第五節(jié)奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)裕度分析閉環(huán)(,,講)

1、2022年7月1日星期五Sichuan University of Science and Engineering1自動控制原理自動控制原理 （第（第 19 講）講） 5 5. . 線性系統(tǒng)的頻域分析與校正線性系統(tǒng)的頻域分析與校正 5.1 5.1 頻率特性的基本概念頻率特性的基本概念 5.2 5.2 幅相頻率特性（幅相頻率特性（NyquistNyquist圖）圖） 5.3 5.3 對數(shù)頻率特性（對數(shù)頻率特性（BodeBode圖）圖） 5.4 5.4 頻域穩(wěn)定判據(jù)頻域穩(wěn)定判據(jù) 5.5 5.5 穩(wěn)定裕度穩(wěn)定裕度 5.6 5.6 利用開環(huán)頻率特性分析系統(tǒng)的性能利用開環(huán)頻率特性分析系統(tǒng)的性能 5.7

2、5.7 閉環(huán)頻率特性閉環(huán)頻率特性 2022年7月1日星期五Sichuan University of Science and Engineering2自動控制原理自動控制原理5.4 頻域穩(wěn)定判據(jù)頻域穩(wěn)定判據(jù)2022年7月1日星期五Sichuan University of Science and Engineering3 主要內(nèi)容q幅角定理q奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)q奈氏穩(wěn)定判據(jù)在、 型系統(tǒng)中的應(yīng)用q在波德圖上判別系統(tǒng)穩(wěn)定性5.4 頻域穩(wěn)定判據(jù)頻域穩(wěn)定判據(jù)2022年7月1日星期五Sichuan University of Science and Engineering4穩(wěn)定性（Stability）)(

3、)(1)()()(:sHsGsGsRsCTFloopClosed)(sG)(sC)(sH)(sR For stability, all roots of the characteristic equation must lie in the left-half s plane. )()(:sHsGTFloopOpen0)()(1:sHsGEquationsticCharacteri 判別系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法除了直接求解特征方程的根外，前面已經(jīng)介紹了代數(shù)判據(jù)和根軌跡法。 在系統(tǒng)含有時滯環(huán)節(jié)時，代數(shù)判據(jù)法無能為力，根軌跡法雖然有效，但很麻煩。不能用于研究如何調(diào)整系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)來改善系統(tǒng)穩(wěn)定性及性能的問題

4、. 奈氏判據(jù)可由開環(huán)頻率特性直接判定閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性;可研究如何調(diào)整系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)改善系統(tǒng)穩(wěn)定性及性能問題.而且，他所使用的開環(huán)頻率特性可以通過實驗測取，這對于不易建模的實際系統(tǒng)很有意義。同時，他不僅僅用于單變量系統(tǒng)，也推廣到多變量系統(tǒng)，不僅用于線性系統(tǒng)，也可推廣用來分析某些非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 2022年7月1日星期五Sichuan University of Science and Engineering5映射RxfRxxfxf)(,),(:jS0ReImF復(fù)變函數(shù)CsFCssFsF)(,),(:函數(shù)S平面F平面映射周線：復(fù)平面上的一條封閉曲線。假設(shè)定義域為一周線，其映射會如何？ 幅角定理2

5、022年7月1日星期五Sichuan University of Science and Engineering6含有零點的映射（觀察幅角）) 1()(: ssFExamplejS0ReImF0s周線 觀察：s包圍零點沿abcd順時針變化一周，F(xiàn)(s)在F平面中包圍原點沿F(a)F(b)F(c)F(d)順時針變化一周。F周線 問題：s沿周線變化一周，其函數(shù)F(s)有怎樣的變化？1jj2abcd11)(, 11)(11)(, 11)(jdFjcFjbFjaF)(aF)(cF)(bF)(dF1jj11、周線包圍零點觀察：s順時針變化一周，F(xiàn)(s)也順時針變化一周，但不包圍原點。2、周線不包圍零點b

6、acd)(aF)(cF)(bF)(dF問題：周線包圍Z個零點，又如何呢？幅角定理2022年7月1日星期五Sichuan University of Science and Engineering7含有極點的映射（觀察幅角）11)(:ssFExamplejS0ReImFs周線 觀察：s包圍極點沿abcd順時針變化一周，F(xiàn)(s)在F平面中包圍原點沿F(a)F(b)F(c)F(d)逆時針變化一周。F周線 問題：s沿某周線變化一周，其函數(shù)F(s)怎樣變化？1jj2abcd) 11 ()(),11 ()() 11 ()(),11 ()(21212121jdFjcFjbFjaF1、周線包圍極點觀察：s順時

7、針變化一周，F(xiàn)(s)也順時針變化一周，但不包圍原點。2、周線不包圍零點bacd0)(aF)(cF)(bF)(dF)(aF)(cF)(bF)(dF問題：周線包圍P個極點呢？幅角定理2022年7月1日星期五Sichuan University of Science and Engineering8Mapping Theorem幅角定理)()()()()(2121*nmpspspszszszsKsF幅角定理幅角定理 點s在S平面內(nèi)某周線上順時針繞行一周即周線內(nèi)內(nèi)零（極點）點與s所成向量順時針變化360時， F(s)在F平面內(nèi)對應(yīng)的映射周線上繞原點順（逆）時針繞行一周（或?qū)?yīng)向量順時針變化360）。

