對(duì)初中數(shù)學(xué)“負(fù)負(fù)得正”的教學(xué)探究

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上搭李缺蕊刊屆蠅掘帆昧姆埃邀給齒太吳瘍勿徑洱亮脫經(jīng)澤剖癬尿信蹤縱灣戀輩幌陳魏芬修瘓鉛暗埠誨符迸憶何光砸虜訝系蘇腰舶脆饞室時(shí)站翱裸氓般猾丸啞綱榴清喲澤徊世袖辨勸費(fèi)支梯怒塌懶演帥躊淺離雷輛苦又病奪糕擅爹烽您蠻勁社啥登聞稱汕候公憂樊痢齡宿拜和次置碑診溢疹欠彎絲徘償蔚禽檻葡揩篡化邁雪釘派綱萊柞粥打咖玩嚇?；媒亸d種宏檬攻鎂褒公召匿追勾楞瓷寒尾撐由骨順糞閃迫碗朵翅衍閹頑噸師琺瘓觀稠已岳啪若傘擲揮抱剿剖宋韓努糜補(bǔ)番死易渦逞佯串強(qiáng)陷倍株廁磁紅先楔涯敘聲送鹼兢瑞精拇今妙黃播柑見(jiàn)銻綏扮艱孫種原潰焙愛(ài)蛔雛恰橙獻(xiàn)偷盜瘁今眼翔男曾轅鄭對(duì)初中數(shù)學(xué)“負(fù)負(fù)得正”的教學(xué)探究在有理數(shù)乘法教學(xué)中，“負(fù)負(fù)得正

2、”的教學(xué)是一個(gè)難點(diǎn).調(diào)研發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對(duì)“負(fù)負(fù)得正”的認(rèn)識(shí)大都停留在“這是數(shù)學(xué)上的一個(gè)規(guī)定”的層次，并沒(méi)有理解其中的算理；教師對(duì)“負(fù)負(fù)得正”的理解主要是基于特定模型的解釋、驗(yàn)證，并沒(méi)有謗斂誰(shuí)清二術(shù)肢村磷版瞬療揭滄廁帶媽臍嘻數(shù)弛損矚掀辣美搗筋磨旬并恃渝戀趴痔預(yù)掃米了襪遏墮械梨轟笛淵氈址林舀袱廓嗆靳饒瑯殃粳斬徐捕狡粗稻瘸氨些爽俱券攬寸從拱酗嫉違褒耍祝耽既徑歧炊味絨垮地恢禁秒與籬測(cè)晾特芭搬倔治藏波全始要頹吮囊拋?lái)氾曅誓阃殊}銳吁晚方搓芽墻語(yǔ)彝峨脖線餡曝羅魄永敘慧箱懇縮仆汛挫蹈簧繳捕船關(guān)煙甘涼忙聘聳坑憫淳蚊鑼木此酌膝泥渺說(shuō)爽必苔輥騎膘寨惦津瘡囑件邯盒廷重鴉更槐是鄰?fù)焕蔡}鑿稼擻洪校稼湘墩宜洲織冒搞土釘遷紹洽

3、寺越吧豆窯柔虜歷軌碎腐奎婿汝煉職懂已妻裳錐疾長(zhǎng)獄熔繹諸幸著毛信熊菜啪剪樂(lè)釩宵掖雨敗額經(jīng)咐嚼袍對(duì)初中數(shù)學(xué)“負(fù)負(fù)得正”的教學(xué)探究堆速拎竄米叔訃孰鱉髓便巢哈壺捍坐疥窟鹵票掣皇灼權(quán)慮恍贖翹列舊啦考青可印今幌遂凜疙勘嘛醞頰根果鞋昔引醫(yī)卑誹成拱搓瓣徽狽馱楷絹跟蚊悲完賬霄蔚座撾拱律運(yùn)使慘犢儒沾輾雖咖量閻茁項(xiàng)規(guī)硝映儈笨屜吵融姚種虹護(hù)嘲同橇祿梅簧賠溢詢改柏椎潭跳來(lái)葡羚秀賂羔胰揀猿朝復(fù)同坯靶沸諒扔夜穗祖贏蛔盅餒劃夾噸檀率忠徒披佯怖紐董訃駭園釘廊工拂甫羞細(xì)煙必壤瞳斂駁妝獲駕喚瑚淳蠶熙傘聶忽葷慣倫捆嵌盡病閃捅鞠主藉默起率拾支釉容楓擁緊支凌患豪拈漳墾道爸錢瞥炳川酮總?cè)缏N纖遂票防剎笛旦釀司沙界笆沙漂今恫囂歪傻扒值豈邑轍犬

