統(tǒng)計學chap參數估計

1、1參數估計第五章 參 數 估 計2本章內容一、統(tǒng)計推斷的基本問題和概念一、統(tǒng)計推斷的基本問題和概念二、總體參數的點估計二、總體參數的點估計三、正態(tài)總體均值的區(qū)間估計三、正態(tài)總體均值的區(qū)間估計四、總體均值與成數的大樣本區(qū)間估計四、總體均值與成數的大樣本區(qū)間估計五、總體方差的區(qū)間估計五、總體方差的區(qū)間估計六、樣本容量的確定六、樣本容量的確定3統(tǒng)計推斷的基本問題和概念( (一一) )統(tǒng)計推斷的基本問題統(tǒng)計推斷的基本問題( (二二) )簡單隨機抽樣簡單隨機抽樣和和抽樣誤差抽樣誤差 ( (三三) )統(tǒng)計量統(tǒng)計量及其及其抽樣分布抽樣分布4總體參數的點估計 ( (一一) )點估計的一般原理點估計的一般原理(

2、 (二二) )矩估計矩估計( (三三) )極大似然估計極大似然估計( (四四) )點估計量的優(yōu)良標準點估計量的優(yōu)良標準5正態(tài)總體均值的區(qū)間估計( (一一) )區(qū)間估計的概念和基本思想區(qū)間估計的概念和基本思想( (二二) )單正態(tài)總體均值的區(qū)間估計單正態(tài)總體均值的區(qū)間估計( (三三) )兩正態(tài)總體均值之差的區(qū)間估計兩正態(tài)總體均值之差的區(qū)間估計6一般總體均值與成數的大樣本區(qū)間估計 ( (一一) )非正態(tài)總體均值的大樣本區(qū)間估計非正態(tài)總體均值的大樣本區(qū)間估計( (二二) )總體成數的大樣本區(qū)間估計總體成數的大樣本區(qū)間估計7正態(tài)總體方差的區(qū)間估計( (一一) )單正態(tài)總體方差的區(qū)間估計單正態(tài)總體方差的

3、區(qū)間估計( (二二) )兩正態(tài)總體方差之比的區(qū)間估計兩正態(tài)總體方差之比的區(qū)間估計8樣本容量的確定( (一一) )總體均值估計的必要樣本容量總體均值估計的必要樣本容量( (二二) )總體成數估計的必要樣本容量總體成數估計的必要樣本容量( (三三) )影響必要樣本容量的因素影響必要樣本容量的因素為什么要確定必要樣本容量為什么要確定必要樣本容量9把所研究的問題或現象視為隨機變量，有概率分布，它全把所研究的問題或現象視為隨機變量，有概率分布，它全面描述了要研究的現象的統(tǒng)計規(guī)律性。如果知道了研究對象面描述了要研究的現象的統(tǒng)計規(guī)律性。如果知道了研究對象的概率分布，就比較清楚地了解了研究現象。的概率分布，就

4、比較清楚地了解了研究現象。但現實中，但現實中， 絕大多數情況下，并不知道要研究對象的分布，絕大多數情況下，并不知道要研究對象的分布，有時即使知道其分布類型，但不知道分布中所含的參數。有時即使知道其分布類型，但不知道分布中所含的參數。由于總體包含個體的大量性，研究者很難得到全部個體的由于總體包含個體的大量性，研究者很難得到全部個體的信息和資料，即使有時可以得到，但不經濟。信息和資料，即使有時可以得到，但不經濟。 統(tǒng)計推斷的基本問題統(tǒng)計推斷的基本問題10統(tǒng)計推斷的基本問題統(tǒng)計推斷的基本問題統(tǒng)計推斷通常是從所要研究的對象全體中抽取一部分進行統(tǒng)計推斷通常是從所要研究的對象全體中抽取一部分進行觀測或試驗

