Ch9-5差分方程1

1、9.5 9.5 差分方程差分方程二、差分方程的概念二、差分方程的概念一一. .差分的概念差分的概念 三、一階常系數(shù)線性差分三、一階常系數(shù)線性差分方程方程 一一. .差分的概念差分的概念 定義1定義1),(, )(tyyttyyt 記記取取非非負(fù)負(fù)整整數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)有有定定義義，當(dāng)當(dāng)設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)稱稱tttyyy 1，)()1(tyty , 2, 1, 0 t的的為為ty一階差分依此定義類推依此定義類推, ,有有 yt 1 yt 2 yt 1 y(t 2) y(t 1), yt 2 yt 3 yt 2 y(t 3) y(t 2),為為常常數(shù)數(shù)的的一一階階差差分分，其其中中求求函函數(shù)數(shù)例例aatyt )(

2、2解解tttyyy 1ttaa 1)1( aat；為常數(shù)為常數(shù))()()1(CyCyCtt ttttzyzy )()2(：一一階階差差分分的的性性質(zhì)質(zhì)為為常常數(shù)數(shù)的的一一階階差差分分，其其中中求求函函數(shù)數(shù)例例AAty )(1解解由由定定義義可可知知tttyyy 1AA ，0 所所以以常常數(shù)數(shù)的的差差分分等等于于零零的一階差分的一階差分求求例例12)(32 tettyt解解由差分性質(zhì)知由差分性質(zhì)知)12(2 tteytt)1()(2)(2 ttet)1( etet1 te)12(2 t0 . 24)1( teetet定義定義2 函數(shù)函數(shù) yt f ( t )在時(shí)刻在時(shí)刻 t 的的二階差分二階差分

3、定義為一階差定義為一階差分分的差分的差分, ,即即 2yt ( yt) yt 1 yt (yt 2 yt 1) (yt 1 yt) yt 2 2yt 1 yt依此定義類推依此定義類推, ,有有 2yt 1 yt 2 yt 1 yt 3 2yt 2 yt 1, 2yt 2 yt 3 yt 2 yt 4 2yt 3 yt 2, 同樣可定義同樣可定義三階差分三階差分 3yt , 四階差分四階差分 4yt , 即即 3yt = ( 2yt), 4yt = ( 3yt) .的的二二階階差差分分求求例例tty3)(4 解解一階差分一階差分ty tt3)1(3 ，3 所以二階差分所以二階差分02 ty的的二

4、二階階差差分分求求例例2)(5tty 解解一一階階差差分分ty 22)1(tt ，12 t二二階階差差分分)12(1)1(22 ttyt2 niintiniyC0)1(即即階差分的差分階差分的差分階差分階差分.1: nn)(1tntnyy 二、差分方程的概念二、差分方程的概念 定義定義3 3 含有自變量、未知函數(shù)及其差分的方程含有自變量、未知函數(shù)及其差分的方程, , 稱為稱為差分方程差分方程. .差分方程的一般形式為差分方程的一般形式為 F(t, yt , yt , , n yt) = 0. (1)差分方程中可以不含自變量差分方程中可以不含自變量 t 和未知函數(shù)和未知函數(shù) yt , 但必須含有

5、但必須含有差分差分. 式式(1)(1)中中, , 當(dāng)當(dāng) n = 1時(shí)時(shí), , 稱為稱為一階差分方程一階差分方程；當(dāng)當(dāng)n = 2時(shí)時(shí), , 稱為稱為二階差分方程二階差分方程. 例例6 6 將差分方程將差分方程 2yt + 2 yt = 0表示成不含差分的形式表示成不含差分的形式. .解解 yt = yt+1 yt , 2yt = yt+2 2yt+1 + yt ,代入得代入得 yt+2 yt = 0. 由此可以看出由此可以看出, , 差分方程能化為含有某些不同下標(biāo)的差分方程能化為含有某些不同下標(biāo)的整標(biāo)函數(shù)的方程整標(biāo)函數(shù)的方程. . 定義定義3 3* * 含有未知函數(shù)幾個(gè)時(shí)期值的符號(hào)的方程含有未知

