自考本科《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》2012年10月真題+講解+答案

1、高等教育自學(xué)考試輔導(dǎo) 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（經(jīng)管類）2012年10月真題講解一、前言學(xué)員朋友們，你們好！現(xiàn)在，對(duì)全國(guó)2012年10月高等教育自學(xué)考試概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（經(jīng)管類）試題進(jìn)行必要的分析，并詳細(xì)解答，供學(xué)員朋友們學(xué)習(xí)和應(yīng)試參考。三點(diǎn)建議：一是在聽取本次串講前，請(qǐng)對(duì)課本內(nèi)容進(jìn)行一次較全面的復(fù)習(xí)，以便取得最佳的聽課效果；二是在聽取本次串講前，務(wù)必將本套試題獨(dú)立地做一遍，以便了解試題考察的知識(shí)點(diǎn)，與以及個(gè)人對(duì)課程全部?jī)?nèi)容的掌握情況，有重點(diǎn)的聽取本次串講；三是，在聽取串講的過程中，對(duì)重點(diǎn)、難點(diǎn)的題目，應(yīng)該反復(fù)多聽?zhēng)妆?，探求解題規(guī)律，提高解題能力。一點(diǎn)說明：本次串講所使用的課本是2006年8月第一版。

2、二、考點(diǎn)分析1.總體印象對(duì)本套試題的總體印象是：內(nèi)容比較常規(guī)，有的題目比較新鮮，個(gè)別題目難度稍大。內(nèi)容比較常規(guī)： 概率分?jǐn)?shù)偏高，共74分；統(tǒng)計(jì)分?jǐn)?shù)只占26分，與今年7月的考題基本相同，以往考題的分?jǐn)?shù)分布情況稍有不同； 除回歸分析僅占2分外，對(duì)課本中其他各章內(nèi)容都有涉及；幾乎每道題都可以在課本上找到出處。如果粗略的把題目難度劃分為易、中、難三個(gè)等級(jí)，本套試題容易的題目約占24分，中等題目約占60分，稍偏難題目約占16分，包括計(jì)算量比較大額題目。2.考點(diǎn)分布按照以往的分類方法：事件與概率約18分，一維隨機(jī)變量（包括數(shù)字特征）約22分，二維隨機(jī)變量（包括數(shù)字特征）約30分，大數(shù)定律4分，統(tǒng)計(jì)量及其分

3、布6分，參數(shù)估計(jì)6分，假設(shè)檢驗(yàn)12分，回歸分析2分。考點(diǎn)分布的柱狀圖如下三、試題詳解選擇題部分一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)將其選出并將“答題紙”的相應(yīng)代碼涂黑。錯(cuò)涂、多涂或未涂均無分。1.已知事件A，B，AB的概率分別為0.5，0.4，0.6，則P（A）=A.0.1 B.0.2C.0.3 D.0.5答疑編號(hào)918150101【答案】B【解析】因?yàn)椋?，而，所以，即；又由集合的加法公式P（AB）=P（A）+P（B）-P（AB）=0.5+0.4-0.6=0.3，所以0.50.30.2，故選擇B.快解 用Venn圖可

4、以很快得到答案：【提示】1. 本題涉及集合的運(yùn)算性質(zhì)：（i）交換律：AB=BA,AB=BA；（ii）結(jié)合律：（AB）C=A（BC）,（AB）C=A（BC）；（iii）分配律：（AB）C=（AC）（BC）， （AB）C=（AC）（BC）；（iv）摩根律（對(duì)偶律）,.2.本題涉及互不相容事件的概念和性質(zhì)：若事件A與B不能同時(shí)發(fā)生，稱事件A與B互不相容或互斥，可表示為AB，且P（AB）=P（A）+P（B）.3.本題略難，如果考試時(shí)遇到本試題的情況，可先跳過此題，有剩余時(shí)間再考慮。2.設(shè)F（x）為隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，則有A.F（-）=0，F(xiàn)（+）=0 B.F（-）=1，F(xiàn)（+）=0C.F（-）=0，

5、F（+）=1 D.F（-）=1，F(xiàn)（+）=1答疑編號(hào)918150102【答案】C【解析】根據(jù)分布函數(shù)的性質(zhì)，選擇C?！咎崾尽糠植己瘮?shù)的性質(zhì)： 0F（x）1； 對(duì)任意x1，x2（x1x2），都有Px10. 如果二維隨機(jī)變量（X,Y）的概率密度為，則稱（X,Y）服從區(qū)域D上的均勻分布. 本題x2+y21為圓心在原點(diǎn)、半徑為1的圓，包括邊界，屬于有界區(qū)域，其面積S=，故選擇D.【提示】課本介紹了兩種二維連續(xù)型隨機(jī)變量的分布：均勻分布和正態(tài)分布，注意它們的定義。若（X,Y）服從二維正態(tài)分布，表示為（X,Y）.4.設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為2的指數(shù)分布，則E（2X1）=A.0 B.1C.3 D.4答疑編號(hào)9

