曲面及其方程學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1曲面曲面(qmin)及其方程及其方程 第一頁，共31頁。0),(zyxFSzyxo如果曲面 S 與方程(fngchng) F( x, y, z ) = 0 有下述關(guān)系:(1) 曲面 S 上的任意點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足(mnz)此方程;則 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面曲面 S 的的方程方程, 曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的圖形圖形.兩個基本問題兩個基本問題 : :(1) 已知動點(diǎn)按照某種規(guī)律運(yùn)動, 求運(yùn)動(2) 坐標(biāo)滿足方程的點(diǎn)都在曲面 S 上,軌跡所產(chǎn)生的曲面方程.(2) 已知方程時 , 研究它所表示的幾何圖形( 必要時需作圖 ). 機(jī)動 目錄 上頁 下

2、頁 返回 結(jié)束 第1頁/共31頁第二頁，共31頁。故所求方程(fngchng)為),(zyxM),(0000zyxM方程(fngchng). 特別,當(dāng)M0在原點(diǎn)時,球面方程為解解: 設(shè)軌跡上動點(diǎn)為RMM0即依題意距離為 R 的軌跡xyzoM0M222yxRz表示上(下)球面 .Rzzyyxx202020)()()(2202020)()()(Rzzyyxx2222Rzyx機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一、球面及其方程一、球面及其方程第2頁/共31頁第三頁，共31頁。042222yxzyx解解: : 配方配方(pi fng)(pi fng)得得5, )0, 2, 1(0M此方程(fngchn

3、g)表示:說明說明: :如下形式的三元二次方程 ( A 0 )都可通過配方研究它的圖形.其圖形可能是的曲面. . 表示怎樣半徑為的球面.0)(222GFzEyDxzyxA球心為 一個球面球面 , 或點(diǎn)點(diǎn), 或虛軌跡虛軌跡.5)2() 1(222zyx機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第3頁/共31頁第四頁，共31頁。xyz引例引例(yn l). (yn l). 分析方程分析方程表示怎樣(znyng)的曲面 .的坐標(biāo)(zubio)也滿足方程222Ryx解解: :在 xoy 面上，表示圓C, 222Ryx222Ryx沿曲線C平行于 z 軸的一切直線所形成的曲面稱為圓圓故在空間222Ryx過此點(diǎn)作

4、柱面柱面. .對任意 z ,平行 z 軸的直線 l ,表示圓柱面圓柱面oC在圓C上任取一點(diǎn) , )0 ,(1yxMlM1M),(zyxM點(diǎn)其上所有點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第4頁/共31頁第五頁，共31頁。xyzxyzol平行(pngxng)定直線并沿定曲線 C 移動的直線 l 形成的軌跡(guj)叫做柱面. 表示拋物柱面拋物柱面,母線平行于 z 軸;準(zhǔn)線為xoy 面上的拋物線. z 軸的橢圓柱面橢圓柱面.xy2212222byaxz 軸的平面平面.0 yx表示母線平行于 C(且 z 軸在平面上)表示母線平行于C 叫做準(zhǔn)線準(zhǔn)線, l 叫做母線母線.xyzoo機(jī)動

5、 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第5頁/共31頁第六頁，共31頁。xzy2l柱面,柱面,平行(pngxng)于 x 軸;平行(pngxng)于 y 軸;平行于 z 軸;準(zhǔn)線 xoz 面上的曲線 l3.母線柱面,準(zhǔn)線 xoy 面上的曲線 l1.母線準(zhǔn)線 yoz 面上的曲線 l2. 母線表示方程0),(yxF表示方程0),(zyG表示方程0),(xzHxyz3l機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xyz1l第6頁/共31頁第七頁，共31頁。定義定義(dngy)3. (dngy)3. 一一條平面曲線條平面曲線 繞其平面繞其平面(pngmin)(pngmin)上一上一條定直線旋轉(zhuǎn)條定直線旋轉(zhuǎn)一周所形成

