概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程總結(jié)

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程總結(jié)課程總結(jié)第一章第一章 主要內(nèi)容及要求：主要內(nèi)容及要求：1 1）熟練掌握事件的關(guān)系與運(yùn)算法則：包含、和、）熟練掌握事件的關(guān)系與運(yùn)算法則：包含、和、積、差、互不相容、對(duì)立等關(guān)系和德摩根定律積、差、互不相容、對(duì)立等關(guān)系和德摩根定律. .會(huì)會(huì)用事件的關(guān)系表示隨機(jī)事件用事件的關(guān)系表示隨機(jī)事件. .,BA ,BA,ABBA BA ,BAABA , BA AAAA ,退 出前一頁后一頁目 錄.; BABA2）掌握概率的定義及性質(zhì)，會(huì)求常用的古典概型）掌握概率的定義及性質(zhì)，會(huì)求常用的古典概型中的概率；中的概率；)()()()3(APBPABPBA )(1)()1(APA

2、P )()()()()()2(APBAPABPBPABP退 出前一頁后一頁目 錄3）熟練運(yùn)用條件概率的定義，事件的互不相容性，）熟練運(yùn)用條件概率的定義，事件的互不相容性，事件的獨(dú)立性質(zhì)事件的獨(dú)立性質(zhì). ;) 1 (BPABPBAP 退 出前一頁后一頁目 錄( (2)2)互不相容事件互不相容事件: : AB = ;(3) A與與B相互獨(dú)立相互獨(dú)立：P (A | B) = P ( A )退 出前一頁后一頁目 錄4）熟練運(yùn)用加法公式，乘法公式，全概率公式，）熟練運(yùn)用加法公式，乘法公式，全概率公式，貝葉斯公式貝葉斯公式.（1 1）加法公式）加法公式: : 對(duì)試驗(yàn)對(duì)試驗(yàn)E 的任意兩個(gè)事件的任意兩個(gè)事件A

3、 和和B 有有P(AB ) = P(A ) + P(B ) - P(AB ) 若若A和和B互不相容互不相容，有，有P(AB ) = P(A ) + P(B )(2)(2)乘法公式乘法公式設(shè)設(shè)P ( B ) 0，則有則有P ( AB ) = P ( B ) P ( A|B )若若P ( A ) 0，有有P ( AB ) = P ( A ) P ( B|A )退 出前一頁后一頁目 錄若事件若事件A與與B相互獨(dú)立相互獨(dú)立P (AB) = P ( A ) P ( B )(3)(3)全概率公式：全概率公式：設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本為的樣本為 ，A ， B1，B2 ，Bn 為為 的一個(gè)有限劃分，且的一

4、個(gè)有限劃分，且P(Bi) 0, i = 1, 2, , n ; 則則有有 niiiBAPBPAP1)|()()(退 出前一頁后一頁目 錄(4)(4)貝葉斯公式貝葉斯公式設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本為的樣本為 ，A ， B1，B2 ，Bn 為為 的一個(gè)有限劃分，且的一個(gè)有限劃分，且P(Bi) 0, i = 1, 2, , n ; 則則 niiijjjBAPBPBAPBPABP1)|()()|()()|(第二章第二章 主要內(nèi)容及要求：主要內(nèi)容及要求：1）掌握隨機(jī)變量分布函數(shù)的定義及性質(zhì)）掌握隨機(jī)變量分布函數(shù)的定義及性質(zhì):)(xXPxF F (x) 是一個(gè)是一個(gè)單調(diào)單調(diào)不減右連續(xù)的函數(shù)；不減右連續(xù)的

5、函數(shù)； ; 1)(0 xF退 出前一頁后一頁目 錄 bXaP aFbF ; 1)(lim, 0)(lim xFxFxx2）掌握離散型隨機(jī)變量分布律的定義和性質(zhì)，會(huì)）掌握離散型隨機(jī)變量分布律的定義和性質(zhì)，會(huì) 求離散型隨機(jī)變量的分布律；求離散型隨機(jī)變量的分布律；X 1x 2x ， nx P 1p 2p ， np ;0 npn，有有對(duì)對(duì)任任意意的的自自然然數(shù)數(shù). 1 nnp退 出前一頁后一頁目 錄,1,2,3,iiP Xxpi3）掌握連續(xù)型隨機(jī)變量概率密度的性質(zhì)：）掌握連續(xù)型隨機(jī)變量概率密度的性質(zhì)：會(huì)確定密度函數(shù)中的未知參數(shù)，會(huì)確定密度函數(shù)中的未知參數(shù)，掌握分布函數(shù)與概率密度的關(guān)系，掌握分布函數(shù)與概