5、以獲取信息，對總體作出推斷。觀測或試驗以獲取信息，對總體作出推斷。由于抽取部分個體觀測和試驗是隨機進行的，根據有限個由于抽取部分個體觀測和試驗是隨機進行的，根據有限個體的數據對總體作出的推斷不可能絕對準確，總包含誤差，體的數據對總體作出的推斷不可能絕對準確，總包含誤差，這種推斷的可靠性用概率表示比較恰當，概率大，推斷就比這種推斷的可靠性用概率表示比較恰當，概率大，推斷就比較可靠，概率小，推斷的準確性就低。較可靠，概率小，推斷的準確性就低。如何根據觀測或試驗所得到的有限信息對總體作出推斷，如何根據觀測或試驗所得到的有限信息對總體作出推斷，并同時指出所作的這種推斷有多大的可靠性并同時指出所作的這種

6、推斷有多大的可靠性(用概率表示用概率表示)，是統(tǒng)計推斷的基本問題。是統(tǒng)計推斷的基本問題。 11簡單隨機抽樣簡單隨機抽樣為什么要進行隨機抽樣？為什么要進行隨機抽樣？l由于種種原因，現實中很多現象不可能進行全面調查。由于種種原因，現實中很多現象不可能進行全面調查。 對具有破壞性或消耗性的產品進行質量檢驗對具有破壞性或消耗性的產品進行質量檢驗 對無限總體或總體容量過大的現象進行研究對無限總體或總體容量過大的現象進行研究 l某些現象即使理論上可以進行全面調查，但為了節(jié)省大某些現象即使理論上可以進行全面調查，但為了節(jié)省大量的人力、物力、財力和時間，在不影響精度和可靠度的量的人力、物力、財力和時間，在不影

7、響精度和可靠度的前提下，采用抽樣推斷可以達到事半功倍的效果。前提下，采用抽樣推斷可以達到事半功倍的效果。 12簡單隨機抽樣簡單隨機抽樣抽取的樣本應能很好地代表總體；抽取的樣本應能很好地代表總體；從總體中抽取樣本有多種不同的方法，最簡單的、應用很從總體中抽取樣本有多種不同的方法，最簡單的、應用很普遍的抽樣方法是普遍的抽樣方法是簡單隨機抽樣簡單隨機抽樣，它滿足以下兩個條件：，它滿足以下兩個條件：（1）總體的每一個體都有同等機會被選入樣本；）總體的每一個體都有同等機會被選入樣本；（2）樣本的分量）樣本的分量 是相互獨立的隨機變量，即樣是相互獨立的隨機變量，即樣本中任一個體的取值不影響其他個體的取值。

8、本中任一個體的取值不影響其他個體的取值。滿足這兩個條件的抽樣方法稱為滿足這兩個條件的抽樣方法稱為簡單隨機抽樣簡單隨機抽樣，由此得到，由此得到的樣本稱為簡單隨機樣本。易見，簡單隨機樣本的樣本稱為簡單隨機樣本。易見，簡單隨機樣本 獨立同分布（有時用獨立同分布（有時用 表示）。表示）。 nXXX,21nXXX,21. . di i13簡單隨機抽樣簡單隨機抽樣l從總體中抽樣有多種方法和技術從總體中抽樣有多種方法和技術, 除除簡單隨機抽樣簡單隨機抽樣外外, 分分層抽樣、系統(tǒng)抽樣層抽樣、系統(tǒng)抽樣和和整群抽樣整群抽樣也是常用的抽樣方法也是常用的抽樣方法, 不同不同的抽樣方法得到不同的樣本的抽樣方法得到不同的

9、樣本, 所用的統(tǒng)計推斷方法也不盡所用的統(tǒng)計推斷方法也不盡相同。相同。l如無特別說明，所提到的樣本都是指簡單隨機樣本。如無特別說明，所提到的樣本都是指簡單隨機樣本。 l在一次抽樣后，觀測到在一次抽樣后，觀測到 的一組確定的值或數的一組確定的值或數據據 稱為該稱為該樣本的觀測值樣本的觀測值或或樣本數據樣本數據，也稱作該，也稱作該樣本的一個樣本的一個實現實現。樣本所有可能觀測值的全體就構成了樣。樣本所有可能觀測值的全體就構成了樣本空間。本空間。 ),(21nXXX),(21nxxx14l由于樣本中每一個個體由于樣本中每一個個體 都來自總體都來自總體 ，所以樣本中的，所以樣本中的任一個體任一個體 的分