6、的曲面叫做旋轉(zhuǎn)面旋轉(zhuǎn)面.該定直線稱為旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)軸，曲線成為旋轉(zhuǎn)面的母線軸，曲線成為旋轉(zhuǎn)面的母線例如例如 :機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第7頁/共31頁第八頁，共31頁。故旋轉(zhuǎn)(xunzhun)曲面方程為, ),(zyxM當(dāng)繞 z 軸旋轉(zhuǎn)(xunzhun)時,0),(11zyf,), 0(111CzyM若點(diǎn)給定 yoz 面上曲線 C: ), 0(111zyM),(zyxM1221,yyxzz則有0),(22zyxf則有該點(diǎn)轉(zhuǎn)到0),(zyfozyxC機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第8頁/共31頁第九頁，共31頁。0),(:zyfCoyxz0),(22zxyf機(jī)動(jdng) 目錄 上

7、頁 下頁 返回 結(jié)束 第9頁/共31頁第十頁，共31頁。的圓錐(yunzhu)面方程. 解解: : 在在yozyoz面上直線面上直線(zhxin)L (zhxin)L 的方程為的方程為cotyz 繞z 軸旋轉(zhuǎn)時,圓錐面的方程為cot22yxz)(2222yxazcota令xyz兩邊平方L), 0(zyM機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第10頁/共31頁第十一頁，共31頁。xy12222czax分別(fnbi)繞 x軸和 z 軸旋轉(zhuǎn)一周所生成(shn chn)的旋轉(zhuǎn)曲面方程. 解解: :繞 x 軸旋轉(zhuǎn)122222czyax繞 z 軸旋轉(zhuǎn)122222czayx這兩種曲面都叫做旋轉(zhuǎn)雙曲面.所成曲

8、面方程為所成曲面方程為z機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第11頁/共31頁第十二頁，共31頁。總結(jié)總結(jié)(zn(zngji)gji)(1) 面上的曲線 和 面上的曲線 繞 軸旋轉(zhuǎn)所形成的旋轉(zhuǎn)面方程均為Oxy( , )0f x y Oxz( , )0f x z x22( ,)0f xyz(2) 面上的曲線 和 面上的曲線 繞 軸旋轉(zhuǎn)所形成的旋轉(zhuǎn)面方程均為Oxz( , )0f x z Oyz( , )0f y z z22(, )0fxyz(3) 面上的曲線 和 面上的曲線 繞 軸旋轉(zhuǎn)所形成的旋轉(zhuǎn)面方程均為Oyz( , )0f z y Oxy( , )0f x y y22(, )0fxzy第12頁

9、/共31頁第十三頁，共31頁?？臻g曲線(qxin)可視為兩曲面的交線,其一般方程為方程組0),(0),(zyxGzyxF2SL0),(zyxF0),(zyxG1S例如例如(lr),(lr),方程組方程組632122zxyx表示圓柱面與平面的交線 C. xzy1oC2機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第13頁/共31頁第十四頁，共31頁。表示(biosh)上半球面與圓柱面的交線C. 022222xayxyxazyxzao機(jī)動(jdng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第14頁/共31頁第十五頁，共31頁。消去 z 得投影(tuyng)柱面則C 在xoy 面上的投影曲線 C為消去 x 得C 在y

10、oz 面上的投影曲線方程消去y 得C 在zox 面上的投影曲線方程0),(0),(zyxGzyxF,0),(yxH00),(zyxH00),(xzyR00),(yzxTzyxCC機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第15頁/共31頁第十六頁，共31頁。zyxC1o002222zyyx1) 1() 1(1:222222zyxzyxC機(jī)動 目錄(ml) 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第16頁/共31頁第十七頁，共31頁。zxyo1C所圍的立體在 xoy 面上的投影(tuyng)區(qū)域為:上半球面和錐面224yxz)( 322yxz0122zyx在 xoy 面上的投影(tuyng)曲線)( 34:2222y

