MathStudio使用方法入門(mén)10

1、MathStudioMathStudio for iPadfor iPad 使用方法入門(mén)使用方法入門(mén) （1010）大衍求一術(shù)大衍求一術(shù) 與與中國(guó)剩余定理（二）中國(guó)剩余定理（二） 2015年1月23日2015/1/231/17上一篇里我們用上一篇里我們用MathStudio MathStudio 演算了演算了B Bx1(mod A) 1(mod A) 類(lèi)型的類(lèi)型的例題，使用了例題，使用了whileendwhileend函數(shù)函數(shù)能不能解多元一次聯(lián)立同余式組呢？能不能解多元一次聯(lián)立同余式組呢？可以！在原有基礎(chǔ)上，用上可以！在原有基礎(chǔ)上，用上 ListList（建立數(shù)組）、（建立數(shù)組）、 loop e

2、ndloop end（重復(fù)相同的計(jì)算程序）就行了。（重復(fù)相同的計(jì)算程序）就行了。下面我們?cè)囁阋恍┫旅嫖覀冊(cè)囁阋恍?二元、三元、四元一次同余式組，看看二元、三元、四元一次同余式組，看看MathStudioMathStudio的表現(xiàn)如何的表現(xiàn)如何接著再把接著再把孫子算經(jīng)孫子算經(jīng)里的里的“物不知數(shù)物不知數(shù)”題題 和和數(shù)書(shū)九章數(shù)書(shū)九章里的里的“余米推數(shù)余米推數(shù)”題用題用MathStudioMathStudio求解求解2015/1/232/17明嚴(yán)恭明嚴(yán)恭通源算法通源算法里的題（里的題（2 2個(gè)定母）個(gè)定母）今有零錢(qián)不知其數(shù)，作七十七穿之，欠五十湊串，若作七十今有零錢(qián)不知其數(shù)，作七十七穿之，欠五十湊串，

3、若作七十八穿之，不多不少。問(wèn)錢(qián)數(shù)若干？答曰：二千一百六文八穿之，不多不少。問(wèn)錢(qián)數(shù)若干？答曰：二千一百六文“欠五十湊串”，-即余數(shù)27“不多不少”-即余數(shù)為0V(1)=2106 即答案2015/1/233/173 3個(gè)定母的計(jì)算個(gè)定母的計(jì)算題：除數(shù)題：除數(shù)7 7 余余1 1，除數(shù)，除數(shù)8 8 余余2 2，除數(shù)，除數(shù)9 9 余余3 3答：答：498 498 乘率分別是乘率分別是 4 4、7 7、5 52015/1/234/17四個(gè)定母的計(jì)算四個(gè)定母的計(jì)算題：除數(shù)題：除數(shù)5 5 余余1 1，除數(shù)，除數(shù)6 6 余余5 5，除數(shù)，除數(shù)7 7 余余4 4，除數(shù)，除數(shù)11 11 余余1010答：答：2111

4、 2111 乘率分別是乘率分別是 3 3、1 1、1 1、1 12015/1/235/174 4個(gè)定母的計(jì)算個(gè)定母的計(jì)算題：除數(shù)題：除數(shù)27 27 余余2020，除數(shù)，除數(shù)19 19 余余4 4，除數(shù)，除數(shù)25 25 余余4 4，除數(shù)，除數(shù)8 8 余余1 1答：答：26129 26129 乘率分別是乘率分別是 2323、5 5、1919、1 12015/1/236/172015/1/237/17算法統(tǒng)宗算法統(tǒng)宗里的里的“物不知數(shù)物不知數(shù)”題題 解法與解法與孫子算經(jīng)孫子算經(jīng)相相同同特點(diǎn)是把解法口訣化了特點(diǎn)是把解法口訣化了程大位（程大位（1533153316061606）明代數(shù)學(xué)家明代數(shù)學(xué)家201

