數學振動理論基礎PPT學習教案

1、數學振動理論基礎數學振動理論基礎振動：是物體在其平衡位置附近所做的來回往復運動，描述最基本參數是頻率和加速度。第1頁/共79頁阻尼：阻礙物體振動的因素，如空氣的阻力，材料的內阻，物體之間的摩擦等。第2頁/共79頁自激振動按輸出規(guī)律分周期振動隨機振動第3頁/共79頁第4頁/共79頁自由振動具有周期性。從某一位置開始運動，總是在一個固定的時間 內回到開始位置，這一時間 叫做振動的周期，單位為秒。為了描述振動的快慢程度，引入振動的頻率 f ，它定義為單位時間內振動的次數，單位為赫茲（Hz）。頻率 f 和周期 互為倒數，即：TTT1fT第5頁/共79頁stmgk運動方程的建立考慮到得：stmgkFkx

2、mg 由圖（d ）可知，質量塊受到的合力為：第6頁/共79頁kmgststx mgkxFkkxFst力學模型設彈簧的原長為L0，彈簧靜 變形第7頁/共79頁0, 0,2222xxxxkxxmdtxdmmaFkxmgFFmkmk 設由牛頓第二定理得：第8頁/共79頁002)0(,)0(00vxxxtxx 時，初始位移和速度002)0(,)0(0vxxxxx )cos()sin()(00txttxv)arctan(,)sin(),cos(002022000vxxvAAxAv可得令)sin()(tAtx 位移方程的求解第9頁/共79頁km因為所以，周期為22mTk頻率為12kfm第10頁/共79頁

3、tAtVcos tAtasin2第11頁/共79頁km100000100/10krad sm15.922f第12頁/共79頁2220000.01( )vxAxm00tantan2xacracrv 0.01sin 1002x tt sinx tAt第13頁/共79頁 建立運動方程質量塊m作自由振動，在任一瞬時t，作用在質量塊上的力有：重力 mg彈性力 阻力 stFkxRcx 根據牛頓第二定律，質量塊的運動微分方程為：()stmxFRmgkxcxmgkxcx 第14頁/共79頁mxFRmgkxcx 簡化后得：0kcxxxmm令上式中 ， ，就得到有阻尼自由振動的運動微分方程的標準形式2km2cnm

4、220 xnxx式中： 是質量塊彈簧系統的固有圓頻率； n 是衰減系數，其單位為s-1 第15頁/共79頁txe代入上式得：2220n根據微分方程220 xnxx22nn解方程得 n ，稱為大阻尼。質量塊受初干擾離開平衡位置后又緩慢地回到平衡位置，不可能振動； n =，稱為臨界阻尼。 n ，稱為小阻尼。質量塊系統受干擾產生振動。因此我們只討論這種情況 位移方程的求解第16頁/共79頁1j ，故22njn 將上式代入 中得：txe22ntjn txee將它按歐拉公式展開，得到兩個特解：221222cossinntntxen txen t將這兩個特解線性組合，即得通解為22sinntxAen t第

5、17頁/共79頁22sinn txA entntxAentxAe 第18頁/共79頁22sinntxAen t衰減振動雖然不是真正地周期性運動，但它仍具有等時性，因此質量塊來回往復一次所經歷的時間仍然稱為周期，用 表示1T第19頁/共79頁111iintnTin tTiAAedeAAeiA1iA阻尼對自由振動的影響主要表現在振幅。設相鄰兩次振動的振幅分別為 和 ，則前后兩次的振幅比為：d 稱為振幅系數，由上式得：因為d 1 ，所以小阻尼自由振動的振幅按幾何級數的規(guī)律迅速衰減。12AAd2132AAAdd11iiiAAAdd第20頁/共79頁0.052kfm100/krad sm100 0.05

6、5n 220.0631Ts第21頁/共79頁20020222202000.01tan63.24nxvAxmnxnnxv1.555 rad由公式 得位移方程為： 22sinntxAen t 50.01sin 99.871.555tx tet0.10.20.30.40.50.6-0.0075-0.005-0.00250.00250.0050.00750.01因為 ， ，所以振幅系數為： 5n 0.063Ts10.31461.37nTdee1110.05iiAAAd有即要求1209.520.05idi 第22頁/共79頁0y0y xystFkkmg 0mk將 代入上式中得當 t = 0 時，2km2

7、0 000 xyy 000 xyy得振動位移方程為sinAt第23頁/共79頁22002yAy00tanyy00sinsinAtAt xy0sinxyyAt由此可見，支座運動系統的自由振動也是簡諧振動，自由振動開始時質量塊的運動方向總是與支座激勵的方向相反。第24頁/共79頁0.05第25頁/共79頁第26頁/共79頁式中：ym 為最大簡諧激振振幅； p 是簡諧激振圓頻率。在系統振動的任一瞬時，質量塊所受的彈性力為：ststyxkkF1、支座系統的無阻尼受迫振動 建立力學模型： 運動方程：設支座系統作持續(xù)的簡諧運動：根據牛頓第二定律，質量塊的運動微分方程為：sinmyyptyxkmgkykxm