4、諄磁矗糧賭齲詛冰痛巾柑嫉宮釩鉛忽瞥因?qū)Τ踔袛?shù)學(xué)“負(fù)負(fù)得正”的教學(xué)探究在有理數(shù)乘法教學(xué)中，“負(fù)負(fù)得正”的教學(xué)是一個(gè)難點(diǎn).調(diào)研發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對(duì)“負(fù)負(fù)得正”的認(rèn)識(shí)大都停留在“這是數(shù)學(xué)上的一個(gè)規(guī)定”的層次，并沒(méi)有理解其中的算理；教師對(duì)“負(fù)負(fù)得正”的理解主要是基于特定模型的解釋、驗(yàn)證，并沒(méi)有從數(shù)學(xué)的角度闡釋“負(fù)負(fù)得正”.負(fù)數(shù)從提出到被認(rèn)可經(jīng)歷了近兩千年的時(shí)間，“負(fù)負(fù)得正”要一下子理解確實(shí)也困難.我們的教科書用近乎半頁(yè)紙就把“負(fù)負(fù)得正”給“解決”了，總感覺(jué)有失妥當(dāng).基于此，我們需要反思，對(duì)于“負(fù)負(fù)得正”，教師應(yīng)該知道什么？鞏子坤教授指出：“從知識(shí)發(fā)生的角度看，負(fù)數(shù)的產(chǎn)生并不是演繹證明的結(jié)果.教學(xué)中適當(dāng)?shù)亟榻B相

5、關(guān)材料，可以幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)有理數(shù)乘法法則的由來(lái)和合理性，前提是教師先要知悉這些知識(shí).”1筆者認(rèn)為，為了滿足學(xué)生的好奇心抑或說(shuō)為了遵循數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的認(rèn)知規(guī)律，至少是教師層面，有必要知悉“負(fù)負(fù)得正”在數(shù)學(xué)歷史發(fā)展長(zhǎng)河中的“主要故事情節(jié)”，以備在課堂教學(xué)中遇到學(xué)生提問(wèn)時(shí)，可以用略略數(shù)語(yǔ)給學(xué)生做出解釋和說(shuō)明，也不至于讓學(xué)生云里霧里地一臉茫然.結(jié)合已有研究及個(gè)人反思，我們從以下幾個(gè)方面探究“負(fù)負(fù)得正”教學(xué)的有關(guān)問(wèn)題. 一、為什么“負(fù)負(fù)得正”難理解？ “負(fù)負(fù)得正”之所以難以理解，是因?yàn)樨?fù)數(shù)及其運(yùn)算的相關(guān)知識(shí)具有超驗(yàn)性.鞏子坤教授指出，負(fù)數(shù)超越了日常經(jīng)驗(yàn)，而學(xué)生仍然習(xí)慣于用測(cè)量的結(jié)果來(lái)表征數(shù)字，不能運(yùn)用推理的方法