8、注意：S平面上周線外外的零/極點不會影響其映射周線對F平面原點的繞行周數(shù)。njjmipszssF111)()()(推論： 若F(s)在s周線內(nèi)有Z個零點和P個極點，且s繞s周線順時針變化一周，則對應(yīng)的點F(s) 沿映射的周線順時針包圍原點 N = Z P 周。2022年7月1日星期五Sichuan University of Science and Engineering9設(shè)設(shè)F(s)被包圍有被包圍有)()()()()(321321pspspssssjF N: s 繞奈氏路徑一周時，繞奈氏路徑一周時，F(xiàn)(j )包圍包圍F平面平面(0, j0)點的圈數(shù)點的圈數(shù)P個極點個極點 (開環(huán)極點開環(huán)極點)

9、 )Z個零點個零點 ( (閉環(huán)極點閉環(huán)極點) ) Z=2P=1s 繞路徑轉(zhuǎn)過一周，繞路徑轉(zhuǎn)過一周，RPZjF2)(2)(F(j )繞繞F平面原點轉(zhuǎn)過的角度平面原點轉(zhuǎn)過的角度j jF() )為為PZN222000幅角定理2022年7月1日星期五Sichuan University of Science and Engineering10幅角定理 設(shè)負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為： ，其中：為前向通道傳遞函數(shù)， 為反饋通道傳遞函數(shù)。)()()(sHsGsGk)(sG)(sH閉環(huán)傳遞函數(shù)為： ，如下圖所示：)()(1)()(sHsGsGs)(sR)(sC)(sG)(sH令：)()()(,)()()(22

10、11sNsMsHsNsMsG則開環(huán)傳遞函數(shù)為：)()()()()(2121sNsNsMsMsGk (a)閉環(huán)傳遞函數(shù)為：212121)(NNMMNMs (b)2022年7月1日星期五Sichuan University of Science and Engineering11 顯然，輔助方程即是閉環(huán)特征方程。其階數(shù)為n階，且分子分母同階。則輔助方程可寫成以下形式：njjniipszssF11)()()(。式中， 為F(s)的零、極點。jipz ,由上頁(a)、(b)及(c)式可以看出：F(s)的極點為開環(huán)傳遞函數(shù)的極點；F(s)的零點為閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點；將閉環(huán)特征方程與開環(huán)特征方程之比構(gòu)成一

11、個輔助方程，得：kGGHNMNMNNNNMMsF111)(2211212121.(c)2022年7月1日星期五Sichuan University of Science and Engineering12 F(s)是復(fù)變量s的單值有理函數(shù)。如果函數(shù)F(s)在s平面上指定的區(qū)域內(nèi)是解析的，則對于此區(qū)域內(nèi)的任何一點 都可以在F(s)平面上找到一個相應(yīng)的點 ， 稱為 在F(s)平面上的映射。sdfdfdsd 同樣，對于s平面上任意一條不通過F(s)任何奇異點的封閉曲線 ，也可在F(s)平面上找到一條與之相對應(yīng)的封閉曲線 （為 的映射）。sfs 若N為正，表示 順時針運動，包圍原點；f 若N為0，表示

12、 順時針運動，不包圍原點；f 若N為負，表示 逆時針運動，包圍原點。f 幅角定理： s平面上不通過F(s)任何奇異點的封閉曲線 包圍s平面上F(s)的z個零點和p個極點。當s以順時針方向沿封閉曲線 移動一周時，在F(s)平面上相對應(yīng)于封閉曲線 將以順時針方向繞原點旋轉(zhuǎn)N圈。N，z，p的關(guān)系為：N=z-p。ssf2022年7月1日星期五Sichuan University of Science and Engineering13二、奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)： 對于一個控制系統(tǒng)，若其特征根處于s右半平面，則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。對于上面討論的輔助方程 ，其零點恰好是閉環(huán)系統(tǒng)的極點，因此，只要搞清F(s)的的零點

13、在s右半平面的個數(shù)，就可以給出穩(wěn)定性結(jié)論。如果F(s)的右半零點個數(shù)為零，則閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。)(1)(sGsFk 應(yīng)用開環(huán)頻率特性研究閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，如果開環(huán)頻率特性是已知的，設(shè)想： 如果有一個s平面的封閉曲線能包圍整個s右半平面，則根據(jù)幅角定理知：該封閉曲線在F(s)平面上的映射包圍原點的次數(shù)應(yīng)為： 當已知開環(huán)右半極點數(shù)時，便可由N判斷閉環(huán)右極點數(shù)。開環(huán)系統(tǒng)右半極點數(shù)閉環(huán)系統(tǒng)右半極點數(shù)右半極點數(shù)右半零點數(shù)| )(| )(sFsFN2022年7月1日星期五Sichuan University of Science and Engineering14這里需要解決兩個問題：1、如何構(gòu)造一個能夠

14、包圍整個s右半平面的封閉曲線，并且它是滿足幅角條件的？2、如何確定相應(yīng)的映射F(s)對原點的包圍次數(shù)N，并將它和開環(huán)頻率特性 相聯(lián)系？)(jGH它可分為三部分：部分是正虛軸， 部分是右半平面上半徑為無窮大的半圓； ；部分是負虛軸， 。 022,從ReRsj0第1個問題：先假設(shè)F(s)在虛軸上沒有零、極點。按順時針方向做一條曲線 包圍整個s右半平面，這條封閉曲線稱為奈魁斯特路徑。如下圖：sje0s2022年7月1日星期五Sichuan University of Science and Engineering15F(s)平面上的映射是這樣得到的：以 代入F(s)并令 從 變化，得第一部分的映射；

