金堂縣屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)圓錐曲線考點(diǎn)透析

1、金堂縣2015屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)圓錐曲線考點(diǎn)透析劉際成【考點(diǎn)聚焦】考點(diǎn)1：圓錐曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程的求法；考點(diǎn)2：離心率與準(zhǔn)線方程； 考點(diǎn)3：弦長(zhǎng)與最值問(wèn)題；考點(diǎn)4：定點(diǎn)與定值問(wèn)題?！究键c(diǎn)小測(cè)】1（天津卷）如果雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為、，一條漸近線方程為，那么它的兩條準(zhǔn)線間的距離是（ ）A B C D 解析：如果雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為、，一條漸近線方程為， ，解得，所以它的兩條準(zhǔn)線間的距離是，選C. 2（福建卷）已知雙曲線(a0,b0)的右焦點(diǎn)為F，若過(guò)點(diǎn)F且傾斜角為60的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則此雙曲線離心率的取值范圍是A.( 1,2) B. (1,2) C.2,+ D.(2,+

2、)解析：雙曲線的右焦點(diǎn)為F，若過(guò)點(diǎn)F且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則該直線的斜率的絕對(duì)值小于等于漸近線的斜率， ，離心率e2=， e2，選C3（廣東卷）已知雙曲線，則雙曲線右支上的點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離與點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離之比等于A. B. C. 2 D. 4解析：依題意可知 ，故選C.4（遼寧卷）曲線與曲線的(A)焦距相等 (B) 離心率相等 (C)焦點(diǎn)相同 (D)準(zhǔn)線相同【解析】由知該方程表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，由知該方程表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，故只能選擇答案A。【點(diǎn)評(píng)】本題考查了橢圓和雙曲線方程及各參數(shù)的幾何意義，同時(shí)著重考查了審題能力即參數(shù)范圍對(duì)該題的影響。5（全國(guó)卷I）雙

3、曲線的虛軸長(zhǎng)是實(shí)軸長(zhǎng)的2倍，則A B C D解：雙曲線的虛軸長(zhǎng)是實(shí)軸長(zhǎng)的2倍， mb0），則有，據(jù)此求出e，選B8（四川卷）已知兩定點(diǎn)，如果動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡所包圍的圖形的面積等于（A） （B） （C） （D）解：兩定點(diǎn)，如果動(dòng)點(diǎn)滿足，設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)，則，即，所以點(diǎn)的軌跡所包圍的圖形的面積等于4，選B.9（四川卷）直線與拋物線交于兩點(diǎn)，過(guò)兩點(diǎn)向拋物線的準(zhǔn)線作垂線，垂足分別為，則梯形的面積為（A）48 （B）56 （C）64 （D）72解析：直線與拋物線交于兩點(diǎn)，過(guò)兩點(diǎn)向拋物線的準(zhǔn)線作垂線，垂足分別為，聯(lián)立方程組得，消元得，解得，和， |AP|=10，|BQ|=2，|PQ|=8，梯形

4、的面積為48，選A.10(上海卷)若曲線|1與直線沒(méi)有公共點(diǎn)，則、分別應(yīng)滿足的條件是 解：作出函數(shù)的圖象， 如右圖所示： 所以，；【典型考例】【問(wèn)題1】求圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、離心率、準(zhǔn)線方程等例1設(shè)橢圓的中心在原點(diǎn)，坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，一個(gè)焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)的連線互相垂直，且此焦點(diǎn)與長(zhǎng)軸上較近的端點(diǎn)距離為4，求此橢圓方程、離心率、準(zhǔn)線方程及準(zhǔn)線間的距離.解：設(shè)橢圓的方程為或，則，解之得：，b=c4.則所求的橢圓的方程為或，離心率；準(zhǔn)線方程，兩準(zhǔn)線的距離為16.例2（北京卷）橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)F1、F2，點(diǎn)P在橢圓C上，且P F1F1F2,| P F1|=,| P F2|=.（I）求橢圓C的方程；（II）

5、若直線L過(guò)圓x2+y2+4x-2y=0的圓心M交橢圓于A、B兩點(diǎn)，且A、B關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱，求直線L的方程。解法一：()因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓C上，所以，a=3.在RtPF1F2中，故橢圓的半焦距c=,從而b2=a2c2=4, 所以橢圓C的方程為1.()設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為（x1,y1）、（x2,y2）. 由圓的方程為（x+2）2+(y1)2=5,所以圓心M的坐標(biāo)為（2，1）. 從而可設(shè)直線l的方程為 y=k(x+2)+1, 代入橢圓C的方程得 （4+9k2）x2+(36k2+18k)x+36k2+36k27=0. 因?yàn)锳，B關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱. 所以 解得，所以直線l的方程為 即8x-9y+25=0. (經(jīng)檢