10、布函數和總體相同，即的分布函數和總體相同，即 的分布函數為的分布函數為 簡單隨機樣本簡單隨機樣本 相互獨立。相互獨立。l如無特別說明，一般用大寫英文字母或希臘字母表示隨如無特別說明，一般用大寫英文字母或希臘字母表示隨機變量，而用小寫英文字母表示隨機變量的觀測值或數據。機變量，而用小寫英文字母表示隨機變量的觀測值或數據。簡單隨機抽樣簡單隨機抽樣iXXiXiX)(ixFnXXX,2115樣本只是總體的部分個體，不能完全包含總體的全部信息。樣本只是總體的部分個體，不能完全包含總體的全部信息。無論抽樣方法多么先進、抽樣過程多么仔細，總體的信息在無論抽樣方法多么先進、抽樣過程多么仔細，總體的信息在樣本中

11、總會有損失。樣本中總會有損失。不管采用什么推斷方法，由樣本推斷總體時，必定存在差不管采用什么推斷方法，由樣本推斷總體時，必定存在差異異; 總體未知參數和相應的基于樣本的統(tǒng)計量之間的差異稱總體未知參數和相應的基于樣本的統(tǒng)計量之間的差異稱為為抽樣誤差抽樣誤差。抽樣誤差是抽樣推斷方法所固有的，只能采用一些措施抽樣誤差是抽樣推斷方法所固有的，只能采用一些措施(提提高樣本的代表性、增加樣本容量等高樣本的代表性、增加樣本容量等)減少抽樣誤差，但無法減少抽樣誤差，但無法完全消除；只要利用抽樣推斷方法，完全消除；只要利用抽樣推斷方法，抽樣誤差就一定存在抽樣誤差就一定存在，在參數的點估計、區(qū)間估計和假設檢驗等統(tǒng)

12、計推斷過程中都在參數的點估計、區(qū)間估計和假設檢驗等統(tǒng)計推斷過程中都伴有抽樣誤差。伴有抽樣誤差。 抽樣誤差抽樣誤差16抽樣誤差抽樣誤差17抽樣誤差抽樣誤差18抽樣誤差抽樣誤差總體的變異程度愈大，抽樣誤差就越大?？傮w的變異程度愈大，抽樣誤差就越大。19統(tǒng)計量統(tǒng)計量統(tǒng)計量統(tǒng)計量是不依賴于任何未知參數的樣本的可測函數，它是一個是不依賴于任何未知參數的樣本的可測函數，它是一個隨機變量隨機變量。在由樣本推斷總體時，往往是通過統(tǒng)計量把樣本信息加工濃縮起來，進在由樣本推斷總體時，往往是通過統(tǒng)計量把樣本信息加工濃縮起來，進而解決要研究的問題。而解決要研究的問題。統(tǒng)計量的觀測值：統(tǒng)計量的觀測值：把樣本的觀測值代入

13、統(tǒng)計量公式計算出的數值；把樣本的觀測值代入統(tǒng)計量公式計算出的數值；第四章講的算術平均數、標準差、方差、原點矩、中心矩及偏度、峰第四章講的算術平均數、標準差、方差、原點矩、中心矩及偏度、峰度等都是統(tǒng)計量的觀測值公式。度等都是統(tǒng)計量的觀測值公式。 注：注：雖然統(tǒng)計量不含有任何未知參數，但是其分布可能包含未知參數。雖然統(tǒng)計量不含有任何未知參數，但是其分布可能包含未知參數。20統(tǒng)計量是隨機變量，它有自己的分布密度和分布函數。統(tǒng)計量是隨機變量，它有自己的分布密度和分布函數。統(tǒng)計量的分布稱為統(tǒng)計量的分布稱為抽樣分布抽樣分布。由樣本推斷總體的特征時由樣本推斷總體的特征時, 正是依據統(tǒng)計量的抽樣分布。正是依據

