礦大高數多元函數的基本概念學習教案

1、會計學1礦大高數多元函數的基本概念礦大高數多元函數的基本概念第一頁，編輯于星期二：十點 五十五分。2（2）區(qū)域）區(qū)域EP 例如，例如，即為開集即為開集第1頁/共35頁第二頁，編輯于星期二：十點 五十五分。3EP 第2頁/共35頁第三頁，編輯于星期二：十點 五十五分。4連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域例如，例如，xyo例如，例如，xyo第3頁/共35頁第四頁，編輯于星期二：十點 五十五分。5有界閉區(qū)域；有界閉區(qū)域；無界開區(qū)域無界開區(qū)域xyo例如，例如，第4頁/共35頁第五頁，編輯于星期二：十點 五十五分。6（3）聚點）聚點1 內點一定是聚點；內點一定是聚點；2 邊界點可能是聚

2、點；邊界點可能是聚點；例例(0,0)既是既是邊界點也是聚點邊界點也是聚點第5頁/共35頁第六頁，編輯于星期二：十點 五十五分。73 點集點集E的聚點可以屬于的聚點可以屬于E，也可以不屬于，也可以不屬于E10| ),(22 yxyx例如例如,(0,0) 是聚點但不屬于集合是聚點但不屬于集合例如例如,邊界上的點都是聚點也都屬于集合邊界上的點都是聚點也都屬于集合第6頁/共35頁第七頁，編輯于星期二：十點 五十五分。8（4）n維空間維空間1 n維空間的記號為維空間的記號為2 n維空間中兩點間距離公式維空間中兩點間距離公式 第7頁/共35頁第八頁，編輯于星期二：十點 五十五分。93 n維空間中鄰域、區(qū)域

3、等概念維空間中鄰域、區(qū)域等概念 特殊地當特殊地當 時，便為數軸、平面時，便為數軸、平面、空間兩點間的距離、空間兩點間的距離3, 2, 1 n內點、邊界點、區(qū)域、聚點等概念也可定義內點、邊界點、區(qū)域、聚點等概念也可定義鄰域：鄰域：設兩點為設兩點為第8頁/共35頁第九頁，編輯于星期二：十點 五十五分。10（5）二元函數的定義）二元函數的定義第9頁/共35頁第十頁，編輯于星期二：十點 五十五分。11類似地可定義三元及三元以上函數類似地可定義三元及三元以上函數第10頁/共35頁第十一頁，編輯于星期二：十點 五十五分。12xyoxy第11頁/共35頁第十二頁，編輯于星期二：十點 五十五分。13例例1 1

4、 求求 的定義域的定義域解解所求定義域為所求定義域為第12頁/共35頁第十三頁，編輯于星期二：十點 五十五分。14二元函數的圖形通常是一張曲面二元函數的圖形通常是一張曲面.第13頁/共35頁第十四頁，編輯于星期二：十點 五十五分。15xyzo例如例如,圖形如右圖圖形如右圖.例如例如,左圖球面左圖球面.單值分支單值分支:第14頁/共35頁第十五頁，編輯于星期二：十點 五十五分。16xyzoxyz第15頁/共35頁第十六頁，編輯于星期二：十點 五十五分。17二、多元函數的極限:類類似似第16頁/共35頁第十七頁，編輯于星期二：十點 五十五分。18),(yxfz ),(,000yxPD 20200)

5、()(|0yyxxPP |),(|Ayxf),(yxfz 0 xx 0yy Ayxfyyxx ),(lim00 設函數設函數的定義域為的定義域為是其聚點，如果對于任意給定的正數是其聚點，如果對于任意給定的正數，總存在正數，總存在正數 ，使得對于適合不等式，使得對于適合不等式的一切點的一切點 P ( (x , ,y) )，都有，都有成立，則稱成立，則稱A為函數為函數當當，時的極限，記時的極限，記為為 定義定義1 1第17頁/共35頁第十八頁，編輯于星期二：十點 五十五分。19說明說明：（1）定義中）定義中 的方式是任意的；的方式是任意的；0PP （2）二元函數的極限也叫二重極限）二元函數的極限也

6、叫二重極限);,(lim00yxfyyxx第18頁/共35頁第十九頁，編輯于星期二：十點 五十五分。20例例2 2 求證求證 證證當當 時時， 22)0()0(0yx原結論成立原結論成立第19頁/共35頁第二十頁，編輯于星期二：十點 五十五分。21第20頁/共35頁第二十一頁，編輯于星期二：十點 五十五分。22例例5 5 求極限求極限 解解其中其中yxu2 第21頁/共35頁第二十二頁，編輯于星期二：十點 五十五分。23第22頁/共35頁第二十三頁，編輯于星期二：十點 五十五分。24222200yxyxyxlim第23頁/共35頁第二十四頁，編輯于星期二：十點 五十五分。25例例7 7 證明證

7、明 不存在不存在 證證取取其值隨其值隨k的不同而不同，的不同而不同，故極限不存在故極限不存在第24頁/共35頁第二十五頁，編輯于星期二：十點 五十五分。26第25頁/共35頁第二十六頁，編輯于星期二：十點 五十五分。27三、多元函數的連續(xù)性:連續(xù)連續(xù):連續(xù)連續(xù))()(lim00PfPfPP或或第26頁/共35頁第二十七頁，編輯于星期二：十點 五十五分。28第27頁/共35頁第二十八頁，編輯于星期二：十點 五十五分。29第28頁/共35頁第二十九頁，編輯于星期二：十點 五十五分。30第29頁/共35頁第三十頁，編輯于星期二：十點 五十五分。31例例9 9討論函數討論函數 )0 , 0(),(,

8、0)0 , 0(),(,),(2233yxyxyxyxyxf在在(0,0)處的連續(xù)性處的連續(xù)性解解第30頁/共35頁第三十一頁，編輯于星期二：十點 五十五分。32例例9 9 討論函數討論函數在在(0,0)的連續(xù)性的連續(xù)性解解取取其值隨其值隨k的不同而變化，的不同而變化，極限不存在極限不存在故函數在故函數在(0,0)處不連續(xù)處不連續(xù)第31頁/共35頁第三十二頁，編輯于星期二：十點 五十五分。33閉區(qū)域上連續(xù)函數的性質閉區(qū)域上連續(xù)函數的性質 在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域D D上的多元連續(xù)函數，在上的多元連續(xù)函數，在D D上至上至少取得它的最大值和最小值各一次少取得它的最大值和最小值各一次 在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域D D上的多元連續(xù)函數，如上的多元連續(xù)函數，如果在果在D D上取得兩個不同的函數值，則它在上取得兩個不同的函數值，則它在D D上取上取得介于這兩值之間的任何值至少一次得介于這兩值之間的任何值至少一次（1）最大值和最小值定理）最大值和最小值定理（2）介值定理）介值定理第32頁/共35頁第三十三頁，編輯于星期二：十點 五十五分。34 多元初等函數：多元初等函數： 由多元多項式及基本初等函數經過有限次由多元多項式及基本初等函數經過有限次的四則運算和復合步驟所構成的可用一個式子的四則運算和復合步驟所構成的可用一個式子所表示的多元函數叫多元初等函數所表示的多元函數叫多元初等函