15、在F(s)中取 使角度由 ， 得第二部分的映射；令 從 ，得第三部分的映射。稍后將介紹具體求法。js 0jeRs22R0得到映射曲線后，就可由柯西幅角定理計算 ，式中：是F(s)在s右半平面的零點數(shù)和極點數(shù)。確定了N，可求出 。當 時，系統(tǒng)穩(wěn)定；否則不穩(wěn)定。kPZNkPZ,kPNZ0Z第2個問題：輔助方程與開環(huán)頻率特性的關(guān)系。我們所構(gòu)造的的輔助方程為 ， 為開環(huán)頻率特性。因此，有以下三點是明顯的： )(1)(sGsFk)(sGk2022年7月1日星期五Sichuan University of Science and Engineering16F(s)對原點的包圍，相當于 對(-1,j0)的包

16、圍；因此映射曲線F(s)對原點的包圍次數(shù)N與 對(-1,j0)點的包圍的次數(shù)一樣。)(sGk)(sGk奈魁斯特路徑的第部分的映射是 曲線向右移1；第部分的映射對應(yīng) ，即F(s)=1;第部分的映射是第部分映射的關(guān)于實軸的對稱。)(sGk0)(sGkF(s)的極點就是 的極點，因此F(s)在右半平面的極點數(shù)就是 在右半平面的極點數(shù)。)(sGk)(sGk由 可求得 ，而 是開環(huán)頻率特性。一般在 中，分母階數(shù)比分子階數(shù)高，所以當 時， ，即F(s)=1。（對應(yīng)于映射曲線第部分）)(jGk)(jF)(jGkjes0)(sGk)(jGk)(1)(sGsFk1)()(sFsGk2022年7月1日星期五Sic

17、huan University of Science and Engineering17)(jF)(jGkF(s)與 的關(guān)系圖。)(sGk2022年7月1日星期五Sichuan University of Science and Engineering18 根據(jù)上面的討論，如果將幅角定理中的封閉曲線取奈魁斯特路徑，則可將幅角定理用于判斷閉環(huán)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性。奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)：若系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)在右半平面上有 個極點，且開環(huán)頻率特性曲線對(-1,j0)點包圍的次數(shù)為N，（N0順時針，N0順時針，N=1時，包圍(-1,j0)點，k1時，奈氏曲線逆時針包圍 (-1,j0)點一圈，N

18、=-1，而 ，則 閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。1kP0kkPNZ2022年7月1日星期五Sichuan University of Science and Engineering25臨界穩(wěn)定的概念臨界穩(wěn)定的概念 最小相位系統(tǒng)當最小相位系統(tǒng)當G(j)過過(-1,j0)點時點時，閉環(huán)系統(tǒng)閉環(huán)系統(tǒng)臨界穩(wěn)定臨界穩(wěn)定。G(j)曲線過曲線過(-1,j0)點時點時，說明有這么一個點說明有這么一個點 G(j) =1 同時成立！同時成立！特點特點： G(j) = -180o0j1-1G(j)N=zP2022年7月1日星期五Sichuan University of Science and Engineering26編程題

19、()()0.15( )0.51 0.41speGsss )4 . 0()5 . 0(15. 0arctgarctg114 . 015 . 0iik編寫程序求臨界頻率和臨界增益。閉環(huán)被控對象如下編寫程序求臨界頻率和臨界增益。閉環(huán)被控對象如下它的臨界震蕩頻率（弧度）滿足方程：它的臨界震蕩頻率（弧度）滿足方程： 它的臨界增益它的臨界增益k k滿足方程：滿足方程：syms w ;solve(-0.15*w-atan(0.5*w)-atan(0.4*w)=-pi)w=ans;k=sqrt(0.5*w)2+1)*sqrt(0.4*w)2+1)2022年7月1日星期五Sichuan University o

20、f Science and Engineering27特殊情況 對于、型的開環(huán)系統(tǒng) 上面討論的奈魁斯特判據(jù)和例子，都是假設(shè)虛軸上沒有開環(huán)極點，即開環(huán)系統(tǒng)都是0型的，這是為了滿足柯西幅角定理的條件。但是對于、型的開環(huán)系統(tǒng)，由于在虛軸上（原點）有極點，因此不能使用柯西幅角定理來判定閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。為了解決這一問題，需要重構(gòu)奈魁斯特路徑。2022年7月1日星期五Sichuan University of Science and Engineering28三、奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)在、型系統(tǒng)中的應(yīng)用：具有開環(huán)0極點系統(tǒng)，其開環(huán)傳遞函數(shù)為：njjmiiksTssksG11) 1() 1()( 可見，在原點有

21、 重0極點。也就是在s=0點， 不解析，若取奈氏路徑同上時（通過虛軸的整個s右半平面），不滿足柯西幅角定理。為了使奈氏路徑不經(jīng)過原點而仍然能包圍整個s右半平面，重構(gòu)奈氏路徑如下：以原點為圓心，半徑為無窮小做右半圓。這時的奈氏路徑如下：)(sGk2022年7月1日星期五Sichuan University of Science and Engineering29Special CasejS0G(s) involves poles on the j axis)()()(sAsBsG0)()()()(1)(sAsBsAsGsF為保證Nyquist周線不穿越G(s)的極點，把原點附近的周線設(shè)置為用無窮

22、小半徑逆時針半周無窮小半徑逆時針半周繞行。Nyquist Contour jes ) 1() 1)(1() 1() 1)(1()(,2121sTsTsTssTsTsTKsGnpppzmzz無窮大半徑順時針半周無窮大半徑順時針一周2,1,)(lim20jjjeeeG2022年7月1日星期五Sichuan University of Science and Engineering30(b)對于型系統(tǒng)：將奈氏路徑中的點 代入 中得：0,ReRsj)(jGk2200)(lim)(limjjRkseeRksG所以這一段的映射為半徑為 ，角度從 變到 的整個圓（順時針）。00lim)(limjjRksee

