各種湍流模式的比較與分析_張曉前1153373

1、-張曉前 1153373 工程力學(xué)（創(chuàng)新試驗區(qū)）研究湍流的目的最終是為了預(yù)測和控制湍流。為了做到這些必須了解湍流的本質(zhì)。隨著電子計算機的發(fā)展，利用數(shù)值模擬方法研究湍流成了必不可少的方法。如果從流動控制方程出發(fā)，進行最精細的數(shù)值模擬，稱為直接數(shù)值模擬（DNS，Direct Numerical Simulation）。只需預(yù)測湍流的統(tǒng)計量時，從雷諾平均方程出發(fā)的模擬，稱為雷諾平均數(shù)值模擬（RANS，Reynolds Average Numerical Simulation）。介于DNS和RANS之間的是大渦模擬（LES，Large Eddy Simulation）。LES的思想是大尺度脈動用數(shù)值方

2、法計算，小尺度脈動對大尺度的作用通過 模型假設(shè)處理。以下我們主要討論雷諾平均 數(shù)值模擬（RANS）的封閉模式。湍流模式的基本思想在雷諾方程中建立雷諾應(yīng)力 和平均運動場間的關(guān)系式，就可以使雷諾方程封閉，此模式稱為低階矩模式。如果以雷諾方程和雷諾應(yīng)力輸運方程聯(lián)立作為湍流統(tǒng)計平衡的控制方程，這種模式稱為二階矩模式。此外，依據(jù)封閉關(guān)系式的數(shù)學(xué)方程模式，湍流模式又可分為代數(shù)模式或者微分模式。湍流的直接數(shù)值模擬（DNS）不存在封閉性問題，原則上可以求解所有湍流問題。由于計算機資源的限制，迄今為止DNS只能求低雷諾數(shù)的湍流簡單問題。雷諾統(tǒng)計平均模式（RANS）計算速度快而且符合設(shè)計精度要求，成為目前工程應(yīng)用

3、的唯一方法。RANS的缺點是缺乏普適性，要使這種方法稱為一種簡單可靠的方法還需要做很深入的工作。大渦數(shù)值模擬方法（LES）只對小尺度脈動做封閉模型，因此可能有較寬的適應(yīng)范圍。建立湍流統(tǒng)計模式的一般原理建立足夠的雷諾應(yīng)力方程組（代數(shù)、微分或一般泛函）使得平均運動方程可解。雷諾應(yīng)力是平均速度場和初邊值條件的泛函，待封閉項是平均速度場、邊界速度脈動和邊界湍動能的泛函。而泛函的具體形式很難用解析、實驗或者直接數(shù)值模擬的方式確定。因而湍流統(tǒng)計矩具有以下性質(zhì)： 1、泛函表達式不是局部的 2、脈動場的泛函形式除了與平均速度場有關(guān)，還隱含流場的幾何邊界。綜上所述，湍流脈動的統(tǒng)計矩中包含豐富的脈動場的性質(zhì)，但是

4、他們不可能用解析方法表達出來。因而我們不得不做各種假設(shè)，各個假設(shè)又有自己的適用范圍。應(yīng)用湍流模式既需要理性又需要經(jīng)驗。封閉模式方程的約束條件封閉模式方程的約束條件脈動速度的高階矩是張量，統(tǒng)計量之間是張量關(guān)系式。張量關(guān)系的封閉式必須滿足客觀性原則：張量函數(shù)的可表性原則 關(guān)于參照系統(tǒng)的不變性原則真實性原則漸近性原則常用的一些封閉模式常用的一些封閉模式渦粘模式是工程中廣泛應(yīng)用的模式，表達式和分子粘性類似。渦粘模式2階矩模式（也稱為雷諾應(yīng)力模式）比渦粘模式多6個雷諾應(yīng)力的偏微分方程代數(shù)渦粘模式（零方程模型）代數(shù)渦粘模式（零方程模型）雷諾應(yīng)力表達式即bussinesqe渦團粘度模式。 為平均切變率張量。

