Ch9-5差分方程1

1、9.5 9.5 差分方程差分方程二、差分方程的概念二、差分方程的概念一一. .差分的概念差分的概念 三、一階常系數(shù)線性差分三、一階常系數(shù)線性差分方程方程 一一. .差分的概念差分的概念 定義1定義1),(, )(tyyttyyt 記記取取非非負負整整數(shù)數(shù)時時有有定定義義，當(dāng)當(dāng)設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)稱稱tttyyy 1，)()1(tyty , 2, 1, 0 t的的為為ty一階差分依此定義類推依此定義類推, ,有有 yt 1 yt 2 yt 1 y(t 2) y(t 1), yt 2 yt 3 yt 2 y(t 3) y(t 2),為為常常數(shù)數(shù)的的一一階階差差分分，其其中中求求函函數(shù)數(shù)例例aatyt )(

2、2解解tttyyy 1ttaa 1)1( aat；為常數(shù)為常數(shù))()()1(CyCyCtt ttttzyzy )()2(：一一階階差差分分的的性性質(zhì)質(zhì)為為常常數(shù)數(shù)的的一一階階差差分分，其其中中求求函函數(shù)數(shù)例例AAty )(1解解由由定定義義可可知知tttyyy 1AA ，0 所所以以常常數(shù)數(shù)的的差差分分等等于于零零的一階差分的一階差分求求例例12)(32 tettyt解解由差分性質(zhì)知由差分性質(zhì)知)12(2 tteytt)1()(2)(2 ttet)1( etet1 te)12(2 t0 . 24)1( teetet定義定義2 函數(shù)函數(shù) yt f ( t )在時刻在時刻 t 的的二階差分二階差分

3、定義為一階差定義為一階差分分的差分的差分, ,即即 2yt ( yt) yt 1 yt (yt 2 yt 1) (yt 1 yt) yt 2 2yt 1 yt依此定義類推依此定義類推, ,有有 2yt 1 yt 2 yt 1 yt 3 2yt 2 yt 1, 2yt 2 yt 3 yt 2 yt 4 2yt 3 yt 2, 同樣可定義同樣可定義三階差分三階差分 3yt , 四階差分四階差分 4yt , 即即 3yt = ( 2yt), 4yt = ( 3yt) .的的二二階階差差分分求求例例tty3)(4 解解一階差分一階差分ty tt3)1(3 ，3 所以二階差分所以二階差分02 ty的的二

4、二階階差差分分求求例例2)(5tty 解解一一階階差差分分ty 22)1(tt ，12 t二二階階差差分分)12(1)1(22 ttyt2 niintiniyC0)1(即即階差分的差分階差分的差分階差分階差分.1: nn)(1tntnyy 二、差分方程的概念二、差分方程的概念 定義定義3 3 含有自變量、未知函數(shù)及其差分的方程含有自變量、未知函數(shù)及其差分的方程, , 稱為稱為差分方程差分方程. .差分方程的一般形式為差分方程的一般形式為 F(t, yt , yt , , n yt) = 0. (1)差分方程中可以不含自變量差分方程中可以不含自變量 t 和未知函數(shù)和未知函數(shù) yt , 但必須含有

5、但必須含有差分差分. 式式(1)(1)中中, , 當(dāng)當(dāng) n = 1時時, , 稱為稱為一階差分方程一階差分方程；當(dāng)當(dāng)n = 2時時, , 稱為稱為二階差分方程二階差分方程. 例例6 6 將差分方程將差分方程 2yt + 2 yt = 0表示成不含差分的形式表示成不含差分的形式. .解解 yt = yt+1 yt , 2yt = yt+2 2yt+1 + yt ,代入得代入得 yt+2 yt = 0. 由此可以看出由此可以看出, , 差分方程能化為含有某些不同下標(biāo)的差分方程能化為含有某些不同下標(biāo)的整標(biāo)函數(shù)的方程整標(biāo)函數(shù)的方程. . 定義定義3 3* * 含有未知函數(shù)幾個時期值的符號的方程含有未知

6、函數(shù)幾個時期值的符號的方程, , 稱稱為為差分方程差分方程. . 其一般形式為其一般形式為F(t, yt , yt+1, , yt+n) = 0. (2) 定義定義3 3* *中要求中要求 yt , yt +1, , yt +n不少于兩個不少于兩個. .例如例如, , yt+2 + yt+1 = 0為差分方程為差分方程, yt = t不是差分方程不是差分方程. 差分方程式差分方程式(2)(2)中中, , 未知函數(shù)下標(biāo)的最大差數(shù)為未知函數(shù)下標(biāo)的最大差數(shù)為 n, 則稱差分方程為則稱差分方程為n 階差分方程階差分方程. 定義定義4 4 如果一個函數(shù)代入差分后如果一個函數(shù)代入差分后, , 方程兩邊恒等