6、18150104【答案】A【解析】因?yàn)殡S機(jī)變量X服從參數(shù)為2的指數(shù)分布，即=2，所以；又根據(jù)數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)有 E（2X-1）=2E（X）-1=1-1=0，故選擇A.【提示】1.常用的六種分布（1）常用離散型隨機(jī)變量的分布：X01概率qpA. 兩點(diǎn)分布 分布列 數(shù)學(xué)期望：E（X）=P 方差：D（X）=pq。B. 二項(xiàng)分布：XB（n,p） 分布列：，k=0，1，2，n； 數(shù)學(xué)期望：E（X）=np 方差：D（X）=npqC. 泊松分布：XP（） 分布列：，k=0，1，2， 數(shù)學(xué)期望：E（X）= 方差：D（X）（2） 常用連續(xù)型隨機(jī)變量的分布 A.均勻分布：XUa,b 密度函數(shù)：, 分布函數(shù)：， 數(shù)學(xué)

7、期望：E（X）, 方差：D（X）.指數(shù)分布：XE（） 密度函數(shù)：, 分布函數(shù)：， 數(shù)學(xué)期望：E（X）, 方差：D（X）.C.正態(tài)分布（A）正態(tài)分布：XN（,2） 密度函數(shù)：，x 分布函數(shù)： 數(shù)學(xué)期望：E（X）, 方差：D（X）2， 標(biāo)準(zhǔn)化代換： 若XN（,2），則YN（0,1）.（B）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：XN（0,1） 密度函數(shù)：，x 分布函數(shù)：，x0, 則P（B|A）=P（B）.12.設(shè)A，B為兩事件，且P（A）=P（B）=，P（A|B）=，則P（|）=_.答疑編號(hào)918150202【答案】【解析】，由1題提示有，所以，所以，故填寫.【提示】條件概率：事件B（P（B）0）發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概

8、率；乘法公式P（AB）=P（B）P（A|B）。13.已知事件A，B滿足P（AB）=P（），若P（A）=0.2，則P（B）=_.答疑編號(hào)918150203【答案】0.8【解析】，所以P（B）=1-P（A）=1-0.2=0.8，故填寫0.8.【提示】本題給出一個(gè)結(jié)論：若，則有.X12345，P2a0.10.3a0.314.設(shè)隨機(jī)變量X的分布律 則a=_.答疑編號(hào)918150204【答案】0.1【解析】2a+0.1+0.3+a+0.3=1，3a=1-0.7=0.3，所以 a=0.1，故填寫0.1.【提示】離散型隨機(jī)變量分布律的性質(zhì)：設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為PX=xk=pk，k1，2，3，（1）p

9、k0，k1，2，3，；（2）；（3）.15.設(shè)隨機(jī)變量XN（1，22），則P-1X3=_.（附：（1）=0.8413）【答案】0.6826答疑編號(hào)918150205【解析】（1）- （-1）=2（1）-1=20.8413-1=0.6826【提示】注意：正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)化代換為必考內(nèi)容.16.設(shè)隨機(jī)變量X服從區(qū)間2，上的均勻分布，且概率密度f（x）=則=_.答疑編號(hào)918150206【答案】6【解析】根據(jù)均勻分布的定義，-2=4，所以=6，故填寫6.17.設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的分布律01200.10.15010.250.20.120.100.1則PX=Y=_.答疑編號(hào)918150207【答案】0

10、.4【解析】PX=Y=PX=0,Y=0+PX=1,Y=1+PX=2,Y=2=0.1+0.2+0.1=0.4故填寫0.4.18.設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）N（0，0，1，4，0），則X的概率密度fX （x）=_.答疑編號(hào)918150208【答案】，-x0 （1,2,n）； A1A2An=，則對(duì)于內(nèi)的任意事件B，都有；（2）貝葉斯公式：條件同A，則，I=1,2,n。（3）上述事件A1,A2,An構(gòu)成空間的一個(gè)劃分，在具體題目中，“劃分”可能需要根據(jù)題目的實(shí)際意義來選擇。27.已知二維隨機(jī)變量（X，Y）的分布律-10100.30.20.110.10.30求：（1）X和Y的分布律；（2）Cov（X，Y）

11、.答疑編號(hào)918150302【分析】本題考查離散型二維隨機(jī)變量的邊緣分布及協(xié)方差。【解析】（1）根據(jù)二維隨機(jī)變量（X,Y）的聯(lián)合分布律，有X的邊緣分布律為X01P0.60.4Y的邊緣分布律為Y101P0.40.50.1（2）由（1）有E（X）=00.6+10.4=0.4，E（Y）=（-1）0.4+00.5+10.1=-0.3又+1（-1）0.1+100.3+110=-0.1所以cov（X,Y）=E（XY）-E（X）E（Y）=-0.1-0.4（-0.3）=0.02?！咎崾尽繀f(xié)方差：A）定義：稱E（X-E（X）（Y=E（Y）為隨機(jī)變量X與Y的協(xié)方差。記做Cov（X,Y）.B）協(xié)方差的計(jì)算 離散型二

