的分析1)1)遞推法遞推法(線性定常系統(tǒng)) 重寫系統(tǒng)的動態(tài)方程如下：(1)()()()()()x kx kG u k

45、y kC x kD u k令狀態(tài)方程中的k=0，1，k-1，可得到T，2T，kT 時刻的狀態(tài)，即： k=0: k=2: k=1: k=k-1:于是，系統(tǒng)解為:(1)( ) (0)( ) (0)xT xG T u 2(2)( ) (1)( ) (1)( ) (0)( )( ) (0)( ) (1)xT xG T uT xT G T uG T u )2()()2()()3(uTGxTx)2()() 1 ()()()0()()()0()(23uTGuTGTuTGTxT110( )( ) (1)( ) (1)( ) (0)( )( ) ( )kkkiix kT x kG T u kT xT G T u

46、 i 110( )( )( )( ) (0)( )( ) ( )( )kkkiiy kCx kDx kCT xCT G T u iDu k 110110( )(0)( )( )(0)( )( )kkkiikkkiix kxGu iy kCxCGu iDu k 522.5 2.5 連續(xù)系統(tǒng)的離散化連續(xù)系統(tǒng)的離散化2.5.1 2.5.1 線性定常連續(xù)系統(tǒng)的離散化線性定常連續(xù)系統(tǒng)的離散化xAxBu)(0tx已知線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程 在及 作用下的解為: tudButtxtttxtt)(),()(),()(000kTt 0)()()(0kxkxtxTkt)1() 1() 1()(kxTkxtx令，

47、則；令則 并假定在 區(qū)間內(nèi)， ，于是其解化為1,kkt 常數(shù)ktutu)(.,) 1()(,) 1() 1()1(kuBdTkkxkTTkkxTkkT(1)( )(1) , kTkTG TkTBd0( )( )TG TBd )()()()() 1(kuTGkxTkx)(T)(t( )( ) |t TTt 若記 變量代換得到 故離散化狀態(tài)方程為 式中，與連續(xù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的關(guān)系為 532.5.2 2.5.2 非線性時變系統(tǒng)的離散化及分析方法非線性時變系統(tǒng)的離散化及分析方法 1( ) (1)( )x kx kx kT(1)( ) ( ), ( )x kx kTf x k u k對于非線性時變系統(tǒng)，常

48、采用近似的離散化處理方法。當(dāng)采樣周期T足夠小時，按導(dǎo)數(shù)定義有 代入（8-5a）得到離散化狀態(tài)方程 對于非線性時變系統(tǒng)，一般都是先離散化，然后再用遞推計算求數(shù)值解的方法進行對于非線性時變系統(tǒng)，一般都是先離散化，然后再用遞推計算求數(shù)值解的方法進行系統(tǒng)的運動分析。系統(tǒng)的運動分析。v本章作業(yè)：本章作業(yè)：88，89，81154v3.1 李雅普諾夫穩(wěn)定性概念 v3.2 李雅普諾夫穩(wěn)定性間接判別法 v3.3 李雅普諾夫穩(wěn)定性直接判別法 v3.4 線性定常系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析 第三章 控制系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析 55如果對于所有t，滿足 的狀態(tài) 稱為平衡狀態(tài)（平衡點）。(, )0eexf x tex

49、 0 x 1) 1) 平衡狀態(tài)平衡狀態(tài): :3.1 3.1 李雅普諾夫穩(wěn)定性概念李雅普諾夫穩(wěn)定性概念 平衡狀態(tài)的各分量不再隨時間變化；若已知狀態(tài)方程，令 所求得的解 x ,便是平衡狀態(tài)。 （1）只有狀態(tài)穩(wěn)定，輸出必然穩(wěn)定； （2）穩(wěn)定性與輸入無關(guān)。2) 2) 李雅普諾夫穩(wěn)定性定義李雅普諾夫穩(wěn)定性定義： 如果對于任意小的 0，均存在一個 ，當(dāng)初始狀態(tài)滿足 時，系統(tǒng)運動軌跡滿足lim ，則稱該平衡狀態(tài)xe 是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的，簡稱是穩(wěn)定的。 表示狀態(tài)空間中x0點至xe點之間的距離，其數(shù)學(xué)表達式為：0),(0texx0extxtx),;(00exx02021100)()(neneexxxxxx

50、3) 3) 一致穩(wěn)定性：一致穩(wěn)定性： 通常與、t0 都有關(guān)。如果與t0 無關(guān)，則稱平衡狀態(tài)是一致穩(wěn)定的。定常系統(tǒng)的與t0 無關(guān)，因此定常系統(tǒng)如果穩(wěn)定，則一定是一致穩(wěn)定的。 564 4）漸近穩(wěn)定性：）漸近穩(wěn)定性： 系統(tǒng)的平衡狀態(tài)不僅具有李雅普若夫意義下的穩(wěn)定性，且有： textxtx0),;(lim00 稱此平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的。 5 5）大范圍穩(wěn)定性：）大范圍穩(wěn)定性： 當(dāng)初始條件擴展至整個狀態(tài)空間，且具有穩(wěn)定性時，稱此平衡狀態(tài)是大范圍穩(wěn)定的，或全局穩(wěn)定的。 此時 。 ,( ),Sx 6 6）不穩(wěn)定性）不穩(wěn)定性 ： 不論取得得多么小，只要在 內(nèi)有一條從x0 出發(fā)的軌跡跨出 ，則稱此平衡狀態(tài)是不穩(wěn)