7、方程兩邊恒等, , 則則稱此函數(shù)為該稱此函數(shù)為該差分方程的解差分方程的解. . 例例3 3 驗證函數(shù)驗證函數(shù) yt = 2t + 1是差分方程是差分方程 yt+1 yt = 2的解的解解解 yt+1 = 2(t+ 1) + 1 = 2t +3, yt+1 yt = 2t + 3 (2t +1) = 2,所以所以yt = 2t + 1是差分方程是差分方程 yt+1 yt = 2的解的解. . 定義定義5 5 差分方程的解中含有任意常數(shù)差分方程的解中含有任意常數(shù), , 且任意常數(shù)的且任意常數(shù)的個數(shù)與差分方程的階數(shù)相等個數(shù)與差分方程的階數(shù)相等, , 這樣的解稱為這樣的解稱為差分方程的差分方程的通通解

8、解. .三、一階常系數(shù)線性差分三、一階常系數(shù)線性差分方程方程 一階常系數(shù)線性差分方程的一般形式為一階常系數(shù)線性差分方程的一般形式為 yt+1 + ayt = f (t). (3)其中其中 a 為不等于零的常數(shù)為不等于零的常數(shù). .稱為稱為齊次差分方程齊次差分方程; 當(dāng)當(dāng) f (t) 0時時, , 稱為稱為非齊次差分方程非齊次差分方程. 當(dāng)當(dāng) f (t) = 0 時時, 即即 yt+1 + ayt = 0 (4)先求齊次差分方程先求齊次差分方程 yt+1 + ayt = 0的解的解分別將分別將t =0,1,2=0,1,2, , 代入方程逐次迭代可得代入方程逐次迭代可得 y1 = (-a )y0,

9、 y2 = (-a)2y0, yt = (-a)t y0,若若y0 = C為為任意常數(shù)任意常數(shù), 則得齊次差分方程的通則得齊次差分方程的通解為解為 yt = C(-a)t. (5) 將方程將方程yt+1+ayt 0 改寫為改寫為: yt+1ayt, t 0,1,2, 例例7 7 求差分方程求差分方程 yt+1 + 2yt = 0的通的通解解. . 解解 這里這里 a = 2, 由公式由公式(5)(5)得得, , 通解為通解為 yt = C( 2)t .若若y0 為事先給定的為事先給定的 常數(shù)常數(shù), 則得齊次差分方程則得齊次差分方程的特解：的特解： yt = (-a)t y0,討論非齊次差分方程

10、討論非齊次差分方程 yt+1 + ayt = f (t)解的結(jié)構(gòu)解的結(jié)構(gòu)下面用下面用待定系數(shù)法待定系數(shù)法來求幾種類型函數(shù)的特解來求幾種類型函數(shù)的特解. . 定理定理 設(shè)設(shè) yt*是非齊次差分方程是非齊次差分方程(3)(3)對應(yīng)的齊次差分方程對應(yīng)的齊次差分方程(4)(4)的通解的通解, 是是(3)(3)的一個特解的一個特解, , 則則程程(3)(3)的通解的通解.是方是方tYtttYyy *次次多多項項式式）是是（ntPtPtfnn)()()()1( 時時，1I a，設(shè)特解為設(shè)特解為)(tQYnt 代代入入原原差差分分方方程程，比較兩端同次項的系數(shù)比較兩端同次項的系數(shù)確定出多項式確定出多項式)(

11、tQn時時，1II a設(shè)設(shè)特特解解為為ttQYnt )(求求解解差差分分方方程程例例tyytt281 解解對對應(yīng)應(yīng)齊齊次次方方程程，01 ttyy其其通通解解為為Cyt *設(shè)設(shè)非非齊齊次次方方程程的的特特解解為為，)(10tbbtYt 代代入入原原差差分分方方程程，ttbbttbbt2)()1()1(1010 整整理理，得得，ttbbb22)(110 比比較較同同次次項項的的系系數(shù)數(shù)，得得，11 b，10 b則則特特解解為為)1( ttYt于于是是所所求求通通解解為為)1( ttCyt求求解解差差分分方方程程例例21529tyytt 解解對對應(yīng)應(yīng)齊齊次次方方程程，021 ttyy其其通通解解為

12、為ttCy)2(* 設(shè)設(shè)非非齊齊次次方方程程的的特特解解為為，2210tbtbbYt 代代入入原原差差分分方方程程，2221022105222)1()1(ttbtbbtbtbb 整理，得整理，得，2222121053)23(3ttbtbbbbb 比比較較同同次次項項的的系系數(shù)數(shù)，得得，2750 b，9101 b352 b則則特特解解為為275910352 ttYt于是所求通解為于是所求通解為27591035)2(2 ttCytt為常數(shù)）為常數(shù)）次多項式次多項式的的是是（dnttPtPdtfnnt,)()()()2( 時，時，da I設(shè)設(shè)特特解解形形式式為為)(tQdYntt 時時，da II設(shè)