6、函數(shù)幾個(gè)時(shí)期值的符號(hào)的方程, , 稱稱為為差分方程差分方程. . 其一般形式為其一般形式為F(t, yt , yt+1, , yt+n) = 0. (2) 定義定義3 3* *中要求中要求 yt , yt +1, , yt +n不少于兩個(gè)不少于兩個(gè). .例如例如, , yt+2 + yt+1 = 0為差分方程為差分方程, yt = t不是差分方程不是差分方程. 差分方程式差分方程式(2)(2)中中, , 未知函數(shù)下標(biāo)的最大差數(shù)為未知函數(shù)下標(biāo)的最大差數(shù)為 n, 則稱差分方程為則稱差分方程為n 階差分方程階差分方程. 定義定義4 4 如果一個(gè)函數(shù)代入差分后如果一個(gè)函數(shù)代入差分后, , 方程兩邊恒等

7、方程兩邊恒等, , 則則稱此函數(shù)為該稱此函數(shù)為該差分方程的解差分方程的解. . 例例3 3 驗(yàn)證函數(shù)驗(yàn)證函數(shù) yt = 2t + 1是差分方程是差分方程 yt+1 yt = 2的解的解解解 yt+1 = 2(t+ 1) + 1 = 2t +3, yt+1 yt = 2t + 3 (2t +1) = 2,所以所以yt = 2t + 1是差分方程是差分方程 yt+1 yt = 2的解的解. . 定義定義5 5 差分方程的解中含有任意常數(shù)差分方程的解中含有任意常數(shù), , 且任意常數(shù)的且任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與差分方程的階數(shù)相等個(gè)數(shù)與差分方程的階數(shù)相等, , 這樣的解稱為這樣的解稱為差分方程的差分方程的通通解

8、解. .三、一階常系數(shù)線性差分三、一階常系數(shù)線性差分方程方程 一階常系數(shù)線性差分方程的一般形式為一階常系數(shù)線性差分方程的一般形式為 yt+1 + ayt = f (t). (3)其中其中 a 為不等于零的常數(shù)為不等于零的常數(shù). .稱為稱為齊次差分方程齊次差分方程; 當(dāng)當(dāng) f (t) 0時(shí)時(shí), , 稱為稱為非齊次差分方程非齊次差分方程. 當(dāng)當(dāng) f (t) = 0 時(shí)時(shí), 即即 yt+1 + ayt = 0 (4)先求齊次差分方程先求齊次差分方程 yt+1 + ayt = 0的解的解分別將分別將t =0,1,2=0,1,2, , 代入方程逐次迭代可得代入方程逐次迭代可得 y1 = (-a )y0,

9、 y2 = (-a)2y0, yt = (-a)t y0,若若y0 = C為為任意常數(shù)任意常數(shù), 則得齊次差分方程的通則得齊次差分方程的通解為解為 yt = C(-a)t. (5) 將方程將方程yt+1+ayt 0 改寫(xiě)為改寫(xiě)為: yt+1ayt, t 0,1,2, 例例7 7 求差分方程求差分方程 yt+1 + 2yt = 0的通的通解解. . 解解 這里這里 a = 2, 由公式由公式(5)(5)得得, , 通解為通解為 yt = C( 2)t .若若y0 為事先給定的為事先給定的 常數(shù)常數(shù), 則得齊次差分方程則得齊次差分方程的特解：的特解： yt = (-a)t y0,討論非齊次差分方程