51、定的。 ( )S( )S注意注意：按李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性定義，當(dāng)系統(tǒng)作不衰減的振蕩運動時則認為是穩(wěn)定的，同經(jīng)典控制理論中的穩(wěn)定性定義是有差異的。經(jīng)典控制理論的穩(wěn)定是李雅普諾夫意義下的一致漸近穩(wěn)定。57穩(wěn)定性定義的平面幾何表示 v 設(shè)系統(tǒng)初始狀態(tài) x0 位于平衡狀態(tài) xe 為球心、半徑為的閉球域內(nèi)，如果系統(tǒng)穩(wěn)定，則狀態(tài)方程的解在的過程中，都位于以 xe 為球心，半徑為的閉球域內(nèi)。 （a）李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性 （b）漸近穩(wěn)定性 （c）不穩(wěn)定性583.2 3.2 李雅普諾夫穩(wěn)定性間接判別法李雅普諾夫穩(wěn)定性間接判別法 李雅普諾夫第一法（間接法）李雅普諾夫第一法（間接法） 是利用狀態(tài)方程解的特性

52、來判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法，它適用于線性定常、線性時變及可線性化的非線性系統(tǒng)。 線性定常系統(tǒng)的線性定常系統(tǒng)的特征值判據(jù)特征值判據(jù) 系統(tǒng) 漸近穩(wěn)定的充要充要條件是：系統(tǒng)矩陣A的全部特征值位于復(fù)平面左半部，即證明證明：( (略略) )Axx 0)Re(ini, 1 59 李雅普諾夫第二法（直接法）基本原理李雅普諾夫第二法（直接法）基本原理 ：根據(jù)物理學(xué)原理，若系統(tǒng)貯存的能量（含動能與位能）隨時間推移而衰減，系統(tǒng)遲早會到達平衡狀態(tài)。 實際系統(tǒng)的能量函數(shù)表達式相當(dāng)難找，因此李雅普諾夫引入了廣義能量函數(shù)，稱之為李雅普諾夫函數(shù)李雅普諾夫函數(shù)。它與 及t 有關(guān)，是一個標(biāo)量函數(shù)標(biāo)量函數(shù)，記以 ；若不顯含t ，則記

53、以 。 考慮到能量總大于零，故為正定函數(shù)正定函數(shù)。能量衰減特性用 或 表示。 實踐表明表明，對于大多數(shù)系統(tǒng)，可先嘗試用二次型函數(shù)二次型函數(shù) 作為李雅普諾夫函數(shù)。3.3 3.3 李雅普諾夫穩(wěn)定性直接判別法李雅普諾夫穩(wěn)定性直接判別法 nxx,1( , )V x t( )V x( , )V x t( )V xPxxT603.3.1 3.3.1 標(biāo)量函數(shù)定號性標(biāo)量函數(shù)定號性 正定性：正定性：標(biāo)量函數(shù) 在域S中對所有非零狀態(tài) 有 且 ，則稱 均在域S內(nèi)正定。如 是正定的。負定性負定性：標(biāo)量函數(shù) 在域S中對所有非零x有 且 ，則稱 在域S內(nèi)負定。如 是負定的。 如果 是負定的，則 一定是正定的。負（正）半

54、定性：負（正）半定性： ，且 在域S內(nèi)某些狀態(tài)處有 ，而其它狀態(tài)處均有 （ ），則稱 在域S內(nèi)負（正）半定。 設(shè) 為負半定，則 為正半定。如 為正半定不定性不定性: : 在域S內(nèi)可正可負，則稱 不定。如 是不定的。 ( )V x)0( x0)(xV0)0(V2221)(xxxV( )V x0)(xV0)0(V( )V x)()(2221xxxV( )V x( )V x( )V x0)0(V( )V x0)(xV0)(xV0)(xV( )V x( )V x( )V x221)2()(xxxV( )V x( )V x21)(xxxV二次型函數(shù)二次型函數(shù) 是一類重要的標(biāo)量函數(shù)，記nnnnnnTxxp

