第全微分方程學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1第第 全微分方程全微分方程(wi fn fn chn)第一頁，共19頁。例例1 1.0)3()3(2323的通解的通解求方程求方程 dyyxydxxyx解解,6xQxyyP 是全微分方程是全微分方程(wi fn fn chn), yxdyyxdxyxyxu03023)3(),(,42344224yyxx 原方程原方程(fngchng)的通的通解為解為.42344224Cyyxx 第1頁/共19頁第二頁，共19頁。例例2.0324223的通解的通解求方程求方程 dyyxydxyx解解,64xQyxyP 是全微分方程是全微分方程(wi fn fn chn),將左端重新組合將左端重新組合)3

2、2(14232dyyxdxyxdyy )()1(32yxdyd ),1(32yxyd 原方程原方程(fngchng)的通解為的通解為.132Cyxy 第2頁/共19頁第三頁，共19頁。二、積分二、積分(jfn)因子法因子法 0),( yx 連續(xù)可微函數(shù)，使方程連續(xù)可微函數(shù)，使方程0),(),(),(),( dyyxQyxdxyxPyx成為全成為全微分方程微分方程. .則稱則稱),(yx 為方程的為方程的積分因子積分因子. .問題問題: 如何求方程如何求方程(fngchng)的的積分因子積分因子?定義定義(dng(dngy):y):第3頁/共19頁第四頁，共19頁。1.1.公式公式(gngsh)

3、(gngsh)法法: :,)()(xQyP xQxQyPyP ，兩邊同除兩邊同除 xQyPyPxQ lnln求解求解(qi ji)不容易不容易特殊特殊(tsh)地地:;.有關(guān)時(shí)有關(guān)時(shí)只與只與當(dāng)當(dāng)xa , 0 y ,dxdx 第4頁/共19頁第五頁，共19頁。)(1lnxQyPQdxd )(xf .)()( dxxfex ;.有關(guān)時(shí)有關(guān)時(shí)只與只與當(dāng)當(dāng)yb , 0 x ,dydy )(1lnyPxQPdyd )(yg .)()( dyygey 第5頁/共19頁第六頁，共19頁。2.2.觀察法觀察法: :憑觀察湊微分得到憑觀察湊微分得到),(yx 常見常見(chn jin)的全的全微分表達(dá)式微分表達(dá)

4、式)2(22yxdydyxdx )(xydxdyydx )(2xydxydxxdy )(2yxdyydxxdy )(lnxydxyydxxdy )(arctan22xydyxydxxdy )(ln2222yxdyxydyxdx 第6頁/共19頁第七頁，共19頁?？蛇x用的積分可選用的積分(jfn)因因子有子有.,1,1,1,12222222等等xyyxyxyxxyx 例例3.0)()3(22的通解的通解求微分方程求微分方程 dyxyxdxyxy解解,1)(1xxQyPQ dxxex1)( 則原方程則原方程(fngchng)成成為為, 0)()3(2322 dyyxxdxxyyx.x 第7頁/共1

5、9頁第八頁，共19頁。, 0)()3(2322 dyyxxdxxyyx)(332xdyydxxydyxydxx 可積組合法可積組合法)(21(23xyyxd , 0 原方程原方程(fngchng)的通的通解為解為.)(2123Cxyyx (公式公式(gngsh)法法)第8頁/共19頁第九頁，共19頁。例例4 求微分方程求微分方程(wi fn fn chn).0)1(222的通解的通解 dyyxdxyxx解解, 02222 dyyxdxyxxxdx, 0)()(2222 dyyxxdyxxd將方程將方程(fngchng)左端重新組合左端重新組合,有有, 0)()(222 yxdyxxd原方程原方