6、率密度的關(guān)系，會(huì)運(yùn)用概率密度求連續(xù)型隨機(jī)變量取值落在實(shí)軸某會(huì)運(yùn)用概率密度求連續(xù)型隨機(jī)變量取值落在實(shí)軸某一區(qū)間上的概率一區(qū)間上的概率. xdttfxF;)()()3(; 1)()2( dxxf)()()5(1221xFxFxXxP ;)(21 xxdxxf).()()4(xfxF 退 出前一頁后一頁目 錄(1)0)(xf4）兩點(diǎn)分布，一次貝努里試驗(yàn)，）兩點(diǎn)分布，一次貝努里試驗(yàn)，A發(fā)生的次數(shù)；發(fā)生的次數(shù)；X B ( 1, p ), nkppCkXPknkkn，101 ，210! kekkXPk 6）泊松分布；）泊松分布；n比較大比較大,p比較小比較小, =np， X P ( ),5）二項(xiàng)分布，）二

7、項(xiàng)分布，n重貝努里試驗(yàn)，重貝努里試驗(yàn)，A發(fā)生的次數(shù)發(fā)生的次數(shù). 若若 X 表示表示n重貝努里試驗(yàn)中成功出現(xiàn)的次數(shù)，重貝努里試驗(yàn)中成功出現(xiàn)的次數(shù)，則則 X B ( n , p ),退 出前一頁后一頁目 錄7）均勻分布）均勻分布: X U a , b8）指數(shù)分布）指數(shù)分布: X Exp ( 其其它它01bxaabxf 000 xxexfx 退 出前一頁后一頁目 錄9）正態(tài)分布及其性質(zhì)：正態(tài)分布及其性質(zhì)：理解一般正態(tài)分布函數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)的關(guān)系，理解一般正態(tài)分布函數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)的關(guān)系，會(huì)查表求概率，正態(tài)變量的線性變換仍然是正態(tài)變會(huì)查表求概率，正態(tài)變量的線性變換仍然是正態(tài)變量量. :10，N

8、X xexx2221 退 出前一頁后一頁目 錄 :2 ，NX xexfx22221 )(xXPxFX)( x).()( abbXaP),(2 NX若若 .)( ,2 abaNbaXY 有有退 出前一頁后一頁目 錄 xx 1)(0,1 .XN第三章主要內(nèi)容及要求：第三章主要內(nèi)容及要求：1）掌握二維離散型隨機(jī)變量分布律的定義；會(huì)求）掌握二維離散型隨機(jī)變量分布律的定義；會(huì)求二維離散型隨機(jī)變量的分布律；二維離散型隨機(jī)變量的分布律；2）掌握二維連續(xù)型隨機(jī)變量概率密度的性質(zhì)：會(huì)）掌握二維連續(xù)型隨機(jī)變量概率密度的性質(zhì)：會(huì)運(yùn)用概率密度求二維連續(xù)型隨機(jī)變量取值落在平面運(yùn)用概率密度求二維連續(xù)型隨機(jī)變量取值落在平面

9、某一區(qū)域上的概率某一區(qū)域上的概率. GdxdyyxfGYXP.),(),(退 出前一頁后一頁目 錄3）掌握二維均勻分布的定義及性質(zhì)；）掌握二維均勻分布的定義及性質(zhì)； DyxDyxAyxf，01.),(),(ABdxdyyxfGYXPG DxyAGB4）會(huì)求邊緣分布律和邊緣概率密度；）會(huì)求邊緣分布律和邊緣概率密度； dyyxfxfX， dxyxfyfY，退 出前一頁后一頁目 錄 iixXPp . jijp jjyYPp . iijp5）掌握隨機(jī)變量獨(dú)立性的充分必要條件）掌握隨機(jī)變量獨(dú)立性的充分必要條件: yfxfyxfYX ，jiijppp 退 出前一頁后一頁目 錄6）會(huì)運(yùn)用）會(huì)運(yùn)用定理定理及及