8、gFmgxm 第27頁/共79頁上式的解是由兩部分組成的：式中： x1 為與運動方程對應的齊次方程的通解； x2 為運動方程的特解。12xxx2km運動方程的齊次方程是：若加上初始條件，就成為單自由度系統的無阻尼自由振動方程，它的通解就是1sinxAtptyxxmsin22 位移方程的求解第28頁/共79頁2sinmxxpt所以運動微分方程的特解為：根據實驗知道，系統的響應頻率與激振頻率相等。因此設ptyxxmsin22 ptyptxptxpmmmsinsinsin222222pyxmmptpyptxxmmsinsin2222第29頁/共79頁由于x1 是自由振動，在實際情況中會很快衰減，故穩(wěn)

9、態(tài)強迫振動的位移方程可寫為：上式表明，系統在外部簡諧力激勵作用下的穩(wěn)態(tài)強迫振動也是簡諧運動，其頻率與激勵頻率相同。振幅與系統本身及外部激勵的性質有關，與運動的初始條件無關。ptpytAxxxmsinsin22221ptpyxxmsin2222第30頁/共79頁222pyxmmp222211pyxmmmmyx211mmyx第31頁/共79頁2p 放大系數中 表示激振頻率與系統固有頻率之比。當 時， ，這種現象叫共振，這時響應加速度也趨于無窮大，從而振動產生的動態(tài)力也趨于無窮大，所以一般振動破壞都發(fā)生在產生共振的時刻。mpff1 211mmyx第32頁/共79頁mxmmymxpaypa22mmmm

10、ymxmyxypxpaa22mmymxmyxvv第33頁/共79頁12.252mkfm2.51.112.25mpff214.261 第34頁/共79頁2xmmax p2pf4.26 0.010.426xmymaagg mpaxxmm017. 02第35頁/共79頁式中： 為外部激勵的最大振幅； 是外部激勵的振動圓頻率。在系統振動的任一瞬時，物塊所受的彈性力為：質量塊所受的阻尼力為： 根據牛頓第二定律，質量塊的運動微分方程為：化簡得：sinmyyptRc xy222sin2cosmmxnxxyptnpyptmypststyxkkFyxcyxkRmgFxm 第36頁/共79頁242224222ta

11、n2sin4cos4npnpn pn p運動微分方程就化成：242224sinmxnxxyn ppt第37頁/共79頁12xxx4224mbyn ptp 運動微分方程又可化成：22sinxnxxbp上式的解是由兩部分組成的： 相對應的齊次方程的通解是：221sinnxAen由于阻尼的影響，上式很快衰減。 是穩(wěn)態(tài)的強迫振動的特解，設其為將其代入式 ，得2sinmxxp22sinxnxxbp1x2x第38頁/共79頁22sin2coscossinsincosmmpxpnpxpbpp 22sin2cossinmmpxpnpxpbp sin psinsincossinsincospppp 將其代入本頁

12、最上面公式中式中化簡得：22cossin2sincos0mmpxbpnpxbp 第39頁/共79頁sin pcos p22cos02sin0mmpxbnpxb 從而求得：222222242tanmbxpn pnpp 第40頁/共79頁將式 代入式 ，就得到質量塊穩(wěn)態(tài)強迫振動的振幅公式： tp 2sinmxxpsinmxxpt式中： xm 為質量塊穩(wěn)態(tài)強迫振動的振幅； 為質量塊穩(wěn)態(tài)強迫振動對外部激勵的相位差。4224mbyn p222224mbxpn p4222222244mmn pxypn p第41頁/共79頁242224222tan2sin4cos4npnpn pn p222tannpp 可

13、得到質量塊穩(wěn)態(tài)強迫振動的相位差的正切為：3222222tan4nppn ptantan() 代入第42頁/共79頁mmxypn2222221414mmxy 為了便于分析，取 為參變量，取為橫坐標，為縱坐標，繪出一系列不同 的 曲線，就是幅頻特性曲線。第43頁/共79頁第44頁/共79頁222第45頁/共79頁0dd2011 812共振時的頻率比為：將上式代入幅頻函數中，就可求得max 。當 不是很大時當 很小時（ 0.15） 時，可近似取2max1 42max12可見max隨 的增加而減小，所以增加阻尼是降低共振振幅的主要措施。第46頁/共79頁pn3222222tan4nppn p32222

14、tan14 根據上式繪出曲線，稱為相頻特性曲線。在 較小的情況下， 曲線在= 1 時有突變，這一特征可用于測試系統的共振頻率。時， 曲線無共同的漸近線；在 1的區(qū)間內， 值越大，值 越小。第47頁/共79頁sinmyypt2sinmyp ypt 2mmyp ysinmxxpt2sinmxp xpt 2mmxp x所以22mmmmmmxp xxyp yy第48頁/共79頁0.250.12011 810.952 系統發(fā)生共振時的激振頻率為當 時，共振時的放大系數為028.5mffHz0.252max1 42.242第49頁/共79頁max1.79mmxycmmax4mmxycm0.1max152第