5、目前在工程上廣泛應(yīng)用的代數(shù)渦粘模式是Baldwin-Lomax模式。代數(shù)渦粘模式的評價 計算量少，只要附加粘性模塊就可以利用通常的N-S數(shù)值計算程序，是最受工程師們歡迎的方法。沒有普適性，適合對特定的流動做各種修正。 結(jié)論：二維薄層湍流預(yù)測結(jié)果滿意，三維復(fù)雜湍流基本不能滿意。iiijijTjiuuSuu312ijS標準標準 模式模式（兩方程（兩方程模型模型1）由渦粘模式發(fā)展而來，把渦粘系數(shù)和湍動能及湍動能耗散率聯(lián)系在一起。 ， 為無量綱系數(shù)。上式依據(jù)是脈動動量輸運的物理機制。 q為脈動速度的特征量， 為脈動長度尺度。在 模式中，k和 分別在他們的輸運方程中解出。湍動能消耗的機制十分復(fù)雜，對它的

6、方程做逐項?；瘞缀跏遣豢赡艿摹，F(xiàn)在采用的是基于類比方法，基本思想是湍動能耗散的生成、擴散以及消失等項和湍動能方程中的對應(yīng)項有類似的機制和公式。其封閉的方程如下：-k/2kCTCkqklqlT,/,2/3l-k模型方程的常數(shù)如下：關(guān)于標準 模式的評價主要缺點：1假定雷諾應(yīng)力和當(dāng)?shù)氐钠骄袘?yīng)變成正比，不能反應(yīng)雷諾應(yīng)力沿流向的松弛效應(yīng)；2 模式是各向同性的，不能反應(yīng)雷諾應(yīng)力的各向異性，尤其是近壁湍流；3不能反應(yīng)平均渦量的影響。為了克服 模式的缺點，發(fā)展了近代的非線性 模式。jkkjkkUPDtx jjUPDEtx ikijjUPu ux ()kTkkkDxx1iijjUPCu ukx (/)TkkD

7、xx22ECk120.09,1.3,1.45,1.90CCC-k非線性非線性 模式模式我們把雷諾應(yīng)力的泛函表達式近似為代數(shù)表達式，并把他做Taylor展開，并保留到2階項，得如下二次式:此模式不僅僅是代數(shù)意義上的二次式，它包括了渦粘系數(shù)的各向異性，歷史效應(yīng)以及平均渦量的影響。此模式能夠預(yù)測到方管湍流中的二次流，而標準 模式只能預(yù)測到流向均勻的單向平均流動。-k)31(2322312ijmnmnkjikijijjiSSSSkSkCkuu)31(232ijmnmnkjikk)(233ikjkkjikSSk)(235kijkijxSutSk非線性 模式較之標準 模式有很大改進，但仍具有渦粘模式的固有

8、缺陷，如沒有包括雷諾應(yīng)力的松弛效應(yīng)等。同時，在平均切變流很大的流場內(nèi)， 模式有可能不滿足真實性條件。最后，理論上 模式是以湍動能生成和耗散相平衡為基礎(chǔ)的，在固壁處分子粘性擴散將在湍動能中起重要作用，實際應(yīng)用中我們使用壁函數(shù)而不是數(shù)值積分對其處理。壁面律的最大缺陷是難以推廣到三維和復(fù)雜的湍流中，如果網(wǎng)格分辨率足夠，我們還可以對近壁 模式修正，稱為低雷諾數(shù)模型。-k-k-k-k-k 模式模式（兩方程模型兩方程模型2） 為湍動能比耗散率。此模式主要求解湍動能及它的比耗散率的對流輸運方程。已經(jīng)證明， 兩方程模式在粘性子層比 模式模式有更好的數(shù)值穩(wěn)定性。同時由于 在壁面處 較大，此模式不需要顯式的壁面衰

9、減函數(shù)。雷諾應(yīng)力的渦粘性方程 為渦粘性， 為流體密度， kk-k2 (/3) 2/3tijtijnnijijSSk t=/tkK和 的輸運方程為各個參數(shù)為邊界條件y1為離開避免第一個點的距離。()jttijijjjkku kSktxx 2()jttijijjjuStxxk539,0.5,0.5,Pr0.9940100t216k=0=10y和（ ）單方程渦粘系數(shù)輸運模式（一方單方程渦粘系數(shù)輸運模式（一方程模型）程模型）標準 模式是局部平衡模式，不能準確預(yù)測平均流動有劇烈變化的湍流，如流線曲率突然變化、分離流動以及有激波的可壓縮湍流。既要保持渦粘模式的簡單形式，又要考慮雷諾應(yīng)力的松弛效應(yīng)，Spal

