第7章 測量誤差的基本知識

1、第七章第七章 測量誤差基本知識測量誤差基本知識第一節(jié)第一節(jié) 測量誤差概述測量誤差概述第二節(jié)第二節(jié) 大量偶然誤差的特性大量偶然誤差的特性第三節(jié)第三節(jié) 無真值條件下的最或是值無真值條件下的最或是值第四節(jié)第四節(jié) 觀測值精度評價指標觀測值精度評價指標第五節(jié)第五節(jié) 誤差傳播定律及應用誤差傳播定律及應用【知識目標知識目標】了解：測量誤差及其產(chǎn)生的原因、偶然誤差的特性。了解：測量誤差及其產(chǎn)生的原因、偶然誤差的特性。理解：測量誤差的分類與處理原則、觀測值精度的評價理解：測量誤差的分類與處理原則、觀測值精度的評價指標。指標。掌握：誤差傳播定律。掌握：誤差傳播定律?！炯寄苣繕思寄苣繕恕磕芊治稣`差產(chǎn)生的原因及誤差的

2、種類。能分析誤差產(chǎn)生的原因及誤差的種類。能對各種具體的誤差進行分析、歸類。能對各種具體的誤差進行分析、歸類。能計算相對誤差。能計算相對誤差。 測量實踐中可以發(fā)現(xiàn)，測量結果不可避免的存在測量實踐中可以發(fā)現(xiàn)，測量結果不可避免的存在誤差誤差，比如：，比如：1 1、對同一量多次觀測，其觀測值不相同。、對同一量多次觀測，其觀測值不相同。2 2、觀測值之和不等于理論值：、觀測值之和不等于理論值：三角形三角形 +180+180 閉合水準測量閉合水準測量 h0h0第一節(jié)第一節(jié) 測量誤差概述（理解）測量誤差概述（理解）一、測量誤差及其產(chǎn)生的原因一、測量誤差及其產(chǎn)生的原因測量誤差概念：測量誤差概念：觀測值：觀測值

3、：對某一被觀測量進行直接觀測所獲得的數(shù)值。對某一被觀測量進行直接觀測所獲得的數(shù)值。真真 值：值：反映一個量真正大小的絕對準確的數(shù)值。反映一個量真正大小的絕對準確的數(shù)值。誤誤 差：差：真值與觀測值之差（真值與觀測值之差（真誤差真誤差） = = L L真真 L L觀觀 X XL L觀觀 或或L L觀觀LL真真L L觀觀X X等精度觀測：等精度觀測：觀測條件相同的各次觀測。觀測條件相同的各次觀測。不等精度觀測：不等精度觀測：觀測條件不相同的各次觀測。觀測條件不相同的各次觀測。（1） 測量儀器測量儀器 （2） 觀測者觀測者 （3）外界環(huán)境）外界環(huán)境觀測條件觀測條件二、二、 測量誤差按其性質可分為測量誤

4、差按其性質可分為系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差、偶然誤差偶然誤差和和粗差粗差。（1）系統(tǒng)誤差的特性：）系統(tǒng)誤差的特性： 誤差的絕對值為一常量，或按一定的規(guī)律變化；誤差的絕對值為一常量，或按一定的規(guī)律變化； 誤差的正負號保持不變，或按一定的規(guī)律變化；誤差的正負號保持不變，或按一定的規(guī)律變化； 誤差的絕對值隨著單一觀測值的倍數(shù)而積累。誤差的絕對值隨著單一觀測值的倍數(shù)而積累。 1、系統(tǒng)誤差、系統(tǒng)誤差 在相同的觀測條件下，對某一觀測量進行一系列的在相同的觀測條件下，對某一觀測量進行一系列的觀測，若誤差的大小和符號相同，或按照一定的規(guī)律變觀測，若誤差的大小和符號相同，或按照一定的規(guī)律變化，則稱之為系統(tǒng)誤差?；?，則稱之