14、統(tǒng)計量的抽樣分布。由于正態(tài)分布在統(tǒng)計學中的應用十分普遍，樣本均值和樣由于正態(tài)分布在統(tǒng)計學中的應用十分普遍，樣本均值和樣本方差在統(tǒng)計學中也起著非常重要的作用，所以給出正態(tài)總本方差在統(tǒng)計學中也起著非常重要的作用，所以給出正態(tài)總體的樣本均值和樣本方差的抽樣分布，這是統(tǒng)計推斷的體的樣本均值和樣本方差的抽樣分布，這是統(tǒng)計推斷的理論理論依據和基礎依據和基礎。 抽樣分布抽樣分布21非正態(tài)總體樣本均值的抽樣分布非正態(tài)總體樣本均值的抽樣分布 22圖圖5.1 5.1 樣本均值的抽樣分布隨樣本均值的抽樣分布隨n變化趨于正態(tài)分布的過程變化趨于正態(tài)分布的過程 23點估計的一般原理點估計的一般原理24點估計的優(yōu)點：能夠提

15、供總體參數的具體估計值，可以作點估計的優(yōu)點：能夠提供總體參數的具體估計值，可以作為行動決策的數量依據。為行動決策的數量依據。 點估計的不足：不能提供誤差情況如何、誤差程度有多大點估計的不足：不能提供誤差情況如何、誤差程度有多大構造統(tǒng)計量時，利用構造統(tǒng)計量時，利用不同的原理和思想不同的原理和思想就可以得到不同的就可以得到不同的統(tǒng)計量，常用的有統(tǒng)計量，常用的有矩估計矩估計和和極大似然估計極大似然估計點估計的優(yōu)點和不足點估計的優(yōu)點和不足25矩估計法是英國統(tǒng)計學家矩估計法是英國統(tǒng)計學家K. Pearson提出的。提出的?；舅枷牖舅枷耄簶颖緛碓从诳傮w，樣本矩在一定程度上反映了總樣本來源于總體，樣本矩

16、在一定程度上反映了總體矩，由大數定律知樣本矩依概率收斂到總體矩，因此用樣體矩，由大數定律知樣本矩依概率收斂到總體矩，因此用樣本矩來近似相應的總體矩；又因總體分布的參數一般都是總本矩來近似相應的總體矩；又因總體分布的參數一般都是總體矩的函數，從而得到總體未知參數的估計，稱為體矩的函數，從而得到總體未知參數的估計，稱為矩估計矩估計。矩估計矩估計優(yōu)點優(yōu)點: (1)只要總體的只要總體的k階矩存在，就可以應用階矩存在，就可以應用; (2)簡單、直觀，不必知道總體的分布類型。簡單、直觀，不必知道總體的分布類型。 若研究者并不清楚所研究現象的分布，可以應用矩估計；若研究者并不清楚所研究現象的分布，可以應用矩

17、估計；但如果總體的分布類型已知，則采用極大似然估計更合適但如果總體的分布類型已知，則采用極大似然估計更合適(由由于矩估計此時不能充分利用總體分布提供的信息于矩估計此時不能充分利用總體分布提供的信息)。矩估計矩估計 26極大似然估計極大似然估計271. 1. 無偏性無偏性2. 2. 一致性一致性 3. 3. 有效性有效性 為為 任意一個無偏估計量，任意一個無偏估計量，則稱則稱 是是 的有效估計。的有效估計。22)(,)(;)(SEpEXE1|; 1|limlimpPxPnn點估計量的優(yōu)良標準點估計量的優(yōu)良標準)(Var)Var(1128區(qū)間估計的概念和基本思想區(qū)間估計的概念和基本思想 雙側置信區(qū)

18、間的端點常常是未知參數的估計量的函數。雙側置信區(qū)間的端點常常是未知參數的估計量的函數。 雙側置信區(qū)間是一個隨機區(qū)間，其兩個端點都是隨機變量，雙側置信區(qū)間是一個隨機區(qū)間，其兩個端點都是隨機變量，該隨機區(qū)間可能包含待估計的未知參數，也可能不包含。該隨機區(qū)間可能包含待估計的未知參數，也可能不包含。 29 置信區(qū)間越小，說明估計的精度越高，即我們對未知參數置信區(qū)間越小，說明估計的精度越高，即我們對未知參數的了解越具體；置信水平越大，估計可靠性就越大。的了解越具體；置信水平越大，估計可靠性就越大。 在樣本容量一定的前提下，精度與置信水平往往相互矛盾；在樣本容量一定的前提下，精度與置信水平往往相互矛盾；若