10、先求分布函數(shù)法先求分布函數(shù)法求隨機(jī)變量函數(shù)的求隨機(jī)變量函數(shù)的分布分布. ., 0,|,)(|)()()1(其它其它 yyhyhfyfXY 的分布函數(shù)的分布函數(shù)先求先求XgY )2( 的的密密度度函函數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)系系求求之之間間的的的的分分布布函函數(shù)數(shù)與與密密度度函函數(shù)數(shù)利利用用XgYXgY yYPyFY yXgP yxgXdxxf)()( .yFyfYY 退 出前一頁后一頁目 錄函數(shù)函數(shù)g(x)處處可導(dǎo)且處處可導(dǎo)且單調(diào)單調(diào)7）掌握正態(tài)分布的性質(zhì)：）掌握正態(tài)分布的性質(zhì)： 2iiiNX ，相相互互獨(dú)獨(dú)立立，如如果果隨隨機(jī)機(jī)變變量量nXXX21，令：令： niiiXaZ1 niiiniiiaaNZ122

11、1 ，則則退 出前一頁后一頁目 錄第四章主要內(nèi)容及要求：第四章主要內(nèi)容及要求：1）熟練掌握期望定義和性質(zhì)；）熟練掌握期望定義和性質(zhì)； 1)(ikkpxXE dxxxfXE)()( niniiiiiXEaXaE11)()(退 出前一頁后一頁目 錄).()()(,YEXEXYEYX 相互獨(dú)立相互獨(dú)立ccE)(2）會(huì)求隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望；）會(huì)求隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望；設(shè)設(shè) Y =g( X ), g( x ) 是連續(xù)函數(shù)，是連續(xù)函數(shù)， dxxfxgYE)()()( 1)()(kkkxgpYE則則),(YXgZ 若若11),()(jijjiipyxgZE則 dxdyyxfyxgZE),(),()(退

12、 出前一頁后一頁目 錄2）會(huì)求隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望；）會(huì)求隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望；設(shè)設(shè) Y =g( X ), g( x ) 是連續(xù)函數(shù)，是連續(xù)函數(shù)， dxxfxgYE)()()( 1)()(kkkxgpYE則則退 出前一頁后一頁目 錄3）熟練掌握方差的定義和性質(zhì)；）熟練掌握方差的定義和性質(zhì)；2)()(XEXEXD 退 出前一頁后一頁目 錄 22)()(XEXE )()(2XDaaXD ),cov(2)()()()(2)()()(YXYDXDYEYXEXEYDXDYXD 相互獨(dú)立，相互獨(dú)立，若若YX,).()()(YDXDYXD 則則0)( cD5）掌握協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的定義，不相關(guān)的定義及）

13、掌握協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的定義，不相關(guān)的定義及獨(dú)立與不相關(guān)的關(guān)系；獨(dú)立與不相關(guān)的關(guān)系；稱稱 X,Y 不相關(guān)不相關(guān)。，若若0 XY 若若X，Y相互相互 獨(dú)立，則獨(dú)立，則 X , Y 不相關(guān)不相關(guān).(反之，不然）反之，不然）4）熟記兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布、泊松分布、均勻分布、）熟記兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布、泊松分布、均勻分布、正態(tài)分布、指數(shù)分布的期望值和方差值正態(tài)分布、指數(shù)分布的期望值和方差值.退 出前一頁后一頁目 錄COV( X,Y ) = E(XE(X)(Y-E(Y)= E (XY) E(X) E(Y)()(),(YDXDYXCOVXY 大數(shù)定律大數(shù)定律第五章主要內(nèi)容及要求：第五章主要內(nèi)容及要求：中心極限定

14、理中心極限定理退 出前一頁后一頁目 錄切比雪夫大數(shù)定律切比雪夫大數(shù)定律 每個(gè)隨機(jī)變量的每個(gè)隨機(jī)變量的方差一致有界，方差一致有界，序列，是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量設(shè),21nXXX,2 , 1,)( iCXDi使使.服服從從大大數(shù)數(shù)定定律律則則iX,)()(都都存存在在和和iiXDXE退 出前一頁后一頁目 錄獨(dú)立同分布大數(shù)定律獨(dú)立同分布大數(shù)定律 隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望與方差存在隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望與方差存在, 2 , 1i2)(,)(iiXDXE, 2 , 1)(iXEi，辛欽大數(shù)定律辛欽大數(shù)定律隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望存在隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望存在)(1XEXini期期望望均均值值 退 出前一頁后一頁目 錄伯努利大數(shù)