55、pppxxPxxxV111111)(其中，P 為對稱矩陣，有 。 jiijpp61當(dāng)?shù)母黜樞蛑髯有辛惺骄笥诹銜r ，即0, 0, 011112221121111nnnnppppppppp 則 正定，且稱 P為正定矩陣。當(dāng) P的各順序主子行列式負、正相間時，即 ( )V x0) 1( , 0, 011112221121111nnnnnppppppppp則 負定，且稱 P為負定矩陣。若主子行列式含有等于零的情況，則 為正半定或負半定。不屬以上所有情況的 不定。( )V x( )V x( )V x62 設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為 ，其平衡狀態(tài)滿足 ,不失一般性地把狀態(tài)空間原點作為平衡狀態(tài),并設(shè)在原點鄰域存在

56、對 x 的連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)。 3.3.2 3.3.2 李雅普諾夫第二法諸穩(wěn)定性定理李雅普諾夫第二法諸穩(wěn)定性定理 ),(txfx 0), 0(tf( , )V x t( , )V x t( , )V x t( , )V x t定理定理1 1 若（1） 正定，（2） 負定；則原點是漸近穩(wěn)定的。 負定表示能量隨時間連續(xù)單調(diào)地衰減，故與漸近穩(wěn)定性定義敘述一致。( , )V x t( , )V x t 定理定理2 若（1）正定；（2）負半定，且在非零狀態(tài)不恒為零；則原點是漸近穩(wěn)定的。( , )V x t( , )0V x t ),;(00txtx0),(txV負半定表示在非零狀態(tài)存在 ，但在從初態(tài)出發(fā)的軌

57、跡 上，不存在的情況，于是系統(tǒng)將繼續(xù)運行至原點。狀態(tài)軌跡僅是經(jīng)歷能量不變的狀態(tài)，而不會維持在該狀態(tài)。( , )V x t( , )V x t0),(txV 定理定理3 3 若（1）正定；（2）負半定，且在非零狀態(tài)恒為零；則原點是李雅普，表示系統(tǒng)能維持等能量水平運行，使系統(tǒng)維持在非零狀態(tài)沿狀態(tài)軌跡能維持諾夫意義下穩(wěn)定的。而不運行至原點。( , )V x t( , )V x t( , )V x t( , )V x t( , )V x t 定理定理4 4 若（1）正定；（2）正定；則原點是不穩(wěn)定的。正定表示能量函數(shù)隨時間增大，故狀態(tài)軌跡在原點鄰域發(fā)散。正定，當(dāng)正半定，且在非零狀態(tài)不恒為零時，則原點不

58、穩(wěn)參考定理2可推論：推論：定。63注意：注意：李雅普諾夫第二法諸穩(wěn)定性定理所述條件都是充分條件。( , )V x t( , )V x t( , )V x t),;(00ttxtxV0),(txV0 x0),(txV0),(txV具體分析具體分析時，先構(gòu)造一個李雅普諾夫函數(shù)，通常選二次型函數(shù)，求其導(dǎo)數(shù)再將狀態(tài)方程代入，最后根據(jù)是否有恒為零：令將狀態(tài)方程代入，若能導(dǎo)出非零解非零解，表示對，若導(dǎo)出的是全零解，表示只有原點滿足的條件。的定號性判別穩(wěn)定性。的條件是成立的；)(2221121xxxxx)(2221212xxxxx01x 02x 02x01x)()(2221xxxV221122)(xxxxx

59、V)(2)(2221xxxV( , )V x t( , )V x t例例3-13-1 試用李雅普諾夫第二法判斷下列非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 解解 令及，可以解得原點（）是系統(tǒng)的唯一平衡狀態(tài)。，則 將狀態(tài)方程代入有 顯然負定，根據(jù)定理1，原點是漸近穩(wěn)定的。鑒于只有一個平衡狀態(tài)，該非線性與t 無關(guān)，系統(tǒng)大范圍一致漸近穩(wěn)定。取李雅普諾夫函數(shù)為 系統(tǒng)是大范圍漸近穩(wěn)定的。因判斷判斷在非零狀態(tài)下6421xx 212xxx021 xx22212)(xxxV)(2)(212xxxxV021 xx0)(xV012xx0)(xV)(xV( , )V x t2221)(xxxV222)(xxV02x01x0)(xV0)

60、(xV)(xV例例3-23-2 試判斷下列線性系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。 ，解解 令得知原點是唯一的平衡狀態(tài)。選則當(dāng)時，；當(dāng)時，故不定，不能對穩(wěn)定性作出判斷，應(yīng)重選選 ，則考慮狀態(tài)方程后得對于非零狀態(tài)（如）存在，對于其余非零狀態(tài)，故根據(jù)定理2，原點是漸近穩(wěn)定的，且是大范圍一致漸近穩(wěn)定。負半定。) 0(21kkxx 12xx021xx2221)(kxxxV022)(1221xkxxkxxV0)(xV例例3-33-3 試判斷下列線性系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。 ，解解 由可知原點是唯一平衡狀態(tài)。選，考慮狀態(tài)方程則有 對所有狀態(tài)，故系統(tǒng)是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的。6521xx 212xxx2221)(xxxV2