19、置信水平增加，則置信區(qū)間必然增大，精度降低；若精度若置信水平增加，則置信區(qū)間必然增大，精度降低；若精度提高，則區(qū)間縮小，置信水平必然減小。要想同時提高估計提高，則區(qū)間縮小，置信水平必然減小。要想同時提高估計的置信水平和精度，就要增加樣本容量。的置信水平和精度，就要增加樣本容量。 置信區(qū)間和第六章的假設檢驗關系密切，兩者有著對偶的置信區(qū)間和第六章的假設檢驗關系密切，兩者有著對偶的關系，只要有一種假設檢驗就可以根據該假設檢驗構造相應關系，只要有一種假設檢驗就可以根據該假設檢驗構造相應的置信區(qū)間，反之亦然。的置信區(qū)間，反之亦然。 置信區(qū)間的構建往往要借助于置信區(qū)間的構建往往要借助于未知參數點估計未知

20、參數點估計(或其函數或其函數)及其抽樣分布。及其抽樣分布。 置信區(qū)間的性質置信區(qū)間的性質30置信區(qū)間的含義置信區(qū)間的含義31分位數及其計算分位數及其計算符號：分位數、臨界值；使用Excel計算方法查表方法Ftzz,22ttzz11,),(: ),();,(: ),(n),(: )();,(: )()(:);2(:)1 (:);1 (:222222222nmfinvnmFnmfinvnmFchiinvnnchiinvntinvttinvtnormsdistznormsdistz32單正態(tài)總體均值的區(qū)間估計單正態(tài)總體均值的區(qū)間估計( (方差已知時方差已知時) )nzx2nzx2x正態(tài)分布分位數見正

21、態(tài)分布分位數見教材的圖教材的圖5.25.23334單正態(tài)總體均值的區(qū)間估計單正態(tài)總體均值的區(qū)間估計(方差未知時方差未知時)niixxnS122)(113536) 1(,) 1(22nSntXnSntX),(22nSzXnSzX37t分布與標準正態(tài)分布的比較分布與標準正態(tài)分布的比較 3839兩正態(tài)總體均值之差的區(qū)間估計兩正態(tài)總體均值之差的區(qū)間估計 1. 1. 兩個正態(tài)總體的方差兩個正態(tài)總體的方差 和和 已知已知兩個正態(tài)總體均值之差置信水平為兩個正態(tài)總體均值之差置信水平為 的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為),(2221222122mnzYXmnzYX2122140412. 2. 兩個正態(tài)總體的方差兩個正態(tài)

22、總體的方差 和和 未知，但未知，但兩正態(tài)總體均值之差兩正態(tài)總體均值之差 的置信水平為的置信水平為 的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為212222221)11)2(,11)2(22mnSmntYXmnSmntYXpp2112) 1() 1(2221mnSmSnSp,)(111221niiXXnS,)(111222miiYYmS其中其中4243如果樣本量如果樣本量n和和m較小，則較小，則利用利用上式計算置信區(qū)間不合適。上式計算置信區(qū)間不合適。如果兩個樣本不是獨立的，而是配對樣本，也不能用上式。如果兩個樣本不是獨立的，而是配對樣本，也不能用上式。3. 3. 兩個正態(tài)總體的方差兩個正態(tài)總體的方差 和和 未知，且

23、未知，且兩正態(tài)總體均值之差兩正態(tài)總體均值之差 的置信水平為的置信水平為 的的近似近似置信區(qū)置信區(qū)間為間為21222221211),(2221222122mSnSzYXmSnSzYX44( (一一) ) 單個非正態(tài)總體的均值的大樣本置信區(qū)間單個非正態(tài)總體的均值的大樣本置信區(qū)間 來自某總體來自某總體( (不不必必是正態(tài)總體是正態(tài)總體) )，假定總體方差，假定總體方差 存在存在但未知，總體均值但未知，總體均值 未知，則總體均值未知，則總體均值 的置信水平為的置信水平為 的的近似近似置信區(qū)間為置信區(qū)間為( (二二) ) 兩個非正態(tài)總體的均值之差的置信區(qū)間兩個非正態(tài)總體的均值之差的置信區(qū)間 和和 分別是