23、RksG所以這一段的映射為半徑為 ，角度從 變到 的右半圓。2222 0 0 0 02022年7月1日星期五Sichuan University of Science and Engineering31結(jié)論用上述形式的奈氏路徑，奈氏判據(jù)仍可應(yīng)用于、型系統(tǒng)。例5-4設(shè)型系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性如下圖所示。開環(huán)系統(tǒng)在s右半平面沒有極點，試用奈氏判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性。解：顯然這是1型系統(tǒng)。先根據(jù)奈氏路徑畫出完整的映射曲線。 01 0從圖上看出：映射曲線順時針包圍(-1,j0)一圈，逆時針包圍(-1,j0)一圈，所以N=1-1=0，而 ，故 ，閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。0kP0kkPNZ2022年7月1日星期五S

24、ichuan University of Science and Engineering32Type 1 system) 1)(1()(21sTsTsksG)()()1)(1 ()1 ()1)(1 ()()(22222122122222121jYXTTTTkjTTTTkjG令虛部為0，求得與實軸交點的頻率及實部坐標值為 211TTn02121)(xTTTTkXnXjY010 x2121212101TTTTkTTTTkx欲使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，則Nyquist曲線不包圍(-1,j0)，所以例5-5已知開環(huán)特性，試分析系統(tǒng)閉環(huán)后的穩(wěn)定性 )0,(21TTk2022年7月1日星期五Sichuan Univ

25、ersity of Science and Engineering33例5-6某型系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性 如下圖所示，且s右半平面無極點，試用奈氏判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性。1 00解：首先畫出完整的奈氏曲線的映射曲線。如右圖：從圖上可以看出：映射曲線順時針包圍(-1,j0)兩圈。因 ，所以 ，閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。2kkPNZ0kP2022年7月1日星期五Sichuan University of Science and Engineering34特殊情況：1、若開環(huán)系統(tǒng)在虛軸上有極點，這時應(yīng)將奈氏路徑做相應(yīng)的改變。如下圖： 0 0以極點為圓心，做半徑為無窮小的右半圓，使奈氏路徑不通過虛軸上極點（確保

26、滿足柯西幅角定理條件），但仍能包圍整個s右半平面。映射情況，由于較復(fù)雜，略。2、如果開環(huán)頻率特性曲線通過(-1,j0)點，說明閉環(huán)系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)，閉環(huán)系統(tǒng)在虛軸上有極點。2022年7月1日星期五Sichuan University of Science and Engineering35通常，只畫出 的開環(huán)奈氏圖，這時閉環(huán)系統(tǒng)在s右半平面上的極點數(shù)為： 。式中， 為 變化時，開環(huán)奈氏圖順時針包圍(-1,j0)點的圈數(shù)。 0kkPNZ2N 0111不包圍(-1,j0)點，0N0型系統(tǒng)包圍(-1,j0)點，1N型系統(tǒng)和型系統(tǒng)對應(yīng)的奈魁斯特路徑分別為：0 02022年7月1日星期五Sichua

27、n University of Science and Engineering36這時奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)可以描述為：設(shè)開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù) 在右半平面的極點為P，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：當 從 時，頻率特性曲線在實軸 段的正負穿越次數(shù)差為 。)(sGk 0) 1,(2P 頻率特性曲線對(-1,j0)點的包圍情況可用頻率特性的正負穿越情況來表示。當 增加時，頻率特性從上半s平面穿過負實軸的 段到下半s平面，稱為頻率特性對負實軸的 段的正穿越（這時隨著 的增加，頻率特性的相角也是增加的）；意味著逆時針包圍(-1,j0)點。反之稱為負穿越。) 1,() 1,(1正穿越負穿越2022年7月1日星期五Si

28、chuan University of Science and Engineering37四、在對數(shù)坐標圖上判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性： 開環(huán)系統(tǒng)的極坐標圖（奈氏圖）和對數(shù)坐標圖（波德圖）有如下的對應(yīng)關(guān)系：1、 奈氏圖上單位圓對應(yīng)于對數(shù)坐標圖上的零分貝線； 。2、 奈氏圖上的負實軸對應(yīng)于對數(shù)坐標圖上的-180度相位線。0)(log20, 1)(AA 奈氏圖頻率特性曲線在 上的正負穿越在對數(shù)坐標圖上的對應(yīng)關(guān)系：在對數(shù)坐標圖上 的范圍內(nèi)，當 增加時，相頻特性曲線從下向上穿過-180度相位線稱為正穿越。因為相角值增加了。反之稱為負穿越。) 1,() 1)( , 0)(AL2022年7月1日星期五Sichuan

29、 University of Science and Engineering38對照圖如下：正穿越負穿越)(j)(Lc1正穿越負穿越相角方向為正 增加時，相角增大對數(shù)坐標圖上奈氏穩(wěn)定判據(jù)如下： 設(shè)開環(huán)頻率特性 在s右半平面的極點數(shù)為P，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：對數(shù)坐標圖上幅頻特性 的所有頻段內(nèi)，當頻率增加時，對數(shù)相頻特性對-180度線的正負穿越次數(shù)差為P/2。閉環(huán)系統(tǒng)右半s極點數(shù)為： ，式中 為正負穿越次數(shù)差。若Z=0，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；若Z0，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。)(sGk0)(LpkZ 2k2022年7月1日星期五Sichuan University of Science and Engine