11、xzyxzC二者交線.0, 122zyx所圍圓域:二者交線在xoy 面上(min shn)的投影曲線所圍之域 .機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第17頁/共31頁第十八頁，共31頁。 9.4 二次曲面 第18頁/共31頁第十九頁，共31頁。三元(sn yun)二次方程 適當(dāng)(shdng)選取直角坐標(biāo)系可得它們的標(biāo)準(zhǔn)方程,下面(xi mian)僅 就幾種常見標(biāo)準(zhǔn)型的特點(diǎn)進(jìn)行介紹 .研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法截痕法 其基本類型有: 橢球面、拋物面、雙曲面、錐面的圖形通常為二次曲面二次曲面. FzxEyxDxyCzByAx2220JIzHyGx(二次項系數(shù)不全為 0 )機(jī)動 目錄 上頁

12、 下頁 返回 結(jié)束 第19頁/共31頁第二十頁，共31頁。zyx),(1222222為正數(shù)cbaczbyax(1)范圍(fnwi)：czbyax,(2)與坐標(biāo)(zubio)面的交線：橢圓,012222zbyax,012222xczby 012222yczax機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回(fnhu) 結(jié)束 第20頁/共31頁第二十一頁，共31頁。與)(11czzz的交線為橢圓(tuyun)：1zz (4) 當(dāng) ab 時為旋轉(zhuǎn)(xunzhun)橢球面;同樣(tngyng)(11byyy的截痕）（axxx11及也為橢圓.當(dāng)abc 時為球面.(3) 截痕:1)()(212221222222zcyzcx

13、cbca機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 z第21頁/共31頁第二十二頁，共31頁。),(22222為正數(shù)bazbyax上的截痕為在平面tz 橢圓(tuyun)在平面(pngmin) x0 或 y0 上的截痕為過原點(diǎn)的兩直線 .zxyo1)()(2222t byt axtz ,xyz機(jī)動(jdng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第22頁/共31頁第二十三頁，共31頁。(1)(1)單葉雙曲面單葉雙曲面by 1) 1上的截痕為平面1zz 橢圓(tuyun).時, 截痕為22122221byczax(實(shí)軸平行(pngxng)于x 軸；虛軸平行(pngxng)于z 軸）1yy zxy),(1222

14、222為正數(shù)cbaczbyax1yy 平面 上的截痕情況:機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 雙曲線: 第23頁/共31頁第二十四頁，共31頁。虛軸平行(pngxng)于x 軸）by 1)2時, 截痕為0czax)(bby或by 1) 3時, 截痕為22122221byczax(實(shí)軸平行(pngxng)于z 軸;1yy zxyzxy機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回(fnhu) 結(jié)束 相交直線: 雙曲線: 0第24頁/共31頁第二十五頁，共31頁。),(1222222為正數(shù)cbaczbyax上的截痕為平面1yy 雙曲線上的截痕為平面1xx 上的截痕為平面)(11czzz橢圓(tuyun)注意(zh

15、y)單葉雙曲面與雙葉雙曲面的區(qū)別: 雙曲線zxyo222222czbyax單葉雙曲面11雙葉雙曲面P18 目錄 上頁 下頁 返回(fnhu) 結(jié)束 圖形圖形第25頁/共31頁第二十六頁，共31頁。(1) 橢圓(tuyun)拋物面( p , q 同號)(2) 雙曲拋物面（鞍形曲面(qmin)）zqypx2222zyx特別(tbi),當(dāng) p = q 時為繞 z 軸的旋轉(zhuǎn)拋物面.( p , q 同號)zyx機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 zqypx2222第26頁/共31頁第二十七頁，共31頁。三元(sn yun)二次方程),(同號qp 橢球面1222222czbyax 拋物面:橢圓(tuyun

16、)拋物面雙曲拋物面zqypx2222zqypx2222 雙曲面:單葉雙曲面2222byax22cz1雙葉雙曲面2222byax22cz1 橢圓錐面: 22222zbyax機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第27頁/共31頁第二十八頁，共31頁。設(shè)三元二次方程的一般形式為2221122331213231232220a xa ya za xya xza yzb xb yb zc 令3 3123(),( , , ) ,( ,)TTTijAAaux y zbb b b則上面方程可寫為0TTu Aub uc因為A是實(shí)對稱矩陣，所以存在正交陣Q，使得123(,)TQ AQdiag 作正交變換u=Qv，則123(,)0TTv diagvb Qvc 第28頁/共31頁第二十九頁，共31頁。即2221 1213 11 1213 1