6、程(fngchng)的通的通解為解為.)(322322Cyxx 第9頁/共19頁第十頁，共19頁。例例5 求微分方程求微分方程(wi fn fn chn).0)1(ln2222的通解的通解 dyyyxydxxy解解將方程將方程(fngchng)左端重新組合左端重新組合,有有, 01)ln2222 dyyydyxydxxy（,1),(yyx 易知易知, 01)ln2(22 dyyydyyxydxx則則可積組合法可積組合法. 0)1(31)ln(2322 ydyxd即即原方程原方程(fngchng)的通的通解為解為.)1(31ln2322Cyyx 第10頁/共19頁第十一頁，共19頁。例例6.13

7、2的通解的通解求微分方程求微分方程xyxxdxdy 解解1整理整理(zhngl)得得,112xyxdxdy A A 常數(shù)常數(shù)(chngsh)(chngsh)變易變易法法: :.1xCy 對(duì)應(yīng)齊方程通解對(duì)應(yīng)齊方程通解.1)(xxCy 設(shè)設(shè).43)(43CxxxC B B 公式公式(gngsh)(gngsh)法法: :,11211Cdxexeydxxdxx .4343Cxxxyy 通解為通解為第11頁/共19頁第十二頁，共19頁。解解2 2整理整理(zhngl)得得, 0)1()(32 dyxdxyxx,1xQyP .是全微分方程是全微分方程A A 用曲線用曲線(qxin)(qxin)積積分法分法

8、: :,)1()(),(0032 yxdyxdxxxyxuB B 湊微分湊微分(wi (wi fn)fn)法法: :, 0)(32 dxxdxxydxxdydy，043)(43 xdxdxyddy. 0)43(43 xxxyyd第12頁/共19頁第十三頁，共19頁。C C 不定積分不定積分(b (b dn j fn)dn j fn)法法: :,32yxxxu dxyxx)(32),(4343yCxyxx ),(yCxyu ,1xyu 又又,1)(xyCx , 1)( yC,)(yyC 原方程原方程(fngchng)的通的通解為解為.4343Cxxxyy 第13頁/共19頁第十四頁，共19頁。三

9、、一階微分方程三、一階微分方程(wi fn fn chn)小結(jié)小結(jié)分離變量法分離變量法常數(shù)變易法常數(shù)變易法全微分方程全微分方程一階微分方程一階微分方程思考思考題題方程方程(fngchng)0324223 dyyxydxyx是否是否(sh fu)為全微分方程？為全微分方程？第14頁/共19頁第十五頁，共19頁。思考題解答思考題解答(jid) 32yxyyP,64yx 4223yxyxxQ,64yx xQyP 原方程原方程(fngchng)是全微是全微分方程分方程(fngchng).第15頁/共19頁第十六頁，共19頁。練練 習(xí)習(xí) 題題一、一、 判別下列方程中哪些是全微分方程判別下列方程中哪些是全

10、微分方程, ,并求全微分方并求全微分方程的通解程的通解: :1 1、0)2( dyyxedxeyy；2 2、0)(22 xydydxyx；3 3、02)1(22 dede. .二、二、 利用觀察法求出下列方程的積分因子利用觀察法求出下列方程的積分因子, ,并求其通并求其通解解: :1 1、02 xdxyxdyydx；2 2、dxyxydyxdx)(22 ； 3 3、0)1()1( xdyxyydxxy. .第16頁/共19頁第十七頁，共19頁。三、三、 驗(yàn)證驗(yàn)證)()(1xygxyfxy 是微分方程是微分方程 0)()( dyxyxgdxxyyf的積分因子的積分因子, ,并求方程并求方程0)22()2(2222 dyyxxdxyxy的通解的通解 . .四、四、 已知已知21)0( f, ,試確定試確定)(xf, ,使使0)()( dyxfydxxfex為全微分方程為全微分方程, ,并求此并求此全微分方程的通解全微分方程的通解 . .第17頁/共19頁第十八頁，共19頁。練習(xí)題答案練習(xí)題答案(d n)一一、1 1、Cyxey 2； 2 2、不