5、5/1/238/17算法統(tǒng)宗算法統(tǒng)宗提供的算法：提供的算法：輸入輸入 三個(gè)問(wèn)數(shù)（作為除數(shù)）三個(gè)問(wèn)數(shù)（作為除數(shù)） 3 3，5 5，7 7； 三個(gè)余數(shù)三個(gè)余數(shù) 2 2，3 3，2 2計(jì)算計(jì)算 3 3、5 5、7 7的最小公倍數(shù)的最小公倍數(shù) 3 35 57=1057=105計(jì)算除數(shù)計(jì)算除數(shù)7 7剩剩1 1之之“衰衰” ” 1 1（3 35 5）=15 =15 余余2 22 215=3015=30計(jì)算除數(shù)計(jì)算除數(shù)5 5剩剩1 1之之“衰衰” ” 1 1（3 37 7）=21 =21 余余3 33 321=6321=63計(jì)算除數(shù)計(jì)算除數(shù)3 3剩剩1 1之之“衰衰” ” 2 2（5 57 7）=70 =7

6、0 余余2 22 270=14070=140并之并之 30+63+140=23330+63+140=233內(nèi)減去滿數(shù)內(nèi)減去滿數(shù) 233-105-105=23233-105-105=23在在算法統(tǒng)宗算法統(tǒng)宗里把里把 與與3 3、5 5、7 7相關(guān)的關(guān)鍵數(shù)相關(guān)的關(guān)鍵數(shù)- -“衰衰”口訣化了，便于記憶；口訣化了，便于記憶；如果除數(shù)不變，余數(shù)改變了，按口訣計(jì)算就能很快得到新答案如果除數(shù)不變，余數(shù)改變了，按口訣計(jì)算就能很快得到新答案如果除數(shù)如果除數(shù)3 3、5 5、7 7改變了，怎么辦？改變了，怎么辦？計(jì)算新的計(jì)算新的“衰衰”！關(guān)于！關(guān)于 1515、2121、3535的來(lái)源似乎不難悟出；的來(lái)源似乎不難悟出

7、；可是，引人深思的：可是，引人深思的：在計(jì)算在計(jì)算3 3、5 5、7 7的的“衰衰”時(shí)，分別出現(xiàn)的時(shí)，分別出現(xiàn)的 2 2、1 1、1 1是什么？是什么？除數(shù)改變了，如何計(jì)算新的除數(shù)改變了，如何計(jì)算新的“衰衰”，是個(gè)難題了！，是個(gè)難題了！南宋數(shù)學(xué)家秦九韶南宋數(shù)學(xué)家秦九韶?cái)?shù)學(xué)九章數(shù)學(xué)九章里創(chuàng)立的大衍求一術(shù)完美解決了這個(gè)問(wèn)題里創(chuàng)立的大衍求一術(shù)完美解決了這個(gè)問(wèn)題2015/1/239/17孫子算經(jīng)孫子算經(jīng)里的里的“物不知數(shù)物不知數(shù)”題，用現(xiàn)在通用的數(shù)學(xué)符號(hào)表達(dá)就是：題，用現(xiàn)在通用的數(shù)學(xué)符號(hào)表達(dá)就是： N N2 2（mod 3mod 3） 3 3（mod 5mod 5） 2 2（mod 7mod 7）上一

8、篇里已經(jīng)演示了用大衍求一術(shù)求解一次同余式的方法，不難算得：上一篇里已經(jīng)演示了用大衍求一術(shù)求解一次同余式的方法，不難算得：計(jì)算除數(shù)計(jì)算除數(shù)7 7剩剩1 1之之“衰衰”：15 15 x=1=1（mod 7mod 7） x=1=1計(jì)算除數(shù)計(jì)算除數(shù)5 5剩剩1 1之之“衰衰”：21 21 x=1=1（mod 5mod 5） x=1=1計(jì)算除數(shù)計(jì)算除數(shù)3 3剩剩1 1之之“衰衰”：35 35 x=1=1（mod 3mod 3） x=2=2后面的計(jì)算步驟同前，無(wú)庸贅述。后面的計(jì)算步驟同前，無(wú)庸贅述。上一幀里的上一幀里的 2 2、1 1、1 1 是什么是什么？這就一目了然了，？這就一目了然了，那就是大衍求一