12、維隨機(jī)變量：； 連續(xù)性二維隨機(jī)變量：； 協(xié)方差計(jì)算公式：cov（X,Y）=E（XY）-E（X）（Y）； 特例：cov（X,Y）=D（X）.C）協(xié)方差的性質(zhì)：Cov（X,Y）Cov（Y,X）；Cov（aX,bY）abCov（X,Y），其中a，b為任意常數(shù)；Cov（X1+X2,Y）Cov（X1,Y）Cov（X2,Y）；若X與Y相互獨(dú)立，Cov（X,Y）0，協(xié)方差為零只是隨機(jī)變量相互獨(dú)立的必要條件，而不是充分必要條件；四、綜合題（本大題共2小題，每小題12分，共24分）28.某次抽樣結(jié)果表明，考生的數(shù)學(xué)成績(jī)（百分制）近似地服從正態(tài)分布N（75，2），已知85分以上的考生數(shù)占考生總數(shù)的5%，試求考生成

13、績(jī)?cè)?5分至85分之間的概率.答疑編號(hào)918150303【分析】本題計(jì)算過程可按服從正態(tài)分布進(jìn)行?！窘馕觥吭O(shè)考生的數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)殡S機(jī)變量X，已知XN（75,2），且其中 ZN0,1。所以。因此，考生成績(jī)?cè)?5分至85分之間的概率約為0.9.29.設(shè)隨機(jī)變量X服從區(qū)間0，1上的均勻分布，Y服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，且X與Y相互獨(dú)立.求：（1）X及Y的概率密度；（2）（X，Y）的概率密度；（3）PXY.答疑編號(hào)918150304【分析】本題考查兩種分布，相互獨(dú)立的隨機(jī)變量的性質(zhì)及二維隨機(jī)變量概率的計(jì)算?！窘馕觥坑梢阎?XU0,1，YE（1），（1）X的概率密度函數(shù)為，Y的概率密度函數(shù)為（2）因?yàn)閄與Y相

14、互獨(dú)立，所以f（x,y）=f（x）f（y），則,（3）積分區(qū)域D如圖所示，則有D：【提示】1. 1. 隨機(jī)變量X，Y相互獨(dú)立。2.二重積分化二次積分的方法。3.定積分的第一換元法。五、應(yīng)用題（10分）30.某種產(chǎn)品用自動(dòng)包裝機(jī)包裝，每袋重量XN（500，22）（單位：g），生產(chǎn)過程中包裝機(jī)工作是否正常要進(jìn)行隨機(jī)檢驗(yàn).某天開工后抽取了9袋產(chǎn)品，測(cè)得樣本均值=502g. 問：當(dāng)方差不變時(shí)，這天包裝機(jī)工作是否正常（=0.05）?（附：u0.025=1.96）答疑編號(hào)918150305【分析】本題考查單正態(tài)總體、方差已知、均值的假設(shè)檢驗(yàn)?！窘馕觥吭O(shè)假設(shè)檢驗(yàn)的假設(shè)H0：=0=500；H1：0=500，已

15、知XN（500,22），所以選擇適合本題的統(tǒng)計(jì)量u統(tǒng)計(jì)量，由檢驗(yàn)水平=0.05，本題是雙側(cè)檢驗(yàn)，所以查表得臨界值從而得到拒絕域 根據(jù)樣本得到統(tǒng)計(jì)量的樣本觀察值因?yàn)椋跃芙^H0，即可以認(rèn)為這臺(tái)包裝機(jī)的工作不正常?！咎崾尽考僭O(shè)檢驗(yàn)的基本步驟1.提出統(tǒng)計(jì)假設(shè)：根據(jù)理論或經(jīng)驗(yàn)對(duì)所要檢驗(yàn)的量作出原假設(shè)（零假設(shè)）H0和備擇假設(shè)H1，要求只有其一為真。如對(duì)總體均值檢驗(yàn)，原假設(shè)為H0：=0，備擇假設(shè)為下列三種情況之一：H1：，其中i）為雙側(cè)檢驗(yàn)，ii），iii）為單側(cè)檢驗(yàn)。2.選擇適當(dāng)?shù)臋z驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，滿足： 必須與假設(shè)檢驗(yàn)中待檢驗(yàn)的“量”有關(guān)； 在原假設(shè)成立的條件下，統(tǒng)計(jì)量的分布或漸近分布已知。3.求拒絕域：按問題的要求，根據(jù)給定顯著水平查表確定對(duì)應(yīng)于的臨界值，從而得到對(duì)原假設(shè)H0的拒絕域W。4.求統(tǒng)計(jì)量的樣本值并決策：根據(jù)樣本值計(jì)算統(tǒng)計(jì)量的值，若該值落入拒絕域w內(nèi)，則拒絕H0，接受H1，否則，接受H0。四、簡(jiǎn)要總結(jié)1.關(guān)于本套試題（1）整套考題（共30題）所有題目幾乎均可在課本上找到其原型（2）兩種考查內(nèi)容所有的考試，包括中考、高考及考研，試題不外乎考查個(gè)內(nèi)容：知識(shí)和能力?？疾橹R(shí)其實(shí)就是考查對(duì)課本內(nèi)容的理解和記憶，這類題目一般難度不大，而考查能力的題目的難度