6、驗(yàn)，符合題意)解法二：()同解法一.()已知圓的方程為（x+2）2+(y1)2=5,所以圓心M的坐標(biāo)為（2，1）. 設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為（x1,y1）,(x2,y2).由題意x1x2且 由得 因?yàn)锳、B關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱，所以x1+ x2=4, y1+ y2=2,代入得，即直線l的斜率為，所以直線l的方程為y1（x+2），即8x9y+25=0.(經(jīng)檢驗(yàn)，所求直線方程符合題意.)【問(wèn)題2】圓錐曲線的定義的問(wèn)題例3（四川卷）如圖，把橢圓的長(zhǎng)軸分成等份，過(guò)每個(gè)分點(diǎn)作軸的垂線交橢圓的上半部分于七個(gè)點(diǎn)，是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，則 ;例4（江西卷）P是雙曲線的右支上一點(diǎn)，M、N分別是圓（x5）2y24和（x5）2y2

7、1上的點(diǎn)，則|PM|PN|的最大值為（ ）A. 6 B.7 C.8 D.9解：設(shè)雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是F1（5，0）與F2（5，0），則這兩點(diǎn)正好是兩圓的圓心，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P與M、F1三點(diǎn)共線以及P與N、F2三點(diǎn)共線時(shí)所求的值最大，此時(shí)|PM|PN|（|PF1|2）（|PF2|1）1019故選B例5、F是橢圓的右焦點(diǎn)，A(1,1)為橢圓內(nèi)一定點(diǎn)，P為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)。（1）的最小值為 （2）的最小值為 分析：PF為橢圓的一個(gè)焦半徑，常需將另一焦半徑或準(zhǔn)線作出來(lái)考慮問(wèn)題。解：（1）4- 設(shè)另一焦點(diǎn)為，則(-1,0)連A,P 當(dāng)P是A的延長(zhǎng)線與橢圓的交點(diǎn)時(shí), 取得最小值為4-。（2）3 作出右準(zhǔn)線l，作

8、PHl交于H，因a2=4，b2=3，c2=1， a=2，c=1，e=，當(dāng)A、P、H三點(diǎn)共線時(shí)，其和最小，最小值為例6、(1)拋物線C:y2=4x上一點(diǎn)P到點(diǎn)A(3,4)與到準(zhǔn)線的距離和最小,則點(diǎn) P的坐標(biāo)為_(kāi) (2)拋物線C: y2=4x上一點(diǎn)Q到點(diǎn)B(4,1)與到焦點(diǎn)F的距離和最小,則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為 。分析：（1）A在拋物線外，如圖，連PF，則，因而易發(fā)現(xiàn)，當(dāng)A、P、F三點(diǎn)共線時(shí)，距離和最小。（2）B在拋物線內(nèi)，如圖，作QRl交于R，則當(dāng)B、Q、R三點(diǎn)共線時(shí)，距離和最小。解：（1）（2，）連PF，當(dāng)A、P、F三點(diǎn)共線時(shí)，最小，此時(shí)AF的方程為 即 y=2(x-1),代入y2=4x得P(2,2)

9、，（注：另一交點(diǎn)為()，它為直線AF與拋物線的另一交點(diǎn)，舍去）（2）（）過(guò)Q作QRl交于R，當(dāng)B、Q、R三點(diǎn)共線時(shí)，最小，此時(shí)Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，代入y2=4x得x=，Q()點(diǎn)評(píng)：這是利用定義將“點(diǎn)點(diǎn)距離”與“點(diǎn)線距離”互相轉(zhuǎn)化的一個(gè)典型例題，請(qǐng)仔細(xì)體會(huì)。【問(wèn)題3】直線與圓錐曲線位置關(guān)系問(wèn)題利用數(shù)形結(jié)合法或?qū)⑺鼈兊姆匠探M成的方程組轉(zhuǎn)化為一元二次方程，利用判別式、韋達(dá)定理來(lái)求解或證明.例7拋物線y2=4x的頂點(diǎn)為O，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(5，0)，傾斜角為的直線l與線段OA相交(不經(jīng)過(guò)點(diǎn)O或點(diǎn)A)且交拋物線于M、N兩點(diǎn)，求AMN面積最大時(shí)直線l的方程，并求AMN的最大面積 命題意圖 直線與圓錐曲線相交，一