9、術(shù)算出的那就是大衍求一術(shù)算出的“乘率乘率”算法統(tǒng)宗算法統(tǒng)宗里的里的“衰衰”就是大衍求一術(shù)里的就是大衍求一術(shù)里的 衍數(shù)衍數(shù)乘率乘率由此，除數(shù)任意改變都有辦法求解了，而且除數(shù)可以不限于由此，除數(shù)任意改變都有辦法求解了，而且除數(shù)可以不限于3 3個(gè)。個(gè)。注意：大衍求一術(shù)要求注意：大衍求一術(shù)要求 一組一組“定母定母”必須是兩兩互質(zhì)的整數(shù)，如果不是，必須是兩兩互質(zhì)的整數(shù)，如果不是，需先轉(zhuǎn)換為兩兩互質(zhì)的整數(shù)，轉(zhuǎn)換的方法在他的大衍總數(shù)術(shù)里詳述，在此需先轉(zhuǎn)換為兩兩互質(zhì)的整數(shù)，轉(zhuǎn)換的方法在他的大衍總數(shù)術(shù)里詳述，在此暫不詳述，擬在下一集里予以說(shuō)明。暫不詳述，擬在下一集里予以說(shuō)明。2015/1/2310/17用用iP

10、ad MathStudio iPad MathStudio 按大衍求一術(shù)編程解按大衍求一術(shù)編程解孫子算經(jīng)孫子算經(jīng)里的里的“物不知數(shù)物不知數(shù)”題題答案乘率-求解的關(guān)鍵算法統(tǒng)宗里的“衰”余數(shù)衍數(shù)定母余數(shù)衍數(shù)定母的最小公倍數(shù)2015/1/2311/17數(shù)書(shū)九章數(shù)書(shū)九章里的里的“余米推數(shù)余米推數(shù)”題題2015/1/2312/17這是一道假托偵破盜賊偷米案件的數(shù)學(xué)推理題這是一道假托偵破盜賊偷米案件的數(shù)學(xué)推理題三個(gè)同容積的米蘿筐，分別被三個(gè)盜賊偷米，甲用容積為三個(gè)同容積的米蘿筐，分別被三個(gè)盜賊偷米，甲用容積為1919合合的馬勺舀米，籮筐里只剩的馬勺舀米，籮筐里只剩1 1合；乙用容積為合；乙用容積為1717

11、合的木屐舀米，合的木屐舀米，籮筐里只?；j筐里只剩1414合；丙用容積為合；丙用容積為1212合的漆碗舀米，籮筐里只剩合的漆碗舀米，籮筐里只剩1 1合；問(wèn)：甲乙丙各偷米多少？一共丟失米多少？合；問(wèn)：甲乙丙各偷米多少？一共丟失米多少？這道題初看似乎復(fù)雜，實(shí)質(zhì)上與這道題初看似乎復(fù)雜，實(shí)質(zhì)上與“物不知數(shù)物不知數(shù)”題是同類(lèi)型的。題是同類(lèi)型的。首先，計(jì)算每籮筐的儲(chǔ)米量：首先，計(jì)算每籮筐的儲(chǔ)米量：N N1 1（mod 19mod 19） 1414（mod 17mod 17） 1 1（mod 12mod 12）計(jì)算得計(jì)算得 N=3193N=3193合（即合（即3 3石石1 1斗斗9 9升升3 3合）合）甲盜甲

12、盜 3193-1=31923193-1=3192合合 即即3 3石石1 1斗斗9 9升升2 2合合乙盜乙盜 3193-14=31793193-14=3179合合 即即3 3石石1 1斗斗7 7升升9 9合合丙盜丙盜 3193-1=31923193-1=3192合合 即即3 3石石1 1斗斗9 9升升2 2合合 共丟失米共丟失米 95639563合合 即即9 9石石5 5斗斗6 6升升3 3合合MathStudio MathStudio 計(jì)算程序見(jiàn)后頁(yè)計(jì)算程序見(jiàn)后頁(yè)2015/1/2313/17數(shù)書(shū)九章數(shù)書(shū)九章里的里的“余米推數(shù)余米推數(shù)”題題用大衍求一術(shù)編程解題，答案用大衍求一術(shù)編程解題，答案 每