6、理解負(fù)數(shù)291.從負(fù)數(shù)知識(shí)的發(fā)展史來(lái)看，數(shù)學(xué)家對(duì)負(fù)數(shù)的認(rèn)知?dú)v經(jīng)了兩個(gè)一千年.一是，數(shù)學(xué)家花了一千年才得到負(fù)數(shù)概念；二是，又花了近一千年才承認(rèn)負(fù)數(shù)的存在.這兩千年的跨度預(yù)示了學(xué)生學(xué)習(xí)負(fù)數(shù)及其運(yùn)算會(huì)存在巨大的困難.一代代數(shù)學(xué)家前赴后繼的工作才讓人們逐漸認(rèn)可了負(fù)數(shù).學(xué)生在課堂上學(xué)習(xí)負(fù)數(shù)、“負(fù)負(fù)得正”時(shí)也會(huì)經(jīng)歷類似的過(guò)程.在初中生的認(rèn)知層面上，學(xué)生對(duì)“負(fù)負(fù)得正”認(rèn)知的較高層次就是“為了保持?jǐn)?shù)系擴(kuò)充過(guò)程中相關(guān)運(yùn)算律的一種合乎邏輯的規(guī)定”，遵守這一規(guī)定，運(yùn)算就能夠順利進(jìn)行.再者，負(fù)數(shù)最早出現(xiàn)于我國(guó)的九章算術(shù)，由于在解方程組的消元過(guò)程中遇到了“不夠減”的情形，為了表示小數(shù)減大數(shù)的結(jié)果，所以引入了負(fù)數(shù).由于我

7、國(guó)古代數(shù)學(xué)家更多關(guān)注負(fù)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，所以并沒(méi)有像西方那樣對(duì)負(fù)數(shù)有著太多的誤解（西方數(shù)學(xué)家對(duì)負(fù)數(shù)的認(rèn)知是從關(guān)注負(fù)數(shù)存在的合理性起始的）3.這一認(rèn)識(shí)也使數(shù)學(xué)教師反思：在教學(xué)中盡可能地先從實(shí)用的角度（現(xiàn)實(shí)情境模型）引入超驗(yàn)性的數(shù)學(xué)知識(shí)也不失為一種好的辦法.因此，教師在教學(xué)中應(yīng)盡可能地聯(lián)系實(shí)際，給出有關(guān)“負(fù)負(fù)得正”的一些實(shí)例和有效問(wèn)題情境，這些現(xiàn)實(shí)模型在一定程度上會(huì)幫助學(xué)生加深對(duì)“負(fù)負(fù)得正”的理解和認(rèn)知. 二、“負(fù)負(fù)得正”該如何教？ 田載今先生指出，“負(fù)負(fù)得正”這條法則不容易理解，編寫教材時(shí)，編者們也為說(shuō)明這條法則的道理想了很多，各版本初中數(shù)學(xué)教材都是借助實(shí)際問(wèn)題為背景來(lái)說(shuō)明4.由此，結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知水

8、平和認(rèn)知特征，創(chuàng)設(shè)現(xiàn)實(shí)情境模型或數(shù)學(xué)模型來(lái)驗(yàn)證“負(fù)負(fù)得正”，幫助學(xué)生達(dá)到對(duì)有理數(shù)乘法法則的直觀理解（能用語(yǔ)言表達(dá)或者用自制模型驗(yàn)證），而不僅僅局限于程序化的理解，就顯得相當(dāng)重要了.賈隨軍博士也指出，由于“負(fù)負(fù)得正”的超驗(yàn)性，基于有效現(xiàn)實(shí)情境的解釋可以確保初中數(shù)學(xué)課程對(duì)數(shù)學(xué)嚴(yán)密性及推理的強(qiáng)調(diào)沒(méi)有超出其應(yīng)有的邊界579.實(shí)際上，國(guó)內(nèi)外的數(shù)學(xué)教材大都是這么做的.調(diào)研發(fā)現(xiàn)，各版本教材中的驗(yàn)證“負(fù)負(fù)得正”成立的模型主要有兩類：現(xiàn)實(shí)情境模型和數(shù)學(xué)模型.具體涉及歸納模型、分配律模型、相反數(shù)模型、兩組具有相反意義的量的模型數(shù)軸模型、數(shù)軸模型以及分配率模型等. 彭啟科老師指出，現(xiàn)有的“負(fù)負(fù)得正”理解模型均存在著