10、個(gè)重要的問(wèn)題就是有關(guān)弦長(zhǎng)的問(wèn)題 本題考查處理直線與圓錐曲線相交問(wèn)題的第一種方法“韋達(dá)定理法” 知識(shí)依托 弦長(zhǎng)公式、三角形的面積公式、不等式法求最值、函數(shù)與方程的思想 錯(cuò)解分析 將直線方程代入拋物線方程后，沒(méi)有確定m的取值范圍 不等式法求最值忽略了適用的條件 技巧與方法 涉及弦長(zhǎng)問(wèn)題，應(yīng)熟練地利用韋達(dá)定理設(shè)而不求計(jì)算弦長(zhǎng)，涉及垂直關(guān)系往往也是利用韋達(dá)定理，設(shè)而不求簡(jiǎn)化運(yùn)算 解法一 由題意，可設(shè)l的方程為y=x+m,其中5m0 由方程組,消去y,得x2+(2m4)x+m2=0 直線l與拋物線有兩個(gè)不同交點(diǎn)M、N，方程的判別式=(2m4)24m2=16(1m)0,解得m1,又5m0,m的范圍為(5，

11、0)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2)則x1+x2=42m，x1x2=m2,|MN|=4 點(diǎn)A到直線l的距離為d= S=2(5+m),從而S2=4(1m)(5+m)2=2(22m)(5+m)(5+m)2()3=128 S8,當(dāng)且僅當(dāng)22m=5+m,即m=1時(shí)取等號(hào) 故直線l的方程為y=x1，AMN的最大面積為8 解法二 由題意，可設(shè)l與x軸相交于B（m,0）, l的方程為x = y +m,其中0m5 由方程組,消去x,得y 24 y 4m=0 直線l與拋物線有兩個(gè)不同交點(diǎn)M、N，方程的判別式=(4)2+16m=16(1+m)0必成立,設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2)則y 1+ y 2=4

12、，y 1y 2=4m,S= 4=4S8,當(dāng)且僅當(dāng)即m=1時(shí)取等號(hào) 故直線l的方程為y=x1，AMN的最大面積為8 例8（福建卷）已知橢圓的左焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)。（）求過(guò)點(diǎn)O、F，并且與橢圓的左準(zhǔn)線l相切的圓的方程；（）設(shè)過(guò)點(diǎn)F且不與坐標(biāo)軸垂直交橢圓于A、B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)G，求點(diǎn)G橫坐標(biāo)的取值范圍.本小題主要考查直線、圓、橢圓和不等式等基本知識(shí)，考查平面解析幾何的基本方法，考查運(yùn)算能力和綜合解題能力。解：（I）圓過(guò)點(diǎn)O、F，圓心M在直線上。設(shè)則圓半徑由得解得所求圓的方程為（II）設(shè)直線AB的方程為代入整理得直線AB過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)F，方程有兩個(gè)不等實(shí)根。記中點(diǎn)則的垂直平

13、分線NG的方程為令得點(diǎn)G橫坐標(biāo)的取值范圍為【問(wèn)題4】圓錐曲線中的最值、定點(diǎn)、定值問(wèn)題例9：過(guò)拋物線：（0）的焦點(diǎn)作直線交拋物線于兩點(diǎn)，若線段與的長(zhǎng)分別為，則的值必等于（ ）A B C D圖1解法1：（特殊值法）令直線與軸垂直，則有：，所以有解法2：（參數(shù)法）如圖1，設(shè)，且，分別垂直于準(zhǔn)線于，拋物線（0）的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線來(lái)源:Zxxk.Com ：又由，消去得， 例10： (2011北京東城區(qū)期末)已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為F(0，)，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)的比是1.(1)求橢圓C的方程；(2)若橢圓C上在第一象限的一點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1，過(guò)點(diǎn)P作傾斜角互補(bǔ)的兩條不同的直線PA，PB分別交橢圓C于另外兩

14、點(diǎn)A，B，求證：直線AB的斜率為定值；(3)在(2)的條件下，求PAB面積的最大值解(1)設(shè)橢圓C的方程為1(ab0)由題意，得解得a24，b22.所以橢圓C的方程為1.(2)由題意知，兩直線PA，PB的斜率必存在，設(shè)PB的斜率為k.又由(1)知，P(1，)，則直線PB的方程為yk(x1)由得(2k2)x22k(k)x(k)240.設(shè)A(xA，yA)，B(xB，yB)，則xB1xB，同理可得xA.則xAxB，yAyBk(xA1)k(xB1).所以kAB為定值(3)由(2)，設(shè)直線AB的方程為yxm.由得4x22mxm240.由(2m)216(m24)0，得m2b0),其半焦距c=6,b2=a2