5、為系統(tǒng)誤差。（2）系統(tǒng)誤差的減弱方法：）系統(tǒng)誤差的減弱方法： 檢校儀器，把系統(tǒng)誤差降低到最小程度；檢校儀器，把系統(tǒng)誤差降低到最小程度； 加改正數(shù)，在觀測結果中加入系統(tǒng)誤差改正數(shù)；加改正數(shù)，在觀測結果中加入系統(tǒng)誤差改正數(shù)； 采用適當?shù)挠^測方法，使系統(tǒng)誤差相互抵消或減弱。采用適當?shù)挠^測方法，使系統(tǒng)誤差相互抵消或減弱。 在相同的觀測條件下，對觀測量進行一系列觀測，在相同的觀測條件下，對觀測量進行一系列觀測，誤差出現(xiàn)的大小及符號在個體上沒有任何規(guī)律，具誤差出現(xiàn)的大小及符號在個體上沒有任何規(guī)律，具有偶然性。但對大量的觀測誤差而言，它們遵循正有偶然性。但對大量的觀測誤差而言，它們遵循正態(tài)分布的統(tǒng)計規(guī)律，這

6、類誤差稱為態(tài)分布的統(tǒng)計規(guī)律，這類誤差稱為偶然誤差偶然誤差，或稱，或稱為隨機誤差。為隨機誤差。 偶然誤差是不可避免的，是由于人力所不能控制偶然誤差是不可避免的，是由于人力所不能控制的因素或無法估計的因素共同引起的測量誤差。的因素或無法估計的因素共同引起的測量誤差。 人力所不能控制的因素：人眼的分辨力、儀器的人力所不能控制的因素：人眼的分辨力、儀器的極限精度和氣象因素等。極限精度和氣象因素等。 2、偶然誤差、偶然誤差（1）偶然誤差的示例：）偶然誤差的示例： N No o9.4 9.7 9.5 9.6 9.3 9.2 9.6 0.1 -0.2 0 -0.1 0.2 0.3 -0.1 1 2 3 4

7、5 6 7 = L= L真真 L L觀觀 = X= XL L010D9.5cm=X（2）偶然誤差的減弱方法：）偶然誤差的減弱方法：提高儀器等級：可使觀測值的精度得到有效的提高，提高儀器等級：可使觀測值的精度得到有效的提高，從而限值偶然誤差的大小。從而限值偶然誤差的大小。降低外界影響：選擇有利的觀測環(huán)境，減小觀測值的降低外界影響：選擇有利的觀測環(huán)境，減小觀測值的波動。波動。進行多余觀測：在測量工作中進行多余必要觀測的觀進行多余觀測：在測量工作中進行多余必要觀測的觀測，稱為多余觀測。測，稱為多余觀測。3 3、粗差（錯誤）粗差（錯誤）由有關人員的粗心大意或儀器故障所造成的差錯稱為粗由有關人員的粗心大

8、意或儀器故障所造成的差錯稱為粗差。差。（1）產(chǎn)生的原因：）產(chǎn)生的原因：較多較多 可能由于作業(yè)人員疏忽大意、失職而引起，如大數(shù)讀可能由于作業(yè)人員疏忽大意、失職而引起，如大數(shù)讀錯、讀數(shù)被記錄員記錯、照錯了目標等。錯、讀數(shù)被記錄員記錯、照錯了目標等。 也可能是儀器自身或受外界干擾發(fā)生故障引起。也可能是儀器自身或受外界干擾發(fā)生故障引起。（2）粗差對觀測成果的影響極大，）粗差對觀測成果的影響極大，所以在測量成果所以在測量成果中絕對不允許有其存在。中絕對不允許有其存在。（3）發(fā)現(xiàn)粗差的方法：）發(fā)現(xiàn)粗差的方法：進行必要的重復觀測，通過進行必要的重復觀測，通過多余觀測條件，進行檢核驗算；嚴格按照國家有多余觀測

9、條件，進行檢核驗算；嚴格按照國家有關部門制定的各種測量規(guī)范進行作業(yè)等。關部門制定的各種測量規(guī)范進行作業(yè)等。 總結：總結：在測量工作中，一般需要進行多余觀測，發(fā)在測量工作中，一般需要進行多余觀測，發(fā)現(xiàn)粗差，將其剔除或重測?，F(xiàn)粗差，將其剔除或重測。（1）有限性：）有限性：在一定的觀測條件下，偶然誤差的絕對值不會超過在一定的觀測條件下，偶然誤差的絕對值不會超過一定的限值；一定的限值；（2）集中性：）集中性：即絕對值較小的誤差比絕對值較大的誤差出現(xiàn)的概即絕對值較小的誤差比絕對值較大的誤差出現(xiàn)的概率大；率大；（3）對稱性：）對稱性：絕對值相等的正、負誤差出現(xiàn)的概率相同；絕對值相等的正、負誤差出現(xiàn)的概率相