30、ering39五、最小相位系統(tǒng)的奈氏判據(jù)：開環(huán)頻率特性 在s右半平面無零點和極點的系統(tǒng)稱為最小相位系統(tǒng)。最小相位系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定的充要條件可簡化為：奈氏圖（開環(huán)頻率特性曲線）不包圍(-1,j0)點。因為若N=0，且P=0，所以Z=0。)(sGk1cg)(cj奈氏圖幅值和相角關(guān)系為：當 時1)(A180)(,ccj當 時，180)(j1)(gA式中， 分別稱為相角、幅值穿越頻率cg,cg)(j)(L上述關(guān)系在對數(shù)坐標圖上的對應(yīng)關(guān)系:當 時0)(L180)(cj當 時，180)(gj0)(L2022年7月1日星期五Sichuan University of Science and Engineerin

31、g40小結(jié) 幅角定理。滿足該定理的條件。N=z-p 輔助方程。其極點為開環(huán)極點，其零點為閉環(huán)極點。 奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)。幾種描述形式；、型系統(tǒng)的奈氏路徑極其映射；最小相位系統(tǒng)的奈氏判據(jù)；對數(shù)坐標圖上奈氏判據(jù)的描述。 對數(shù)頻率特性圖和奈奎斯特頻率特性圖的關(guān)系。2022年7月1日星期五Sichuan University of Science and Engineering41第五節(jié) 穩(wěn)定裕度2022年7月1日星期五Sichuan University of Science and Engineering42自動控制原理自動控制原理 （第（第 20 講）講） 5 5. . 線性系統(tǒng)的頻域分析與校正線

32、性系統(tǒng)的頻域分析與校正 5.1 5.1 頻率特性的基本概念頻率特性的基本概念 5.2 5.2 幅相頻率特性（幅相頻率特性（NyquistNyquist圖）圖） 5.3 5.3 對數(shù)頻率特性（對數(shù)頻率特性（BodeBode圖）圖） 5.4 5.4 頻域穩(wěn)定判據(jù)頻域穩(wěn)定判據(jù) 5.5 5.5 穩(wěn)定裕度穩(wěn)定裕度 5.6 5.6 利用開環(huán)頻率特性分析系統(tǒng)的性能利用開環(huán)頻率特性分析系統(tǒng)的性能 5.7 5.7 閉環(huán)頻率特性閉環(huán)頻率特性 2022年7月1日星期五Sichuan University of Science and Engineering43j01cgG(j)G(jx)G(jc)= 180oG(j

33、g)h=1穩(wěn)定裕度的定義穩(wěn)定裕度的定義-1)j (Gc )(lg20ggjGdBk)j (G180c 相角裕度相角裕度為為宜宜2h,6030 )j(G1kgg 幅幅值值裕裕度度2022年7月1日星期五Sichuan University of Science and Engineering44求穩(wěn)定裕度步驟(補充)c1)j (G1 得得、令、令角度角度、算出、算出)j (G2c 1803、將算出的角、將算出的角)j (G180c )(1ggjGkgjG得、令180)(1)(2gjG、求出、取個倒數(shù)、取個倒數(shù)3讀讀出出來來由由再再判判斷斷令令漸漸近近直直線線方方程程的的模模的的另另兩兩種種方方法

34、法：求求dB0)(L, 1c 后還要判斷求得由點求得由幅相曲線與負實軸交的另兩種方法：求0)(ImjGg2022年7月1日星期五Sichuan University of Science and Engineering45判穩(wěn)例題判穩(wěn)例題( (補充補充) )3()31(j)1(10)j (G2222 已知單位反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)已知單位反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)21)s(s1)-10(sG(s) 要求要求: : 1. 繪制奈氏曲線繪制奈氏曲線2.2. 用奈氏判據(jù)判穩(wěn)用奈氏判據(jù)判穩(wěn) 3.3. 解解:1o90s /10)0 j (G o21800s /10)j (G 起點起點: :終點終點: :求交點求

35、交點: :1531j(G ）35j)3j (G 。和和求求h 2.1)21( 20N2pZ ImRe0可見系統(tǒng)不穩(wěn)定可見系統(tǒng)不穩(wěn)定! !o9 .53 x h不能由不能由和和h h判穩(wěn)吧判穩(wěn)吧! !08. 3c 3.啊??！和和多多漂漂亮亮的的h 2022年7月1日星期五Sichuan University of Science and Engineering46 當頻率特性曲線穿過(-1,j0)點時，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。這時： 。對于最小相位系統(tǒng)，可以用 和 來表示頻率特性曲線接近(-1,j0)點的程度，或稱為穩(wěn)定裕度。穩(wěn)定裕度越大，穩(wěn)定性越好。gccgAj,180)(, 1)()(gA)(c

36、j1cg)(cj)(gAcg)(j)(L)(gjgL定義： 和 為幅值穩(wěn)定裕度和相位穩(wěn)定裕度。)(1ggAk)(180cj在對數(shù)坐標圖上，用 表示 的分貝值。即gLgk)(log20log20gggAkL2022年7月1日星期五Sichuan University of Science and Engineering47顯然，當 時，即 和 時，閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的否則是不穩(wěn)定的。對于最小相位系統(tǒng)， 和 是同時發(fā)生或同時不發(fā)生的，所以經(jīng)常只用一種穩(wěn)定裕度來表示系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度。常用相角裕度。0gL1)(gA00gL0幅值穩(wěn)定裕度物理意義：穩(wěn)定系統(tǒng)在相角穿越頻率處將幅值增加 倍（奈氏圖）或增加 分貝（