10、討論非齊次差分方程 yt+1 + ayt = f (t)解的結(jié)構(gòu)解的結(jié)構(gòu)下面用下面用待定系數(shù)法待定系數(shù)法來(lái)求幾種類型函數(shù)的特解來(lái)求幾種類型函數(shù)的特解. . 定理定理 設(shè)設(shè) yt*是非齊次差分方程是非齊次差分方程(3)(3)對(duì)應(yīng)的齊次差分方程對(duì)應(yīng)的齊次差分方程(4)(4)的通解的通解, 是是(3)(3)的一個(gè)特解的一個(gè)特解, , 則則程程(3)(3)的通解的通解.是方是方tYtttYyy *次次多多項(xiàng)項(xiàng)式式）是是（ntPtPtfnn)()()()1( 時(shí)時(shí)，1I a，設(shè)特解為設(shè)特解為)(tQYnt 代代入入原原差差分分方方程程，比較兩端同次項(xiàng)的系數(shù)比較兩端同次項(xiàng)的系數(shù)確定出多項(xiàng)式確定出多項(xiàng)式)(

11、tQn時(shí)時(shí)，1II a設(shè)設(shè)特特解解為為ttQYnt )(求求解解差差分分方方程程例例tyytt281 解解對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)齊齊次次方方程程，01 ttyy其其通通解解為為Cyt *設(shè)設(shè)非非齊齊次次方方程程的的特特解解為為，)(10tbbtYt 代代入入原原差差分分方方程程，ttbbttbbt2)()1()1(1010 整整理理，得得，ttbbb22)(110 比比較較同同次次項(xiàng)項(xiàng)的的系系數(shù)數(shù)，得得，11 b，10 b則則特特解解為為)1( ttYt于于是是所所求求通通解解為為)1( ttCyt求求解解差差分分方方程程例例21529tyytt 解解對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)齊齊次次方方程程，021 ttyy其其通通解解為

12、為ttCy)2(* 設(shè)設(shè)非非齊齊次次方方程程的的特特解解為為，2210tbtbbYt 代代入入原原差差分分方方程程，2221022105222)1()1(ttbtbbtbtbb 整理，得整理，得，2222121053)23(3ttbtbbbbb 比比較較同同次次項(xiàng)項(xiàng)的的系系數(shù)數(shù)，得得，2750 b，9101 b352 b則則特特解解為為275910352 ttYt于是所求通解為于是所求通解為27591035)2(2 ttCytt為常數(shù)）為常數(shù)）次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式的的是是（dnttPtPdtfnnt,)()()()2( 時(shí)，時(shí)，da I設(shè)設(shè)特特解解形形式式為為)(tQdYntt 時(shí)時(shí)，da II設(shè)

13、設(shè)特特解解形形式式為為ttQdYntt )(的的通通解解求求差差分分方方程程例例ttttyy)1(101 解解對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)齊齊次次方方程程，01 ttyy其通解為其通解為ttCy)1(* 設(shè)特解形式為設(shè)特解形式為，ttAAYtt)1( )(10 代入原方程，得代入原方程，得)1()1()1(110 ttAAt化化簡(jiǎn)簡(jiǎn)，得得，tAAtA )(2101，解出解出211 A即得特解為即得特解為ttYtt)1()1(21 于于是是，原原方方程程的的通通解解為為ttCyttt)1()1(21)1( ttAAt)1( )(10 ，tt)1( 210 A為為常常數(shù)數(shù)）、（特特別別dbdbtft )(時(shí)，時(shí)，da

14、 I設(shè)設(shè)特特解解形形式式為為ttdAY 時(shí)，時(shí)，da II設(shè)設(shè)特特解解形形式式為為tdAYtt 的通解的通解求差分方程求差分方程例例tttyy)31(2111 解解對(duì)應(yīng)齊次方程對(duì)應(yīng)齊次方程，021 ttyy其通解為其通解為ttCy2* 設(shè)特解形式為設(shè)特解形式為，ttAY)31( 代入原方程，得代入原方程，得，tttAA)31()31(2)31(1 化化簡(jiǎn)簡(jiǎn)，得得，1231 AA解出解出53 A即得特解為即得特解為ttY)31(53 于是，原方程的通解為于是，原方程的通解為tttCy)31(532 的通解的通解求差分方程求差分方程例例tttyy213912 解解對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)齊齊次次方方程程，091