15、定律伯努利大數(shù)定律.服服從從大大數(shù)數(shù)定定律律則則iXpnm概概率率頻頻率率獨(dú)立同分布的中心極限定理獨(dú)立同分布的中心極限定理), 2 , 1( , 0)()(2iXDXEii，機(jī)機(jī)變變量量序序列列，是是相相互互獨(dú)獨(dú)立立同同分分布布的的隨隨設(shè)設(shè),21nXXX即即：服服從從中中心心極極限限定定理理則則,nX退 出前一頁后一頁目 錄21(,).iiXN nn近似德莫佛德莫佛-拉普拉斯定理拉普拉斯定理),10(), 2 , 1)(,(pnpnBYn設(shè)設(shè)隨隨機(jī)機(jī)變變量量(,(1).nYN np npp近似,nY則服從中心極限定理 即：第六章主要內(nèi)容及要求：第六章主要內(nèi)容及要求：1）掌握統(tǒng)計(jì)量的概念；）掌握

16、統(tǒng)計(jì)量的概念；2）掌握正態(tài)總體的樣本均值和樣本方差的定義及其）掌握正態(tài)總體的樣本均值和樣本方差的定義及其分布；分布；),(2nNX ) 1 , 0( NnX 即即)1()1(222 nSn )()(XEXEnXDnXnDXDnii21)(1)1()( 22)()( XDSE退 出前一頁后一頁目 錄)()(12122nXnii 退 出前一頁后一頁目 錄)1()(12122 nXXnii ) 1(ntnSX )1 , 0( NnX )(22n記為記為2分布分布1、都服從正態(tài)分布N(0,1), 則稱隨機(jī)變量： 相相互互獨(dú)獨(dú)立立，定定義義：設(shè)設(shè)nXXX,21222212nXXX .2分布分布的的服從自

17、由度為服從自由度為 n3）掌握三個(gè)常用抽樣分布的定義，和分位數(shù)的概念，）掌握三個(gè)常用抽樣分布的定義，和分位數(shù)的概念，會(huì)利用分位數(shù)表查表會(huì)利用分位數(shù)表查表退 出前一頁后一頁目 錄2、t 分布分布)()(),1 , 0(2ntTtnTnYXTYXnYNX分分布布，記記為為的的服服從從自自由由度度為為則則稱稱變變量量相相互互獨(dú)獨(dú)立立，記記與與且且，定定義義：設(shè)設(shè) 退 出前一頁后一頁目 錄3、F分布分布),(./),(),(,2121212212nnFFFnnFnYnXFnYnXYX分分布布的的第第二二自自由由度度為為，服服從從第第一一自自由由度度為為則則隨隨機(jī)機(jī)變變量量，記記相相互互獨(dú)獨(dú)立立，定定義

18、義：設(shè)設(shè)隨隨機(jī)機(jī)變變量量 退 出前一頁后一頁目 錄第七章主要內(nèi)容及要求：第七章主要內(nèi)容及要求：要會(huì)熟練運(yùn)用矩法和極大似然法求估計(jì)量要會(huì)熟練運(yùn)用矩法和極大似然法求估計(jì)量.矩法求估計(jì)量的步驟：矩法求估計(jì)量的步驟：;)()1(1XE 求求);()2(XEX 令令).,()3(1nXX 解解上上面面方方程程，得得退 出前一頁后一頁目 錄極大似然法求估計(jì)量的步驟：極大似然法求估計(jì)量的步驟：(一般情況下一般情況下):)()1( L構(gòu)造似然函數(shù)構(gòu)造似然函數(shù));(ln)2( L取對(duì)數(shù)：取對(duì)數(shù)：; 0ln)3( dLd令令.)4( 的的極極大大似似然然估估計(jì)計(jì)量量解解似似然然方方程程得得 niixfL1;()()(連連續(xù)續(xù)型型） 退 出前一頁后一頁目 錄估計(jì)量的優(yōu)良性準(zhǔn)則估計(jì)量的優(yōu)良性準(zhǔn)則退 出前一頁后一頁目 錄定義：設(shè)定義：設(shè) 是未知參數(shù)是未知參數(shù) 的估計(jì)量，的估計(jì)量，若若 ，則稱，則稱 為為 的的無偏估計(jì)無偏估計(jì)。),.,(21nXXX )(E1)1)樣本的樣本的k階原點(diǎn)矩是總體階原點(diǎn)矩是總體k階原點(diǎn)矩的無偏估計(jì)量。階原點(diǎn)矩的無偏估計(jì)量。2)2)一個(gè)未知參數(shù)可有不同的無偏估計(jì)量。一個(gè)未知參數(shù)可有不同的無偏估計(jì)量。：設(shè)：設(shè) 和和 是未知參是未知參數(shù)數(shù) 的兩個(gè)的兩個(gè)無偏無偏估計(jì)量，若對(duì)估計(jì)量，若對(duì)