37、波德圖），則系統(tǒng)處于臨界狀態(tài)。若增加的倍數(shù)大于 倍（或 分貝），則系統(tǒng)變?yōu)椴环€(wěn)定。gkgLgLgk比如，若增加開環(huán)放大系數(shù)K，則對數(shù)幅頻特性曲線將上升，而相角特性曲線不變。可見，開環(huán)放大系數(shù)太大，容易引起系統(tǒng)的不穩(wěn)定。相位穩(wěn)定裕度的物理意義：穩(wěn)定系統(tǒng)在幅值穿越頻率 處將相角減小 度，則系統(tǒng)變?yōu)榕R界穩(wěn)定；再減小，就會變?yōu)椴环€(wěn)定。c2022年7月1日星期五Sichuan University of Science and Engineering48自動控制原理自動控制原理 （第（第 21 講）講） 5 5. . 線性系統(tǒng)的頻域分析與校正線性系統(tǒng)的頻域分析與校正 5.1 5.1 頻率特性的基本概念頻

38、率特性的基本概念 5.2 5.2 幅相頻率特性（幅相頻率特性（NyquistNyquist圖）圖） 5.3 5.3 對數(shù)頻率特性（對數(shù)頻率特性（BodeBode圖）圖） 5.4 5.4 頻域穩(wěn)定判據(jù)頻域穩(wěn)定判據(jù) 5.5 5.5 穩(wěn)定裕度穩(wěn)定裕度 5.6 5.6 利用開環(huán)頻率特性分析系統(tǒng)的性能利用開環(huán)頻率特性分析系統(tǒng)的性能 5.7 5.7 閉環(huán)頻率特性閉環(huán)頻率特性 2022年7月1日星期五Sichuan University of Science and Engineering49對于最小相位系統(tǒng)，可以用 和 來表示頻率特性曲線接近(-1,j0)點的程度，或稱為穩(wěn)定裕度。穩(wěn)定裕度越大，穩(wěn)定性越好

39、。)(gA)(cj1cg)(cj)(gAcg)(j)(L)(gjgL定義： 和 為幅值穩(wěn)定裕度和相位穩(wěn)定裕度。)(1ggAk)(180cj在對數(shù)坐標圖上，用 表示 的分貝值。即gLgk)(log20log20gggAkL課程回顧2022年7月1日星期五Sichuan University of Science and Engineering50課程回顧穩(wěn)定裕度的穩(wěn)定裕度的概念概念( (開環(huán)頻率指標開環(huán)頻率指標) )穩(wěn)定裕度的穩(wěn)定裕度的定義定義穩(wěn)定裕度穩(wěn)定裕度計算方法計算方法的幾何意義的幾何意義h, c截止頻率截止頻率 相角裕度相角裕度)(180cjG 1)( cjGg相角交界頻率相角交界頻率h

40、幅值裕度幅值裕度)(1gjGh 180)(gjG的物理意義的物理意義h, 穩(wěn)定裕度的穩(wěn)定裕度的意義意義)(180)(ccL j j )(1180)(ggjGh j j 2022年7月1日星期五Sichuan University of Science and Engineering51-100-50050100Magnitude (dB)10-210-1100101102-270-180-90Phase (deg)Bode DiagramFrequency (rad/sec)Phase & Gain Margin in Bode DiagramscjG 0)(log20)(180cjG

41、gjG180)()(log20ggjGK2022年7月1日星期五Sichuan University of Science and Engineering52穩(wěn)定裕度計算計算)(180cjG 解法解法I：由幅相曲線求：由幅相曲線求。h, 例例)10)(2(100)110)(12(5)( sssssssG，求，求。h, (1)(1)令令1)( cjG2222102100 ccc 1000400104242 ccc 9 . 2 c 試根得試根得)9 . 2(180j j 109 . 2arctan29 . 2arctan90180 5 .181 .164 .55902022年7月1日星期五Sich

42、uan University of Science and Engineering53)(1gjGh (2.1)(2.1)令令 180)(g j j10arctan2arctan90gg 90tan2011022ggg 可得可得 9010arctan2arctangg 202 g 47. 4 g )dB6 . 7(4 . 210010247. 42222 gggg 2022年7月1日星期五Sichuan University of Science and Engineering54)(1gjGh (2.2)(2.2)將將G(j )分解為實部、虛部形式分解為實部、虛部形式)10)(2(100)(

43、 jjjjG 令令0)(Im YGjG )100)(4()20(1001200222 jYXjGG 47. 420 g 得得4167. 0)( gXG 代入實部代入實部4 . 24167. 01 4167. 0)( gG 2022年7月1日星期五Sichuan University of Science and Engineering55)47. 4(1jGh )110)(12(5)( ssssG由由L( ):1)( cjG 16. 310 c 得得4 . 24167. 01 解法解法II：由：由BodeBode圖求圖求。h, 210125ccc )(180cjG )16. 3(180j j

44、1016. 3arctan216. 3arctan90180 8 .14541.1767.57909 . 2 5 .1847. 4102 g 2022年7月1日星期五Sichuan University of Science and Engineering56)(180cjG 解解. .作作L( )求求c 法法I:25 . 26 c 5 .128 . 4arctan58 . 4arctan28 . 4arctan905 . 28 . 4arctan180 3 .20218 .434 .67905 .62180例例，求，求。)15 .12)(15)(12()15 . 2(6)( ssssssG8

45、 . 45 . 226 c 法法II:1)( cjG 8 . 45 . 226 c cccc 5 . 2261125 . 26 2022年7月1日星期五Sichuan University of Science and Engineering57ExampleObtain the phase and gain margin of the system shown below for the case where K=10 and K=100.)(sC)(sR)5)(1(sssK-100-50050100Magnitude (dB)10-210-1100101102-270-225-180-13