13、籮筐儲(chǔ)米每籮筐儲(chǔ)米31933193合合明嚴(yán)恭通源算法今有零錢(qián)不知其數(shù)，作七十七穿之，欠五十湊穿，若作七十八穿之，不多不少。問(wèn)錢(qián)數(shù)若干？答曰：二千一百六文2015/1/2314/17相冊(cè)由 CSS 創(chuàng)建秦九韶秦九韶（1202120212611261）南宋數(shù)學(xué)家南宋數(shù)學(xué)家秦九韶為數(shù)書(shū)九章寫(xiě)的“序”，網(wǎng)絡(luò)上有查有梁的譯文，認(rèn)為“是一篇數(shù)學(xué)與語(yǔ)文高水平整合的杰作”，“只有認(rèn)真研讀了數(shù)書(shū)九章序，才能從整體上把握秦九韶的數(shù)學(xué)觀及其方法論”2015/1/2315中國(guó)古算有著悠久歷史，在世界數(shù)學(xué)史上具有光輝燦爛的中國(guó)古算有著悠久歷史，在世界數(shù)學(xué)史上具有光輝燦爛的地位，通過(guò)前述題例，可體會(huì)到他的獨(dú)特之處：地位，

14、通過(guò)前述題例，可體會(huì)到他的獨(dú)特之處：一一. .注重實(shí)用，注重實(shí)用，“隨題用法者捷，以法就題者拙隨題用法者捷，以法就題者拙”二二. .以算法為綱，寓理于算，觸類(lèi)旁通；小中見(jiàn)大，雞刀宰牛以算法為綱，寓理于算，觸類(lèi)旁通；小中見(jiàn)大，雞刀宰牛三三. .結(jié)構(gòu)化，程序化；如大衍求一術(shù)的計(jì)算用四元方陣，很像結(jié)構(gòu)化，程序化；如大衍求一術(shù)的計(jì)算用四元方陣，很像 把數(shù)組數(shù)據(jù)寄存于堆棧；計(jì)算規(guī)則的描述與現(xiàn)代計(jì)算機(jī)把數(shù)組數(shù)據(jù)寄存于堆棧；計(jì)算規(guī)則的描述與現(xiàn)代計(jì)算機(jī)算算 法語(yǔ)言的解題思路很相似法語(yǔ)言的解題思路很相似四四. .算法口訣化，寓教于樂(lè)算法口訣化，寓教于樂(lè); ;用假象真，以虛問(wèn)實(shí)用假象真，以虛問(wèn)實(shí); ; 注重直觀，類(lèi)比，觀察，歸納注重直觀，類(lèi)比，觀察，歸納毋庸諱言，中國(guó)古算也有其不足之處，如：沒(méi)有形成一套毋庸諱言，中國(guó)古算也有其不足之處，如：沒(méi)有形成一套通用的便于書(shū)寫(xiě)識(shí)別的數(shù)學(xué)符號(hào)和數(shù)字符號(hào)，不利于數(shù)學(xué)的通用的便于書(shū)寫(xiě)識(shí)別的數(shù)學(xué)符號(hào)和數(shù)字符號(hào)，不利于數(shù)學(xué)的普及推廣，以致有些著作（如祖沖之的普及推廣，以致有些著作（如祖沖之的綴術(shù)綴術(shù) ）失傳了。）失傳了。不重視數(shù)學(xué)名詞術(shù)語(yǔ)的定義，定理體系的建立，偏重于就事不重視數(shù)學(xué)名詞術(shù)語(yǔ)的定義，定理體系的建立，偏重于就事論事的解題，以致元代以后發(fā)展緩慢了，加之論事的