10、同；（4）抵償性：）抵償性：當觀測次數(shù)無限增多時，偶然誤差的算術平均值趨當觀測次數(shù)無限增多時，偶然誤差的算術平均值趨近于零，即近于零，即0limnn 一、偶然誤差的特性：一、偶然誤差的特性： 式中，式中， 在數(shù)理統(tǒng)計中，在數(shù)理統(tǒng)計中， 也稱偶然誤差的也稱偶然誤差的 數(shù)學期望為零，即數(shù)學期望為零，即E()=0。 n21第二節(jié)第二節(jié) 大量大量偶然誤差的特性偶然誤差的特性（了解）（了解）偶然誤差偶然誤差誤差分布曲線誤差分布曲線 偶然誤差的出現(xiàn)服從標準正態(tài)分布，實踐中，可偶然誤差的出現(xiàn)服從標準正態(tài)分布，實踐中，可以根據(jù)偶然誤差的特性合理地處理觀測數(shù)據(jù)，以減少以根據(jù)偶然誤差的特性合理地處理觀測數(shù)據(jù)，以減

11、少偶然誤差對測量成果的影響。偶然誤差對測量成果的影響。 在實際測量工作中，只有極少數(shù)觀測量的理論值或真值是可以在實際測量工作中，只有極少數(shù)觀測量的理論值或真值是可以預知的，一般情況下，由于測量誤差的影響，觀測值的真值是很難預知的，一般情況下，由于測量誤差的影響，觀測值的真值是很難測定的。為了提高觀測值的精度，測量上通常采用有限的多余觀測測定的。為了提高觀測值的精度，測量上通常采用有限的多余觀測，通過計算觀測值的算術平均值，通過計算觀測值的算術平均值 來代替觀測量的真值來代替觀測量的真值X，用改正，用改正數(shù)數(shù)Vi代替真誤差代替真誤差i，以解決實際問題。，以解決實際問題。第三節(jié)第三節(jié) 無真值條件下

12、的最或是值（理解）無真值條件下的最或是值（理解）x一、算術平均值一、算術平均值 在等精度觀測條件下，對未知量進行了在等精度觀測條件下，對未知量進行了n n次觀測，其觀測值分次觀測，其觀測值分別為別為l1l1，l2.l2.，lnln，將這些觀測值取算術平均值，將這些觀測值取算術平均值 ：xnlnllxln.21 當觀測次數(shù)無限增多時，觀測值的當觀測次數(shù)無限增多時，觀測值的算術平均值算術平均值趨近于該量的趨近于該量的真真值值X X。但是在實際測量中，不可能對某一量進行無限次觀測，因此，。但是在實際測量中，不可能對某一量進行無限次觀測，因此，就把有限個觀測值的就把有限個觀測值的算術平均值算術平均值作

13、為該量的作為該量的最或是值最或是值，也稱為觀測，也稱為觀測值的值的最可靠值最可靠值。二、觀測值的改正數(shù)二、觀測值的改正數(shù) 0l.n2211lnlnlxnvxvlxvlxvn 算術平均值與觀測值之差，稱為觀測值的改正數(shù)算術平均值與觀測值之差，稱為觀測值的改正數(shù)vivi。一組觀測值取算術平均值后，其改正數(shù)之和恒等于零。一組觀測值取算術平均值后，其改正數(shù)之和恒等于零。第四節(jié)第四節(jié) 觀測值精度評價指標（掌握）觀測值精度評價指標（掌握）一、中誤差一、中誤差 在等精度觀測條件下，對真值在等精度觀測條件下，對真值X X的某一量進行的某一量進行n n次次觀測，其觀測值為觀測，其觀測值為l l1 1，l l2

14、2，.，l ln n，則每次觀測中產(chǎn)，則每次觀測中產(chǎn)生的真誤差為生的真誤差為1 1，2 2，.，n n，取各真誤差平方，取各真誤差平方和的平均值的平方根，作為觀測值的中誤差，即和的平均值的平方根，作為觀測值的中誤差，即nnmn22221.1、用真誤差來確定中誤差、用真誤差來確定中誤差 由上述計算結果中可以看出，由上述計算結果中可以看出，1組的中誤差較小，所以觀測組的中誤差較小，所以觀測精度高于精度高于2組。組。 在測量工作中，普遍采用中誤差來評定測量成果的精度。在測量工作中，普遍采用中誤差來評定測量成果的精度?！纠}例題】 1、2兩組分別用相同的觀測條件觀測了某角度兩組分別用相同的觀測條件觀測