10、art提出了單方程渦粘系數(shù)模式。仍然采用渦粘形式的雷諾應(yīng)力公式，但是放棄 ，而直接導(dǎo)出渦粘的輸運方程。對平均應(yīng)變率表達式的平方求質(zhì)點導(dǎo)數(shù)并代入雷諾應(yīng)力輸運方程，再加上雷諾應(yīng)力輸運方程的封閉模式，就能得到渦粘系數(shù)的封閉模式。常用的有Baldwin-Barth（BB）模式和Spalart-Allmaras（SA）模式。-k/2kCT渦粘模式的評價渦粘模式的評價渦粘模式在工程中應(yīng)用比較方便，主要缺點是它的局部性（Spalart模式除外）。如果從雷諾應(yīng)力輸運方程出發(fā)，雷諾應(yīng)力的歷史效應(yīng)就可以模擬，此封閉模式成為二階矩模式。2階矩模式的封閉式（階矩模式的封閉式（RSM）脈動速度2階矩的目的就是封閉以下雷

11、諾應(yīng)力輸運方程：待封閉項為 ， 和 。2階矩模式分別封閉擴散、耗散和壓強速度梯度相關(guān)項。ijijijkkCu uu uUtx ()ijijjjiiikjkkkjiPUuUupu uu uxxxx ()2ijijjijjiijkikijkkkkkDEp uu uup uuu u uxxxx ijijDijE雷諾應(yīng)力再分配項的模式：b為無量綱化的雷諾應(yīng)力偏張量：模式常數(shù)由典型湍流的實驗結(jié)果確定如下：最后一項稱為壁面項，只在極近壁處有較大貢獻，通常忽略或者合并到其他項。12342()()3ijijijikijjkikmnmnijikjkjkklijC bC kSC k b Sb Sb SC k bb

12、 11()3ijijijijbu uu uk 12343.6,0.8,0.6,0.6CCCC雷諾應(yīng)力耗散項的模式：在湍流統(tǒng)計方程的封閉模式中，湍流輸運的耗散模式是最難建立的。耗散包括大渦耗散，小渦耗散，湍動能耗散的擴散項，湍動能耗散的耗散項和湍動能耗散的分子擴散項。目前常用各向同性的耗散模型。 。這是不得已而為之，但是目前還未提出工程中更實用、更好的耗散模式。23ijij雷諾應(yīng)力擴散項的模式：擴散項包括3階矩和壓強脈動速度關(guān)聯(lián)，一般情況，后者相對前者小得多，所以把其放在3階項里一起處理。擴散項通常采用梯度形式封閉，簡單的模型采用各向同性形式考慮各向異性還有其他推廣形式。 是雷諾應(yīng)力。模式常數(shù)

13、。22()()3jijjkijiikjkikijkskijkp uu up uku u uCxxxx ij0.11sC 2階矩模式的評價包括了雷諾應(yīng)力的發(fā)展過程，能很好的預(yù)測復(fù)雜湍流。近壁雷諾應(yīng)力各向異性很強，各向同性的耗散模式有待改進。2階矩模式的不足之處在近壁湍流，強旋轉(zhuǎn)湍流中尤其突出。代數(shù)形式的代數(shù)形式的2階矩模式（階矩模式（ASM）雷諾應(yīng)力輸運局部平衡假定：不計雷諾應(yīng)力質(zhì)點導(dǎo)數(shù)，只有生成、耗散和再分配3項。Rodi提出代數(shù)應(yīng)力模式（ASM），忽略雷諾應(yīng)力沿平均軌跡的變化和擴散，得到雷諾應(yīng)力的隱式代數(shù)方程。代入各項得實用公式：ASM模式和 模式一樣是基于局部平衡假定，在這方面有同樣的缺點。但ASM放棄了雷諾應(yīng)力和平均切變率間各向同性的假定，因此在準平衡的三維定常湍流的預(yù)測比 模式要好，但在二維并沒有比 模式有多大優(yōu)勢。0ijijijP 21222(1)()()033ijijijijkC PCu ukC Pk 關(guān)于湍流模式的綜合評述關(guān)于湍流模式的綜合評述湍流模式是目前預(yù)測復(fù)雜湍流的唯一工具。即使直接數(shù)值模擬復(fù)雜湍流成為現(xiàn)實，快速準確地預(yù)測湍流統(tǒng)計特性的模型仍