15、50頁/共79頁222第51頁/共79頁0.20.10.250.1mx 第52頁/共79頁11111 112stFkxk xm gm g 1211stm gm gk222stm gk222stFkx 21xxx因為1 122121222122m xk xkkxm xk xk x1 11212222222100m xkkxk xm xk xk xgmxkxkF212222第53頁/共79頁111222sinsinxAtxAt212112222122200kkmAk Ak AkmA211212222220AkkmkAkkm2121222220kkmkkkm第54頁/共79頁222121212122

16、2222220kkmkkkmkmkkkkm 得4212212121120kkkk kmmmm m解上式得221221221212112112142kkkkkkk kmmmmmmm m由上式可以看出：系統的固有頻率完全取決于系統的彈性和慣性，與初干擾無關，因此系統有兩個固有頻率 、 ；設 ，所以稱 為第一固有頻率， 為第二固有頻率。1n1n2n2n12nn第55頁/共79頁212112222122200kkmAk Ak AkmA21222221212AkkmAkkmk1n2n 12221121211211222222212222121222nnnnkmAkrkkmkAkmAkrkkmkA1r2r

17、第56頁/共79頁1r2r1n2n2n1n1r2r系統的振幅與初相位兩個主振型是方程組 的兩個特解，其組合就是通解，所以得111222sinsinxAtxAt 222211122222111111sinsinsinsintAtAxtAtAxnnnn第57頁/共79頁 2222211121222212111111coscoscoscostAtAxtAtAxnnnnnnnn101101xxxx 202202xxxx 2022221121210221211111coscoscoscosxAAxxAAxnnnn 202221122102211111sinsinsinsinxAAxxAAx第58頁/共7

18、9頁 2221212111AArAAr二自由度系統的運動規(guī)律為：二自由度系統有兩個固有頻率，每個固有頻率都對應有一個主振型，每個主振型都有確定的振幅比；一般情況下，系統的自由振動是兩個不同頻率的簡諧振動的疊加，疊加后就不再是簡諧振動，也不是周期運動。第59頁/共79頁101xx 02x 2222249321mkmkmkmkmknn618. 2382. 02221120.6181.618nnkmkm618. 1618. 2212618. 0382. 0212222211nnmkkrmkkr 1211618. 0AA 2221618. 1AA所以得第60頁/共79頁 0sinsin0sinsin2

19、22112221111AAAA 0coscoscoscos222211211022121111AAxAAnnnn將前面求得的參數代入上面的方程組中，得 kmxAkmxA1021101121447. 0447. 000 kmxAkmxA10221012276. 0724. 0第61頁/共79頁kmxtmktmkxkmxtmktmkx102101618. 1sin276. 0618. 0sin724. 0618. 1sin447. 0618. 0sin447. 0運動波形如圖所示第62頁/共79頁1211stm gm gk111stFk 11 1112Fk xk ym gm g 222stm gk

20、222212Fk xk xm g222stFkx 21xxx1xysinmyypt第63頁/共79頁1 11122122221m xkxykxxm xkxx 1 1121221222221sin0mm xkkxk xk yptm xk xk x 振幅與放大系數設方程組的特解為代入方程組中得111222sinsinmmxxtxxt212112212212220mmmmmkkm pxk xk yk xkm px第64頁/共79頁2111212222220mmmxk ykkm pkxkkm p120Dm m1n2n222212121210nnm mppm m22221212nnDm mpp21212

21、122211421222222121mmkkpmkmkmkpmmpmkkkpmkkD第65頁/共79頁12211222220mmk ykDk ykm pkm p2121121220mmkkm pk yDk k yk21221122221212mmnnkkm pyDxDm mpp122222221212mmnnk k yDxDm mpp第66頁/共79頁因為 、 、 、 都是系統的固有頻率，而 為激振頻率，所以二自由度系統的幅頻曲線方程用 、 表示。1H2H111km222km2222122121122222222121212mmnnnnkkm ppxHym mpppp2221212222222

22、222121212mmnnnnxk kHym mpppp 1n2n12p 11HHp 22HHp第67頁/共79頁2n22221212nn 1np2np1H 2H 2p122kHk第68頁/共79頁1211stm gm gk1111 1112stFkk xk ym gm g 111RCxy222stm gk2221RCxx22222212stFkxk xk xm g sinmyypt第69頁/共79頁因為所以令代入上式得1 1112211122122221221m xkxykxxCxyCxxm xkxxCxx 1 112112122221122222221210m xCCxkkxC xk xk

23、 yC ym xC xk xC xk xsinmyypt1111sincosmmk yC yk yptC pypt122211sinC pkC p122211coskkC p2221111sinmk yC yykC ppt第70頁/共79頁111222sinsinmmxxptxxpt22211mhykC ptp 11sink yC yhp1 112112122222222222121sin0m xCCxkkxC xk xhpm xC xk xC xk xtp 第71頁/共79頁2222222112222122221222112akm pckukm pkm pk mC CpvC p km pC p km p