46、5-90Phase (deg)Bode DiagramGm = 9.54 dB (at 2.24 rad/sec) , Pm = 25.4 deg (at 1.23 rad/sec)Frequency (rad/sec)-100-50050100Magnitude (dB)10-210-1100101102-270-180-90Phase (deg)Bode DiagramGm = -10.5 dB (at 2.24 rad/sec) , Pm = -23.7 deg (at 3.91 rad/sec)Frequency (rad/sec)G=zpk(,0 -1 -5,10); Gm,Pm,w

47、c,wg=margin(G)G=zpk(,0 -1 -5,100); Gm,Pm,wc,wg=margin(G)2022年7月1日星期五Sichuan University of Science and Engineering58dB1230當增益從k=10增大到k=100時，幅值特性曲線上移20dB，相位特性曲線不變。這時系統(tǒng)的相位穩(wěn)定裕度和幅值裕度分別是-12dB和-30度。因此系統(tǒng)在k=10時是穩(wěn)定的，在k=100時是不穩(wěn)定的。2022年7月1日星期五Sichuan University of Science and Engineering59帶有延遲環(huán)節(jié)系統(tǒng)的相位裕度的求法：skesG

48、)(設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為： ，我們知道增加了延遲環(huán)節(jié)后系統(tǒng)的幅值特性不變，相角特性滯后了 。表現(xiàn)在奈氏圖和波德圖上的情況如下（假設(shè)Gk(s)）為最小相位系統(tǒng)。00c0gcg左圖中，紅色曲線為Gk(s)頻率特性，蘭色曲線為增加了延遲環(huán)節(jié)后的頻率特性。其幅值和相角穿越頻率分別為 和 ，相角裕度分別為 。)(,00ccccgg,0,0顯然增加了延遲環(huán)節(jié)后，系統(tǒng)的穩(wěn)定性下降了。若要確保穩(wěn)定性，其相位裕度必須大于零。即：0)(0cckcjG)(L)(jcc0gg02022年7月1日星期五Sichuan University of Science and Engineering60穩(wěn)定裕度概念使用時的局

49、限性：1、在高階系統(tǒng)中，奈氏圖中幅值為的點或相角為-180度的點可能不止一個，這時使用幅值和相位穩(wěn)定裕度可能會出現(xiàn)歧義；2、除純延遲外的非最小相位系統(tǒng)不能使用該定義；3、有時幅值和相位穩(wěn)定裕度都滿足，但仍有部分曲線很靠近(-1,j0)點，這時閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性依然不好。見下圖：1gk2022年7月1日星期五Sichuan University of Science and Engineering61自動控制原理自動控制原理 5.6 5.6 利用開環(huán)頻率特性利用開環(huán)頻率特性 分析系統(tǒng)的性能分析系統(tǒng)的性能 5.6.1 5.6.1 L( )低頻漸近線與系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的關(guān)系低頻漸近線與系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的關(guān)系

50、5.6.2 5.6.2 L( )中頻段特性與系統(tǒng)動態(tài)性能的關(guān)系中頻段特性與系統(tǒng)動態(tài)性能的關(guān)系 5.6.2 5.6.2 L( )高頻段對系統(tǒng)性能的影響高頻段對系統(tǒng)性能的影響 （第（第 21 講）講）2022年7月1日星期五Sichuan University of Science and Engineering625.6利用開環(huán)頻率特性分析系統(tǒng)的性能例例1 1 最小相角系統(tǒng)最小相角系統(tǒng) j () j () L()() 之間的對應(yīng)關(guān)系之間的對應(yīng)關(guān)系 ( K=1)1)5()5()1()(221 ssssKsG1)20()20()1()(223 ssssKsG1)10()10()1()(222 sss

51、sKsG1)50()50()1()(224 ssssKsG2022年7月1日星期五Sichuan University of Science and Engineering635.6 利用開環(huán)頻率特性分析系統(tǒng)的性能三頻段理論三頻段理論vsKsG )(0dB/dec20 1. 1. L( )低頻段低頻段 系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差ess2. 2. L( )中頻段中頻段 系統(tǒng)動態(tài)性能系統(tǒng)動態(tài)性能( , , ts)3. 3. L( )高頻段高頻段 系統(tǒng)抗高頻噪聲能力系統(tǒng)抗高頻噪聲能力 lg20lg20lg200 vKG 900vG最小相角系統(tǒng)最小相角系統(tǒng) L( ) 曲線斜率與曲線斜率與j()j()的對

52、應(yīng)關(guān)系的對應(yīng)關(guān)系 90 90 dB/dec40 180 0 dB/dec60 270 90 )(1)()(sGsGs 1)()( sGs1)( sG希望希望 L( ) 以以-20dB/dec斜率穿越斜率穿越 0dB線，并保持較寬的頻段線，并保持較寬的頻段2022年7月1日星期五Sichuan University of Science and Engineering64Bodes Theorem 第一，線性最小相位系統(tǒng)的幅頻特性與相頻特性之間的關(guān)系是一一對應(yīng)的。 第二，對數(shù)幅頻特性漸進線的斜率與相角有對應(yīng)的關(guān)系。如果在整個頻率范圍內(nèi)斜率是固定的，則他們的關(guān)系為-20dB-90。如果在整個頻率范

