第14講格林函數(shù)

1、數(shù)學(xué)物理方程Equations of mathematical physics 姚志遠(yuǎn)南京航空航天大學(xué)航空宇航學(xué)院Z 3格林函數(shù)1、格林函數(shù)及其性質(zhì)上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)u，我們對(duì)于在區(qū)域中調(diào)和、在0(,)g M M有其中點(diǎn)000(,)x y z考慮定解問(wèn)題其解記為000111()()d4M MM Muu MuSn rrn0222222+01( , )|4M Muuuuxyzu x yr (3.1)，是上的調(diào)和函數(shù)。(2.6)由格林第二公式，得到將上式與(2.6)式相減，得到其中，00()()d0uug M Mg M MSnn00()()duuuG M MG M MSnn(3.2)0001

2、()()4M MG M Mg M Mr上由于在稱為方程(1.1)狄利克萊問(wèn)題的格林函數(shù)。(3.3)，有0()0G M M 0()duuG M MSn(3.4)趨向無(wú)窮大，其階數(shù)和性質(zhì)1格林函數(shù)時(shí)，0(,)G M M除 外處處滿足方程(1.1)，而當(dāng)相同。0MM0MM0(,)G M M014M Mr性質(zhì)2在邊界上格林函數(shù)0(,)G M M恒等于零。性質(zhì)3在區(qū)域中成立不等式：0010(,)4M MG M Mr性質(zhì)4格林函數(shù)有0(,)G M M在及參變量 之間具有對(duì)稱型，如果0MM00(,)(,)G M MG MM0,MM性質(zhì)50(,)d1MG M MSn2.靜電源像法設(shè)K是以O(shè)為球心，半徑為R的球

3、面。假設(shè)是K內(nèi)的一點(diǎn)，是相應(yīng)的對(duì)稱點(diǎn)，有因此格林函數(shù)02OMOMrrR0MM是K上的一點(diǎn)，有P100M PM POMRrrr101(,)4M Mg M Mr100011(,)()4M MM MOMRG M Mrrr(3.6) 注意到因此狄利克萊問(wèn)題(1.1),(1.7)的解為0222224000011(,)()42cos2cosRG M MRR 2200033222224220000|1cos(cos )42cos2cosRRRGGnRRRR 2203222001()d42cosMRuf MSR (3.8) 同樣，可得半空間上的格林函數(shù)相應(yīng)的狄利克萊解為0222222000000111(,)(

4、)4()()()()()()G M Mxxyyzzxxyyzz000222000222000011(,)( , )(4()()()1)d d()()()zu x y zf x yzxxyyzzx yxxyyzz 同樣，可得圓上的格林函數(shù)相應(yīng)的狄利克萊解為2220002200001() ( )(,)d22cos()RfuRRR 100011(,)(lnln)2M MM MOMRG M Mrrr(3.13)3.解的驗(yàn)證格林函數(shù)當(dāng)在圓周取值時(shí)，驗(yàn)證函數(shù)u滿足邊界條件(3.12)M是調(diào)和函數(shù)。又(3.13)為普通積分，所以解(3.13)為調(diào)和函數(shù)。在圓內(nèi)關(guān)于0M0(,)G MM由性質(zhì)5對(duì)于(3.13)

5、0(,)G MM22000022001() ()(,)d22cos( )RfuRRR 22022001()1d22cos( )RRRR由于連續(xù)，對(duì)于任意給定的存在使得()f所以有成立分積分區(qū)間為三部分：22000022001() ()( )(,)( )d22cos( )RffufRRR 0()( )2ff(,),(, ),( , ,) 在這三部分的積分值記為123,I I I于是00123(,)( )ufIII 考慮 在1I上0( ,)( )ffM (,)22220000200202cos( )2cos( )()2(1 cos )4cos ( )2RRRRRRR假設(shè)有221020()()8si

6、n ( )2MIRR 類似有223020()()8sin ( )2MIRR 注意：2202200()02cos( )RRR2202220022022001()d2 22cos( )1()d2 22cos( )2RIRRRRR有5.調(diào)和函數(shù)的基本性質(zhì)定理3.1（哈那克（Harnack)第一定理） ku如果函數(shù)序列中的每個(gè)函數(shù)在某有限區(qū)域中都是調(diào)和函數(shù)，在必區(qū)域上連續(xù)，而且在上一致收斂，則它在中也一致收斂，并且極限函數(shù)u在區(qū)域中也是調(diào)和函數(shù)。證明：假設(shè)是調(diào)和函數(shù)在上的值。ku使得成立,m nN由極值原理有0, N mnff函數(shù)u在區(qū)域中也是一致收斂的。kfmnuu在區(qū)域中任取一點(diǎn)，以為中心作球在此

7、球上，有0M0M000222030022200000(,)()sin d d42cos cossin sincos()kkuRRuRR K令k 000222030022200000(,)()sin d d42cos cossin sincos()kuRRuRR 所以函數(shù)u是調(diào)和函數(shù)。有定理3.2（哈那克（Harnack)第一定理） ku假設(shè)函數(shù)序列是上的單調(diào)不減函數(shù)序列，若它在的某一點(diǎn)收斂，收斂，則它在中處處收斂一個(gè)調(diào)和函數(shù)u，并且這種收斂中任意閉子區(qū)域上是一致的。P證明：作以為球心、半徑為的球。R假設(shè)QPRK是上的任意一點(diǎn)。RK對(duì)的任意調(diào)和函數(shù)u有若0uRK有2203222001( )()d

8、42cosMRu Qu MSR 22222200033322200002cosRRRRR 222200330011()d( )()d44MMRRu MSu Qu MSRRRR有1kkkvuu有222200330011()d( )()d44kMkkMRRv MSv Qv MSRRRR注：( )kuP收斂，那么( )ku Q有2222003300( )( )( )kkkRRvPv QvPRR一致收斂。則收斂于一個(gè)調(diào)和函數(shù)。再利用有限覆蓋定理可證明在內(nèi)處處收斂于調(diào)和函數(shù)u。( )kuP收斂，那么( )ku Q一致收斂。則收斂于一個(gè)調(diào)和函數(shù)。ku定理3.3C設(shè)u為區(qū)域 中的非負(fù)調(diào)和函數(shù)，則對(duì)任意閉子集，存在僅與有關(guān)的正常數(shù)，使得maxminuCu(3.23)定理3.4（可去奇點(diǎn)定理）設(shè)在點(diǎn)的鄰域中除點(diǎn)外是調(diào)和函數(shù)，在A附近成立lim()0AMMAru M()( , , )u Mu x y z(3.24)AA則總可以重新定義函數(shù)u在的值使得在整個(gè)的鄰域是調(diào)和的。A()u MA證明：設(shè)是一個(gè)以為心、半徑為的球，它包含在所考察的鄰域內(nèi)。KAR定義記1wuu10()dKuuG M MSn，則而在球面上為零。有在點(diǎn)的鄰域中除點(diǎn)外是調(diào)和函數(shù)。AwAlim()0AMMArw M作11()()AMw MrR具有如下性質(zhì)1.在球面上()0w M2.在球殼rR ，在球面內(nèi)()0w M內(nèi)是調(diào)和函