15、ttyy其其通通解解為為ttCy9* ttf23)( 由于原方程右端函數(shù)由于原方程右端函數(shù)，t9 設(shè)特解形式為設(shè)特解形式為，tttAY9 代入原方程，得代入原方程，得，ttttAtA9999)1(1 化化簡(jiǎn)簡(jiǎn)，得得，19 A即有即有91 A特特解解為為tttY991 于是，原方程的通解為于是，原方程的通解為199 ttttCytbtbtf sincos)()3(21 此此時(shí)時(shí)差差分分方方程程為為), 3, 2, 1, 0(sincos211 ttbtbyaytt 記記 22sin)cos( aD時(shí)時(shí)，I I0 D設(shè)特解形式為設(shè)特解形式為tAtAYt sincos21 時(shí)，時(shí)，0II D設(shè)設(shè)特特

16、解解形形式式為為ttAtAYt )sincos(21 個(gè)個(gè)特特解解形形式式：寫(xiě)寫(xiě)出出下下列列差差分分方方程程的的一一例例13；tyytt 2sin5)1(1 tyytt3cos52)2(1 解解)1(由于由于 2sin)2cos1(22 D，0 所所以以，特特解解形形式式可可設(shè)設(shè)為為ttAtAYt )2sin2cos(21 )2(由于由于3sin)3cos2(22 D，0 所以，特解形式可設(shè)為所以，特解形式可設(shè)為tAtAYt3sin3cos21 ，時(shí)的價(jià)格時(shí)的價(jià)格設(shè)某產(chǎn)品在時(shí)間設(shè)某產(chǎn)品在時(shí)間例例tpt14三三者者之之間間與與總總需需求求總總供供給給ttQR有有關(guān)關(guān)系系，12 ttpR，541

17、ttpQ，ttQR , 2, 1, 0 t的特解的特解滿足初始條件滿足初始條件滿足的差分方程，并求滿足的差分方程，并求試推出試推出0)0(pppt 解解根據(jù)條件，可推出根據(jù)條件，可推出ttRp 12，541 ttpQ即即，221 ttpp對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)齊齊次次方方程程為為，021 ttpp其其通通解解為為；ttCp)2(* 滿足的一階差分方程滿足的一階差分方程為為tp，得得32 A即特解為即特解為32 tY解解為為于于是是非非齊齊次次方方程程的的一一般般32)2( ttCp，代入代入0)0(pp ；得得320 pC所所以以所所求求特特解解為為32)2)(32(0 ttpp設(shè)特解形式為設(shè)特解形式為，A

18、Yt 代入差分方程，得代入差分方程，得，22 AA，試試證證通通過(guò)過(guò)變變換換為為非非零零常常數(shù)數(shù)，且且設(shè)設(shè)例例01,15 aba，可將非齊次方程，可將非齊次方程abyutt 1bayytt 1并并由由此此求求出出的通解的通解ty解解據(jù)據(jù)題題意意可可知知，abuytt 1而而，abuytt 111代入所給方程，得代入所給方程，得abut 11aabaut 1b 化簡(jiǎn)，得化簡(jiǎn)，得01 ttauu其其通通解解為為ttaCu)( 從而所給方程的通解為從而所給方程的通解為abaCytt 1)(的齊次方程，的齊次方程，變換為變換為tu的的通通解解求求差差分分方方程程例例1333161 ttttyy解解原方程可改寫(xiě)成原方程可改寫(xiě)成，313)1(1 ttttyy為為相應(yīng)的齊次方程的通解相應(yīng)的齊次方程的通解，Cyt *為為任任意意常常數(shù)數(shù)C設(shè)方程的一個(gè)特解為設(shè)方程的一個(gè)特解為 tYtbta3)( ，tc 則則有有，)1(3)1