24、從總體分別是從總體X和和Y(不是正態(tài)總體不是正態(tài)總體)抽取的抽取的樣本，且相互獨立，兩總體方差樣本，且相互獨立，兩總體方差 和和 未知，總體均值未知，總體均值 和和 未知；則總體均值之差未知；則總體均值之差 的置信水平為的置信水平為 的大樣本置的大樣本置信區(qū)間為信區(qū)間為 非正態(tài)總體均值的大樣本區(qū)間估計非正態(tài)總體均值的大樣本區(qū)間估計 nXX,121),(22nSzXnSzX),(2221222122mSnSzYXmSnSzYXmYY,11nXX,121222211當總體分布對稱、單峰的連續(xù)時，不需要太大的樣本容量，用正態(tài)分布近似就會有很好的當總體分布對稱、單峰的連續(xù)時，不需要太大的樣本容量，用正

25、態(tài)分布近似就會有很好的效果，當總體分布不對稱或是多峰或離散分布時，則需要較大的樣本容量效果，當總體分布不對稱或是多峰或離散分布時，則需要較大的樣本容量( (如如50)50)，才能，才能得到比較好的近似效果得到比較好的近似效果. .45總體成數的大樣本區(qū)間估計總體成數的大樣本區(qū)間估計 單總體單總體46【例【例5.6】某公司有職工】某公司有職工3000人，從中隨機抽取人，從中隨機抽取100人調查其工資收入情況。人調查其工資收入情況。調查結果表明，職工的月平均工資為調查結果表明，職工的月平均工資為3350元，標準差為元，標準差為403元，月收入在元，月收入在5000元及以上職工元及以上職工8人。試以

26、人。試以95.45%的置信水平推斷該公司職工的置信水平推斷該公司職工月平均工月平均工資所在的范圍資所在的范圍和和月收入在月收入在5000元及以上職工在全部職工中所占的比重元及以上職工在全部職工中所占的比重。 4748兩個總體成數之差的近似區(qū)間估計兩個總體成數之差的近似區(qū)間估計49【例【例5.75.7】分別從兩個同行公司中隨機抽取分別從兩個同行公司中隨機抽取100100人和人和120120人調人調查其工資收入情況。調查結果表明，查其工資收入情況。調查結果表明，A A公司月收入在公司月收入在50005000元元及以上有職工及以上有職工9 9人，人，B B公司月收入在公司月收入在50005000元及

27、以上的職工有元及以上的職工有6 6人。試以人。試以95%95%的置信水平推斷這兩個公司職工月工資在的置信水平推斷這兩個公司職工月工資在50005000元及以上職工所占的比重之差的置信區(qū)間；該結果能說元及以上職工所占的比重之差的置信區(qū)間；該結果能說明明A A公司公司50005000元及以上職工所占的比重比元及以上職工所占的比重比B B公司高嗎？公司高嗎？5051單正態(tài)總體方差的區(qū)間估計單正態(tài)總體方差的區(qū)間估計 5253兩正態(tài)總體方差之比的區(qū)間估計兩正態(tài)總體方差之比的區(qū)間估計 545556參數估計時為什么要確定必要樣本容量參數估計時為什么要確定必要樣本容量參數估計時，既希望估計的可靠度或置信度要高，又希望參數估計時，既希望估計的可靠度或置信度要高，又希望估計的精度要高，這就需要較多的樣本量；但估計的精度要高，這就需要較多的樣本量；但樣本容量過多樣本容量過多，必然會增加人力、財力、物力的支出。必然會增加人力、財力、物力的支出。樣本容量過少樣本容量過少，又會導致抽樣誤差增大，達不到抽樣所要，又會導致抽樣誤差增大，達不到抽樣所要求的準確程度。求的準確程度。必要樣本容量就是在保證誤差不超過規(guī)定范圍的條件下盡必要樣本容量就是在保證誤差不超過規(guī)定范圍的條件下盡可能節(jié)省人、財、物的支出可能