15、-c2=9.所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）點(diǎn)P(5,2)、F1(-6,0)、F2(6,0)關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)分別為點(diǎn)P，(2，5)、F1，(0，-6)、F2，(0，6).設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為由題意知，半焦距c1=6,b12=c12-a12=36-20=16. 所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為7（全國(guó)卷I）在平面直角坐標(biāo)系中，有一個(gè)以和為焦點(diǎn)、離心率為的橢圓，設(shè)橢圓在第一象限的部分為曲線C，動(dòng)點(diǎn)P在C上，C在點(diǎn)P處的切線與軸的交點(diǎn)分別為A、B，且向量。求：（）點(diǎn)M的軌跡方程； （）的最小值。.解: 橢圓方程可寫為: + =1 式中ab0 , 且 得a2=4,b2=1,所以曲線C的方程為: x2

16、+ =1 (x0,y0). y=2(0x1) y = 設(shè)P(x0,y0),因P在C上,有0x01,y2) ()| 2= x2+y2, y2= =4+ , 2= x21+54+5=9.且當(dāng)x21= ,即x=1時(shí),上式取等號(hào).故的最小值為3.8(上海卷)在平面直角坐標(biāo)系O中，直線與拋物線2相交于A、B兩點(diǎn)（1）求證：“如果直線過(guò)點(diǎn)T（3，0），那么3”是真命題；（2）寫出（1）中命題的逆命題，判斷它是真命題還是假命題，并說(shuō)明理由解（1）設(shè)過(guò)點(diǎn)T(3,0)的直線交拋物線y2=2x于點(diǎn)A(x1,y1)、B(x2,y2).當(dāng)直線的鈄率不存在時(shí),直線的方程為x=3,此時(shí),直線與拋物線相交于點(diǎn)A(3,)、B

17、(3,). =3； 當(dāng)直線的鈄率存在時(shí),設(shè)直線的方程為，其中， 由得 又 ， ， 綜上所述，命題“如果直線過(guò)點(diǎn)T(3,0)，那么=3”是真命題；(2)逆命題是：設(shè)直線交拋物線y2=2x于A、B兩點(diǎn),如果=3,那么該直線過(guò)點(diǎn)T(3,0).該命題是假命題. 例如：取拋物線上的點(diǎn)A(2,2)，B(,1)，此時(shí)=3,直線AB的方程為：，而T(3,0)不在直線AB上；說(shuō)明：由拋物線y2=2x上的點(diǎn)A (x1,y1)、B (x2,y2) 滿足=3，可得y1y2=6，或y1y2=2，如果y1y2=6，可證得直線AB過(guò)點(diǎn)(3,0)；如果y1y2=2，可證得直線AB過(guò)點(diǎn)(1,0),而不過(guò)點(diǎn)(3,0).9（全國(guó)I

18、I）已知拋物線x24y的焦點(diǎn)為F，A、B是拋物線上的兩動(dòng)點(diǎn)，且（0）過(guò)A、B兩點(diǎn)分別作拋物線的切線，設(shè)其交點(diǎn)為（）證明為定值；（）設(shè)ABM的面積為S，寫出Sf()的表達(dá)式，并求S的最小值解：()由已知條件，得F(0，1)，0設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)由，即得(x1，1y)(x2，y21)， 將式兩邊平方并把y1x12，y2x22代入得y12y2 解、式得y1，y2，且有x1x2x224y24，拋物線方程為yx2，求導(dǎo)得yx所以過(guò)拋物線上A、B兩點(diǎn)的切線方程分別是yx1(xx1)y1，yx2(xx2)y2，即yx1xx12，yx2xx22解出兩條切線的交點(diǎn)M的坐標(biāo)為(，)(，1) 4分所以(，2)(x2x1，y2y1)(x22x12)2(x22x12)0所以為定值，其值為07分()由()知在ABM中，F(xiàn)MAB，因而S|AB|FM|FM|因?yàn)閨AF|、|BF|分別等于A、B到拋物線準(zhǔn)線y1的距離，所以|AB|AF|BF|y1y222()2于是S|AB|FM|()3，由2知S4，且當(dāng)1時(shí)，S取得最小值410（山東卷）已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓的短軸端點(diǎn)和焦點(diǎn)所組成的四邊形為正方形，兩準(zhǔn)線間的距離為4.。()求