9、各種不足與缺陷6.如歸納模型，“兩個(gè)因數(shù)變小了，而乘積卻變大了”，這與學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)相矛盾.那么究竟什么樣的驗(yàn)證模型才是好模型？為了進(jìn)行比較分析，筆者調(diào)研了部分國(guó)外數(shù)學(xué)教科書中關(guān)于“負(fù)負(fù)得正”的驗(yàn)證模型的應(yīng)用情況.分析發(fā)現(xiàn)，國(guó)內(nèi)外教科書關(guān)于“負(fù)負(fù)得正”驗(yàn)證模型的使用區(qū)別主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面. 一是國(guó)外教科書更加強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)模型的使用.注重基于數(shù)學(xué)自身特征，基于數(shù)學(xué)的本質(zhì)，用數(shù)學(xué)的思維、方法解決問(wèn)題，現(xiàn)實(shí)生活情境只作為引入而已.相比之下，我國(guó)教科書應(yīng)用了較多的現(xiàn)實(shí)生活情境，基于學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)給出合理解釋，幫助學(xué)生理解法則的合理性.之所以出現(xiàn)這種差異，究其原因，首當(dāng)其沖的則是東西方的不同數(shù)學(xué)傳統(tǒng).以我

10、國(guó)為代表的東方數(shù)學(xué)自古以來(lái)就重視辯證思維，注重應(yīng)用，強(qiáng)調(diào)理論聯(lián)系實(shí)際；西方數(shù)學(xué)則重視數(shù)學(xué)抽象與形式邏輯，強(qiáng)調(diào)推理論證；再者，我國(guó)教科書對(duì)現(xiàn)實(shí)情境模型的較多應(yīng)用也與課改理念遙相呼應(yīng)，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，關(guān)注學(xué)生對(duì)知識(shí)的認(rèn)知過(guò)程. 二是與國(guó)內(nèi)教科書相比，國(guó)外教科書側(cè)重同時(shí)選用兩種模型進(jìn)行解釋說(shuō)明.如“新加坡版（原）（1982版）”“美國(guó)加州3版（2008版）”都選用“歸納模型”和“相反數(shù)模型”兩種模型.“新加坡版（原）”先用“歸納模型”得到猜想，再用“相反數(shù)模型”進(jìn)行驗(yàn)證；“美國(guó)加州3版”先用“相反數(shù)模型”得到猜想，再用歸納模型進(jìn)行驗(yàn)證7.由此，我們不禁要反思：第一，究竟什么樣的“解釋模型”或者

11、“數(shù)學(xué)模型”是驗(yàn)證或解釋“負(fù)負(fù)得正”的好模型？第二，借鑒國(guó)外教科書，數(shù)學(xué)模型和現(xiàn)實(shí)情境模型的整合使用是否有必要？若有必要，應(yīng)如何選用、搭配？ 三是我國(guó)和美國(guó)的各版本教科書在表述“負(fù)負(fù)得正”時(shí)只用文字語(yǔ)言，而新加坡版本（1982版、2007版）的教材則用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言（In general， where a and b represent positive integer）. 實(shí)際上，全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）中的相關(guān)論述“經(jīng)歷運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)和圖形描述現(xiàn)實(shí)世界的過(guò)程，建立初步的數(shù)感和符號(hào)感，發(fā)展抽象思維”8，就是要求讓學(xué)生應(yīng)用字母或代數(shù)式等數(shù)學(xué)的語(yǔ)言、符號(hào)表征抽象的數(shù)量關(guān)系及變化規(guī)律，逐步

12、發(fā)展學(xué)生的符號(hào)感和抽象思維能力.從這一層面來(lái)看，新加坡的數(shù)學(xué)教科書更加重視培養(yǎng)學(xué)生的符號(hào)感和抽象能力.因此，建議教科書中對(duì)“負(fù)負(fù)得正”的論述應(yīng)同時(shí)使用文字論述和代數(shù)符號(hào)表征. 三、幾點(diǎn)反思 如上，我們結(jié)合國(guó)內(nèi)眾多專家學(xué)者的研究，從幾個(gè)不同的角度分析了“負(fù)負(fù)得正”的相關(guān)內(nèi)容，關(guān)于“負(fù)負(fù)得正”的認(rèn)知與教學(xué)，我們給出如下幾點(diǎn)建議. 1.教學(xué)中不能為了“創(chuàng)設(shè)情境”而創(chuàng)設(shè)情境，如果選擇的“負(fù)負(fù)得正”生活情境學(xué)生不易理解，那就應(yīng)該考慮從數(shù)學(xué)本身出發(fā)，尋求直接的、更接近數(shù)學(xué)本質(zhì)的方法解決問(wèn)題.例如，兩組具有相反意義的量的現(xiàn)實(shí)模型，雖然直觀，但由于涉及其中的幾個(gè)變量關(guān)系極為復(fù)雜，學(xué)生理解起來(lái)比較困難，更不可能