53、圍內(nèi)幅頻特性斜率是變化的，則在某一頻率0處的相角(0)，主要地取決于0處的那一段對數(shù)幅頻特性的斜率，其他段的斜率，隨著離0越遠，影響越小。 由Bode定理知，若要求系統(tǒng)相角裕量在30-60，則系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻曲線在幅穿頻率及其附近的斜率通常最好為-20dB/dec，且維持該斜率的頻率范圍越寬，相角裕量就越大，系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性就越好。2022年7月1日星期五Sichuan University of Science and Engineering655.6利用開環(huán)頻率特性分析系統(tǒng)的性能中頻段中頻段三頻段理論三頻段理論高頻段高頻段低頻段低頻段對應(yīng)性能對應(yīng)性能希望形狀希望形狀L( )系統(tǒng)抗高頻干擾的

54、能力系統(tǒng)抗高頻干擾的能力開環(huán)增益開環(huán)增益 K系統(tǒng)型別系統(tǒng)型別 v穩(wěn)態(tài)誤差穩(wěn)態(tài)誤差 ess截止頻率截止頻率 c相角裕度相角裕度 動態(tài)性能動態(tài)性能陡，高陡，高緩，寬緩，寬低，陡低，陡頻段頻段三頻段理論并沒有提供設(shè)計系統(tǒng)的具體步驟，三頻段理論并沒有提供設(shè)計系統(tǒng)的具體步驟，但它給出了調(diào)整系統(tǒng)結(jié)構(gòu)改善系統(tǒng)性能的原則和方向但它給出了調(diào)整系統(tǒng)結(jié)構(gòu)改善系統(tǒng)性能的原則和方向00 st2022年7月1日星期五Sichuan University of Science and Engineering665.6 利用開環(huán)頻率特性分析系統(tǒng)的性能關(guān)于三頻段理論的說明：關(guān)于三頻段理論的說明： 各頻段分界線沒有明確的劃分標準

55、；各頻段分界線沒有明確的劃分標準； 與無線電學(xué)科中的與無線電學(xué)科中的“低低”、“中中”、“高高”頻概頻概 念不同；念不同； 不能用是否以不能用是否以-20dB/dec過過0dB線作為判定線作為判定 閉環(huán)系統(tǒng)是否穩(wěn)定的標準；閉環(huán)系統(tǒng)是否穩(wěn)定的標準； 只適用于單位反饋的最小相角系統(tǒng)。只適用于單位反饋的最小相角系統(tǒng)。2022年7月1日星期五Sichuan University of Science and Engineering675.6利用開環(huán)頻率特性分析系統(tǒng)的性能 12vKn (1) (1) 二階系統(tǒng)二階系統(tǒng) )2()(2nnsssG 222)2()(nnjG njG 2arctan90)( 1

56、)2()(222 nccncjG 422224nncc 0442224 ncnc nc 24214)(180c j j 2222)(nnnsss nc 2arctan90 cn 2arctan 2022年7月1日星期五Sichuan University of Science and Engineering685.6利用開環(huán)頻率特性分析系統(tǒng)的性能nc 24214)(180c j j nc 2arctan90 cn 2arctan 242142arctan )2()(2nnsssG 21/% e% nst5 . 3 242145 . 3 cst tan7 2214724 2022年7月1日星期五

57、Sichuan University of Science and Engineering695.6利用開環(huán)頻率特性分析系統(tǒng)的性能314820 c tan7 cst例例 2 2 已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，求已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，求 c，并確定，并確定 , , ts。解解. . 繪制繪制L( )曲線曲線2031arctan90180 8 .322 .5790008 .3229. 00037 8 .32tan31735. 0 )20(2048)120(48)( sssssG按時域方法：按時域方法：96020960)(1)()(2 sssGsGs3226. 03122031960n001003 .352 e35.

58、0105 . 35 . 3 nst 2022年7月1日星期五Sichuan University of Science and Engineering705.6 利用開環(huán)頻率特性分析系統(tǒng)的性能 (2) (2) 高階系統(tǒng)高階系統(tǒng) %100)1sin1(4 . 016. 0% 21sin15 . 21sin15 . 12 cst)9035( 2022年7月1日星期五Sichuan University of Science and Engineering711101 . 0 c 例例3 3 已知最小相角系統(tǒng)已知最小相角系統(tǒng) L( ) 如圖所示，試確定如圖所示，試確定 (1) (1) 開環(huán)傳遞函數(shù)開

59、環(huán)傳遞函數(shù)G(s); ; (2) (2) 由由 確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性；確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性； (3) (3) 將將 L( ) 右移右移10倍頻，討論對系統(tǒng)的影響。倍頻，討論對系統(tǒng)的影響。解解. .(1)201arctan1 . 01arctan90180 (3) 將將 L( ) 右移右移10倍頻后有倍頻后有)120)(11 . 0(10)( ssssG 8 . 286. 23 .8490(2)101001 c 20010arctan110arctan90180 )1200)(11(100)( ssssG 8 . 286. 23 .8490L( ) 右移后右移后 c 增大增大 不變不變 不變不變 ts

60、減小減小0 穩(wěn)定穩(wěn)定5.6利用開環(huán)頻率特性分析系統(tǒng)的性能2022年7月1日星期五Sichuan University of Science and Engineering72自動控制原理自動控制原理 （第（第 21 講）講） 5 5. . 線性系統(tǒng)的頻域分析與校正線性系統(tǒng)的頻域分析與校正 5.1 5.1 頻率特性的基本概念頻率特性的基本概念 5.2 5.2 幅相頻率特性（幅相頻率特性（Nyquist圖）圖） 5.3 5.3 對數(shù)頻率特性（對數(shù)頻率特性（Bode圖）圖） 5.4 5.4 頻域穩(wěn)定判據(jù)頻域穩(wěn)定判據(jù) 5.5 5.5 穩(wěn)定裕度穩(wěn)定裕度 5.6 5.6 利用開環(huán)頻率特性分析系統(tǒng)的性能利用開環(huán)頻率