13、設(shè)特特解解形形式式為為ttQdYntt )(的的通通解解求求差差分分方方程程例例ttttyy)1(101 解解對對應(yīng)應(yīng)齊齊次次方方程程，01 ttyy其通解為其通解為ttCy)1(* 設(shè)特解形式為設(shè)特解形式為，ttAAYtt)1( )(10 代入原方程，得代入原方程，得)1()1()1(110 ttAAt化化簡簡，得得，tAAtA )(2101，解出解出211 A即得特解為即得特解為ttYtt)1()1(21 于于是是，原原方方程程的的通通解解為為ttCyttt)1()1(21)1( ttAAt)1( )(10 ，tt)1( 210 A為為常常數(shù)數(shù)）、（特特別別dbdbtft )(時，時，da

14、 I設(shè)設(shè)特特解解形形式式為為ttdAY 時，時，da II設(shè)設(shè)特特解解形形式式為為tdAYtt 的通解的通解求差分方程求差分方程例例tttyy)31(2111 解解對應(yīng)齊次方程對應(yīng)齊次方程，021 ttyy其通解為其通解為ttCy2* 設(shè)特解形式為設(shè)特解形式為，ttAY)31( 代入原方程，得代入原方程，得，tttAA)31()31(2)31(1 化化簡簡，得得，1231 AA解出解出53 A即得特解為即得特解為ttY)31(53 于是，原方程的通解為于是，原方程的通解為tttCy)31(532 的通解的通解求差分方程求差分方程例例tttyy213912 解解對對應(yīng)應(yīng)齊齊次次方方程程，091

15、ttyy其其通通解解為為ttCy9* ttf23)( 由于原方程右端函數(shù)由于原方程右端函數(shù)，t9 設(shè)特解形式為設(shè)特解形式為，tttAY9 代入原方程，得代入原方程，得，ttttAtA9999)1(1 化化簡簡，得得，19 A即有即有91 A特特解解為為tttY991 于是，原方程的通解為于是，原方程的通解為199 ttttCytbtbtf sincos)()3(21 此此時時差差分分方方程程為為), 3, 2, 1, 0(sincos211 ttbtbyaytt 記記 22sin)cos( aD時時，I I0 D設(shè)特解形式為設(shè)特解形式為tAtAYt sincos21 時，時，0II D設(shè)設(shè)特特

16、解解形形式式為為ttAtAYt )sincos(21 個個特特解解形形式式：寫寫出出下下列列差差分分方方程程的的一一例例13；tyytt 2sin5)1(1 tyytt3cos52)2(1 解解)1(由于由于 2sin)2cos1(22 D，0 所所以以，特特解解形形式式可可設(shè)設(shè)為為ttAtAYt )2sin2cos(21 )2(由于由于3sin)3cos2(22 D，0 所以，特解形式可設(shè)為所以，特解形式可設(shè)為tAtAYt3sin3cos21 ，時的價格時的價格設(shè)某產(chǎn)品在時間設(shè)某產(chǎn)品在時間例例tpt14三三者者之之間間與與總總需需求求總總供供給給ttQR有有關(guān)關(guān)系系，12 ttpR，541

17、ttpQ，ttQR , 2, 1, 0 t的特解的特解滿足初始條件滿足初始條件滿足的差分方程，并求滿足的差分方程，并求試推出試推出0)0(pppt 解解根據(jù)條件，可推出根據(jù)條件，可推出ttRp 12，541 ttpQ即即，221 ttpp對對應(yīng)應(yīng)齊齊次次方方程程為為，021 ttpp其其通通解解為為；ttCp)2(* 滿足的一階差分方程滿足的一階差分方程為為tp，得得32 A即特解為即特解為32 tY解解為為于于是是非非齊齊次次方方程程的的一一般般32)2( ttCp，代入代入0)0(pp ；得得320 pC所所以以所所求求特特解解為為32)2)(32(0 ttpp設(shè)特解形式為設(shè)特解形式為，A

18、Yt 代入差分方程，得代入差分方程，得，22 AA，試試證證通通過過變變換換為為非非零零常常數(shù)數(shù)，且且設(shè)設(shè)例例01,15 aba，可將非齊次方程，可將非齊次方程abyutt 1bayytt 1并并由由此此求求出出的通解的通解ty解解據(jù)據(jù)題題意意可可知知，abuytt 1而而，abuytt 111代入所給方程，得代入所給方程，得abut 11aabaut 1b 化簡，得化簡，得01 ttauu其其通通解解為為ttaCu)( 從而所給方程的通解為從而所給方程的通解為abaCytt 1)(的齊次方程，的齊次方程，變換為變換為tu的的通通解解求求差差分分方方程程例例1333161 ttttyy解解原方程可改寫成原方程可改寫成，313)1(1 ttttyy為為相應(yīng)的齊次方程的通解相應(yīng)的齊次方程的通解，Cyt *為為任任意意常常數(shù)數(shù)C設(shè)方程的一個特解為設(shè)方程的一個特解為 tYtbta3)( ，tc 則則有有，)1(3)1