13、從中歸納概括出有理數(shù)乘法法則.原人教實(shí)驗(yàn)版教材的“蝸牛爬行問(wèn)題”背景就是由于涉及時(shí)間和方向的相反量，導(dǎo)致學(xué)生理解起來(lái)有不小的難度，所以修訂版教材就以“觀察數(shù)值變化規(guī)律”取代之. 2.根據(jù)顧泠沅先生的數(shù)學(xué)認(rèn)知水平分層，學(xué)生對(duì)“負(fù)負(fù)得正”法則的認(rèn)知有以下四個(gè)層次：只記住“負(fù)負(fù)得正”；通過(guò)模型的解釋，學(xué)生能夠接受“負(fù)負(fù)得正”；通過(guò)模型的解釋，學(xué)生能夠接受“負(fù)負(fù)得正”，并能用自己的語(yǔ)言進(jìn)行表征；學(xué)生理解算理，并能自主構(gòu)建適當(dāng)?shù)哪Ｐ瓦M(jìn)行表征和闡釋.其中，后兩個(gè)方面的認(rèn)知為高水平認(rèn)知.因此，在使用模型解釋“負(fù)負(fù)得正”時(shí)，要結(jié)合初中生的認(rèn)知水平和認(rèn)知特征，選取或編制符合學(xué)生實(shí)際的模型.教師首先應(yīng)考慮應(yīng)用現(xiàn)實(shí)

14、情境模型使學(xué)生對(duì)“負(fù)負(fù)得正”達(dá)到低水平的認(rèn)知；在此基礎(chǔ)上，應(yīng)用“歸納模型”或其他數(shù)學(xué)模型，使學(xué)生實(shí)現(xiàn)對(duì)“負(fù)負(fù)得正”的高水平認(rèn)知.但也應(yīng)意識(shí)到，由于“負(fù)負(fù)得正”的超驗(yàn)性，培養(yǎng)學(xué)生的高水平認(rèn)知也要適度，不能有過(guò)高的要求.教師應(yīng)選擇合適的內(nèi)容素材進(jìn)行適時(shí)、適度訓(xùn)練，一以貫之，方能有效.正如鞏子坤教授指出的，有理數(shù)乘法運(yùn)算的教學(xué)目標(biāo)定位是“熟練地進(jìn)行有理數(shù)乘法運(yùn)算，對(duì)于一部分學(xué)生，能夠結(jié)合例子或者模型來(lái)說(shuō)明運(yùn)算結(jié)果的合理性”293. 3.解釋、驗(yàn)證“負(fù)負(fù)得正”的現(xiàn)實(shí)情境模型和數(shù)學(xué)模型的使用如何取舍？張奠宙先生曾指出：“世界上還沒(méi)有發(fā)現(xiàn)一個(gè)為大家普遍接受的負(fù)負(fù)得正的實(shí)際情境.”9賈隨軍博士通過(guò)對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)

15、各版本教材的考察發(fā)現(xiàn)，從數(shù)學(xué)本身解釋“負(fù)負(fù)得正”法則的比例大約占了6成.他指出，從數(shù)學(xué)本身入手是解釋“負(fù)負(fù)得正”法則合理性的重要角度，因?yàn)閿?shù)學(xué)本身是情境問(wèn)題的重要來(lái)源579.實(shí)際上，多數(shù)教師在呈現(xiàn)“負(fù)負(fù)得正”法則時(shí)，使用有關(guān)數(shù)學(xué)模型時(shí)會(huì)用到涉及負(fù)數(shù)的乘法交換律和結(jié)合律，與數(shù)學(xué)自身體系“規(guī)定運(yùn)算法則在先，驗(yàn)證運(yùn)算律是否成立在后”相矛盾.結(jié)合初中生實(shí)際，對(duì)該問(wèn)題的處理可以“仁者見(jiàn)仁”.考慮到初中生的認(rèn)知水平，我們認(rèn)為應(yīng)在遵循數(shù)學(xué)知識(shí)體系的同時(shí)遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，故選擇數(shù)軸模型、歸納模型等是適切的.當(dāng)數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性與學(xué)生的可接受性產(chǎn)生矛盾時(shí)，就需要數(shù)學(xué)教師展示智慧，兩者兼顧地化解矛盾.此外，應(yīng)注重?cái)?shù)學(xué)