15、了某角度各六次，與真值比較得真誤差分別為：各六次，與真值比較得真誤差分別為：1組：組：+2、+1、2、3、2、3；2組：組：+5、4、+1、4、3、+6。試分析兩組觀測值的精度。試分析兩組觀測值的精度。解：解：用中誤差公式（用中誤差公式（5-7）計算得）計算得1 . 466)3()4(14)(5nm.6)3(2)()3(2)(12nm222222222222 2132),.,2 , 1(nilxvii2、用觀測值的改正數(shù)來確定中誤差、用觀測值的改正數(shù)來確定中誤差 在實際測量工作中，觀測值的真值在實際測量工作中，觀測值的真值X X往往是不知道，往往是不知道，因此，真誤差因此，真誤差ii也無法求得

16、，此時，要通過計算觀測值也無法求得，此時，要通過計算觀測值的算術平均值的算術平均值 來代替觀測量的真值來代替觀測量的真值X X，用觀測值的改正，用觀測值的改正數(shù)數(shù)vivi代替真誤差代替真誤差ii，在此情況下，中誤差的計算公式為，在此情況下，中誤差的計算公式為x 1nvvm二、容許誤差二、容許誤差 通常以兩倍中誤差作為偶然誤差的極限值通常以兩倍中誤差作為偶然誤差的極限值限，并限，并稱為極限誤差或容許誤差，即稱為極限誤差或容許誤差，即限限2m2m。 在測量中，如某觀測量的誤差超過了容許誤差，就在測量中，如某觀測量的誤差超過了容許誤差，就可以認為它是錯誤的，其觀測值應舍去重測。可以認為它是錯誤的，其

17、觀測值應舍去重測。相對誤差相對誤差K等于絕對誤差的絕對值與相應觀測值等于絕對誤差的絕對值與相應觀測值D之比，它是一個無名數(shù)，通常用分子為之比，它是一個無名數(shù)，通常用分子為1的分數(shù)表示的分數(shù)表示: : :角度、高差的誤差用角度、高差的誤差用絕對誤差絕對誤差(m)(m)表示，表示， 量距誤差用量距誤差用相對誤差相對誤差K K表示。表示。NmK1mL1L式中式中 K K相對誤差；相對誤差； m m觀測誤差（中誤差）；觀測誤差（中誤差）； L L觀測量的值；觀測量的值； N N相對誤差分母。相對誤差分母。誤差傳播定律：闡述觀測值的中誤差與其函數(shù)中誤差傳播定律：闡述觀測值的中誤差與其函數(shù)中誤差之間傳播規(guī)

18、律的定律。誤差之間傳播規(guī)律的定律。 函數(shù)形式倍數(shù)函數(shù)和差函數(shù)線性函數(shù)一般函數(shù)觀測值的函數(shù)觀測值的函數(shù)-又稱為間接觀測量又稱為間接觀測量 間接觀測量間接觀測量: :由直接觀測的量，通過函數(shù)關系間接計算得出的量。由直接觀測的量，通過函數(shù)關系間接計算得出的量。用水準儀測量兩點間的高差用水準儀測量兩點間的高差h，通過直接觀測值后，通過直接觀測值后視讀數(shù)視讀數(shù)a 和前視讀數(shù)和前視讀數(shù)b 來求得的高差：來求得的高差：h = ab 間接觀測量的誤差：間接觀測量的誤差：由于直接觀測值由于直接觀測值(a、b)中都帶有誤差中都帶有誤差,函數(shù)函數(shù)(間接觀測量間接觀測量 )也也必然受到影響而產(chǎn)生誤差必然受到影響而產(chǎn)生