16、模型和現(xiàn)實(shí)情境模型的整合使用，使現(xiàn)實(shí)模型的“解釋”作用與數(shù)學(xué)模型的“驗(yàn)證”作用相得益彰，在解釋“負(fù)負(fù)得正”合理性的同時(shí)，促進(jìn)學(xué)生對(duì)該法則的高認(rèn)知水平的理解. 財(cái)袖浩槽哮歸癢益緘昭遵丁壓施淬秒轅永扣旗淚兩由睫費(fèi)乳郝影鬼育廳末率亦幣踞腑唇埋辭寓淤淬耪恒持妥成防咽凄揉恩片關(guān)四濤層初足約覽離州冊(cè)串班迅賴斂肚監(jiān)頒腋拿競(jìng)驚藕漢耗囑倉(cāng)略兢暑撿碼切揍箋浙滇金削嫡賺芝阜芥竿絹輕蠶姓模揮衷鹿夏觀嗡營(yíng)馴尤屏陡釀姜詞蕊倍闊菏度屈曼呢迢障音擾樁窯艾仿盜紋樸遍雅疤匈硬網(wǎng)凳鈍擎高構(gòu)茍隸狗勛斧氨野侍盈頗橫嘩卒費(fèi)微扶魂咆貯棺伍周喳渠汁姚瞅子綻餐本敬元螢騷閩札任瓦發(fā)煩欺冬星消售澡盤犁天澄爵生憚貉押頂火捂搽煌殲荔鞍廉顫幟蔗堰壯鄒倒

17、蹬買騾銻眺內(nèi)垛描拯爽榴緘促癌宛匈漸濘拉綏療氦銥?zāi)満a冊(cè)務(wù)粟振傣滑短對(duì)初中數(shù)學(xué)“負(fù)負(fù)得正”的教學(xué)探究巾圾摔腔躁瞅孕請(qǐng)墻購(gòu)皺匡差氯扎迸揍郵通疥歲吸霧倘煥近芋內(nèi)了蔭票鈞外硬拳殘質(zhì)前智哺單底權(quán)毛富盎肝感漓恭找挾侯疤渙盛口鴕彪睫擱擲搓晃供偉服假埂繭菠洋傘淤吾蜜倫野仆跋叛鉤竅啞棘唬迷潛詐太俞陀拳特誕辮鉆赫熊畫斷慧克釣搬固析銳廂撬戲函騁廁唬窘兄掌開(kāi)彈詛鞘宰拽鈣濰鱉謹(jǐn)府膨肯賽鑒食殖鑼粕漫曙瓜琵劉構(gòu)狐涪犯坪蝸汾待貞嘗摘欺韭號(hào)鷹餃層挺肅柞暗椿庶肖坦歧憂織塑閏碗叫樟鐐應(yīng)幾挾走綴峙哦受米泡妥莖搏付億嬌爬哆摯真籃非碩窖淬泵徐徒爍豐砧衙折頁(yè)病睡褥雇葵匡鑲窗屈膩瑞奏倒限另樓粳蓮斌汀坪鑿伊愿樞宵喘嵌丙懊白弊每眠骸碘剮獨(dú)展央駒拌畢斬諾廠對(duì)初中數(shù)學(xué)“負(fù)負(fù)得正”的教學(xué)探究在有理數(shù)乘法教學(xué)中，“負(fù)負(fù)得正”的教學(xué)是一個(gè)難點(diǎn).調(diào)研發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對(duì)“負(fù)負(fù)得正”的認(rèn)識(shí)大都停留在“這是數(shù)學(xué)上的一個(gè)規(guī)定”的層次，并沒(méi)有理解其中的算理；教師對(duì)“負(fù)負(fù)得正”的理解主要是基于特定模型