19、誤差.一、倍數(shù)函數(shù)一、倍數(shù)函數(shù)設有函數(shù)設有函數(shù)Zkx，式中，式中，k為常數(shù)，為常數(shù)，x為直接觀測值，為直接觀測值，其中誤差為其中誤差為mx，現(xiàn)求觀測值函數(shù)，現(xiàn)求觀測值函數(shù)Z的中誤差的中誤差mz。則有則有mzkmx（推導過程略）（推導過程略）即觀測值倍數(shù)函數(shù)的中誤差，等于觀測值中誤差乘倍數(shù)。即觀測值倍數(shù)函數(shù)的中誤差，等于觀測值中誤差乘倍數(shù)。例：用水平視距公式例：用水平視距公式D Dklkl求平距，已知觀測視距間隔求平距，已知觀測視距間隔的中誤差的中誤差m ml l1cm1cm，k k100100。則平距的中誤差則平距的中誤差m mD D100100m ml l1m1m。二、和差函數(shù)二、和差函數(shù)2

20、22yxzmmm 設有函數(shù)設有函數(shù)z zx xy y，式中，式中，x x，y y為獨立觀測值，它為獨立觀測值，它們的中誤差分別為們的中誤差分別為mxmx和和mymy，則有，則有例：在例：在ABCABC中，對中，對AA和和BB進行了觀測，其觀測的中進行了觀測，其觀測的中誤差誤差mAmA和和mBmB分別為分別為3 3 和和44，試推算，試推算CC的中誤差的中誤差mcmc。解：解：CC180180AABB，為和差函數(shù)。，為和差函數(shù)。5432222 BAcmmm三、線性函數(shù)的中誤差三、線性函數(shù)的中誤差設有線性函數(shù)：設有線性函數(shù)：nnxkxkxkz22112222222121nnzmkmkmkm 設個獨

21、立觀測值設個獨立觀測值x x1 1，x x2 2，.，x xn n的中誤差為的中誤差為m m1 1，m m2 2，.，m mn n，則函數(shù)，則函數(shù)Z Z的中誤差為的中誤差為m mz z，可導出，可導出例：有一函數(shù)例：有一函數(shù)Z Z2x2x1 1x x2 23x3x3 3，其中，其中x x1 1，x x2 2，x x3 3的中誤的中誤差分別為差分別為3mm3mm，2mm2mm，1mm1mm。0 . 7326222 zm四、算術平均值的中誤差四、算術平均值的中誤差nnlnlnlnnlllx1.11.2121 對某一量對某一量X X進行了進行了n n次等精度觀測，各次觀測中誤差次等精度觀測，各次觀測

22、中誤差為為m m，求某算術平均值的中誤差，求某算術平均值的中誤差M M。 解：算術平均值可以寫為解：算術平均值可以寫為 算術平均值的中誤差算術平均值的中誤差mnmnmnmnMn1)1(.)1()1(22221 總結：算術平均值的中誤差是觀測值中誤差總結：算術平均值的中誤差是觀測值中誤差的的n1五、一般函數(shù)的中誤差（自學五、一般函數(shù)的中誤差（自學 P112）習題解答：習題解答：1 1、設有一正方形建筑物，量得其一邊長為、設有一正方形建筑物，量得其一邊長為a a、其中誤差、其中誤差m ma a3mm3mm，求周長的中誤差。若以相同精度測量其四邊，求周長的中誤差。若以相同精度測量其四邊，各邊的中誤差

23、均為各邊的中誤差均為3mm3mm，則周長的中誤差又為多少。，則周長的中誤差又為多少。解：（解：（1 1）周長周長4a4a，為倍數(shù)函數(shù)，則有，為倍數(shù)函數(shù)，則有 m m周周4 4m ma a4 43mm3mm12mm12mm （2 2）周長周長a a1 1a a2 2a a3 3a a4 4，為和差函數(shù)，則有，為和差函數(shù)，則有 m m周周mma a1 12 2m ma a2 22 2m ma a3 32 2m ma a4 42 236mm36mm6mm6mm2 2、在、在ABCABC中，觀測中，觀測AA的中誤差為的中誤差為mAmA3030，BB的的中誤差為中誤差為mBmB3030，則，則CC的中誤差的中誤差mcmc為多少？由為多少？由A A角角平分線平分線AOAO與與B B角平分線角平分線BOBO和和ABAB組成的組成的ABOABO，則，則OO的中的中誤差誤差momo為多少？（圖見為多少？（圖見p115p115）解：（解：（1 1）CC180180AABB（和差函數(shù)）（和差函數(shù)） mc mcmmA A2 2m mB B2 290090090090042.442.4 （2 2）OO180180A/2A/2B/2B/2（線性函數(shù)）